quadrados exercicios

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Resolver as equações completando os quadrados. 
 
a) 𝑥2 − 6𝑥 = 16 
b) 𝑥2 + 4𝑥 = 5 
c) 𝑥2 + 12𝑥 = −11 
d) 2. 𝑥2 − 8𝑥 =
−7
2
 
e) 2𝑥2 − 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 16 
 
a) Na equação 𝑥2 − 6𝑥 = 16 o valor de b = -6. Calculando (
𝑏
2
)
2
, resulta 
(
𝑏
2
)
2
= (
−6
2
)
2
=
36
4
= 9, que é o valor a ser somado no lado esquerdo e direito da 
igualdade. Tem-se 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 16 + 9 , reescrevendo o lado esquerdo com 
um produto notável e fazendo a soma no lado direito da igualdade resulta: 
(𝑥 − 3)2 = 25. Extraindo a raiz em ambos os lados da igualdade tem-se 
𝑥 − 3 = ±5. A primeira raiz é obtida pela resolução de 𝑥 − 3 = 5 cujo valor é 
𝑥 = 8 e a segunda raiz é obtida por 𝑥 − 3 = −5 com valor 𝑥 = −2. 
 
b) Na equação 𝑥2 + 4𝑥 = 5, tem-se b = 4 que leva ao cálculo de 
(
𝑏
2
)
2
= (
4
2
)
2
=
16
4
= 4 , valor que deve ser somado aos dois lados da igualdade 
para completar o quadrado. Tem-se 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 5 + 4, reescrevendo o lado 
esquerdo como produto notável, e realizando a soma no lado direito vem 
(𝑥 + 2)2 = 9. Extraindo a raiz quadrada resulta: 𝑥 + 2 = ±3. Resolvendo a 
equação 𝑥 + 2 = 3 tem-se a primeira raiz que é 𝑥 = 1; e resolvendo 𝑥 + 2 = −3 
tem-se a segunda raiz que é 𝑥 = −5. 
 
c) Na equação 𝑥2 + 12𝑥 = −11 tem-se o valor b = 12 o que faz (
𝑏
2
)
2
= (
12
2
)
2
=
144
4
= 36 a ser somado nos dois lados da igualdade, resultando 
𝑥2 + 12𝑥 + 36 = −11 + 36. O lado esquerdo da equação é reescrito com produto 
notável e no lado direito soma-se os valores numéricos resultando (𝑥 + 6)2 =
25. Extraindo a raiz quadrada vem: 𝑥 + 6 = ±5. A primeira raiz vem da solução 
de 𝑥 + 6 = 5 que resulta em 𝑥 = −1 e a segunda raiz vem de 𝑥 + 6 = −5 
resultando 𝑥 = −11. 
 
d) A equação 2. 𝑥2 − 8𝑥 =
−7
2
 deve ser dividida por 2. Tem-se a equação 
equivalente 𝑥2 − 4𝑥 =
−7
4
 com b = -4. Calculando (
𝑏
2
)
2
= (
−4
2
)
2
=
16
4
= 4 
somando este valor aos dois lados da igualdade vem 𝑥2 − 4𝑥 + 4 =
−7
4
+ 4 No 
lado esquerdo usa-se produto notável e no lado direito emprega-se m.m.c. para 
o trabalho com frações resultando (𝑥 − 2)2 =
9
4
 . Extraindo raiz quadrada nos 
dois lados da igualdade vem 𝑥 − 2 = ±
3
2
 . Resolvendo 𝑥 − 2 =
3
2
 tem-se 𝑥 =
7
2
 
como a primeira raiz, e resolvendo 𝑥 − 2 = −
3
2
, tem-se 𝑥 =
1
2
 para a segunda 
raiz. 
 
e) Para a equação 2𝑥2 − 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 16, agrupando os termos de iguais 
potências em x, leva a 2𝑥2 − 𝑥2 − 𝑥 + 7𝑥 = 16 ou 𝑥2 + 6𝑥 = 16. 
O valor de b = 6, leva ao cálculo (
𝑏
2
)
2
= (
6
2
)
2
=
36
4
= 9. Somando este valor aos 
dois lados da igualdade 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 16 + 9 e aplicando produto notável ao 
lado esquerdo da igualdade, e somando os dois valores do lado direito vem: 
(𝑥 + 3)2 = 25. Extraindo raiz quadrada resulta 𝑥 + 3 = ±5. Tomando o sinal 
positivo 𝑥 + 3 = 5, resulta 𝑥 = 2 para uma raiz, e tomando o sinal negativo 
𝑥 + 3 = −5, resulta 𝑥 = −8 para a outra raiz.