Exemplos de solucao Metodo das forcas

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Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 161 
5.5. Exemplos de solução pelo Método das Forças 
 
Exemplo 01 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas 
as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 105 
kNm2. 
 
 
 
X1 X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
(g=2) 
 
M0
Caso (0) – Solicitação externa isolada 
 no SP 
 
X1=1 
X1=1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/4
1/4 
1/4 
1/4 
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
 
X2=1
1/4
M2
1/4
. X2 
Caso (2) – X2 isolado no SP 
 
 
Equações de Compatibilidade 



−=
+=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
82.45
10.8
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
546361
3
1691
3
11
10 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
3366721
2
14361
6
14721
3
11
20 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ
EIEI 3
20611
3
12411
3
12111 +=



⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
01221 == δδ 
EIEI 3
22611411
3
11
22 +=



⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
Diagrama de Momentos Fletores 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
M
(kNm)
 
162 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
 
Exemplo 02 
Considere as duas estruturas mostradas abaixo. A da esquerda é um quadro isostático e a da direita é um 
quadro hiperestático. Os dois quadros sofrem a mesma solicitação: uma força horizontal de 50 kN aplicada 
no apoio da direita e um recalque desse mesmo apoio de 6 mm para baixo. Todas as barras têm um material 
com módulo de elasticidade E = 1,0 x 108 kN/m2 e seções transversais com momento de inércia I = 1,0 x 10-3 
m4. Considere válida a hipótese de pequenos deslocamentos. 
 
 
 
Pede-se: 
(a) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. 
(b) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Deve-se utilizar o Método das 
Forças, adotando OBRIGATORIAMENTE como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. 
Somente considere deformações por flexão. 
 (b.1) Dê a intepretação física do termo de carga δ10 do sistema de equações de compatibi- 
 dade do Método das Forças para esta solução. 
 (b.2) Mostre a dedução do termo de carga δ10 pelo Princípio das Forças Virtuais. 
(c) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com 
momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda sem fazer nenhum cálculo: 
 (c.1) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que? 
 (c.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que? 
 
 
 
Item (a) 
M 
(kNm)
ρ = 0.006m 
 
Como a estrutura é isostática, o “pequeno” 
recalque de apoio não provoca deformações 
(só movimento de corpo rígido). Portanto, o 
recalque não provoca momentos fletores, que 
só são devidos à carga de 50 kN aplicada. 
Item (b) 
Caso (0) – Solicitação eterna isolada no SP 
 Idêntico ao item (a). 
X1=1
1/3
M1
. X1 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3
 
 
Item (b.1) – Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 10δ é a rotação da seção do apoio da esquerda no caso (0) 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 163 
 
Item (b.2) – Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) 
Sistema Real 
(Estrutura da qual se quer calcular o desloca-
mento.) 
É o caso (0), que é idêntico ao item (a). 
Sistema Virtual 
(Estrutura com força unitária virtual na dire-
ção do deslocamento que se quer calcular.) 
É o caso (1) com 11 =X . 
PFV: UWE = 
→EW Trabalho das forças externas do sistema 
virtual com os correspondentes deslocamentos 
externos do sistema real. 
Neste caso, o trabalho externo virtual é igual 
ao produto de 11 =X por 10δ mais o produto 
da reação vertical no apoio direito do caso (1) – 
força de 1/3 para baixo – pelo recalque de a-
poio ρ : 
ρδ ⋅+⋅= )3/1(1 10EW . 
→U Energia de deformação interna virtual. 
Esta é a energia de deformação por flexão 
provocada pelos momentos fletores do sistema 
virtual 1MM = com as correspondentes rota-
ções relativas internas do sistema real 
dxEIMd )/( 0=θ . Deve ser observado que o 
recalque de apoio ρ não provoca deforma-
ções internas (só provoca movimento de corpo 
rígido). Portanto, θd é somente devido à car-
ga de 50 kN aplicada. Assim: 
dx
EI
MMdMdMU
estruturaestruturaestrutura
∫∫∫ ===
01
1 θθ 
 
Assim: 
ρδ ⋅−⋅= ∫ )3/1()/1(
.
0110 dxMMEI
estrut
 
006.0
3
121001
2
131001
2
11
10 ⋅





−



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=
EI
δ
radx 310 105.4
−
−=δ 
kNmradx
EI
/103211311
3
11 5
11
−+=



⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
kNmXX 1500 111110 =⇒=⋅+δδ 
Diagrama de Momentos Fletores 
M = M0 + M1·X1 
M
(kNm)
 
 
Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e rea-
ções, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equações 
de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. Portanto, o diagrama 
de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colu-
nas. 
Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez 
relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da vigas 
são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, se aproximando do caso de uma viga 
com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação 
do momento de inércia da seção transversal das colunas. 
 
 
 
Exemplo 03 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas 
as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 4,0 x 104 
kNm2. 
 
 
 
 
 
164 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
M1 x X1
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
x X2
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 






=






⋅





+−
−+
⋅+






−
−
⋅⇒
0
0
82
2101
114
1561
2
1
X
X
EIEI
 



+=
+=
⇒
kNm1,19
kNm4,19
2
1
X
X
 
EIEI
1566241
3
1691
3
26241
2
11
10 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ 
EIEI
1146361
3
16361
3
1691
3
16241
3
11
20 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
10611
3
1611611
3
11
11 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
2611
3
11
2112 −=



⋅⋅⋅−⋅== δδ 
EIEI
8611
3
14122 +=











⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
M2 
[kNm] 
M0 
Sistema Principal e
Hiperestáticos 
SP
X1 
X1 X2 X2
X1 = 1 
X1 = 1 
1/6 1/6 
X2 = 1 
X2 = 1 
1/6 
1/6 
1/6
1/6
1/6 
1/6 1/6
1/6
[kNm] 
M 
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 165 
 
 
Exemplo 04 
Considere os quatro pórticos mostrados abaixo. Os pórticos do lado esquerdo são isostáticos e os do lado 
direito são hiperestáticos. Os pórticos superiores têm como solicitação uma carga uniformemente distribuí-
da aplicada na viga. As duas estruturas inferiores têm como solicitaçãoum aumento uniforme de tempera-
tura (∆T = 12 °C) na viga. Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e 
coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inér-
cia I = 1,0 x 10–3 m4. 
 
 
Pede-se: 
(a) Indique os aspectos das configurações deformadas (amplificadas) das quatro estruturas. 
(b) Determine os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas e os aspectos (não precisa dos 
valores numéricos) dos diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas. 
(c) Determine o diagrama de momentos fletores (com valores numéricos) da estrutura hiperestática infe-
rior (solicitada pela variação de temperatura). Deve-se utilizar o Método das Forças, adotando obriga-
toriamente como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Somente considere deforma-
ções por flexão. Sabe-se que o alongamento relativo interno de um elemento infenitesimal de barra 
devido a uma variação uniforme de temperatura é du = α ∆T dx. Neste caso não existe rotação relativa 
interna do elemento infinitesimal. 
(d) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com 
momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda: 
 (d.1) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que? 
 (d.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que? 
 
 
 
Item (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
166 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
Item (b) 
M 
[kNm] 
 
 
M
[kNm]
 
M=0 
 
 
M
[kNm]
(veja solução abaixo)
 
 
Item (c) 
Caso (0) – Variação de temperatura no SP 
δ10 M0=0 
 
 
mLT 5510 107261210
−−
⋅+=⋅⋅=⋅∆⋅=αδ 
 
Equação de compatibilidade 
kNXX 10 111110 −=⇒=⋅+δδ 
 
Momentos fletores finais (veja acima) 
11110 )1(0 MMXMMM −=−⋅+=⋅+= 
 
X1 = 1
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
M1
. X1 
X1 = 1
δ11 
 ( )




⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 6333333
121
2
1
11 EI
dx
EI
Mδ 
kNm/1072 511
−
⋅+=δ 
 
 
Item (d.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e rea-
ções, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equações 
de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção 
transversal das colunas. 
No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fleto-
res indicado no item (a) (diagrama parabólico no viga). No caso da variação de temperatura, a estrutura i-
sostática terá sempre momentos fletores nulos. 
 
Item (d.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigi-
dez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da 
viga são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, se aproximando do caso de uma 
viga com extremidades engastadas. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção 
transversal das colunas. 
No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá como o mesmo aspecto do diagrama de 
momentos fletores indicado no item (a), mas os valores ficam alterados em relação ao diagrama com viga e 
colunas com mesma seção transversal. 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 167 
 
A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças, para a solicitação de variação uniforme de 
temperatura na viga, demonstra que a os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relati-
vos entre momentos de inércia das seções transversais barras: 
O caso (0) mostrado no item (c) permanece inalterado, 
isto é: 
mLT 5510 107261210
−−
⋅+=⋅⋅=⋅∆⋅=αδ . 
O diagrama de momentos fletores M1 do item (c) é o 
mesmo, mas o valor do coeficiente de flexibilidade fica 
alterado: 
[ ] 



⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 333
3
121633111
colunaviga EIEI
δ 
kNm/10631091054 55511
−−−
⋅=⋅+⋅=δ 
Equação de compatibilidade 
kNXX 7
80 111110 −=⇒=⋅+δδ 
Momentos fletores finais ( )781110 −⋅=⋅+= MXMMM 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
[kNm]
8/7 8/7 
24/7
24/7 24/7 
24/7 
 
 
 
 
Exemplo 05 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas 
as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 105 
kNm2. 
 
 
 
 
 
 Sistema Principal e Hiperestáticos 
(g = 2) 
X1 
X1 X2 X2
 
 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0
 
168 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
X1 = 1 
X1 = 1 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
M1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
. X1
 
X2 = 1
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
M2
1/6 
. X2
1/6 
1/6 1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
X2 = 1 
 
Equações de Compatibilidade 



+=
−=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
7.170
3.61
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
129662881
3
162881
2
16721
3
11
10 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=δ
EIEI
1440
31445.0
3
131445.0
3
1
34325.0
3
134325.0
3
1
62881
3
162881
3
16721
3
1
1
20 −=


















⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅=δ
EIEI
10611
3
1611611
3
11
11 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
4611
3
1611
2
1611
6
11
2112 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅== δδ 
EIEI
735.05.0
3
14611
3
13122 +=



⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
Momentos Fletores Finais 
M
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
[kNm]
 
 
 
 
 
 
Exemplo 06 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas 
as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 4,0 x 104 
kNm2. 
 
 
 
 
 
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 169 
X1 
X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=2) 
X2 
Momentos Fletores Finais 
M
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
[kNm]
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0
 
X1=1
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3
1/31/3 
X1=1
X2=1 
M2
. X2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
1/3
X2=1
1/3 1/3 1/3 
1/3 1/3
1/3
1/3 
1/3 
1/3 
 
 
Equações de Compatibilidade 



−=
−=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
1.52
5.20
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
3783361
2
13361
2
131801
2
11
10 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
405
391
3
13361
3
1
3361
3
13361
2
131801
2
1
1
20 +=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅=δ 
 
 
 
EIEI
7311
3
1311311111 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
EIEI 2
9311
2
131112112 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== δδ 
EIEI
6311
3
13311122 +=



⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
 
170 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
Exemplo 07 
Para a viga contínua com dois vãos mostrada abaixo pede-se o diagrama de momentos fletores utilizando o 
Método das Forças. As seguintes solicitações atuam naestrutura concomitantemente: 
· Uma carga concentrada de 40 kN no centro de cada vão. 
· Aquecimento das fibras superiores da viga de ∆Ts = 50 °C ao longo de toda a sua extensão (as fibras 
inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, ∆Ti = 0 °C). 
· Recalque vertical (para baixo) de 3 cm do apoio direito. 
 
 
Sabe-se: 
(a) A viga tem um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica 
α = 10–5 /°C. 
(b) A viga tem seção transversal com área A = 1,0 x 10–2 m2 e momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4. A altu-
ra da seção transversal é h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura. 
(c) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infi-
nitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx, 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. 
(d) O rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de 
barra é 
( ) dx
h
TTd siT ∆∆αθ −= . 
 
 
X1 
Sistema Principal e Hiperestático 
 (g=1) X1 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0 
[kNm] 
Como o Sistema Principal é isostático, a variação de tempe-
ratura e o recalque de apoio só provocam deslocamentos 
(não provocam esforços internos). Portanto, os momentos 
fletores só são devidos às cargas de 40 kN aplicadas. 
 
X1=1
M1
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
X1=1 
1/6 1/6
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
10δ é a rotação relativa entre as seções 
adjacentes à rótula introduzida na cria-
ção do Sistema Principal no caso (0). 
11δ é a rotação relativa entre as seções 
adjacentes à rótula introduzida na cria-
ção do Sistema Principal devido a 
11 =X no caso (1). 
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 171 
 
Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) 
Sistema Real 
(Estrutura da qual se quer calcular a rotação relativa.) 
É o caso (0). 
Sistema Virtual 
(Estrutura com momentos unitários virtuais na di-
reção da rotação relativa que se quer calcular.) 
É o caso (1) com 11 =X . 
PFV: UWE = 
→EW Trabalho das forças externas do sistema virtual 
com os correspondentes deslocamentos externos do 
sistema real. 
Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produ-
to de 11 =X por 10δ mais o produto da reação vertical 
no apoio direito do caso (1) – força de 1/6 para baixo – 
pelo recalque de apoio: 
)03.0()6/1(1 10 −⋅−+⋅= δEW . 
 
⇒=UWE 
∫∫ ⋅−
∆−∆⋅
+= 03.0
6
1)(
1
01
10 dxMh
TTdx
EI
MM siαδ 
EI
EI
18003.0
6
10.16
2
12
60.0
)50(
3600.1
6
13605.0
3
13605.0
3
12110
−=⋅−











⋅⋅−⋅⋅
−⋅
+












⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅=
α
δ
EIEI
460.10.1
3
12111 +=











⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
kNmXX 450 111110 =⇒=⋅+δδ 
 
 Momentos Fletores Finais 
M M = M0 + M1·X1 
[kNm] 
 
→U Energia de deformação interna virtual. 
(Despreza-se a energia de deformação por cisalha-
mento e, como o esforço normal no caso (1) é nulo, a 
energia de deformação axial é nula.) 
Portanto, a energia de deformação é somente devi-
da à flexão, isto é, é a energia (virtual) provocada 
pelos momentos fletores do sistema virtual 1MM = 
com as correspondentes rotações relativas internas 
do sistema real θd . 
A rotação relativa interna real no caso (0) é devida 
às cargas de 40 kN aplicadas e devida à variação de 
temperatura: 
TP ddd θθθ += 
Sendo, 
dxEIMd P )/( 0=θ e 
 dxhTTd si
T ]/)([ ∆−∆⋅= αθ 
Deve ser observado que o recalque de apoio não 
provoca rotação relativa interna (só provoca movi-
mento de corpo rígido). 
Assim: 
∫∫∫∫ +===
estrutura
T
estrutura
P
estruturaestrutura
dMdMdMdMU θθθθ 111
∫∫
∆−∆⋅⋅
+
⋅
= dx
h
TTMdx
EI
MMU si )(101 α 
 
 
 
 
Exemplo 08 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 
4.0x104 kNm2. Somente considere deformações por 
flexão. 
 
 
 
 
172 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
Sistema Principal e 
Hiperestáticos 
 
X2 
X2X1 X1 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
 
 
 
[kNm] 
M0 
 
 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
M1 x X1
X1 = 1 
X1 = 1 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
2 
 
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
 
M2
x X2
X2 = 1
X2 = 1
1/6
1 1/3 
1/6 
1/3 
1/6
1/3
1/3
1/6
1/3
1/3
1/6 
1/6
 
 
Sistema de Equações de Compatibilidade 



+=
−=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
3.24
6.48
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
936391
3
1391
3
13721
3
13722
2
132162
2
11
10 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
486391
3
1391
3
13721
3
13721
2
132161
2
11
20 −=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ 
EIEI
16311
3
14322111 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
EIEI 2
13311
6
1311
3
131212112 −=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅== δδ 
EIEI
7611
3
1311
3
12311122 +=





⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
Momentos fletores finais 
22110 XMXMMM ++=
[kNm] 
M 
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 173 
 
Exemplo 09 
Considere a estrutura hiperestática abaixo, onde também está indicado o seu diagrama de momentos fleto-
res. Todas as barras têm a mesma inércia a flexão EI e pode-se considerar que não existem deformações axi-
ais e de cisalhamento nas barras. 
 
 
M [kNm] 
 
 
Pede-se: 
Item (a) 
 Determine um possível sistema principal (Método das Forças) para o quadro acima. As incógnitas 
(hiperestáticos) também devem ser indicadas. Mostre a decomposição do sistema principal em qua-
dros isostáticos simples (tri-articulados, bi-apoiados ou engastados e em balanço). 
Item (b) 
 Considerando o sistema principal encontrado no item anterior, indique os casos básicos – caso (0), ca-
so (1), caso (2), etc. – utilizados para análise da estrutura pelo Método das Forças. Determine os dia-
gramas de momentos fletores para todos os casos básicos. 
Item (c) 
 Escreva literalmente (somente símbolos, sem números) o sistema de equações finais da solução desta 
estrutura pelo Método das Forças. Escolha uma destas equações e indique as expressões numéricas 
envolvidas nos cálculos de cada um dos coeficientes da equação escolhida. Não é preciso completar as 
contas para calcular os coeficientes. Indique que tipo de condição que esta equação está impondo. In-
dique as interpretações físicas e unidades de todos os coeficientes que aparecem na equação escolhida. 
Item (d) 
 Com base no diagrama de momentos fletores fornecido para a estrutura hiperestática e no sistema 
principal escolhido, determine os valores das incógnitas (hiperestáticos) que resultariam da solução da 
estrutura pelo Método das Forças. Demonstre que a superposição dos casos básicos, considerando os 
valores dos hiperestáticos encontrados, resulta no diagrama de momentos fletores fornecido. 
 
 
Item (a) 
X1 
X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=3) 
X2 
X3 
 
X1
X1 
X2
X2 
X3
 
174 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
Item (b) 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0 
 
X1=1 
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3
X1=1 
1/3 
1/3
1/3
1/6
1/6
1/61/6 
1/6 1/6
 
X2=1 
M2 
. X2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
X2=1 
1/3 
1/3 
1/3 1/3 
1/3 
1/3 
 
X3=1
M3
. X3 
Caso (3) – X3 isolado no SP 
1/3 1/3
 
 
Item (c) 
Equações de Compatibilidade 










=




















+










0
0
0
3
2
1
333231
232221
131211
30
20
10
X
X
X
δδδ
δδδ
δδδ
δ
δ
δ
 
 
Considere a primeira equação deste sistema: 
Esta equação impõe uma condição de compatibilidade interna: a rotação relativa entre as 
seções adjacentes à rótula associada a X1 é nula, isto é, no ponto onde foi introduzida a 
rótula a rotação da elástica é contínua. 
 
Termo de carga δ10 [rad] → rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a 
X1 devida à solicitação externa no caso (0): 




⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅= 3725.0
3
131325.0
3
13725.0
3
131925.0
3
13601
3
16361
3
11
10 EI
δ 
 
Coeficiente de flexibilidade δ11 [rad/kNm] → rotação relativa entre as seções adjacentes à 
rótula associada a X1 devida a X1 = 1: 












⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 35.05.0
3
14311
3
12611
3
11
11 EI
δ 
 
Coeficiente de flexibilidade δ12 [rad/kNm] → rotação relativa entre as seções adjacentes à 
rótula associada a X1 devida a X2 = 1: 
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 175 




⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅= 315.0
3
1315.0
3
1315.0
2
1311
6
1311
3
11
12 EI
δ 
 
Coeficiente de flexibilidade δ13 [rad/kNm] → rotação relativa entre as seções adjacentes à 
rótula associada a X1 devida a X3 = 1: 




⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= 315.0
2
1315.0
3
11
13 EI
δ 
 
 
Item (d) 
Os valores dos hiperestáticos podem ser ob-
tidos do diagrama de momentos fletores fi-
nais da estrutura que foi fornecido: 
 
M [kNm] 
X1 = +35.1 kNm 
X2 = +28.2 kNm
X3 = +89.1 kNm 
Demonstração de que a superposição dos casos 
básicos resulta nos momentos finais: 
 
M0 + M1·X1 + M2·X2 + M3·X3 = M 
 
Considere o momento fletor assinalado no dia-
grama. Observa-se que este valor pode ser ob-
tido pela superposição dos momentos fletores 
dos casos básicos nesta seção: 
 
+132 + 0.5·35.1 + (-1.0)·28.2 + (-1.0)·89.1 = +32.3 
 
O mesmo pode ser verificado para outras se-
ções. 
 
 
 
 
Exemplo 10 
Considere os dois pórticos mostrados abaixo. As duas estruturas têm como solicitação o carregamento uni-
formemente distribuído indicado e um aumento de temperatura ∆Ti = 16 °C nas fibras inferiores da viga. As 
fibras superiores da viga não sofrem variação de temperatura (∆Ts = 0 °C). Todas as barras têm um material 
com módulo de elasticidade E = 1,0 x 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. Todas a bar-
ras têm seções transversais com momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4, altura h = 0.60 m e centro de gravidade 
no meio de altura. Somente considere os efeitos axiais para a variação de temperatura. 
 
 
 
176 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
Pede-se: 
Item (a): Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. 
Item (b): Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. 
Item (c): Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com 
momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda: 
 (c.1) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que? 
 (c.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que? 
 
 
Item (a) 
M [kNm] 
 
 
Item (b) 
X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M0 
δ10 
 
 
X1=1 
M1
. X1 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1 X1=11 
δ11 
N1= +1 
N1= 0 
N1= 0 
 
 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
Sendo Tq 101010 δδδ += : 
→q10δ deslocamento horizontal da seção do 
apoio da direita devido à carga distribuída no 
caso (0). 
→T10δ deslocamento horizontal da seção do 
apoio da direita devido à variação de 
temperatura no caso (0). 
m
EI
dx
EI
MMq 501
10 1086467233
21
−
⋅+=



⋅⋅⋅== ∫δ 
∫∫ +=
viga
T
viga
TT duNdM 1110 θδ 
( ) dxdx
h
TTd siT
3
80⋅
=
∆−∆⋅
=
ααθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅=⋅∆⋅= 8αα 
∫∫ ⋅+
⋅
=
vigaviga
T dxNdxM 1110 83
80
α
αδ 
mT 510 10528168363
80
−
⋅+=⋅⋅⋅+⋅⋅
⋅
= α
αδ 
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 177 
 
( )




⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 6333333
121
2
1
11 EI
dx
EI
Mδ 
kNm/1072 511
−
⋅+=δ 
 
 
 
( )
kNX
X
X
3
58
0107210528864
0
1
1
55
11110
−=⇒
=⋅⋅+⋅+
→=⋅+
−−
δδ
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
M [kNm] 
 
 
Item (c) 
Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e rea-
ções, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equações 
de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção 
transversal das colunas. 
No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fleto-
res indicado no item (a) (diagrama parabólico na viga). Momentos fletores devidos à variação de temperatu-
ra isolada na estrutura isostática são sempre nulos. 
 
Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez 
relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da viga 
são menores do que no caso com todas as barras com mesma rigidez à flexão EI, se aproximando do caso de 
uma viga com extremidades engastadas. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção 
transversal das colunas. 
A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças mostrada no item (b) demonstra que os valores 
dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções transver-
sais das barras. 
 
 
 
 
 
Exemplo 11 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas 
as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 105 
kNm2. 
 
 
 
 
 
 
178 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
 
 Sistema Principal e Hiperestáticos 
(g = 2) 
X1 X1 X2 X2 
 
 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0 
 
 
 
 
X1 = 1
X1 = 1 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
M1 . X1 
1/3 1/3 
1/3 
1/3 
 
X2 = 1
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
M2 . X2 
X2 = 1
1/61/6
1/6
1/6
1/61/6
1/3
1/3
1/3 1/3
 
 
 
Equações de Compatibilidade 



−=
+=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
8.43
6.14
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
2703181
3
16721
2
13721
3
11
10 −=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ 
EIEI
270
3181
3
16721
3
13721
3
1
31805.0
3
131805.0
3
1
3365.0
3
13365.0
3
1
1
20 +=


















⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅=δ 
EIEI
8311
3
16113113
11
11 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI 2
7311
6
1611
2
1311
3
11
2112 −=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅== δδ 
EIEI
5611
3
1311
3
1235.05.0
3
14122 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
 Momentos Fletores Finais 
M
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
[kNm]
 
 
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 179 
 
Exemplo 12 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas 
as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 2,4 x 104 
kNm2. 
 
 
 
 
 
X1 
X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=2) 
X2 
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M0
 
 
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/6 
1/6 
1/6 
1/4 
1/4 
1/6 
X1=1 
X1=1 
M2 
. X2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
X2=1 
X2=1
1/4 
1/4 
1/4
1/4
1/4
1/4
 
Equações de Compatibilidade 



+=
−=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
6,60
0,13
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
280
6451
3
141201
3
1
61201
2
16301
2
16301
3
1
1
10 −=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅=δ 
EIEI
43041201
3
161201
2
16301
2
11
20 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ
EIEI 3
38
411
3
12
611611
3
12
1
11 +=


















⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅
⋅=δ 
EIEI 3
22411
3
161112112 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== δδ 
EIEI 3
26411
3
12611122 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
 
 Momentos Fletores Finais 
M 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
[kNm] 
 
180 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
 
Exemplo 13 – Provão de Engenharia Civil, 2002 
Em uma construção a meia encosta, a laje de piso foi apoiada em estruturas metálicas compostas de perfis I, 
colocados de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante. Ao inspecionar a obra para 
recebimento, você verificou a existência de um recalque vertical de 1 cm no engaste A de uma das estruturas 
metálicas, cujo modelo estrutural é apresentado na figura abaixo (na esquerda). A fim de avaliar os esforços 
adicionais nessa estrutura, ocasionados pelo recalque, você utilizou o Método das Forças e, para tanto, esco-
lheu o Sistema Principal (no qual foi colocada uma rótula no nó B) e o hiperestático X1 (carga momento em 
ambos os lados da rótula inserida em B), mostrados na figura (no centro). A seção transversal do perfil e a 
orientação dos eixos x e y estão representadas na figura (na direita). 
 
 
A 
B C
laje 
encosta 
 
 
X1 
X1
 
 
 
x 
y Módulo de elasticidade 
do material: 
 E = 2,0 x 108 kN/m2 
Momentos de inércia da 
seção transversal: 
 Jx = 5,1 x 10-5 m4 
 Jy = 8,4 x 10-6 m4 
 
Com base no exposto, pede-se o diagrama de momentos fletores, causado apenas pelo recalque em A. 
Despreze deformações axiais das barras. 
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0 = 0 
01,0=ρ m 
ρ
4/10 ρδ =
3
10 105,2
−
⋅+=δ rad
 
 
M1 . X1 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/4
=AV 1/4
1
X1=1
X1=1
 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
10δ é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada 
pelo recalque de apoio no caso (0). 
11δ é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada 
por 11 =X no caso (1). 
EIEI 3
10411
3
1211111 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
O enunciado diz que os perfis metálicos foram colocados de modo a oferecer a maior resis-
tência ao momento fletor atuante. Portanto, o momento de inércia da seção transversal a ser 
adotado é o maior momento de inércia da barra: I = Jx = 5,1 x 10-5 m4. 
 
65,7
101,51023
10105,20 1158
3
11110 −=⇒
⋅⋅⋅⋅
+⋅→=⋅+
−
− XXXδδ kNm. 
 
 
Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) 
Sistema Real 
(Estrutura da qual se quer calcular a rotação 
relativa.) 
 
É o caso (0). 
Sistema Virtual 
(Estrutura com momentos unitários virtuais 
na direção da rotação relativa que se quer cal-
cular.) 
É o caso (1) com 11 =X . 
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 181 
 
PFV: UWE = 
→EW Trabalho das forças externas do sistema 
virtual com os correspondentes deslocamentos 
externos do sistema real. 
Neste caso, o trabalho externo virtual é igual 
ao produto de 11 =X por 10δ mais o produto 
da reação vertical no apoio esquerdo do caso 
(1) – força de 1/4 para cima – pelo recalque de 
apoio: 
ρδ ⋅+⋅= AE VW 101 
)01,0()4/1(1 10 −⋅++⋅= δEW 
→U Energia de deformação interna virtual. 
O recalque de apoio não provoca deformações 
internas (só provoca movimentos de corpo 
rígido das barras). Portanto: 
0=U 
 
 
 
⇒=UWE 0)01,0()4/1(10 =−⋅++δ 
3
10 105,24/01,0
−
⋅+==∴δ rad 
 
 Momentos Fletores Finais 
M 
M = M0 + M1·X1 
[kNm] M0 = 0 X1 = –7,65 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 14 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas 
as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 104 
kNm2. 
 
 
 
 
 
 
X1 
X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=2) 
X2 
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M0
 
 
182 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
1/6 
X1=1 
X1=1 1/3 1/3 1/3 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 1/6 
 
. X2 
Caso (2) – X2 isolado no SP 
M2
1/3 
X2=1 
X2=1
1/3 1/3 
1/3 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
 
 
Equações de Compatibilidade 



−=
+=
⇒






=












+






kNm5,21
kNm8,6
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
X
X
X
X
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
147
361
3
1361
2
1
6601
3
13181
3
13601
3
1
1
10 −=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI
156361
3
16601
3
13181
3
13601
3
11
20 +=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ
EIEI
9
311311
3
12
611
3
12
1
11 +=












⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅
+





⋅⋅⋅⋅
⋅=δ 
EIEI
4611
3
1311
3
1212112 −=





⋅⋅⋅−





⋅⋅⋅−⋅⋅== δδ
EIEI
6311
3
12611
3
12122 +=











⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
 
 Momentos Fletores Finais 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
M 
[kNm] 
 
 
 
 
 
Exemplo 15 
Utilizando o Método das Forças, determine o dia-
grama de esforços normais para a treliça hiperestáti-
ca ao lado submetida ao carregamento indicado e a 
um aumento uniforme de temperatura de 50 °C em 
todas as barras. Todas as barras têm o mesmo valor 
para a inércia axial EA = 1,0 x 105 kN e para o coefi-
ciente de dilatação térmica α = 1,0 x 10-5 /°C. Sabe-
se que o deslocamento axial relativo interno para 
uma variação uniforme de temperatura T é igual a: 
duT = αTdx. 
 
 
 
 
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 183 
 
 
 
X1
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=1) 
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada
N0
(N0 só é devido à carga de 
50 kN pois a variação de 
temperatura não provoca 
esforços no SP isostático ) 
+25
225-
+25
225-0 
no SPN1
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
X1=1
1 
+1 +1 
0 0 
0 
 
Equação de Compatibilidade 
011110 =+ Xδδ 
Termo de carga: TP 101010 δδδ += 
→P10δ deslocamento horizontal no 
apoio da direita devido à carga P = 
50 kN no caso (0). 
→P10δ deslocamento horizontal no 
apoio da direita devido à variação 
uniforme de temperatura T = 50 °C 
no caso (0). 
( )[ ]
EAEA
dx
EA
NN
estrutura
P 2004251210110 +=⋅⋅⋅⋅== ∫δ 
( )[ ] ααααδ 4004125050 11110 +=⋅⋅⋅=⋅=== ∫∫ ∫ dxNTdxNduN
estrutura
TT 
( )[ ]
EAEA
dx
EA
N
estrutura
841121
2
1
11 +=⋅⋅⋅⋅== ∫δ 
kN75
010810)400200(
/101kN101
1
1
55
55
−=∴
=⋅+⋅+⇒
⋅=⋅=
−−
−
X
X
CEA �α
 
 Esforços Normais Finais 
N = N0 + N1·X1 
N 
[kN] 
–50 
225- 
–50 
225- 
0 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 16 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas 
as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 9,6 x 104 
kNm2. 
 
 
 
 
 
 
184 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
 
 
X1 
X1
X2 
X2 
Sistema Principal e 
Hiperestáticos (g=2) 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M1
x. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/6 
X1=1 
1/3 
1/6 
X1=1 
1/3 
1/3 
1/3 1/3 
1/3 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1 
M2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
X2=1
X2=1
1/3 
1/6 
1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/3 1/3 
1/3 1/3 
1/3 
Equações de compatibilidade: 



−=
+=
⇒






=












+






kNm7,29
kNm6,60
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
X
X
X
X
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
528
31801
2
13601
2
1
3601
3
16541
3
1
1
10 −=












⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI
42031801
2
13601
2
13601
3
11
20 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
7311311
3
1311
3
1611
3
11
11 +=



⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI 2
7311311
3
1311
6
11
2112 −=



⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅== δδ 
EIEI
7311311
3
1611
3
1311
3
11
22 +=



⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ 
Momentos fletores finais: 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
M 
[kNm] 
x. X2
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 185 
 
 
Exemplo 17 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à 
torção e a rigidez à flexão é GJt = 6EI, para todas as 
barras. 
 
 
 
 
 
Sistema Principal (SP) e Hiperestático 
X1
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
120
M0
[kNm]
240
0
T0
[kNm]
+120
0
 
 
 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
M1
–3
T1
0 x X1
3 6
3
3
–6
X1 = 1 X1 = 1
 
 
 
Equação de Compatibilidade 
011110 =+ Xδδ 
[ ]
tGJEI
1120)6(6124036
3
124036
6
112066
3
1
10 ⋅⋅−⋅+⋅



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=δ 
EIEIEI
2880
6
43202160
10 −=−−=δ 
[ ]
tGJEI
1)6()6(6)3()3(61666
3
1333
3
1333
3
1333
3
1
11 ⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
EIEIEI
144
6
27099
11 +=+=δ 
⇒ X1 = 20 kN 
 
186 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 
110 XMMM += 110 XTTT += 
60
M
[kNm]
180
–60
T
[kNm]
0
60
0
0
 
 
 
 
 
Exemplo 18 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à 
torção e a rigidez à flexão é GJt = 3EI, para todas as 
barras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema Principal (SP) e Hiperestático 
 
 
X1 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
24 kN
12 kN 12 kN
M0
[kNm] 
T0 
[kNm] 
 
 
 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
 
M1 T1 x X1 
X1 = 1 X1 = 1 
3 
–3
–3
0 
0 3 3 
3 
2 1 
 
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 187 
 
Equação de Compatibilidade 
011110 =+ Xδδ 
 
[ ]
EIEIEIGJEI t
351
3
3242431)36()3(313633
3
1933
3
13633
3
1
10 +=+=⋅−⋅−⋅+⋅





⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=δ 
 
[ ]
EIEIEIGJEI t
54
3
54361)3()3(3)3()3(31333
3
1333
3
1333
3
1333
3
1
11 +=+=⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅





⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
 
⇒ X1 = –6.5 kN 
 
 
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 
 
110 XMMM += 
 
24 kN 
5.5 kN 1 kN 
M 
[kNm] 
6.5 kN 
110 XTTT += 
T 
[kNm] 
 
 
 
 
 
Exemplo 19 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à 
torção e a rigidez à flexão é GJt = 3EI, para todas as 
barras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestático 
 
 
X1 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 M0 [kNm] 
T0 [kNm] 
 
 
188 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
 
M1 T1 x X1 
X1 = 1 X1 = 1 
3 
–3 
–3 
0 
0 3 3 
3 
6 
 
Equação de Compatibilidade: 011110 =+ Xδδ ⇒ X1 = +10.25 kN 
[ ]
EIGJEI t
11071336)3(1393
3
13363
3
13723
6
13363
3
131083
6
13366
6
131086
3
1
10 −=⋅⋅⋅−+⋅





⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ
( )[ ]
EIEIEIGJEI t
108
3
549013)3()3(21333
3
13333
3
1363
6
1336
6
1366
3
1
11 +=+=⋅⋅−⋅−⋅+⋅











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
 
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 
110 XMMM += 
 M [kNm] 
30.75
5.25 9 
30.75 
72 
46.5 
5.25 
 
110 XTTT += 
 T 
[kNm] 
–30.75 
–72 
0 +5.25 
 
 
 
 
 
Exemplo 20 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à 
torção e a rigidez à flexão é GJt = 3EI, para todas as 
barras. 
 
 
 
 
 
 
Sistema Principal (SP) e Hiperestático 
 
 
X1 
 
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 189 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 M0 [kNm] T0 [kNm] 
20 
20 20
20 
120 
120 
0 0 
0 
20
20 20
20 
+120
0 
0 
0 
0 
 
 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
1/2 
0 0 
0 0 
M1 T1
x X1X1 = 1 X1 = 13 +3 
1/2 3 
3 3 
+3
1/2
1/2 
 
Equação de Compatibilidade: 
[ ]
EIGJEI t
36010161203
6
1
10 −=⋅+⋅





⋅⋅⋅−=δ
[ ]
EIEIEIGJEI t
81
3
815416)3()3(3)3()3(1633
3
12333
3
1211 +=+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅++⋅











⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅=δ 
011110 =+ Xδδ ⇒ X1 = +4.4 kN 
 
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 
 
M [kNm] T [kNm] 
120 
120 
+120
0 
0 
110 XMMM += 110 XTTT +=
13.3 13.3 
13.3
13.3 
+13.3
+13.3 
 
 
 
 
Exemplo 21 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à 
torção e a rigidez à flexão é GJt = 6EI, para todas as 
barras. 
 
 
 
 
190 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestático (g = 1) 
 
X1 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
M0 [kNm] T0 [kNm] 
20 
20 
20 
20 
180
60 
60 
60 
60 
+180 
0 
180
+60 
+60 
 
 
Caso (1) – HiperestáticoX1 isolado no SP 
0 
M1 T1
x X1 X1 = 1 –6 
–3 
3 
3 
6 
0 
3 
X1 = 10 
 
 
Equação de Compatibilidade: 
[ ]
EIEIEIGJEIGJ
EI
tt
3960
6
756027007560270016)180)(6(6)60()3(
161803
3
161803
6
16603
6
16603
3
161806
3
16606
6
13603
3
1
10
−=−−=−−=⋅⋅−+⋅⋅−+
⋅



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=δ
[ ]
EIEIEIGJEIGJEI tt
144
6
270992709916)6()6(6)3()3(1666
3
1333
3
1311 +=+=+=⋅⋅−⋅−+⋅−⋅−+⋅





⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅=δ 
011110 =+ Xδδ ⇒ X1 = +27.5 kN 
 
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 
 
M [kNm] T [kNm]
15
60 
60 
22.5 
+15 
0 
97.5
+60 
–22.5
110 XMMM += 110 XTTT +=
22.5 
 
 
 
 
Exemplo 22 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à 
torção e a rigidez à flexão é GJt = 6EI, para todas as 
barras. 
 
 
 
 
 Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 191 
 
 
Equação de compatibilidade: 
011110 =+ Xδδ 
EI
13363
3
13183
3
13363
3
13363
3
1
10 ⋅



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+=δ
 [ ]
EIGJEIGJ tt
162016213)36)(3(3)36()3( +=++=⋅⋅+++⋅+⋅−+
[ ]
tGJEI
13)3()3(3)3()3(1333
3
1411 ⋅⋅+⋅++⋅−⋅−+⋅











⋅⋅⋅+⋅=δ
EIEIEIGJEI t
45
6
54365436
11 +=++=++=δ 
045162 1 =⋅+⇒ XEIEI
 kN6,31 −=∴X 
Momentos Fletores Finais: 
110 XMMM ⋅+= 
[kNm] 
M 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperstático X1 isolado no SP 
[kNm]
M0
x X1
X1 = 1 
SP
Sistema Principal e 
Hiperestático (g = 1) 
X1 [kNm]
T0
M1 
T1 
0 
–3 
12 
12 
24 
18 
36 
36 
36 
36 
0 
0 
0 
+36 
+36 
1 
2 
3 3 
3 
+3 
0 
0 0 
0 
Momentos Torsores Finais: 
110 XTTT ⋅+= 
[kNm]
T18 
46,8 
36 
10,8 
25,2 25,2 
0 0 
0 
+25,2 
+46,8
EIGJt 6= 
 
 
 
 
 
Exemplo 23 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à fle-
xão EI. 
 
 
EIGJt ⋅= 2
3
 
 
 
 
 
192 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
 
 
Equação de compatibilidade: 
011110 =+ Xδδ 
[ ]
tGJEI
13)72(616726
3
13186
3
13726
3
1
10 ⋅⋅−⋅+⋅



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ
EIGJEIGJEI tt
2268
3
12962140412961404
10 −=
⋅
⋅
−−=−−=δ 
[ ]
tGJEI
16663661666
3
12366
3
1211 ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅











⋅⋅⋅+⋅+





⋅⋅⋅+⋅=δ
EIEIEIGJEI t
432
3
3242216324216
11 +=
⋅
⋅
++=++=δ 
04322268 1 =⋅+−⇒ XEIEI
 kN25,51 +=∴X 
Momentos Fletores Finais: 
110 XMMM ⋅+= 
[kNm] 
M 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperstático X1 isolado no SP 
[kNm]
M0
x X1
X1 = 1 
SP 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g = 1) X1
[kNm]
T0
M1 
T1 
0 
+6 
48 
12 
18 
72 
72 
0 0 
0 
–72
1 
2 
6 
6 
6 
+6 
0 0 
Momentos Torsores Finais: 
110 XTTT ⋅+= 
[kNm]
T
18 
40,5 
40,5 
31,5 
31,5
0 
0 
+31,5
–40,5 
EIGJt ⋅= 2
3
 
12 
6 
0