Lista 8 - Sequências e séries (RESOLVIDA)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
PROFESSORES: JOANA DARC E TATIANA
AULA 8 - TUTORIA DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I
Questa˜o 1. Considere a se´rie nume´rica infinita
+∞∑
n=1
an cuja sequeˆncia de somas parciais e´ dada
por
(sn)n∈N =
(
2n
3n + 5
)
n∈N
.
(a) Determine an.
(b) Verifique se a se´rie e´ convergente ou divergente.
(c) Caso a se´rie seja convergente determine a sua soma.
Resoluc¸a˜o:
(a) Observe que an pode ser determinado pela relac¸a˜o
sn = a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an = sn−1 + an, ∀n ∈ N.
Sendo assim
an =
2n
3n + 5
− 2(n− 1)
3(n− 1) + 5 =
10
(3n + 5)(3n + 2)
, ∀n ∈ N.
(b) Por definic¸a˜o a se´rie e´ convergente se lim
n→+∞
sn existe.
Como
lim
n→+∞
sn = lim
x→+∞
2n
3n + 5
=
2
3
,
segue que a se´rie e´ convergente.
(c) A soma da se´rie, quando ela e´ convergente, e´ por definic¸a˜o lim
n→+∞
sn. Portanto
+∞∑
n=1
an = 2/3.
Questa˜o 2. Discuta a convergeˆncia das se´ries dadas.
(a)
∞∑
n=1
sen
(
1
n
)
+ 3
2n
·
(b)
+∞∑
n=1
ln n
n2 + 2
·
(c)
+∞∑
n=1
1√
3n2 + 5n
·
(d)
+∞∑
n=1
1
3n − cos n ·
(e)
+∞∑
n=1
1.3.5. ... .(2n− 1)
1.4.7. ... .(3n− 2) ·
Resoluc¸a˜o:
(a) Primeiro devemos estudar a convergeˆncia das se´ries
∞∑
n=1
sen (1/n)
2n
e
∞∑
n=1
3
2n
. Observemos
que
∞∑
n=1
1
2n
=
∞∑
n=1
(
1
2
)n
e, como 1
2
< 1, a se´rie geome´trica
∞∑
n=1
(
1
2
)n
e´ convergente. Logo
∞∑
n=1
3
2n
=
∞∑
n=1
3
1
2n
tambe´m e´ convergente.
Para estudarmos o comportamento da se´rie
∞∑
n=1
sen (1/n)
2n
vamos usar dois crite´rios. Consi-
deremos a se´rie
∞∑
n=1
∣∣∣∣sen (1/n)2n
∣∣∣∣ = ∞∑
n=1
|sen (1/n)|
2n
. Como
0 ≤ |sen (1/n)|
2n
≤ 1
2n
, para todo n ∈ N,
e a se´rie geome´trica
∞∑
n=1
(
1
2
)n
e´ convergente, segue do teste da comparac¸a˜o que a se´rie
∞∑
n=1
∣∣∣∣sen (1/n)2n
∣∣∣∣ e´ convergente, ou seja, a se´rie ∞∑
n=1
sen (1/n)
2n
e´ absolutamente convergente.
Usamos o Teorema que garante que toda serie absolutamente convergente e´ convergente para
garantirmos que a se´rie
∞∑
n=1
sen (1/n)
2n
e´ convergente.
Como a soma de se´ries convergentes e´ tambe´m uma se´rie convergente conclu´ımos que a se´rie
∞∑
n=1
sen (1/n) + 3
2n
=
∞∑
n=1
(
sen (1/n)
2n
+
3
2n
)
e´ convergente.
(b) Como 0 ≤ ln n
n2 + 2
≤ ln n
n2
, ∀n ∈ N, podemos comparar a se´rie dada com a se´rie
+∞∑
n=1
ln n
n2
.
Observemos agora que∫ +∞
1
lnx
x2
dx = lim
N→+∞
[∫ N
1
lnx
x2
dx
]
= lim
N→+∞
(
− lnx
x
− 1
x
) ∣∣∣N
1
= lim
N→+∞
(
− lnN
N
− 1
N
+ 1
)
= 1.
Segue do Teste da Integral que a se´rie
+∞∑
n=1
ln n
n2
e´ convergente. Logo pelo Teste da Comparac¸a˜o
a se´rie
+∞∑
n=1
ln n
n2 + 2
tambe´m e´ convergente.
(c) Completando-se o quadrado temos que
√
3n2 + 5n =
√(√
3n +
5
2
√
3
)2
− 25
12
.
Portanto
√
3n2 + 5n ≤
√(√
3n +
5
2
√
3
)2
=
√
3n +
5
2
√
3
,
ou seja,
1√
3n2 + 5n
≥ 1
(
√
3n + 5
2
√
3
)
.
Observemos agora que∫ +∞
1
1
(
√
3x + 5
2
√
3
)
dx = lim
N→+∞
∫ N
1
1
(
√
3x + 5
2
√
3
)
dx = lim
N→+∞
ln(
√
3x + 5
2
√
3
)√
3
∣∣∣N
1
= lim
N→+∞
[
ln(
√
3N + 5
2
√
3
)√
3
−
ln(
√
3 + 5
2
√
3
)√
3
]
= +∞.
Segue do Teste da Integral que a se´rie
+∞∑
n=1
1
(
√
3n + 5
2
√
3
)
e´ divergente. Usando-se o Teste da
Comparac¸a˜o segue que a se´rie
+∞∑
n=1
1√
3n2 + 5n
tambe´m e´ divergente.
(d) Observe inicialmente que a diferenc¸a 3n − cosn e´ sempre um nu´mero positivo, se n > 0.
Portanto todos os termos desta se´rie sa˜o positivos. Tambe´m temos a relac¸a˜o
0 ≤ 1
3n − cosn ≤
1
3n − 1 .
Afirmamos que a se´rie
+∞∑
n=1
1
3n − 1 e´ convergente. De fato, como
lim
x→+∞
3x − 1
3x+1 − 1 = limx→+∞
3x−1 ln(3)
3x ln(3)
= lim
x→+∞
3−1 = 3−1,
segue que
lim
n→+∞
an+1
an
= lim
n→+∞
1
3n+1−1
1
3n−1
= lim
n→+∞
3n − 1
3n+1 − 1 = 1/3 < 1.
Portanto do Teste da raza˜o segue a se´rie
+∞∑
n=1
1
3n − 1 e´ convergente. Usando-se o Teste da
Comparac¸a˜o segue que a se´rie
+∞∑
n=1
1
3n − cos n tambe´m e´ convergente.
(e) Como
an+1
an
=
1.3.5. ... .(2(n+1)−1)
1.4.7. ... .(3(n+1)−2)
1.3.5. ... .(2n−1)
1.4.7. ... .(3n−2)
=
2(n + 1)− 1
3(n + 1)− 2 =
2n + 1
3n + 1
,
segue que
lim
n→+∞
an+1
an
= lim
n→+∞
2n + 1
3n + 1
=
2
3
< 1.
Portanto segue do Teste da Raza˜o que a se´rie
+∞∑
n=1
1.3.5. ... .(2n− 1)
1.4.7. ... .(3n− 2) e´ convergente.