Lista 3 - Equações diferenciais de 2a. ordem (RESOLVIDO)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
AULA 3 - TUTORIA DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I
Questa˜o 1. Determine o maior intervalo no qual o PVI a seguir tem uma soluc¸a˜o u´nica,
duplamente deriva´vel. (na˜o precisa encontrar a soluc¸a˜o)
(푥− 3)푦′′ + 푥푦 ′ + (푙푛∣푥∣)푦 = 0, 푦(1) = 0, 푦′(1) = 1.
Soluc¸a˜o: A equac¸a˜o diferencial dada pode ser reescrita na forma
푦 ′′ +
(
푥
푥− 3
)
푦 ′ +
(
ln ∣푥∣
푥− 3
)
푦 = 0.
As func¸o˜es 푝(푥) =
푥
푥− 3 e 푞(푥) =
ln ∣푥∣
푥− 3 esta˜o definidas e sa˜o cont´ınuas em ℝ − {0, 3}.
Logo o maior intervalo contendo 푥0 = 1 no qual as func¸o˜es 푝(푥) e 푞(푥) sa˜o cont´ınuas e´
(0, 3). Portanto, pelo Teorema de existeˆncia e unicidade de soluc¸o˜es, o maior intervalo no
qual o PVI tem soluc¸a˜o u´nica e´ (0, 3).
Questa˜o 2. Encontre o conjunto fundamental de soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial
푦′′ + 4푦′ + 3푦 = 0.
Soluc¸a˜o: A equac¸a˜o caracter´ıstica de 푦′′ + 4푦′ + 3푦 = 0 e´ 푟2 + 4푟 + 3 = 0, cujas ra´ızes
sa˜o 푟1 =
−4 + 2
2
= −1 e 푟2 = −4− 2
2
= −3.
Portanto 푦1(푡) = 푒
−푡 e 푦2(푡) = 푒−3푡 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial. Para verificarmos
que elas sa˜o soluc¸o˜es fundamentais precisamos determinar o Wronskiano dessas func¸o˜es.
Temos
푊 [푦1, 푦2](푡) = det
(
푦1 푦2
푦′1 푦
′
2
)
=
∣∣∣∣ 푒−푡 푒−3푡−푒−푡 −3푒−3푡
∣∣∣∣ = −3푒−4푡 + 푒−4푡 = −2푒−4푡 ∕= 0,
para todo 푡 ∈ ℝ. Logo 푦1 e 푦2 formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es.
Questa˜o 3. Dadas uma EDO e duas func¸o˜es, determine se as func¸o˜es formam um con-
junto fundamental de soluc¸o˜es:
푥2푦′′ − 푥(푥 + 2)푦′ + (푥 + 2)푦 = 0, 푥 > 0; 푦1(푥) = 푥, 푦2(푥) = 푥푒푥.
Soluc¸a˜o: Como 푦′1(푥) = 1, 푦
′′
1(푥) = 0 e
푥2푦′′1 − 푥(푥 + 2)푦′1 + (푥 + 2)푦1 = 푥2.0− 푥(푥 + 2).1 + (푥 + 2).푥 = 0,
podemos afirmar que 푦1 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Como 푦′2(푥) = 푒
푥 + 푥푒푥, 푦′′2(푥) = 푒
푥 + 푒푥 + 푥푒푥 = 2푒푥 + 푥푒푥 e
푥2푦′′2 − 푥(푥 + 2)푦′2 + (푥 + 2)푦2 = 푥2(2푒푥 + 푥푒푥)− 푥(푥 + 2)(푒푥 + 푥푒푥) + (푥 + 2)푥푒푥 =
2푥2푒푥 + 푥3푒푥 − 푥2푒푥 − 푥3푒푥 − 2푥푒푥 − 2푥2푒푥 + 푥2푒푥 + 2푥푒푥 = 0
podemos afirmar que 푦2 tambe´m e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Para verificarmos que elas formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es precisamos de-
terminar o Wronskiano dessas func¸o˜es. Temos
푊 [푦1, 푦2](푥) = det
(
푦1 푦2
푦′1 푦
′
2
)
=
∣∣∣∣ 푥 푥푒푥1 푥 + 푥푒푥
∣∣∣∣ = 푥2 + 푥2푒푥− 푥푒푥 = 푥2 + (푥2− 푥)푒푥 ∕= 0,
para todo 푥 > 0. Logo 푦1 e 푦2 formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es.
Questa˜o 4. Determine duas soluc¸o˜es reais da EDO 푦′′ + 2푦′ + 3푦 = 0.
Soluc¸a˜o: A equac¸a˜o caracter´ıstica de 푦′′ + 2푦′ + 3푦 = 0 e´ 푟2 + 2푟 + 3 = 0, cujas ra´ızes
complexas sa˜o 푟1 =
−2 + 2√2푖
2
= −1 +
√
2푖 e 푟2 =
−2− 2√2푖
2
= −1−
√
2푖.
Portanto 푦˜1(푡) = 푒
(−1+√2푖)푡 = 푒−푡푒
√
2푡푖 = 푒−푡(cos(
√
2푡) + 푖sen(
√
2푡)) e 푦˜2(푡) = 푒
(−1−√2푖)푡 =
푒−푡푒−
√
2푡푖 = 푒−푡(cos(
√
2푡)− 푖sen(√2푡)) sa˜o soluc¸o˜es complexas da equac¸a˜o diferencial.
Sejam 푦1 =
푦˜1 + 푦˜2
2
e 푦2 =
푦˜1 − 푦˜2
2푖
, enta˜o 푦1 = 푒
−푡cos(
√
2푡) e 푦2 = 푒
−푡sen(
√
2푡) sa˜o
soluc¸o˜es reais da EDO.
Exerc´ıcio: Verifique se 푦1 e 푦2 formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es.