Lista 03 - Séries de Funções (respostas)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
PROFESSORA: JOANA DARC A. S. DA CRUZ
LISTA DE EXERCI´CIOS DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I - SE´RIES DE FUNC¸O˜ES
1. Determine o intervalo de convergeˆncia de cada uma das se´ries abaixo:
(a) 1 +
∞∑
n=1
xn
2n
; Resposta: [−1, 1)
(b)
∞∑
n=1
x2n
3nn2
, Resposta:[−√3,√3]
(c)
∞∑
n=0
(2n + 8)3x2n+1; Resposta: (−1, 1)
(d)
∞∑
n=0
(2x + 3)n
52n
; Resposta: (−15, 10]
(e)
∞∑
n=0
√
3n(n + 1)
n2 + 1
x2n; Resposta: [−1/ 4√3, 1/ 4√3]
(f)
∞∑
n=2
xn
log n
; Resposta: [−1, 1)
(g)
∞∑
n=1
n!xn
(2n)!
; Resposta: R
(h)
∞∑
n=0
(−1)n(x− 1)n
(n + 1)2n
; Resposta: (−1, 3]
(i)
∞∑
n=0
(n + 1)!(x− 5)n
10n
; Resposta: {5}
(j)
∞∑
n=1
(x− e)n lnn
nen
; Resposta: [0, 2e)
2. Mostre que
∞∑
n=1
n
2n
= 2
Sugesta˜o: Considere o desenvolvimento, em poteˆncias de x, de xf ′, onde
f = (1− x)−1.
3. Obtenha os desenvolvimentos indicados abaixo.
(a)
1
x
em poteˆncias de (x + 1)
Sugesta˜o:
1
x
=
1
(x + 1)− 1 =
−1
1− (x + 1) .
Resposta:
+∞∑
n=0
(−1)(x + 1)n, se |x + 1| < 1
(b)
4
3x
em poteˆncias de (x− 2)
Resposta:
+∞∑
n=0
(−1)n
3 · 2n−1 (x− 2)
n, se |x− 2| < 2
(c)
3x
2x− 1 em poteˆncias de (x− 1).
Sugesta˜o:
3x
2x− 1 = [3(x− 1) + 3]
1
1 + 2(x− 1)
Resposta: 3 +
+∞∑
n=1
3(−1)n2n−1 (x− 1)n, se |x− 1| < 1/2
(d) (1 + x)−3 em poteˆncias de x.
Resposta:
+∞∑
n=0
(−1)n(n + 1)(n + 2)
2
xn, se |x| < 1
4. Identifique as func¸o˜es definidas pelas se´ries de poteˆncias dadas.
(a)
∞∑
n=1
(n + 1)xn
Resposta: f(x) =
1
(1− x)2 − 1
(b)
∞∑
n=1
(n + 2)
xn
2n+1
Resposta: f(x) =
3x− x2
(2− x)2
5. Obtenha a se´rie de poteˆncias de x para:
(a) f(x) =
x
2− 3x
Resposta:
x
2
+
+∞∑
n=2
3n−1
2n
xn, se |x| < 2/3
(b)
1
x2 − 3x + 2
Resposta:
+∞∑
n=0
(
1− 1
2n+1
)
xn, se |x| < 1
(c) f(x) =
∫ x
0
ln(1 + t2) dt
Resposta:
+∞∑
n=0
(−1)n
(n + 1)(2n + 3)
x2n+3, se |x| < 1
6. Expanda as func¸o˜es abaixo em se´ries de poteˆncias de (x− a).
(a) f(x) =
1
(1 + x)2
, a = 0.
Resposta:
+∞∑
n=0
(−1)n(n + 1)xn, se |x| < 1
(b) f(x) = e−2x, a = −1.
Resposta:
+∞∑
n=0
(−1)n2ne2
n!
(x + 1)n, ∀x ∈ R
(c) f(x) = ln(x + 2), a = 1.
Resposta: ln(3) +
+∞∑
n=0
(−1)n
(n + 1)3n+1
(x− 1)n+1, se (−2, 4]
7. Fac¸am os exerc´ıcios da Sec¸a˜o 2.4 do nosso livro texto.