teste de series

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TESTES PARA SÉRIES INFINITAS - RESUMO 
TESTE SÉRIE CONVERGÊNCIA 
/DIVERGÊNCIA 
COMENTÁRIOS 
Se a série é monótona e seja fácil encontrar a forma matemática das somas parciais de então verifique 
se o limite de existe. Caso positivo, a série é convergente, caso contrário, divergente. 
 
Termo Geral ∑ 
 
 
 
 
Diverge se 
Inconclusivo se 
 
 
 
 
Série Geométrica ∑ 
 
 
 
 
Converge se | | e 
 
 
 
Diverge se | | 
Útil para testes de 
comparação 
 
Série-p ∑
 
 
 
 
 
Converge se 
 
Diverge se 
Útil para testes de 
comparação 
 
Integral ∑ 
 
 
 
 ( ) 
i) Converge se ∫ ( ) 
 
 
 
converge. 
ii) Diverge se ∫ ( ) 
 
 
 
diverge. 
 ( ) deve ser: 
 Positiva 
 Contínua 
 Decrescente para [c, ) 
 
 
 
Comparação 
 
∑ 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
(i) Se e ∑ 
converge, então ∑ 
também converge. 
(ii) Se e ∑ diverge, 
então ∑ também diverge. 
A série de comparação 
∑ utilizada geralmente 
são as séries geométricas e 
a série-p. 
 
Comparação por 
limite 
∑ 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
Se 
 
 
 então 
∑ e ∑ são ambas 
convergentes ou divergentes. 
Para achar considere 
apenas os termos de que 
tenha maior magnitude. 
Séries Alternadas 
(Leibniz) ∑( )
 
 
 
 
∑( ) 
 
 
 
 
 
Converge se: 
 
 
e 
 
Aplicado somente para as 
séries alternadas 
Convergência 
absoluta ∑ 
 
 
 
 
Se ∑ | |
 
 converge, 
 
então, ∑ 
 
 converge. 
 
Utilizado para séries com 
termos positivos e 
negativos. 
 
 
Razão 
(D’Alembert) 
∑ 
 
 
 
Se |
 
 
| ou ( ) 
i) Se a série converge 
(absolutamente). 
ii) Se (ou ) diverge 
iii) Se Inconclusivo 
Aplicado a séries com 
envolvendo fatoriais ou 
potências de grau n. 
 
Raiz 
(Cauchy) 
∑ 
 
 
 
Se √| |
 ou 
i) Se a série converge 
(absolutamente). 
ii) Se (ou ) diverge 
iii) iii) Se Inconclusivo 
Aplicado a séries com 
envolvendo potências de 
grau n.