Transformada Z -2

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J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
1 
 
 
 
6 – Transformadas z 
 
 
 
6.1 – Introdução às Transformadas z 4 
6.2 – Transformadas z – definição 7 
6.3 – Transformadas z da exponencial e do degrau discretos 8 
 Sinal x[n] = an⋅u1[n] (exponencial discreto) 8 
 Exemplo 6.1 8 
 Sinal x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto) 9 
 Exemplo 6.2 10 
 Exemplo 6.3 12 
6.4 – Pólos discretos 13 
 Exemplo 6.4 13 
6.5 – Transformadas z da rampa e do impulso discretos 15 
 Sinal x[n] = u2[n] (rampa unitária discreta) 15 
 Sinal x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto) 16 
 Exemplo 6.5 17 
 Exemplo 6.6 17 
6.7 – Transformadas z de outros sinais discretos conhecidos 18 
 Exemplo 6.7 18 
 Sinais seno e co-seno discretos multiplicados pela exponencial 19 
 Sinais seno e co-seno discretos 20 
 Exemplo 6.8 21 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
2 
 
 
 
 
6.8 – Tabela das Transformada z de alguns sinais discretos conhecidos 22 
6.9 – Propriedades da Transformada z 24 
 Homogeneidade (“homogeneity”) 24 
 Aditividade (“additivity”) 24 
 Linearidade (“linearity”) 24 
 Translação (“time shifting”) 24 
 Mudança de escala no domino z (“z-domain scaling”) 26 
 Expansão no tempo (“time scaling”) 27 
 Conjugado (“conjugate”) 27 
 Convolução (“convolution”) 28 
 Derivada do domínio de z (“z-domain derivative”) 28 
6.10 – Teorema do Valor Inicial (TVI) e o Teorema do Valor Final (TVF) 29 
 Teorema do Valor Inicial (TVI) 29 
 Teorema do Valor Final (TVF) 29 
 Exemplo 6.9 29 
 Exemplo 6.10 30 
6.11 – Transformada z inversa 31 
 Caso 1 – Pólos reais e distintos 32 
 Exemplo 6.11 32 
 Caso 2 – Pólos complexos conjugados 33 
 Exemplo 6.12 35 
 Exemplo 6.13 35 
 Caso 3 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.) 36 
 Exemplo 6.14 38 
 Exemplo 6.15 38 
 Exemplo 6.16 39 
 Caso 4 – Pólos múltiplos na origem 39 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
3 
 
 
 
 
6.12 – Solução de equações de diferenças usando Transformadas z 41 
 Exemplo 6.17 42 
 Exemplo 6.18 43 
 Exemplo 6.19 45 
 Exemplo 6.20 47 
 Exemplo 6.21 48 
 Exemplo 6.22 50 
 Exemplo 6.23 52 
 Exemplo 6.24 53 
 Exemplo 6.25 54 
 Exemplo 6.26 55 
 Exemplo 6.27 56 
 Exemplo 6.28 57 
6.13 – A resposta impulsional h[n] e H(z) 58 
 Exemplo 6.29 59 
 Exemplo 6.30 60 
 Exemplo 6.31 61 
 Exemplo 6.32 61 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformadas z 
 
 
6.1 – Introdução às Transformadas z 
 
 
Na análise de sistemas contínuos por vezes é mais vantajoso o uso da frequência 
complexa ‘s’ (Transformadas de Laplace, capítulo 5). 
 
No caso de sistemas discretos, uma ferramenta bastante comum usada para passar um 
sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência é a Transformada z. 
 
A Transformada z também faz o uso de uma frequência complexa que neste caso é 
‘z’, e portanto, ela é uma espécie de Transformadas de Laplace para sistemas discre-
tos. 
 
Entretanto, as Transformadas z são baseadas em séries de potências, nas “Séries de 
Laurent”, publicadas em 1843 pelo matemático francês Pierre Alphonse Laurent 
(1813-1854). Mas, tudo indica que, embora não tivessem sido publicadas anterior-
mente, estas séries já tinham sido desenvolvidas dois anos antes, em 1841, por Karl 
Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), um matemático alemão que frequente-
mente é citado como sendo o pai da análise moderna. 
 
As séries de Laurent são uma representação de um sinal por séries de potências, gene-
ralizando a conhecida expansão em séries de Taylor para casos em que esta não pode 
ser aplicada. As séries de Taylor tinham sido criadas pelo matemático inglês Brook 
Taylor (1685-1731). 
 
As transformadas z têm grande importância nos métodos actuais de análise de siste-
mas de controlo discreto, em processos de amostragem, no processamento de sinais 
digitais, etc. 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
5 
 
 
 
Fig. 6.1 – Brook Taylor (1685–1731) à esquerda, Karl Weierstrass (1815–1897) ao 
centro e Pierre Alphonse Laurent (1813–1854), à direita. 
 
Da expansão em série de Taylor sabemos os seguintes resultados clássicos: 
 
 
ν∀ν= ∑
∞
=
ν
,
!n
e
0n
n
 eq. (6.1) 
 
 
1,1,
n
)1()1(log
1n
n1n
−≠ν<ν
ν⋅−
=ν+ ∑
∞
=
+
 eq. (6.2) 
 
 
resultados que serão utilizados mais adiante. 
 
 
Como trataremos de séries de potência infinitas, será útil relembrar aqui nesta intro-
dução a conhecida fórmula do limite da soma de ‘progressões geométricas’ (P.G.) de 
razão q ≠ 0, 
 
Isto é, se 
 xn = { a1 : a2 : a3 : … : an : … } = { a1 : a1 q: a1 q2 : a1 q3 :… }, 
 
ou seja, 
 an+1 = an ⋅ q , ∀n = 1, 2, 3, … ; 
 
ou, equivalentemente 
 an = a1 ⋅ qn-1 , ∀n = 1, 2, 3, … 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
6 
 
A soma Sn dos n primeiros termos da P.G. é dada por: 
 
 )1q(
)1q(a
aqaqaaS
nn
0k
k
n
n
1
111
−
−⋅
==⋅++⋅+= ∑
=
L
 
, eq. (6.3) 
 
 
enquanto que, se a P.G. for ilimitada (ou infinita) e a razão q satisfaz 1q < , isto é 
 
–1 < q < 1 , 
 
então, a soma S de todos os termos é dada por: 
 
 )q1(
a
aqaqaqaaS 131
2
111
0n
n
−
==+⋅+⋅+⋅+= ∑
∞
=
L
 
, eq. (6.4) 
 
 
Outro resultado conhecido é o limite da série infinita abaixo: 
 
 
2
0n
n
)1(n432
432
α−
α
=α⋅=+α⋅+α⋅+α⋅+α ∑
+∞
=
L
. eq. (6.5) 
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
7 
 
6.2 – Transformadas z – definição 
 
Para representar as transformadas z de um sinal discreto x[n] usa-se seguinte a nota-
ção: 
 
{ }]n[xZ
 ou )z(X
 
 
que é semelhante à notação adoptada para as Transformadas de Laplace no capítulo 
anterior. 
 
A definição das Transformada z unilateral de um sinal discreto x[n] é: 
 
 
{ } n
0n
z]n[x)z(X]n[x −
+∞
=
⋅== ∑Z
 eq. (6.6) 
 
onde C∈z é um número complexo. 
 
A eq. (6.6) acima é chamada de Transformada z unilateral pois é definida para sinais 
x[n] onde 
 
x[n] = 0 para n < 0 
 
e é a definição de Transformada z adoptada aqui pois, a exemplo da Transformada de 
Laplace (capítulo 5), é esta a que tem maior aplicação para sistemas dinâmicos. 
 
 
Fig. 6.2 – Um sinal x[n] com valor nulo para n < 0 
( x[n] = 0, n = –1, –2, … ). 
 
 
Além desta definição de Transformada z unilateral (para n = 0, 1, 2, …) que adopta-
mos aqui, há também a Transformada z bilateral (que é definida para ∀n, ou seja: 
n = 0, ±1, ±2, …). 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
8 
 
6.3 – Transformadas z da exponencial e do degrau discretos 
 
Nesta secção serão apresentados as Transformadas z do sinal discreto x[n] = an, assim 
como de x[n] = u1[n] = degrau unitário, partindo da definição de X(z) dada em 
eq. (6.6). 
 
 Sinal x[n] = an⋅u1[n] (exponencial discreto) 
 
Considere o sinal discreto: 
]n[ua]n[x 1n ⋅= 
 
onde u1[n] é o degrau unitário discreto. 
 
Usando a definição eq. (6.6) vemos que a Transformada z deste sinal é: 
 
n
0n
n
0n
n
)za(
z]n[ua)z(X
1
1
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
⋅=
⋅⋅=
 
 
que é uma progressão geométrica com o primeiro termo a1 = 1 e a razão q = a⋅z–1. 
Usando eq. (6.4), obtém-se: 
 
 
,)za1(
1)za()z(X 1
0n
n1
−
+∞
=
−
⋅−
=⋅= ∑
 eq. (6.7) 
ou 
 
 
{ } ,)az(
z]n[ua 1n
−
=⋅Z
 eq. (6.8) 
  
 
 
 
Exemplo6.1: 
Considere o sinal x[n] 
]2n[u4]1n[u2]n[u3]1n[u5]n[x 0ooo −+−−++=
 
ou seja, 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
9 
 










∀
=
=−
=
−=
=
ndevaloroutro,0
2nse,4
1nse,2
0nse,3
1nse,5
]n[x
 
 
que se encontra ilustrado na figura 6.3. 
 
 
Fig. 6.3 – O sinal x[n] do exemplo 6.1. 
 
 
Agora, usando a definição de Transformada z, eq. (6.6), tem-se que: 
 
21 z4z23)z(X −− +−=
 
 
Note que o termo com valor 5, para n = –1 desaparece pois está à esquerda da origem 
[eq. (6.6), definição de Transformada z unilateral]. 
  
 
 
 
 Sinal x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto) 
 
No caso particular de a = 1 no sinal anterior, corresponde ao sinal 
 
x[n] = u1[n] 
 
que é o degrau unitário discreto. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
10 
 
Logo, do resultado obtido no sinal anterior, obtemos que a Transformada z de u1[n] é: 
 
,)z1(
1)z(X 1−
−
=
 
 
ou, 
 
 
{ } ,)1z(
z]n[u1
−
=Z
 eq. (6.9) 
  
 
 
 
Exemplo 6.2: 
 
Considere o sinal discreto. 
 
]n[u
3
12]n[u
2
15]n[x 11
nn
⋅





⋅−⋅





⋅=
 
 
A Transformada z deste sinal é: 
 
{ }
∑ ∑
∑ ∑
∑
∞+
=
∞
=
−−
∞+
−∞=
∞
−∞=
−−
−
∞+
−∞=






⋅⋅−





⋅⋅=
⋅⋅





−⋅⋅





=
⋅








⋅





⋅−⋅





⋅==
0n 0n
11
n n
1
n
1
n
11
nn
nn
n
n
nn
z
3
12z
2
15
z]n[u
3
12z]n[u
2
15
z]n[u
3
12]n[u
2
15)z(X]n[xZ
 
ou seja, 
 
11 z
3
11
2
z
2
11
5)z(X
−−
−
−
−
=
 eq. (6.10) 
 
 
 
Usando as equações eq. (6.7) para a = ½ e 1 = 1/3, descobre-se que: 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
11 
 






−
=






−
=








⋅





−
2
1
z
z
z
2
11
1]n[u
2
1
1
1
n
Z
 
e que 






−
=






−
=








⋅





−
3
1
z
z
z
3
11
1]n[u
3
1
1
1
n
Z
 
 
 
e logo, o resultado obtido na eq. (6.10) acima significa que: 
 








⋅





⋅−








⋅





⋅=
=








⋅





⋅−⋅





⋅
]n[u
3
12]n[u
2
15
]n[u
3
12]n[u
2
15
11
11
nn
nn
ZZ
Z
 
 
 
Este resultado obtido se dá devido à propriedade da linearidade da Transformada z , a 
semelhança das Transformadas de Laplace no capitulo 5, e será visto mais adiante na 
secção 6.9 (Propriedades da Transformada z). 
 
 
Agora, continuando os cálculos a partir da eq. (6.10) temos que: 
 
{ }






−





−






−
=
−−
−
11
1
z
3
11z
2
11
z
3
23
]n[xZ
 
 
que também equivale a: 
 
 
{ }






−





−






−⋅
=
3
1
z
2
1
z
3
2
z3z
]n[xZ
 eq. (6.11) 
  
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
12 
 
Exemplo 6.3: 
Considere a Transformada z do sinal x[n] = an⋅u1[n] já vista nas eq. (6.7) e eq. (6.8), 
ou seja, 
 
 
.
az
z
az1
1)z(X 1
−
=
−
=
−
 eq. (6.12) 
 
Fazendo a divisão de z por (z – a) temos que: 
 
 
 
Logo, 
 
L+++=
−
=
−− 221
zaaz1
az
z)z(X
 
 
Comparando com eq. (6.6), a definição de Transformada z, temos 
 










≥∀
=
=
=
<
=
0npara,a
2npara,a
1npara,a
0npara,1
0npara,0
]n[x
n
2
M
 
 
e portanto, 
 
n
1x[n] a u [n]= ⋅ 
 
que de facto corresponde ao sinal x[n] que tem como Transformada z este X(z) da 
eq. (6.12). 
  
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
13 
 
6.4 – Pólos discretos 
 
 
Conforme visto no capítulo anterior [na secção 5.8, eq. (5.20) ], uma fracção racional 
é uma fracção em que ambos o numerador e o denominador são polinómios: 
 
 )s(q
)s(p
 ou )z(q
)z(p
 
 
As raízes do polinómio do denominador [ q(s) ou q(z) ] são chamados de “pólos”. 
 
 
A Transformada z do sinal x[n] do Exemplo 6.2, dada pela eq. (6.11), é uma fracção 
racional cujos pólos são: 
 
 
2
1
=z
 e 3
1
z =
 
 
 
As Transformadas z dos sinais x[n] = an⋅u1[n] e x[n] = u1[n], dadas pelas 
eq. (6.8) e eq. (6.9) , são fracções racionais cujo único pólo é: 
 
z = a 
 
no caso eq. (6.8), e 
 
z = 1 
 
no caso eq. (6.9) . 
 
 
 
Exemplo 6.4: 
 
Considere o sinal discreto da exponencial truncada 
 




≥∀<∀
<<−≤≤
=
Nn,0n,0
1a0,1Nn0,a
]n[x
n
 
 
que encontra-se esboçado na figura 6.4. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
14 
 
 
Fig. 6.4 – O sinal x[n] do exemplo 6.4, 0 < a < 1. 
 
 
A Transformada z deste sinal é: 
 
( )n1N
0n
1
n
1N
0n
n
n
0n
n
za
za
za)z(X
∑
∑
∑
−
=
−
−
−
=
−
+∞
=
⋅=
=⋅=
=⋅=
 
 
e portanto X(z) é a soma SN dos N primeiros termos da progressão geométrica com o 
primeiro termo a1 = 1 e a razão ( )1zaq −⋅= . Logo, usando a eq. (6.3) tem-se que 
 
 
( )
( )
( )
( )
( ) 1N
NN
1
NN
1
N
z
1
az
az
1az
1az
1za
1za)z(X
1
−
−
−
−
⋅
−
−
=
−
−⋅
=
=
−⋅
−⋅
=
−
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
15 
 
Em principio esta Transformada z parece ter um pólo em z = a e (N–1) pólos em 
z = 0 (ou seja, pólos múltiplos na origem). Entretanto, analisando agora o numerador 
desta Transformada z 
 
0az NN =−
 
 
ou seja 
 
NN az =
 
 
que nos dá a seguinte solução: 
 
 
1N,,...2,1,0k,az
kN
2j
−=⋅=





 pi
e
 eq. (6.13)
 
 
que são N pontos igualmente espaçados no círculo de raio a, e são as raízes (ou zeros) 
do numerador desta Transformada z. 
 
Portanto, para k = 0 na equação eq. (6.13) acima temos que: 
 
z = a. 
 
Ou seja, z = a é um pólo e um zero do numerador ao mesmo tempo. Logo eles se can-
celam e esta Transformada z só tem (N – 1) pólos em z = 0. 
  
 
 
 
6.5 – Transformadas z da rampa e do impulso discretos 
 
 
 Sinal x[n] = u2[n] (rampa unitária discreta) 
 
]n[un
]n[u]n[x
1
2
⋅=
=
 
 
tem a seguinte Transformada z : 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
16 
 
L++++=
=⋅=
−−−
−∑
+∞
=
321
n
z3z2z0
zn)z(X
0n
 
 
que é uma progressão geométrica com o primeiro termo a1 = z–1 e a razão q = z–1 
também. Logo, usando a eq. (6.5) temos que: 
 
{ } ( ) 21
1
z1
z)z(X]n[un 1 −
−
−
==⋅Z
 
 
ou 
 
{ } ( ) 21z
z]n[un 1
−
=⋅Z
 
  
 
 
 
 Sinal x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto) 
 




≠∀
=
=
=
0n,0
0n,1
]n[u]n[x o
 
 
tem a seguinte Transformada z : 
 
{ } 1z1z]n[u)z(X]n[u 0oo n
0n
=⋅=⋅==
−
+∞
=
∑Z 
 
ou seja, 
 
{ } 1]n[uo =Z 
 
que é um resultado análogo ao obtido com as Transformadas de Laplace no capítulo 
anterior: {} 1)s(X)t(uo ==L . 
  
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
17 
 
Exemplo 6.5: 
 
Considere o sinal discreto x[n], 
 
]1n[u]n[x o −= 
 
que é o impulso unitário discreto transladado (i.e., com um “shift”) de uma unidade 
de tempo para a direita. 
 
A Transformada z deste sinal é: 
 
 
11 zz1z]1n[u)z(X n
0n
o
−−
=⋅=⋅−=
−
+∞
=
∑ 
ou seja, 
 
 
{ }
z
1
z]n[u 1o == −Z eq. (6.14) 
  
 
 
Exemplo 6.6: 
 
Considere o sinal discreto x[n], 
 
0m,]mn[u]n[x o ≥−=
 
 
que é o impulso unitário discreto transladado (i.e., com um “shift”) de m unidades de 
tempo para a direita. 
 
A Transformada z deste sinal é: 
 
mmn
0n
zz1z]mn[u)z(X o −− =⋅=⋅−= −
+∞
=
∑ 
ou seja, 
 
 
{ } mm z
1
z]n[u o == −Z eq. (6.15) 
 
Note que a eq. (6.15) só é válida para m ≥ 0 pois a Transformada z adoptada aqui é a 
unilateral [eq. (6.6)]. 
  
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
18 
 
A expressão encontrada no Exemplo 6.1 poderia ser obtida usando a Transformada z 
do impulso uo[n] e o resultado dos exemplo 6.5 e 6.6, dados nas equações eq. (6.14) e 
eq. (6.15), ou seja, 
 
 
{ } 1]n[uo =Z , { } 0m,z]mn[u mo ≥=− −Z e { } 0]1n[uo =+Z 
 
 
 
6.7 – Transformadas z de outros sinais discretos conhecidos 
 
 
Inicialmente vamos ver um exemplo do sinal discreto de uma exponencial multipli-
cada por um seno. 
 
 
Exemplo 6.7: 
Considere o sinal discreto: 
 
]n[un
4
sen
3
1]n[x 1
n
⋅





⋅
pi
⋅





=
 
 
 
Usando a equação de Euler temos: 
 
]n[ue
3
1
j2
1]n[ue
3
1
j2
1]n[x 14
j
1
4
j
nn
⋅







⋅−⋅







⋅=
pi
⋅−
pi
⋅
 
 
 
A Transformada z deste sinal é: 
 
{ }








⋅−
⋅−








−
⋅=








⋅⋅−







⋅⋅=
⋅








⋅







⋅−⋅







⋅==
−
pi
⋅−
−
⋅
pi
⋅
−
pi
⋅−
∞+
=
−
pi
⋅
−
∞+
−∞=
pi
⋅−
pi
⋅
∑∑
∑
∞+
=
14j14j
n
14j
n
on
14j
n
n
n
4j
n
4j
z
3
11
1
j2
1
z
3
11
1
j2
1
z
3
1
j2
1
z
3
1
j2
1
z]n[u
3
1
j2
1]n[u
3
1
j2
1)z(X]n[x
on
11
ee
ee
eeZ
 
 
ou seja, 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
19 
 
 








⋅−⋅







⋅−
⋅
=
pi
−
pi
4
j
4
j
3
1
3
1
23
1
zz
z
)z(X
ee
 eq. (6.16) 
 
Note que os dois pólos desta Transformada z são: 
 
4
j
3
1
z
pi±
⋅= e 
  
 
 
A exemplo da Transformada z do degrau discreto, visto na secção 6.3, em que pri-
meiramente apresentamo-lo multiplicado pela exponencial discreta, também aqui 
vamos inicialmente apresentar a Transformada z para os casos de seno e co-seno 
multiplicados por exponenciais discretas an. 
 
 
 Sinais seno e co-seno discretos multiplicados pela exponencial 
 
 x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n] x[n] = an⋅ cos(ωon)⋅u1[n] 
 
têm as seguintes Transformadas z : 
 
 
{ } 221
o
o
1
o
n
zaz)cos(a21
)(senza)z(X]n[u)n(sena 1
−−
−
+⋅ω⋅⋅−
ω⋅⋅
==⋅ω⋅Z
 eq. (6.17) 
 
e 
 
{ } 221
o
o
1
o
n
zaz)cos(a21
)cos(za1)z(X]n[u)ncos(a 1
−−
−
+⋅ω⋅⋅−
ω⋅⋅−
==⋅ω⋅Z
 eq. (6.18) 
 
que equivalem a 
 
 
{ } 2
o
2
o
o
n
a)cos(za2z
)(senza)z(X]n[u)n(sena 1
+ω⋅⋅⋅−
ω⋅⋅
==⋅ω⋅Z
 eq. (6.19) 
 
e 
 
{ } 2
o
2
o
o
n
a)cos(za2z
)]cos(az[z)z(X]n[u)ncos(a 1
+ω⋅⋅⋅−
ω⋅−⋅
==⋅ω⋅Z
 eq. (6.20) 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
20 
 
Note agora que o sinal que tinha sido visto no exemplo 6.7 é x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n] 
com 
 






=
3
1
a
 e 




 pi
=ω
4o eq. (6.21) 
 
e a Transformadas z encontrada naquele exemplo, dada pela eq. (6.16), pode ser rees-
crita como: 
 
2
3
1
2
12z
z
2
9
11
z
z
)z(X
4
j
4
j
2
4
j
4
j2
3
2
3
1
3
23
1






+










+
⋅⋅−
⋅













=
+







+⋅−
⋅
=
pi
−
pipi
−
pi
eeee
 eq. (6.22) 
 
que, usando as equações de Euler (secção 1.5) e substituindo ( ) 2/24/sen =pi , a 
eq. (6.22) se torna em 
 
2
3
1
4
cos
12z
z
4
sen
)z(X
3
3
1
2






+




 pi
⋅⋅−
⋅




 pi
⋅





=
 
 
que corresponde à eq. (6.19) com a e ωo dados em eq. (6.21). 
 
 
 
 Sinais seno e co-seno discretos 
 
 
 x[n] = sen(ωon)⋅u1[n] y[n] = cos(ωon)⋅u1[n] 
 
têm as seguintes Transformadas z : 
 
 
{ } 21
o
o
1
o
zz)cos(21
)(senz]n[u)n(sen 1
−−
−
+⋅ω⋅−
ω⋅
=⋅ωZ
 eq. (6.23) 
 
e 
 
{ } 21
o
o
1
o
zz)cos(21
)cos(z1]n[u)ncos( 1
−−
−
+⋅ω⋅−
ω⋅−
=⋅ωZ
 eq. (6.24) 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
21 
 
que equivalem a 
 
 
{ }
1)cos(z2z
)(senz]n[u)n(sen
o
2
o
o 1
+ω⋅−
ω⋅
=⋅ωZ
 eq. (6.25) 
 
e 
 
 
{ }
1)cos(z2z
)]cos(z[z]n[u)ncos(
o
2
o
o 1
+ω⋅⋅−
ω−⋅
=⋅ωZ
 eq. (6.26) 
 
 
 
 
Exemplo 6.8: 
Considere o sinal x[n] 
]1n[u
n
)(]n[x 1
n
−⋅
λ−−
=
 
ou seja, 
 




−−=
=
λ
⋅−
=
+
L
L
,2,1,0n,0
,3,2,1n,
n
)1(]n[x
n
1n
 
 
Pela definição de Transformada z, eq. (6.6), tem-se que: 
 
{ } ∑
∞
=
−+
⋅λ⋅−
==
1n
nn1n
n
z)1()z(X]n[xZ
 
 
e da expansão em série de Taylor, eq. (6.2), obtém-se que a Transformada z deste 
sinal é: 
 
 
( ) az,z1log)z(X 1 >λ+= −
 eq. (6.27) 
  
 
 
As Transformadas z introduzidas nesta secção assim como nas duas secções anterio-
res (uo[n], uo[n-m], u1[n], n u1[n], n2 u1[n], sen(ωon), cos(ωon) , an sen(ωon), 
an cos(ωon), etc.) estão reunidas numa tabela na secção a seguir. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
22 
 
6.8 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos 
 
Da mesma forma que foi feito na secção 5.7 para Transformadas de Laplace, nesta 
secção apresentamos uma Tabela das Transformadas z de alguns sinais discretos. 
 
Tab 6.1 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos 
x[n] X(z) = ZZZZ { x[n] } 
x[n] = uo[n] X(z) = 1 
x[n] = uo[n – m] , 
m = 0, 1, 2, … 
( ) mm
z
1
zzX == −
 
x[n] = u1[n] ( ) ( ) ( )1
1 zX z
z 11 z−
= =
−
−
 
x[n] = u1[n–1] ( ) ( )1z
1
z1
z)z(X
1
1
−
=
−
=
−
−
 
x[n] = u1[n–2] ( ) ( )1zz
1
z1
z)z(X
1
2
−
=
−
=
−
−
 
x[n] = u2[n] 
 = n⋅u1[n] 
( ) ( ) ( )
1
2 21
z zX z
z 11 z
−
−
= =
−
−
 
x[n] = n2⋅u1[n] ( ) ( )31
11
1z
)1z(z
z1
)z1(z)z(X 3
−
+
=
−
+
=
−
−−
 
x[n] = n3⋅u1[n] ( ) ( )4
2
1
211
1z
)1z4z(z
z1
)zz41(z)z(X 4
−
++
=
−
++
=
−
−−−
 
x[n] = an–1⋅u1[n–1] ( ) ( )az
1
za1
z)z(X
1
1
−
=
⋅−
=
−
−
 
x[n] = an⋅u1[n] ( ) ( ) ( )1
1 zX z
z a1 a z−
= =
−
− ⋅
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
23 
 
Tab 6.1 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos (continuação)x[n] X(z) = ZZZZ { x[n] } 
x[n] = an⋅u2[n] 
 = a
n
⋅n⋅u1[n] 
( ) ( ) ( )
1
2 21
a z a zX z
z a1 a z
−
−
⋅ ⋅
= =
−
− ⋅
 
x[n] = an⋅n2⋅u1[n] ( ) ( ) 331
11
)az(
)az(za
za1
)za1(za
zX
−
+⋅
=
⋅−
⋅+⋅
=
⋅
−
−
⋅
−
 
x[n] = sen(ωon)⋅u1[n] 
( )
( )
1
o
1 2
o
o
2
o
z sen( )X z
1 2 cos( ) z z
z sen( )
z 2 z cos( ) 1
−
− −
⋅ ω
=
− ⋅ ω ⋅ +
⋅ ω
=
− ⋅ ⋅ ω +
 
x[n] = cos(ωon)⋅u1[n] 
( )
[ ]
( )
1
o
1 2
o
o
2
o
1 cos( ) zX z
1 2 cos( ) z z
z z cos( )
z 2 z cos( ) 1
−
− −
− ω ⋅
=
− ⋅ ω ⋅ +
⋅ − ω
=
− ⋅ ⋅ ω +
 
x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n] 
( )
( )
1
o
1 2 2
o
o
2 2
o
a sen( ) zX z
1 2 a cos( ) z a z
a z sen( )
z 2 a z cos( ) a
−
− −
⋅ ω ⋅
=
− ⋅ ⋅ ω ⋅ +
⋅ ⋅ ω
=
− ⋅ ⋅ ⋅ ω +
 
x[n] = an⋅ cos(ωon)⋅u1[n] 
( )
[ ]
( )
1
o
1 2 2
o
o
2 2
o
1 a cos( ) zX z
1 2 a cos( ) z a z
z z a cos( )
z 2 a z cos( ) a
−
− −
− ⋅ ω ⋅
=
− ⋅ ⋅ ω ⋅ +
⋅ − ⋅ ω
=
− ⋅ ⋅ ⋅ ω +
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
24 
 
6.9 – Propriedades da Transformada z 
 
A seguir vamos ver algumas propriedades que são satisfeitas pela Transformada z . 
 
 Homogeneidade (“homogeneity”) 
 
 Z � k · x� n� 	 
 k · Z � x� n� 	 
 k · X�z� eq. (6.28) 
 
 Aditividade (“additivity”) 
 
 
{ } { } { }
)z(X)z(X
]n[x]n[x]n[x]n[x
21
2121
+=
+=+ ZZZ
 eq. (6.29) 
 
 Linearidade (“linearity”) 
 
Como já vimos em anteriormente, a linearidade é a propriedade da aditividade, 
eq. (6.29), e da homogeneidade eq. (6.28) juntas: 
 
 
{ } { } { }
)z(X)z(X
]n[x]n[x]n[x]n[x
21
2121
⋅β+⋅α=
⋅β+⋅α=⋅β+⋅α ZZZ
 eq. (6.30) 
 
onde α, β ∈ C são constantes e x1[n], x2[n] são dois sinais discretos com Transfor-
madas z dadas por X1(z) e X2(z) respectivamente. 
 
Conforme já mencionado anteriormente (no Exemplo 6.2), a propriedade da lineari-
dade da Transformada z permite escrever 
 






−
−






−
=






−
⋅−






−
⋅=








⋅





⋅−








⋅





⋅=
=








⋅





⋅−⋅





⋅
−−
3
1
z
2
2
1
z
5
z
3
11
12
z
2
11
15
]n[u
3
12]n[u
2
15
]n[u
3
12]n[u
2
15
11
11
11
nn
nn
ZZ
Z
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
25 
 
 Translação (“time shifting”): 
 
Se x[n] é um sinal discreto definido apenas para n = 0, 1, 2, … , ou seja x[n] = 0, 
n < 0, e com Transformada z dada por X(z), uma translação de m = 1 (shift de 1 uni-
dade para direita): 
 
 
{ } ]1[x)z(Xz]1n[x 1 −+⋅=− −Z
 eq. (6.31) 
 
 
Para m = 2 (shift de 2 para direita): 
 
 
{ } 12 z]1[x]2[x)z(Xz]2n[x −− ⋅−+−+⋅=−Z
 eq. (6.32) 
 
 
e no caso geral, m = 1, 2, 3, … (shift de m > 0 para direita) 
 
{ }
1m2m2
1m
z]1[xz]2[xz]2m[x
z]1m[x]m[x)z(Xz]mn[x
+−+−−
−−
⋅−+⋅−++⋅+−+
+⋅+−+−+⋅=−
L
Z
 eq. (6.33) 
 
 
Os termos x[–1], x[–1]⋅z-1, x[–2], x[–m+1]⋅z-1, … etc. correspondem aos “resíduos” 
na propriedade da derivada em Transformadas de Laplace (capítulo 5, secção 5.4). 
 
Estes termos aparecem pois estamos considerando a Transformada z unilateral, con-
forme a definição na eq. (6.6), assim como no capítulo 5 (secção 5.4) consideramos a 
Transformadas de Laplace unilateral. 
 
Note que se x[n] tem condições iniciais nulas (x[n] = 0, n < 0), isto é, se 
 
 x��1� 
 0, x��2� 
 0, x��3� 
 0, � , etc. eq. (6.34) 
 
então estes termos residuais são todos nulos e uma translação de m > 0 (shift de m 
para direita) equivale a multiplicar por z –m (no domínio z, da frequência). 
 
 
Isto é, no caso de condições iniciais nulas [eq. (6.34)], temos que os termos residuais 
desaparecem e as eq. (6.31), eq. (6.32) e eq. (6.33) se transformam na forma bem 
mais simplificada, resumidas na eq. (6.35). 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
26 
 
 
{ } z)z(X)z(Xz]1n[x 1 =⋅=− −Z
 
 
 
{ } 22 z)z(X)z(Xz]2n[x =⋅=− −Z
 
 eq. (6.35) 
 
M
 
 
 
{ } mm z)z(X)z(Xz]mn[x =⋅=− −Z
 
 
 
 
No caso de translação de m = –1 (shift de 1 unidade para esquerda): 
 
 
{ } z]0[x)z(Xz]1n[x ⋅−⋅=+Z
 eq. (6.36) 
 
para m = –2 (shift de 2 para esquerda): 
 
 
{ } 2m z]0[xz]1[x)z(Xz]2n[x ⋅−⋅−⋅=+Z
 eq. (6.37) 
 
 
e no caso geral, m = –1, –2, –3, … (shift de |m| para esquerda): 
 
{ }
m1m3
2m
z]0[xz]1[xz]3m[x
z]2m[xz]1m[x)z(Xz]mn[x
⋅−⋅−−⋅−−
+⋅−−⋅−−⋅=+
−
L
Z
 eq. (6.38) 
 
 
 
 Mudança de escala no domínio z (“z-domain scaling”): 
 
{ } 





α
=⋅α
zX]n[xnZ
 
 
onde α ∈ C é uma constante e x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por 
X(z). Portanto, a mudança de escala no domínio z equivale à multiplicação por αn no 
domínio do tempo. 
 
Em particular, se α = e jω, então, como e jω = 1, ∀ ω, 
 { } 




⋅=⋅
ωω
zX]n[x jnj eeZ
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
27 
 
 Expansão no tempo (“time scaling”): 
 
Para um sinal discreto x[n] considere o sinal expandido x(k)[n] definido abaixo. 
 




=
kdemúltiploénãonse,0
kdemúltiploénse,]k/n[x
]n[x )k( 
 
o qual está ilustrado na figura 6.5 para k = 2 e x[n] = 1, n = 1, 2, … 
 
 
 
Fig. 6.5 – x[n] = 1, ∀ n = 0, 1, 2,… e ]n[x )k( para k = 2. 
 
 
Estes sinais expandidos x(k)[n] satisfazem a seguinte propriedade: 
 { } ( )kzX]n[x )k( =Z 
 
 
 
 
 Conjugado (“conjugate”) 
 { } ( )∗∗∗ = zX]n[xZ
 
 
Onde x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z). 
 
Note que, se x[n] for um sinal real (x[n] ∈ R) então: 
 
X(z) = X*(z*) 
 
logo, se X(z) tem um pólo em z = a também terá em z = a*. 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
28 
 
 Convolução (“convolution”) 
 
Semelhantemente às transformadas de Fourier e de Laplace, também na Transfor-
mada z temos que a transformada da convolução é o produto das Transformadas z: 
 
 
{ } ( ) )z(XzX]n[x*]n[x 2121 ⋅=Z eq. (6.39) 
 
 
 
 Derivada do domínio de z (“z-domain derivative”) 
 
{ } ( )
dz
zdX
z]n[xn ⋅−=⋅Z
 
 
onde x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z). Portanto a derivada 
do domínio de z equivale à multiplicação por n no domínio do tempo. 
 
 
Esta propriedade permite generalizar alguns sinais da tabela Tab 6.1 das Transforma-
das z na secção 6.8. Por exemplo, nessa tabela pode-se ver as Transformadas z dos 
sinais: 
 
 x[n] = u1[n] , x[n] = n⋅u1[n] e x[n] = n2⋅u1[n] 
 
e com esta propriedade pode-se generalizar para os sinais: 
 
 x[n] = n3⋅u1[n] , x[n] = n4⋅u1[n] , … , etc. 
 
Nessa mesma tabela também se encontram as Transformadas z dos sinais: 
 
 x[n] = an⋅u1[n] , x[n] = an⋅n⋅u1[n] e x[n] = an⋅n2⋅u1[n] 
 
e com esta propriedade pode-se generalizar para os sinais: 
 
 x[n] = an⋅n3⋅u1[n] , x[n] = an⋅n4⋅u1[n] , … , etc. 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
29 
 
6.10 – Teorema Valor Inicial (TVI) e Teorema Valor Final (TVF) 
 
 
A exemplo dos teoremas TVI e TVF para Transformadas de Laplace (secção 5.5), 
estes teoremas para Transformadas z permitem que se descubra o valor inicial x[0] e 
o valor final x[∞] de um sinal x[n] cujo X(z), a Transformada z, seja conhecida.Teorema do valor inicial (TVI): 
 
( )zXlim]0[x
z ∞→
=
 
 
 Teorema do valor final (TVF): 
 
( ) ( )
z 1
x[ ] lim z 1 X z
→
∞ = − ⋅
 
 
 
 
 
Exemplo 6.9: 
Considere o sinal discreto do exemplo 6.2, x�n� 
 �5 · �1 2⁄ �� � 2 · �1 3⁄ ��� · u��n� 
cuja Transformada de Laplace é dada pela eq. (6.11). 
 
Aplicando-se os teoremas TVI e TVF obtemos: 
 
x�0� 
 lim
#$%
 X�z� 
 lim
#$%
 
&3z' � 23 z(
&z � 12( &z �
1
3(
 
 3 
 
e 
x�∞� 
 lim
#$�
 �z � 1� · X�z� 
 lim
#$�
 �z � 1� ·
&3z' � 23 z(
&z � 12( &z �
1
3(
 
 0 
 
 
que estão de acordo com o esperado pois que como temos x[n], claro, sabemos que 
neste caso são de facto x[0] = 3 e x[∞] = 0. 
  
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
30 
 
Exemplo 6.10: 
Se tomarmos o sinal degrau unitário discreto x�n� 
 u��n� cuja Transformadas z é 
dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) X�z� 
 1 �1 � z*��⁄ , então, aplicando-se os 
teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos: 
 
x�0+� 
 lim
#$%
 X�z� 
 lim
#$%
 1�1 � z*�� 
 1 
 
e 
x�∞� 
 lim
#$�
 �z � 1� · X�z� 
 lim
#$�
 �z � 1� · 1�1 � z*�� 
 1 
 
que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o 
degrau unitário discreto x�0� 
 1 e x�∞� 
 1. 
 
 
Por outro lado, se tomarmos o sinal rampa unitária discreta x�n� 
 u'�n� cuja Trans-
formadas z é dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) X�z� 
 z �z � 1�'⁄ , então, apli-
cando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos: 
 
x�0+� 
 lim
#$%
 X�z� 
 lim
#$%
 z�z � 1�' 
 0 
 
e 
x�∞� 
 lim
#$�
 �z � 1� · X�z� 
 lim
#$�
 �z � 1� · z�z � 1�' 
 lim#$� ·
z
�z � 1� 
 ∞ 
 
que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para a 
rampa unitária discreta x�0� 
 0 e x�∞� 
 ∞. 
 
 
Finalmente, se tomarmos o sinal impulso unitário discreto x�n� 
 u,�n� cuja Trans-
formadas z é dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) X�z� 
 1, então, aplicando-se os 
teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos: 
 
x�0+� 
 lim
#$%
 X�z� 
 lim
#$%
 1 
 1 
 
e 
x�∞� 
 lim
#$�
 �z � 1� · X�z� 
 lim
#$�
 �z � 1� · 1 
 0 
 
que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o 
impulso unitário discreto x�0� 
 1 e x�∞� 
 0. 
  
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
31 
 
6.11 – Transformada z inversa 
 
 
Nesta secção vamos desenvolver as técnicas de encontrar o sinal x[n] para os quais 
X(z), a Transformada z, é conhecida. Ou seja, vamos calcular a Transformada z 
inversa de X(z). 
 
Z
*� � X�z�� 
 x�n� 
 
As Transformadas z dos principais sinais de interesse para sistemas lineares inva-
riantes no tempo (SLIT) vêm em forma de uma fracção racional, ou seja, uma frac-
ção do tipo: 
 
-�#�
.�#� eq. (6.40) 
 
onde p(z) e q(z) são polinómios em z. 
 
Conforme podemos observar na tabela Tab 6.1 da secção 6.8, as Transformadas z de 
muitos sinais vêm todas na forma eq. (6.40) onde p(z) e q(z) são polinómios menores, 
isto é, do primeiro ou segundo grau, como por exemplo: 
 
 
#
�#*/� , ou 
/·#
�#*/�0 , etc. 
 
De forma semelhante a que é feita para se achar a Transformadas inversas de Laplace 
(capítulo 5, secção 5.8), aqui também, para se achar a Transformadas z inversa é 
necessário desmembrar o X(z) na forma eq. (6.40) em fracções menores, ou seja, é 
preciso fazer a expansão de X(z) em fracções parciais. 
 
Assim como nas Transformadas inversas de Laplace da secção 5.8, vamos apresentar 
aqui, através de exemplos, três casos de expansão em fracções parciais: 
pólos reais e distintos, 
pólos complexos e 
pólos múltiplos. 
 
Os demais casos serão apenas combinações destes 3 casos, como veremos nos exem-
plos das próximas secções. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
32 
 
 Caso 1 – Pólos reais e distintos 
 
Vamos ilustrar o caso de pólos reais e distintos com um exemplo: 
 
Exemplo 6.11: 
Considere a Transformada z abaixo com 2 pólos distintos: z = 1/3, e z = 1/2, 
 
 
( )
( ) ,2/1z)(3/1z6
4z9z2
1z5z6
z8z18)z(X 2
2
−−
−
=
+−
−
=
 eq. (6.41) 
 
que, separando-se em duas fracções temos: 
 






−
+






−
=
2
1
z
B
3
1
z
A
z
)z(X
 
 
e, de forma semelhante a que foi feita no capítulo 5, secção 5.8, facilmente calcula-
mos que A = 2 e B = 1. 
 
Usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, 
 
 
( ) ]n[u3
1
3/1z
z
1
n
1-






=






−
Z
 
( ) ]n[u2
1
2/1z
z
1
n
1-






=






−
Z
 
 
e podemos escrever a Transformada z inversa de X(z) 
 
 
]n[u
2
1]n[u
3
12]n[x 11
nn
⋅⋅ 





+





⋅=
 eq. (6.42) 
 
Alternativamente pode-se calcular este x[n] reescrevendo X(z) em eq. (6.41) na 
forma: 
,
z
2
11z
3
11
z
3
43
)z(X
11
1






−





−






−
=
−−
−
 
 
que, separando-se em duas fracções temos: 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
33 
 






−
+






−
=
−− 11 z
2
11
B
z
3
11
A)z(X 
 
e, novamente calculamos que A = 2 e B = 1. Logo, usando a tabela Tab 6.1 das 
Transformadas z da secção 6.8, podemos escrever a Transformada z inversa de X(z) 
na forma eq. (6.42), chegando ao mesmo resultado. 
  
 
 
 Caso 2 – Pólos complexos conjugados 
 
Considere X(z), a Transformada z de x[n], dada abaixo: 
 
 22
2
z)cos2(z
z)z(X
ρ+θρ−
=
 eq. (6.43) 
 
onde 
 
 
ρ > 0 e 0 < θ < pi eq. (6.44) 
 
 
Note que X(z) tem 2 pólos complexos conjugados: 
 
)senj(cosz j θ⋅±θ⋅ρ=⋅ρ= θ±e
 
 
Para calcular )]z(X[]n[x 1−=Z reescreve-se X(z) na forma, 
 
z
z)cos2(z
)sen(z
)sen(
1)z(X 22 ⋅






ρ+⋅θρ−
θ⋅ρ⋅
⋅
θ⋅ρ
=
 
 
e, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e a eq. (6.36) 
 
{ }
]1n[u
sen
])1n[(sen
]1n[u])1n[(sen)sen(
1]n[x
1
n
1
1n
+⋅
θ
θ⋅+⋅ρ
=
+⋅θ⋅+⋅ρ⋅
θ⋅ρ
=
+
 
 
que neste caso equivale a 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
34 
 
 
]n[u
sen
])1n[(sen]n[x 1
n
⋅
θ
θ⋅+⋅ρ
=
 eq. (6.45) 
 
pois para n = –1, sen (n+1) = sen(0) = 0, então x[–1 ] = 0. 
 
 
Alternativamente pode-se calcular este x[n] reescrevendo X(z) em eq. (6.43) na 
forma: 
 
221 zz)cos2(1
1)z(X
−− ρ+⋅θρ−
=
 
 
que pode ser colocado na forma: 
 
z
zz)cos2(1
z)sen(
)sen(
1)z(X 221
1
⋅






ρ+⋅θρ−
⋅θ⋅ρ
⋅
θ⋅ρ
=
−−
−
 
 
e, novamente, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, podemos 
escrever a Transformada z inversa de X(z) na forma eq. (6.45), chegando ao mesmo 
resultado. 
 
 
Esta solução da Transformada z inversa de X(z) da eq. (6.43) engloba uma família de 
X(z) do tipo eq. (6.40) com o denominador 
 
cbzz)z(q 2 +−=
 
 
que satisfazem 
 
c4b2 <
 eq. (6.46) 
 
ou seja, tal que o polinómio q(z) tem raízes complexas conjugadas. 
 
Uma fracção racional do tipo 
 
212
22
czbz1
1
cbzz
z
)z(q
z
−− +−
=
+−
=
 
 
onde a condição eq. (6.46) é satisfeita, i.e., c4b2 < , pode sempre ser reescrita na 
forma da eq. (6.43) com ρ > 0 e 0 < θ < pi. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
35 
 
Exemplo 6.12:Considere X(z) dado por 
4zz
z
z4z1
1)z(X 2
2
21 +−
=
+−
=
−−
 
 
então a eq. (6.46) é satisfeita pois polinómio q(z) neste caso terá b = 1 e c = 4. 
 
Fazendo 




=θ
=ρ
⇒



==θρ
==ρ
4
1
cos
2
1bcos2
4c2
 
 
e portanto, 
 
1
arccos 1,318 rad 75,5º
4
 θ = = = 
 
, 
 
e claramente ρ e θ satisfazem eq. (6.44). 
 
Logo, x[n], Transformada z inversa de X(z), é dada pela eq. (6.45) com ρ = 2 e 
θ = 1,318 rad, ou seja: 
 
]n[u)318,1(sen
]318,1)1n[(sen2]n[x 1
n
⋅
⋅+⋅
=
 
 
 
Exemplo 6.13: 
 
Considere X(z) dado por 
10z5z
z
z10z51
1)z(X 2
2
21 ++
=
++
=
−−
 
 
então a eq. (6.46) é satisfeita pois polinómio q(z) neste caso terá b = –5 e c = 10. 
 
Fazendo 




−=
−
=θ
=ρ
⇒



−==θρ
==ρ
79,0
102
5
cos
10
5bcos2
10c2
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
36 
 
e portanto, 
( )arccos 0,79 2,482 rad 142,2ºθ = − = = , 
 
e claramente ρ e θ satisfazem eq. (6.44). 
 
Logo, x[n], Transformada z inversa de X(z), é dada pela eq. (6.45) com ρ = 3,162 e 
θ = 2,482 rad, ou seja: 
 
]n[u)482,2(sen
]482,2)1n[(sen)162,3(]n[x 1
n
⋅
⋅+⋅
=
 
 
 
 
 Caso 3 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.) 
 
Para exemplificar este caso de pólos múltiplos vamos considerar primeiramente X(z) 
com pólos duplos. Vamos nos concentrar nos casos em que os pólos múltiplos são 
z ≠ 0. No caso 4 trataremos em separado o caso de pólos múltiplos na origem (z = 0). 
 
A condição da eq. (6.44) para o caso 2 de pólos complexos conjugados, i.e., 
 
 
ρ > 0 e 0 < θ < pi 
 
não inclui 
 
θ = 0 e θ = pi 
 
 
pois na verdade, para estes dois valores os pólos de X(z) deixam de ser complexos e 
passam a ser duplos. Note que se θ = 0 ou θ = pi, então cos(θ) = ± 1 e portanto X(z) 
da eq. (6.43) se torna 
22
2
22
2
z2z
z
z)cos2(z
z)z(X
ρ+ρ−
=
ρ+θρ−
=
 
 
ou seja, 
 ( )2
2
z
z)z(X
ρ−
=
 eq. (6.47) 
 
no caso de θ = 0, ou 
 ( )2
2
z
z)z(X
ρ+
=
 eq. (6.48) 
no caso de θ = pi. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
37 
 
Portanto, θ = 0 ou θ = pi correspondem aos casos de pólos duplos onde o pólo duplo é 
z = ± ρ. (contemplando os casos de cos θ = ± 1). 
 
Se X(z), a Transformada z de x[n], estiver na forma da eq. (6.47), o pólo duplo é 
z = ρ e para calcular )]z(X[]n[x 1−=Z reescreve-se X(z) como 
 
z)z(
z1)z(X 2 ⋅ρ−
⋅ρ
⋅
ρ
=
 
 
e, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e a propriedade da 
translação (time shift), neste caso de m = –1, (1 unidade para esquerda), eq. (6.36), 
temos 
 
]1n[u)1n(]1n[u]1n[u1]n[x 122 nn1n +⋅+⋅ρ=+⋅ρ=+⋅ρ⋅
ρ
=
+
 
 
que equivale a 
 
 
]n[u)1n(]n[x 1n ⋅ρ⋅+= eq. (6.49) 
 
pois u1[–1] = 0 e logo u1[n+1] = u1[n]. 
 
Alternativamente pode-se calcular este x[n] reescrevendo X(z) em eq. (6.47) na 
forma: 
z
)z1(
z1)z(X
21
1
⋅
ρ−
⋅ρ
⋅
ρ
=
−
−
 
 
e, novamente, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, e a pro-
priedade da translação (time shift), podemos escrever a Transformada z inversa de 
X(z) na forma eq. (6.49), obtendo o mesmo resultado. 
 
Se entretanto X(z), a Transformada z de x[n], estiver na forma da eq. (6.48), então, o 
pólo duplo é z = –ρ e para calcular )]z(X[]n[x 1−=Z reescreve-se X(z) como 
 
z
))(z(
z)(1)z(X
2
⋅
ρ−−
⋅ρ−
⋅
ρ
−=
 
 
e, de forma análoga chegamos ao resultado 
 
 
]n[u)()1n(]n[x 1n ⋅ρ−⋅+= eq. (6.50) 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
38 
 
Esta solução da Transformada z inversa de X(z) da eq. (6.47) ou eq. (6.48) engloba 
uma família de X(z) do tipo eq. (6.40) com 
 
cbzz)z(q 2 +−=
 
 
que satisfazem 
 
c4b2 =
 eq. (6.51) 
 
ou seja, tal que o polinómio q(z) tem raízes duplas z = – b/2. 
 
 
Exemplo 6.14: 
 
Considere X(z) dado por 
 
2
2
2
2
2 )3z(
z
9z6z
z
z9z61
1)z(X
1 +
=
++
=
++
=
−−
 
 
então o polinómio q(z) neste caso terá b = 6 e c = 9 e a eq. (6.51) é satisfeita. Além 
disso, 39 ==ρ e o pólo duplo é z = –ρ = –3. Logo, x[n], Transformada z inversa 
de X(z), é dada pela eq. (6.50), ou seja: 
 
]n[u)3()1n(]n[x 1n ⋅−⋅+= 
  
 
 
Exemplo 6.15: 
 
Considere X(z) dado por 
 
2
2
2
2
2 )4z(
z5
16z8z
z5
z16z81
5)z(X
1
−
=
+−
=
+−
=
−−
 
 
 
então o polinómio q(z) neste caso terá b = –8 e c = 16 e a eq. (6.51) é satisfeita. 
Além disso, 416 ==ρ e o pólo duplo é z = ρ = 4. Logo, x[n], Transformada z 
inversa de X(z), é obtida pela eq. (6.49), pela propriedade da homogeneidade, 
eq. (6.28), e a pela propriedade da translação (time shift), eq. (6.36), ou seja: 
 
]n[u4)1n(5]n[x 1n ⋅⋅+⋅= 
  
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
39 
 
Exemplo 6.16: 
 
Considere X(z) dado por 
 
22
2
21
1
)2z(
6z
4z4z
z6z
z4z41
z61)z(X
+
+
=
++
+
=
++
+
=
−−
−
 
 
 
Aqui o polinómio do denominador 
 
4z4z)z(q 2 ++= , 
 
e novamente a eq. (6.51) é satisfeita pois neste caso b = –4 e c = 4. Além disso, 
24 ==ρ e o pólo duplo é z = –ρ = –2. 
 
Logo, reescrevemos X(z) na forma 
 
1
22 z)2z(
z6)2z(
z)z(X −⋅
+
⋅−
+
=
 
 
que equivale a 
 
1
22 z)2z(
z)2(3)2z(
z)2(
2
1)z(X −⋅
+
⋅−
⋅−
+
⋅−
⋅





−=
 
 
Desta forma x[n], a Transformada z inversa de X(z), é facilmente obtida pela 
eq. (6.50), pela propriedade da linearidade, eq. (6.30), e a pela propriedade da trans-
lação (time shift), eq. (6.31) ou, neste caso, eq. (6.35). ou seja: 
 
]1n[u)2()1n(3]n[un)2(
2
1]n[x 11n1n −⋅−⋅−⋅−⋅⋅−⋅−= − 
  
 
 
 
 Caso 4 – Pólos múltiplos na origem 
 
 
O caso particular de pólos múltiplos em z = 0 será considerado separadamente aqui. 
Já vimos acima, no caso 3, que a condição da eq. (6.44) para o caso 2 de pólos com-
plexos conjugados, i.e., 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
40 
 
 
ρ > 0 e 0 < θ < pi 
 
não inclui 
 
 
θ = 0 e θ = pi 
 
e estes são os casos que temos pólos duplos em z ≠ 0. Mas esta condição da eq. (6.44) 
também não inclui 
 
ρ = 0 
 
 
pois novamente, neste caso, os pólos de X(z) deixam de ser complexos e passam a ser 
duplos, mas agora em z = 0. Note que se ρ = 0, X(z) da eq. (6.43) torna-se 
 
 
1
z
z
)0z(
z
z)cos2(z
z)z(X 2
2
2
2
22
2
==
−
=
ρ+θρ−
=
 
 
 
ou seja, pólos duplos na origem (i.e., em z = ρ = 0). 
 
Usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e facilmente calcular 
)]z(X[]n[x 1−=Z
 é o impulso unitário 
 
]n[u]n[x o= 
 
Podemos facilmente generalizar para mais pólos múltiplos na origem: No caso de 
pólos triplos na origem (pólos triplos em z = 0), X(z) terá a expressão: 
 
z
1
)0z(
z)z(X 3
2
=
−
=
 
 
e a Transformadas z, pela tabela Tab 6.1 da secção 6.8 fica: 
 
]1n[u]n[x o −= 
 
No caso de pólos quádruplos em z = 0, X(z) terá a expressão: 
 
24
2
z
1
)0z(
z)z(X =
−
=
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
41 
 
e a Transformadas z, pela tabela Tab 6.1 da secção 6.8 será: 
 
]2n[u]n[x o −= 
 
e assim por diante. Generalizando, se 
 
k
z
1)z(X =
 , k = 0, 1, 2, … 
então 
 
]kn[u]n[x o −= 
 
 
 
 
6.12 – Solução de equações de diferenças usando Transformadasz 
 
 
A Transformada z é útil para a solução de equações de diferenças, de forma seme-
lhante ao uso da transformada de Laplace na solução de equações diferenciais ordi-
nárias (EDO). 
 
Para a resolução de equações de diferenças com o uso da Transformada z, a proprie-
dade da translação (“time shift”) [equações eq. (6.31) – eq. (6.38)] é tão importante 
como era a propriedade da derivada no caso da Transformada de Laplace na resolu-
ção de EDO. 
 
Equações de diferenças descrevem a dinâmica de sistemas discretos onde x[n] é a 
entrada (“input”) e y[n] é a saída (“output”). 
 
 
 
Fig. 6.6 – Diagrama de blocos (caixa preta) de um sistema. 
 
 
Normalmente, a entrada x[n] é conhecida e as condições iniciais da saída y[n], isto é, 
 
y[–1], y[–2], y[–3], etc. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
42 
 
O número de condições iniciais necessárias para resolver a equação de diferenças é a 
ordem da própria equação de diferenças (que é a ordem do sistema). Logo, se for de 
1ª ordem, precisa-se de y[–1]; se for de 1ª ordem, precisa-se de y[–1] e y[–2], e assim 
por diante. 
 
 
Exemplo 6.17: 
 
Considere a equação às diferenças de 1ª ordem. 
 
 
]n[x]1n[y3]n[y =−+
 eq. (6.52) 
 
com condição inicial nula, y[–1] = 0. 
 
Fazendo-se a a Transformada z da eq. (6.52) termo a termo, com o uso da eq. (6.31), 
 
)z(X)z(Yz3]z[Y 1 =⋅+ −
 
isto é, 
 
( ) )z(Xz31]z[Y 1 =+⋅ −
 
e logo, 
 
 
)z(X
3z
z)z(X
z31
1]z[Y 1 ⋅+=⋅+= − eq. (6.53) 
 
e o problema de achar a solução y[n] da equação de diferença da eq. (6.52) se con-
verte no problema de achar a Transformada z inversa de Y(z) da eq. (6.53). Ou seja 
 
y[n] = Z –1{Y(z)} 
 
 
Se x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto), por exemplo, então X(z) = 1 e, da 
eq. (6.53): 
 
{ }






+
==
3z
z]z[Y]n[y 1-1- ZZ
 
 
ou seja, 
 
 
]n[u)3(]n[y 1n ⋅−= eq. (6.54) 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
43 
 
que é a solução da equação de diferenças eq. (6.52) com condição inicial nula, i.e., 
y[–1] = 0 e entrada x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto). 
 
Pode-se facilmente verificar que ]n[u)3(]n[y 1n ⋅−= de facto satisfaz a eq. (6.52) 
com x[n] = uo[n] e que y[–1] = 0. 
 
Se entretanto x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto), então X(z) = 1/(z – 1) e portanto, 
da eq. (6.53): 
 
{ } ( ) ( ) ( ) ( ) 




−
+
+
=






−
⋅
+
==
1z
Bz
3z
Az
1z
z
3z
z]z[Y]n[y 1-1-1- ZZZ
 
 
e facilmente se calcula que A = ¾ e B = ¼ . Logo, 
 
( ) ( ) 




−
⋅




+
+
⋅





=
1z
z
4
1
3z
z
4
3]n[y 1-Z
 
 
e agora, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, e pela proprie-
dade da linearidade (secção 6.10) obtém-se: 
 
 
]n[u
4
1)3(
4
3]n[y 1n ⋅








+−⋅





=
 eq. (6.55) 
 
que é a solução da equação de diferenças eq. (6.52) com condição inicial nula, i.e., 
y[–1] = 0 e entrada x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto). 
 
Pode-se facilmente verificar que y[n] dado pela eq. (6.55) de facto satisfaz a 
eq. (6.52) com x[n] = u1[n] e que a condição inicial, y[–1] = 0, se verifica. 
  
 
 
 
Exemplo 6.18: 
 
Considere agora a mesma equação de diferenças eq. (6.52), do exemplo anterior 
(exemplo 6.17), ou seja, 
 
 
]n[x]1n[y3]n[y =−+
 eq. (6.56) 
 
mas desta vez com condições inicial dada por: 
 
y[–1] = 1 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
44 
 
Portanto aqui temos que utilizar a propriedade da translação (“shift”) eq. (6.31), o que 
nos dá, para Transformada z desta equação de diferenças: 
 
)z(X)z(Yz3]1[y3)z(Y 1 =⋅⋅+−⋅+ − 
 1 
 
e portanto, 
 
)z(X3]z31[)z(Y 1 +−=⋅+⋅ −
 
 
ou seja, 
 
 
)z(X)z31(
1
)z31(
3)z(Y 11 ⋅++
−
=
−−
+
 eq. (6.57) 
 
 zero input zero state 
 
 response response
 
 
 
Podemos observar que se x[n] e y[n] forem respectivamente a entrada e a saída de um 
sistema discreto, então a saída y[n] será composta de duas partes que podemos identi-
ficar nas parcelas da sua Transformada z, Y(z). 
 
A primeira parcela Y(z) (chamada de “zero input response”), corresponde à saída do 
sistema apenas pelo efeito das condições iniciais, ou seja, com entrada x[n] = 0. 
 
A segunda parcela Y(z) (chamada de “zero state response”), corresponde à saída do 
sistema apenas pelo efeito da entrada x[n], ou seja, com condições iniciais nulas. 
 
Consideremos agora que a entrada x[n] é o sinal: 
 
x[n] = 8⋅u1[n] 
 
Logo, )1z(
z8
)z1(
8)z(X 1
−
=
−
=
−
 e portanto a eq. (6.57) torna-se 
 
 
)1z)(3z(
z8
)3z(
z3
)z1)(z31(
8
)z31(
3)z(Y
2
111
−+
+
+
−
=
−+
+
+
−
=
−−−
 eq. (6.58) 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
45 
 
o que permite acharmos a solução y[n] da equação de diferença eq. (6.56) através da 
sua Transformada z inversa 
 
{ })z(Y]n[y 1−=Z
 
 
 
Portanto, fazendo a expansão de eq. (6.58) em fracções parciais, temos 
 
)1z(
z2
)3z(
z3)z(Y
−
+
+
=
 
 
 
e logo, com auxílio da tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, obtemos 
 
 
[ ] ]1n[u2)3(3
]1n[u2]1n[u)3(3]n[y
1
11
n
n
+⋅+−⋅=
+⋅++⋅−⋅=
 eq. (6.59) 
 
 
que é a solução da equação de diferenças eq. (6.56) com condição inicial y[–1] = 1 e 
entrada x[n] = 8u1[n]. 
 
 
Note que, como a equação de diferenças eq. (6.56) é de 1ª ordem e y[–1] ≠ 0, foi 
necessário recuar uma unidade de tempo, o que corresponde de u1[n] para u1[n+1]. 
 
Pode-se facilmente verificar que y[n] dado pela eq. (6.59) de facto satisfaz a 
eq. (6.56) com x[n] = 8u1[n] e que a condição inicial, y[–1] = 1, se verifica. 
  
 
 
 
Exemplo 6.19: 
 
Considere a equação às diferenças de 1ª ordem 
 
 
]1n[x
2
1]n[x]1n[y
3
1]n[y −+=−−
 eq. (6.60) 
 
com condição inicial nula, isto é, y[–1] = 0, onde a entrada x[n] é 
 
x[n] = u1[n] = degrau unitário discreto. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
46 
 
Usando a eq. (6.31) achamos a Transformada z da eq. (6.60) termo a termo 
 
[ ]( ) [ ]( ))z(Xz1x
2
1)z(X)z(Yz1y
3
1]z[Y 11 ⋅+−⋅+=⋅+−⋅− −−
 eq. (6.61) 
 0 0 
 
 
Note também X(z) = 1/(1 – z-1) e que x[–1] = u1[–1] = 0. Logo, 
 
 X(z) 
 
 





−
⋅




 +=⋅




 +=⋅





−
−
−−−
1
111
z1
1
z
2
11)z(Xz
2
11]z[Yz
3
11
 
 
e portanto, 
 
 
( )1z
3
1
z
z
2
1
z
z1
1
z
3
11
z
2
11
]z[Y
2
1
1
1
−⋅





−






+
=






−
⋅






−






+
=
−
−
−
 eq. (6.62) 
 
e mais uma vez pode-se achar a solução y[n] de uma equação de diferenças, neste 
caso da eq. (6.60), achando-se a Transformada z inversa de Y(z), neste caso da 
eq. (6.62), ou seja, 
y[n] = Z –1{Y(z)}. 
 
Agora, fazendo a expansão em fracções parciais de eq. (6.62), obtemos: 
 
( ) ( )1z
z25,2
3/1z
z25,1]z[Y
−
+
−
−
=
 
 
e logo, com auxílio da tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, obtemos a 
solução da equação de diferenças eq. (6.60) com condição inicial nula: 
 
 
]n[u25,2
3
125,1]n[y 1
n
⋅





+





⋅−=
 eq. (6.63) 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
47 
 
que é a solução da equação de diferençaseq. (6.60) com condição inicial nula, i.e., 
y[–1] = 0 e entrada x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto). 
 
Pode-se facilmente verificar que y[n] dado pela eq. (6.63) de facto satisfaz a 
eq. (6.60) com x[n] = u1[n] e que a condição inicial, y[–1] = 0, se verifica. 
  
 
 
 
Exemplo 6.20: 
 
Considere novamente a equação de diferenças de 1ª ordem eq. (6.60) do exemplo 
anterior (exemplo 6.19), 
 
 
]1n[x
2
1]n[x]1n[y
3
1]n[y −+=−−
 eq. (6.64) 
 
com condição inicial nula, isto é, y[–1] = 0, mas com a entrada x[n] 
 
x[n] = impulso unitário discreto = uo[n]. 
 
 
Neste caso X(z) = 1; x[–1] = uo[–1] = 0; e Y(z) é semelhante ao dado pela eq. (6.61) 
 
[ ]( ) [ ]( ))z(Xz1x
2
1)z(X)z(Yz1y
3
1]z[Y 11 ⋅+−⋅+=⋅+−⋅− −−
 
 0 1 0 1 
 
e portanto, 
 
 






−






+
=






−






+
=
−
−
3
1
z
2
1
z
z
3
11
z
2
11
]z[Y
1
1
 eq. (6.65) 
 
 
e mais uma vez a solução y[n] da equação de diferenças eq. (6.64) é a Transfor-
mada z inversa de Y(z) ), neste caso da eq. (6.65), ou seja, 
 
y[n] = Z –1{Y(z)}. 
 
Reescrevendo Y(z) em eq. (6.65) como 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
48 
 
1z
3
1
z
z
2
1
3
1
z
z
3
1
z
2
1
3
1
z
z]z[Y
−
⋅






−
⋅
+






−
=






−
+






−
=
 
 
e fazendo uso da tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e da eq. (6.36), 
obtemos 
 
 
]1n[u
3
1
2
1]n[u
3
1]n[y 11
1nn
−⋅





⋅+⋅





=
−
 eq. (6.66) 
 
que é a solução da equação de diferenças eq. (6.64) com condição inicial nula, i.e., 
y[–1] = 0 e entrada x[n] = uo[n]. 
 
Pode-se também verificar que y[n] dado pela eq. (6.66) de facto satisfaz a equação de 
diferenças eq. (6.64) com x[n] = uo[n] e que a condição inicial, y[–1] = 0, se verifica.  
 
 
Exemplo 6.21: 
 
Considere novamente a equação de diferenças de 1ª ordem eq. (6.60) usada nos dois 
exemplos anteriores (exemplo 6.19 e 6.20), 
 
 
]1n[x
2
1]n[x]1n[y
3
1]n[y −+=−−
 eq. (6.67) 
 
com condição inicial y[–1] = 2, e a entrada x[n] dada por 
 
x[n] = impulso unitário discreto = uo[n]. 
 
 
Neste caso X(z) = 1; x[–1] uo[–1] = 0; e Y(z) é semelhante ao dado pela eq. (6.61) 
 
[ ]( ) [ ]( ))z(Xz1x
2
1)z(X)z(Yz1y
3
1]z[Y 11 ⋅+−⋅+=⋅+−⋅− −−
 
 2 1 0 1 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
49 
 
e portanto, 
 
11 z
2
11
3
2)z(Yz
3
1]z[Y −− ⋅++=⋅⋅−
 
 
logo, 
 
 






−





 +
+






−






=






−





 +
+






−






=
−
−
−
3
1
z
2
1
z
3
1
z
z
3
2
z
3
11
z
2
11
z
3
11
3
2
]z[Y
1
1
1
 eq. (6.68) 
 
e a solução y[n] da equação de diferenças eq. (6.67) é uma vez mais a Transfor-
mada z inversa de Y(z) ), neste caso da eq. (6.68), ou seja, 
 
y[n] = Z –1{Y(z)}. 
 
 
Reescrevendo Y(z) em eq. (6.68) como 
 
1z
3
1
z
z
2
1
3
1
z
z
3
1
z
z
3
5
3
1
z
2
1
3
1
z
z
3
1
z
z
3
2
]z[Y
−
⋅






−
⋅





+






−
+






−
⋅





=






−
+






−
+






−
⋅





=
 
 
 
e fazendo uso da tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e da eq. (6.31), 
obtemos 
 
 
]n[u
3
1
2
1]n[u
3
1]1n[u
3
1
3
5]n[y 111
1nnn
⋅





⋅





+⋅





++⋅





⋅





=
−
 eq. (6.69) 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
50 
 
que é a solução da equação de diferenças eq. (6.67) com condição inicial y[–1] = 2 e 
entrada x[n] = uo[n]. 
 
Note que, como a equação de diferenças eq. (6.67) é de 1ª ordem e y[–1] ≠ 0, foi 
necessário recuar uma unidade de tempo, o que corresponde de u1[n] para u1[n+1]. 
 
Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.69) de facto satisfaz a a equação de dife-
renças eq. (6.67) com x[n] = uo[n] e que a condição inicial, y[–1] = 2, se verifica. 
  
 
 
Exemplo 6.22: 
 
Considere a equação às diferenças de 2ª ordem. 
 
 
]n[x]2n[y6]1n[y5]n[y =−+−+
 eq. (6.70) 
 
com condições iniciais nulas, isto é: y[–1] = 0 e y[–2] = 0. 
 
Observe que, como a equação de diferenças eq. (6.70) é de 2ª ordem, aqui foi neces-
sário duas condições iniciais: y[–1] e y[–2]. 
 
Com o uso da eq. (6.32), achamos a Transformada z da eq. (6.70), 
 
)z(X)z(Yz6)z(Yz5]z[Y 21 =⋅+⋅+ −−
 
 
logo, 
 
)z(X]z6z51[]z[Y 21 =++⋅ −−
 
 
e portanto, 
 
 
( )
( ) )z(X)3z)(2z(
z)z(X
6z5z
z
)z(X
z6z51
1)z(Y
22
21
⋅
++
=⋅
++
=
⋅
++
=
−−
 eq. (6.71) 
 
e novamente a tarefa de encontrar a solução y[n] da equação de diferença da 
eq. (6.70) é convertido no problema de achar a Transformada z inversa de Y(z) da 
eq. (6.71). Isto é, 
 
y[n] = Z -1{Y(z)} 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
51 
 
Se x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto), então X(z) = 1 e então, da eq. (6.71): 
 
{ }






+
+
+
=






++
== )3z(
Bz
)2z(
Az
)3z)(2z(
z]z[Y]n[y 1-
2
1-1-
ZZZ
 
 
e facilmente se calcula que A = 0,6 e B = 0,4. Logo, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 




+
⋅+
+
⋅=
3z
z4,0
2z
z6,0]n[y 1-Z
 
 
e agora, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, e pela proprie-
dade da linearidade (secção 6.10): 
 
 
( ) ( )[ ] ]n[u)3(4,0)2(6,0]n[y 1nn ⋅−⋅+−⋅= eq. (6.72) 
 
que é a solução da equação de diferenças eq. (6.70) com condições iniciais nulas, e 
entrada x[n] = uo[n]. 
 
Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.72) de facto satisfaz a a equação de dife-
renças eq. (6.70) com x[n] = uo[n] e que as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, se verifi-
cam. 
 
Se entretanto x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto), então X(z) = 1/(z – 1) e então, da 
eq. (6.71): 
 
{ } ( ) ( ) ( ) 




−
+
+
+
+
=






−
⋅
++
==
1z
Cz
3z
Bz
)2z(
Az
1z
z
)3z)(2z(
z]z[Y]n[y 1-
2
1-1-
ZZZ
 
 
e facilmente se calcula que A = 0,25 , B = –0,333 e C = 0,0833 . Logo, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 




−
⋅+
+
⋅−
+
⋅=
1z
z0833,0
3z
z333,0
2z
z25,0]n[y 1-Z
 
 
e agora, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, e pela proprie-
dade da linearidade (secção 6.10): 
 
( ) ( ) ( ) ]n[u0833,0]n[u)3(333,0]n[u)2(25,0]n[y 111 nn ⋅+⋅−⋅−⋅−⋅= 
 
ou seja, 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
52 
 
 
( ) ( ) ( )[ ] ]n[u0833,0)3(333,0)2(25,0]n[y 1nn ⋅+−⋅−−⋅= eq. (6.73) 
 
que é a solução da equação de diferenças eq. (6.70) com condições iniciais nulas, e 
entrada x[n] = u1[n]. 
 
Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.73) de facto satisfaz a a equação de dife-
renças eq. (6.70) com x[n] = uo[n] e que as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, se verifi-
cam. 
  
 
 
 
Exemplo 6.23: 
 
Considere a equação de diferenças de 2ª ordem do exemplo anterior, mas na forma 
homogénea, isto é, 
 
 
0]2n[y6]1n[y5]n[y =−+−+
 eq.(6.74) 
 
e com as condições iniciais 
 
 y[–1] = 1 e y[–2] = 0 
 
Equações de diferenças homogéneas representam sistemas livres, ou seja, sistemas 
que não têm entrada (“input”), i.e., x[n] = 0. A saída (“output”) destes sistemas é 
apenas pelo efeito das condições iniciais. 
 
 
Fig. 6.7 – Um sistema livre, a entrada x[n] = 0. 
 
 
Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.74) termo a termo 
 
[ ] [ ] 0)z(Yzz]1[y]2[y6)z(Yz]1[y5)z(Y 211 =⋅+⋅−+−⋅+⋅+−⋅+ −−−
 
 
 1 0 1 
 
ou seja, 
 
121 z65)z6z51()z(Y −−− −−=++⋅
 
 
e portanto, 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
53 
 
)3z(
Bz
)2z(
Az
)6z5z(
z6z5
)z6z51(
z65)z(Y 2
2
21
1
+
+
+
=
++
−−
=
++
−−
=
−−
−
 
 
onde facilmente calcula-se que A = 4 e B = –9. Logo, usando a tabela Tab 6.1 das 
Transformadas z da secção 6.8, temos que y[n] = Z –1{Y(z)} é dado por 
 
 
( ) ( )
]2n[u)3924(
]2n[u39]2n[u24]n[y
1
nn
1
n
1
n
+⋅⋅−⋅=
+⋅−⋅−+⋅−⋅=
 eq. (6.75) 
 
que é a solução da equação de diferenças eq. (6.74) com condições iniciais y[–1] = 1 
e y[–2] = 0, e entrada x[n] = 0. 
 
Note que, como a equação de diferenças eq. (6.74) é de 2ª ordem e as condições ini-
ciais são ≠ 0, foi necessário recuar duas unidade de tempo, o que corresponde de 
u1[n] para u1[n+2], embora aqui bastava uma unidade de tempo pois y[–1] ≠ 0 mas 
y[–2] = 0. 
 
Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.75) de facto satisfaz a a equação de dife-
renças eq. (6.74) com x[n] = 0 e as condições y[–1] = 1 e y[–2] = 0, de facto se veri-
ficam. 
  
 
 
 
Exemplo 6.24: 
 
Considere a equação de diferenças de 2ª ordem 
 
 
]n[x]2n[y2]1n[y]n[y =−−−−
 eq. (6.76) 
 
com condições iniciais 
 
 0]1[y =− e 1]2[y =− 
 
e a entrada x[n] dada por x[n] = u1[n] = degrau unitário discreto. 
 
Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.76) termo a termo 
 
[ ] [ ] )z(X)z(Yzz]1[y]2[y2)z(Yz]1[y)z(Y 211 =⋅+⋅−+−⋅−⋅+−− −−−
 
 
 0 1 0 1/(1 – z-1) 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
54 
 
ou seja, 
 
)z1(
12)z2z1()z(Y 121 −−−
−
+=−−⋅
 
 
e portanto, 
 
)1z(
Cz
)2z(
Bz
)1z(
Az
)1z)(z2z1(
z
)2zz(
z2
)z1)(z2z1(
1
)z2z1(
2)z(Y
21
3
2
2
12121
−
+
−
+
+
=
−−−
+
−−
=
−−−
+
−−
=
−−
−−−−−
 
 
 
onde facilmente calcula-se que A = 5/6, B = 8/3 e C = –1/2. Logo, usando a tabela 
Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, temos que y[n] = Z -1{Y(z)} é dado por 
 
 ]2n[u
2
12
3
8)1(
6
5
]2n[u
2
1]2n[u2
3
8]2n[u)1(
6
5]n[y
1
111
nn
nn
+⋅



−⋅+−⋅=
+⋅−+⋅⋅++⋅−⋅=
 eq. (6.77) 
 
que é a solução da equação de diferenças eq. (6.76) com condições iniciais y[–1] = 0 
e y[–2] = 1, e entrada x[n] = u1[n]. 
 
Note que, como a equação de diferenças eq. (6.76) é de 2ª ordem e as condições ini-
ciais são ≠ 0, foi necessário recuar duas unidades no tempo, o que corresponde de 
u1[n] para u1[n+2]. 
 
Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.77) de facto satisfaz a equação de diferen-
ças eq. (6.76) com x[n] = u1[n] e as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 1, de facto se veri-
ficam. 
  
 
Exemplo 6.25: 
 
Considere a equação de diferenças abaixo com condições iniciais nulas: y[–1] = 0 e 
y[–2] = 0, e entrada x[n] = uo[n] = impulso unitário discreto, (logo X(z) = 1), 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
55 
 
 
y[n] y[n 1] 4 y[n 2] x[n]− − + − = eq. (6.78) 
 
Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.78) termo a termo 
 [ ] [ ] )z(X)z(Yzz]1[y]2[y4)z(Yz]1[y)z(Y 211 =⋅+⋅−+−⋅+⋅+−− −−−
 
 
 0 0 0 1 
 
ou seja, 
 
1)z4z1()z(Y 21 =+−⋅ −−
 
 
e portanto, 
 
 )4zz(
z
)z4z1(
1)z(Y 2
2
21 +−
=
+−
=
−−
 eq. (6.79) 
 
Entretanto, pelo exemplo 6.12, sabemos que para Y(z) dado acima em eq. (6.79), y[n] 
= Z 
-1{Y(z)} é dado por 
 
 
]n[u)318,1(sen
]318,1)1n[(sen2]n[y 1
n
⋅
⋅+⋅
=
 eq. (6.80) 
 
que é a solução da equação de diferenças eq. (6.78) com condições iniciais nulas (i.e., 
y[–1] = 0 e y[–2] = 0), e entrada x[n] = uo[n]. 
 
Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.80) de facto satisfaz a equação de diferen-
ças eq. (6.78) com x[n] = uo[n] e as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, de facto se veri-
ficam. 
  
 
 
Exemplo 6.26: 
Considere a equação de diferenças abaixo com condições iniciais nulas: y[–1] = 0 e 
y[–2] = 0, e entrada x[n] = uo[n] = impulso unitário discreto, (logo X(z) = 1), 
 
 
y[n] 5 y[n 1] 10 y[n 2] x[n]+ − + − = eq. (6.81) 
 
Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.81) termo a termo 
 
[ ] [ ] )z(X)z(Yzz]1[y]2[y10)z(Yz]1[y5)z(Y 211 =⋅+⋅−+−⋅+⋅+−⋅+ −−−
 
 
 0 0 0 1 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
56 
 
ou seja, 
1)z10z51()z(Y 21 =++⋅ −−
 
 
e portanto, 
 
 )10z5z(
z
)z10z51(
1)z(Y 2
2
21 ++
=
++
=
−−
 eq. (6.82) 
 
Entretanto, pelo exemplo 6.13, sabemos que para Y(z) dado acima em eq. (6.82), y[n] 
= Z 
-1{Y(z)} é dado por 
 
 
( ) ]n[u)482,2(sen
]482,2)1n[(sen162,3]n[y 1
n
⋅
⋅+⋅
=
 eq. (6.83) 
 
que é a solução da equação de diferenças eq. (6.81) com condições iniciais nulas (i.e., 
y[–1] = 0 e y[–2] = 0), e entrada x[n] = uo[n]. 
 
Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.83) de facto satisfaz a equação de diferen-
ças eq. (6.81) com x[n] = uo[n] e as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, de facto se veri-
ficam. 
  
 
 
 
Exemplo 6.27: 
Considere a equação de diferenças abaixo com condições iniciais nulas: y[–1] = 0 e 
y[–2] = 0, e entrada x[n] = uo[n] = impulso unitário discreto, (logo X(z) = 1), 
 
 
y[n] 6y[n 1] 9y[n 2] x[n]+ − + − = eq. (6.84) 
 
 
Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.84) termo a termo 
 
[ ] [ ] )z(X)z(Yzz]1[y]2[y9)z(Yz]1[y6)z(Y 211 =⋅+⋅−+−⋅+⋅+−⋅+ −−−
 
 
 0 0 0 1 
 
ou seja, 
 
1)z9z61()z(Y 21 =++⋅ −−
 
 
e portanto, 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
57 
 
 
2
2
2
2
21
)3z(
z
)9z6z(
z
)z9z61(
1)z(Y
+
=
++
=
++
=
−−
 eq. (6.85) 
 
Entretanto, pelo exemplo 6.14, sabemos que para Y(z) dado acima em eq. (6.85), y[n] 
= Z 
-1{Y(z)} é dado por 
 
 
]n[u)3()1n(]n[y 1n ⋅−⋅+= eq. (6.86) 
 
que é a solução da equação de diferenças eq. (6.84) com condições iniciais nulas (i.e., 
y[–1] = 0 e y[–2] = 0), e entrada x[n] = uo[n]. Pode-se verificar que y[n] dado pela 
eq. (6.86) de facto satisfaz a equação de diferenças eq. (6.84) com x[n] = uo[n] e as 
condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, de facto se verificam. 
  
 
 
Exemplo 6.28: 
 
Considere a equação de diferenças abaixo com condições iniciais nulas: y[–1] = 0 e 
y[–2] = 0, e entrada x[n] = uo[n] = impulso unitário discreto, (logo X(z) = 1), 
 
 
y[n] 8y[n 1] 16y[n 2] 5x[n]− − + − = eq. (6.87) 
 
Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.87) termo a termo 
 
[ ] [ ] )z(X5)z(Yzz]1[y]2[y16)z(Yz]1[y8)z(Y 211 ⋅=⋅+⋅−+−⋅+⋅+−⋅− −−−
 
 
 0 0 0 1 
 
 
ou seja, 
 
5)z16z81()z(Y 21 =+−⋅ −−
 
 
e portanto, 
 
 
2
2
2
2
21
)4z(
z
)16z8z(
z5
)z16z81(
5)z(Y
−
=
+−
=
+−
=
−−
 eq. (6.88) 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
58 
 
Entretanto, pelo exemplo 6.15, sabemos que para Y(z) dado acima pela expressão 
eq. (6.88), y[n] = Z -1{Y(z)} é dado por 
 
 
]n[u4)1n(5]n[y 1n ⋅⋅+⋅= eq. (6.89) 
 
que é a solução da equaçãode diferenças eq. (6.87) com condições iniciais nulas (i.e., 
y[–1] = 0 e y[–2] = 0), e entrada x[n] = uo[n]. Pode-se verificar que y[n] dado pela 
eq. (6.89) de facto satisfaz a equação de diferenças eq. (6.87) com x[n] = uo[n] e as 
condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, de facto se verificam. 
 
 
 
  
6.13 – A resposta impulsional h[n] e H(z) 
 
 
Note que no exemplo 6.17 para acharmos a Transformada z inversa de Y(z) 
eq. (6.53), era necessário conhecer a entrada x[n], ou melhor, X(z). O mesmo também 
ocorria com os demais exemplos 6.18 a 6.28. 
 
As equações de diferenças como as dos exemplos da secção anterior descrevem a 
dinâmica de sistemas discretos em que x[n] é a entrada, y[n] é a saída. Vamos ver 
agora que em um sistema linear e invariante no tempo (SLIT), a resposta do à entrada 
do impulso (i.e., h[n] = a resposta impulsional) pode ser obtida quando resolvermos 
a sua equação de diferença que descreve o sistema fazendo as condições iniciais nulas 
e a entrada x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto), ou seja, X(z) = 1. 
 
x[n] y[n]
h[n]
 
Fig. 6.8 – Diagrama de bloco esquemático de um sistema 
discreto com entrada x[n], saída y[n] e resposta 
impulsional h[n]. 
 
 
Conforme visto no capítulo 4 (Sistemas), em um sistema linear e invariante no tempo 
(SLIT) a resposta impulsional (“impulse response”) h[n] é a saída do sistema quando 
a entrada x[n] é um impulso uo[n]. 
 
Um resultado clássico da teoria de sistemas, que vimos na secção 4.5, é que a saída 
y[n] de um sistema como o da figura 6.8 é a convolução entre h[n] e x[n], ou seja 
 
]n[x*]n[h]n[y =
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
59 
 
isto é, a saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) toma a forma da soma 
de convolução 
 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]kxknhnxnhny
k
⋅−=∗= ∑
+∞
−∞=
. 
 
Usando a propriedade da convolução para a Transformada z, eq. (6.39) (i.e., a trans-
formada da convolução é o produto das transformadas), temos então que: 
 
 
)z(X)z(H)z(Y ⋅=
 eq. (6.90) 
 
e podemos redesenhar o diagrama da figura 6.8 acima na forma abaixo (figura 6.9): 
 
 
Fig. 6.9 – Diagrama de bloco esquemático de um sistema 
discreto com entrada X(z), saída Y(z) e resposta 
impulsional H(z). 
 
 
Como a Transformada z do impulso unitário uo[n] é 1 ( Z {uo[n]} = 1 ), então quando 
a entrada x[n] é um impulso uo[n] (i.e., se x[n] = uo[n] ) teremos que X(z) = 1 e por-
tanto, pela eq. (6.90), neste caso Y(z) = H(z), o que implica ⇒ y[n] = h[n], ou seja, a 
saída y[n] se torna a resposta impulsional, como seria de se esperar. 
 
 
Fig. 6.10 – Diagrama de bloco esquemático da resposta 
impulsional h[n], a saída do sistema quando a 
entrada é o impulso uo[n] (sistema discreto). 
 
 
 
Exemplo 6.29: 
Retomando o sistema do exemplo 6.17, comparando a eq. (6.53) com a eq. (6.90) 
obtemos 
 ( ) ( )3z
z
z31
1)z(H 1
−
=
−
=
−
 eq. (6.91) 
 
que é a Transformada z de h[n]. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
60 
 
Isto é consistente com a definição de h[n] (resposta impulsional), pois se a entrada 
x[n] = uo[n] = impulso unitário discreto então X(z) = 1 e, pela eq. (6.90), temos que 
 
Y(z) = H(z) 
 
ou seja, a saída y[n] = h[n], conforme a própria definição de h[n]. 
 
Da eq. (6.91) também concluímos que este sistema tem um pólo em z = –3. 
 
Da eq. (6.54) obtemos a expressão de h[n]: 
 
]n[u)3(]n[h 1n ⋅−= 
  
 
 
 
Exemplo 6.30: 
 
Retomando o sistema do exemplo 6.22, comparando a eq. (6.71) com a eq. (6.90) 
obtemos 
 
 
( )
( ) )3z)(2z(
z
6z5z
z
z6z51
1)z(H
22
21
++
=
++
=
++
=
−−
 eq. (6.92) 
 
que é a Transformada z de h[n]. 
 
Novamente, isto é consistente com a definição de h[n] (resposta impulsional do sis-
tema), pois se a entrada x[n] = impulso unitário discreto, isto é, 
 
x[n] = uo[n], 
 
então X(z) = 1 e, pela eq. (6.90), temos que Y(z) = H(z) ou seja, a saída y[n] = h[n], 
conforme a própria definição de h[n]. 
 
Da eq. (6.92) também concluímos que este sistema tem dois pólos: z = –2 e z = –3. 
 
Da eq. (6.72) obtemos a expressão de h[n]: 
 
 
( ) ( )[ ] ]n[u)3(4,0)2(6,0]n[h 1nn ⋅−⋅+−⋅= 
  
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
61 
 
Exemplo 6.31: 
 
Retomando o sistema do exemplo 6.25, comparando a eq. (6.79) com a eq. (6.90) 
obtemos 
 )4zz(
z
)z4z1(
1)z(H 2
2
21 +−
=
+−
=
−−
 eq. (6.93) 
 
que é a Transformada z de h[n]. Mais uma vez, isto é consistente com a definição de 
h[n] (resposta impulsional do sistema), pois se a entrada x[n] = impulso unitário dis-
creto, isto é, x[n] = uo[n], então X(z) = 1 e, pela eq. (6.90), temos que Y(z) = H(z) ou 
seja, a saída y[n] = h[n], conforme a própria definição de h[n]. 
 
Da eq. (6.92) também concluímos que este sistema tem pólos: z = –0,5 ± 1,9365j. 
 
Da eq. (6.80) obtemos a expressão de h[n]: 
 
]n[u)318,1(sen
]318,1)1n[(sen2]n[h 1
n
⋅
⋅+⋅
=
 
  
 
 
 
Exemplo 6.32: 
 
Considere equação de diferenças de 1ª ordem 
 
 
]n[x]1n[ya]n[y =−⋅−
 eq. (6.94) 
 
 
com condição inicial nula (i.e, y[–1] = 0). Usando a eq. (6.32) achamos a Transfor-
mada z da eq. (6.94) termo a termo 
 
)z(X]za1[)z(Y 1 =⋅−⋅ −
 
 
e então, 
 
)z(X)az(
z
)z(X
az1
1)z(Y 1
⋅
−
=
⋅
−
=
−
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z 
 
62 
 
Portanto, se x[n] e y[n] forem respectivamente a entrada e a saída de um sistema, 
então, usando a eq. (6.90), temos que: 
 
0 1 2 3
...
h[n] = an . u1[n]
n
caso a < 11
 
Fig. 6.11 – Esboço de h[n] a resposta impulsional sistema descrito pela eq. (6.94), 
caso a < 1. 
 
 
)az(
z
)az1(
1)z(H 1
−
=
−
=
−
 
 
 
Logo, este sistema tem um pólo z = a. 
 
Usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 obtemos h[n], a resposta 
impulsional sistema à entrada impulso unitário 
 
[ ] [ ]n 1h n a u n= ⋅ 
 
conforme ilustrado na figura 6.11 para o caso a < 1. 
 