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1 Matemática Básica Aula Interativa 6 Prof. Dr. Nelson Pereira Castanheira Contextualização Onde e como esses conhecimentos o ajudam no dia a dia? Razão e Proporção Regras de Três Porcentagem Exponenciais Logaritmos Razão é o quociente entre dois números Representa-se por ࢞࢟ ou por x : y Onde: • x = antecedente • y = consequente Proporção é a igualdade de duas razões • De um modo geral: ࢇ࢈ ൌ ࢉ ࢊ • Lê-se: a está para b, assim como c está para d 2 Valor de uma razão É o resultado da divisão do antecedente pelo consequente Razão entre duas grandezas Razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que medem essas grandezas Regra de Três Simples Em uma proporção na qual um único termo seja desconhecido, podemos calcular esse termo aplicando a propriedade fundamental das proporções Para tal, utilizamos uma regra a qual denominamos Regra de Três Simples Observe que a regra se diz simples, porque envolve somente duas grandezas Envolvendo mais de duas grandezas, ela se denomina regra de três composta Porcentagem Um por cento indica que dividimos o inteiro em 100 partes iguais e consideramos apenas uma dessas partes Representamos por e lemos um por cento Utiliza-se o símbolo % para representar porcentagem • No exemplo anterior: 1% Note que: • 100% = = 1 • Assim, chama-se 100% de unidade Equações Exponenciais Toda equação em que o expoente é uma incógnita São equações da forma y = ax 3 São utilizadas para o cálculo da meia vida de elementos radioativos, população de bactérias etc. Logaritmos Logaritmo de um número N, real e positivo, numa base b, positiva e diferente da unidade, é o expoente x ao qual se eleva a base para se obter uma potência igual ao número N logbN = x bx = N Instrumentalização Quais ferramentas e habilidades devo desenvolver? Termos de uma proporção extremos Meios a : b = c : d 4 Propriedade fundamental das proporções Em qualquer proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos Regra de Três Para encontramos o valor de uma incógnita utilizando a regra de três precisamos: • identificar as grandezas envolvidas • depois verificar se são diretas ou inversamente proporcionais • utilizar os macetes das flechas e calcular o valor da incógnita desconhecida Equações Exponenciais Para a solução de uma equação exponencial, deve-se transformar os dois membros de tal forma que tenhamos (...) (...) potências de mesma base dos dois lados do sinal de igualdade Feito isso, iguala-se os expoentes Logaritmos logb 1 = 0 porque b0 = 1 logb b = 1 porque b1 = b logb bx = x porque bx = bx logb a = logb c a = c 5 Mudança de Base: • ݈݃ ܽ · ܿ ൌ ݈݃ ܽ ݈݃ ܿ ݈݃ ܽ ൌ ݊ · ݈݃ ܽ ݈݃ ܽ ൌ ݈݃ ൌ ݈݃ ܽ െ ݈݃ ܿ Aplicação Onde você aplica esses conhecimentos? Razão e Proporção Cálculo do termo desconhecido 6 ݔ ൌ 3 10 ݔ ൌ 603 ൌ 20 3 · ݔ ൌ 6 · 10 Regra de Três Simples Cinco cadernos custam R$ 180,00. Quanto custam oito desses cadernos? Preço (R$) Cadernos 180 5 x 8 180 ݔ ൌ 5 8 5 · ݔ ൌ 180 · 8 ݔ ൌ 1.4405 ݔ ൌ 288 6 Regra de Três Composta A Empresa ABC Ltda. tem um relatório de 2.160 páginas a ser digitado. Uma secretária executiva digita, em média, 18 páginas por dia trabalhando 4 horas diárias somente na digitação Quantas secretárias executivas, que se dediquem a esse trabalho 8 horas por dia, são necessárias para que o relatório esteja totalmente digitado em 30 dias? Verifique que, se o relatório tem 2.160 páginas e uma secretária digita 18 páginas por dia de trabalho, então serão necessários 120 dias para que essa secretária termine o serviço 2.160 : 18 = 120 Representando em colunas Observação: o tempo é em dias e a jornada é em horas por dia Secretárias Tempo Jornada 1 120 4 x 30 8 Secretárias Tempo Jornada 1 120 4 x 30 8 Analisando Secretárias e Tempo Secretárias Tempo Jornada 1 120 4 x 30 8 Analisando Secretárias e Jornada de Trabalho 7 Estabelecer a proporção entre as grandezas do problema • As razões são: ݔ 1 , 120 30 , 4 8 Preste atenção: para a formação das razões segue-se os sentidos das flechas, por isso invertemos os valores da primeira razão ݔ 1 ൌ 120 30 · 4 8 ݔ 1 ൌ 480 240 ∴ 240 · ݔ ൌ 1 · 480 ݔ ൌ 2 ݏ݁ܿݎ݁ݐáݎ݅ܽݏ Equações Exponenciais Resolva a equação exponencial 5x–3 + 6252 Decompondo 625 em fatores primos, 625 = 54 5x–3 = (54)2 5x–3 = 58 x – 3 = 8 x = 11 Logaritmos Considere 3 = 100,477 e 7 = 100,845 e calcule log2,1 De acordo com a definição de logaritmos, temos: • log2,1 = x • 10x = 2,1 8 O número 21 pode ser escrito como: • Substituindo os dados do enunciado, obteremos: • 10௫ ൌ 3 · 710ଵ 10௫ ൌ 10 ,ସ · 10,଼ସହ 10ଵ Realizando as operações com potências de mesma base, obtemos: 10x = 100,477 + 0,845 – 1 10x = 100,322 Assim, log2,1 = x = 0,322 Síntese Vamos Rever o que Você Aprendeu Razão é o quociente entre dois números Proporção é a igualdade de duas razões Regra de Três Simples É uma regra prática utilizada para resolver certos problemas que envolvem duas grandezas direta ou inversamente (...) 9 (...) proporcionais, cujos valores podem formar uma proporção, sendo desconhecido apenas um dos termos da proporção Regra de Três Composta É uma regra prática utilizada para resolver certos problemas que envolvem mais de duas grandezas direta ou (...) (...) inversamente proporcionais, cujos valores podem formar uma proporção, sendo desconhecido apenas um dos termos da proporção Porcentagem Porcentagem é uma parte do principal, ou seja, uma parte do todo Equações Exponenciais Toda equação em que o expoente é uma incógnita São equações da forma y = ax São utilizadas para o cálculo da meia vida de elementos radioativos, população de bactérias etc. 10 Logaritmos Logaritmo de um número N, real e positivo, numa base b, positiva e diferente da unidade, é o expoente x ao qual se eleva a base para se obter uma potência igual ao número N logbN = x bx = N Referências de Apoio CASTANHEIRA, N. P. Noções básicas de matemática comercial e financeira. Curitiba: Intersaberes, 2008. MACEDO, L. R. D. de; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de matemática aplicada. Curitiba: Intersaberes, 2008. MEDEIROS, V. Z.; CALDEIRA, A. M.; SILVA, L. M. O. da; MACHADO, M. A. S. Pré-cálculo. 2a. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
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