Estatística II

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Análise comparativa dos algoritmos 
EM e SIMEX nos modelos lineares 
mistos aplicados ao análise de 
regressão com erros nas variáveis 
 
Arturo Alejandro Zavala Zavala 
 
 
DISERTAÇÃO APRESENTADA 
AO 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 
DA 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
PARA 
OBTENÇÃO DO GRAU 
DE 
MESTRE EM ESTATISTICA 
 
 
Área de Concentração: Estatística 
Orientador: Prof. Dr. Heleno Bolfarine 
 
Este trabalho foi financiado por a FAPESP 
Processo: 99/07656-0 
 
- São Paulo, Fevereiro do 2001 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este exemplar corresponde à redação final 
da dissertação devidamente corrigida e 
defendida por 
Arturo Alejandro Zavala Zavala 
e aprovada pela comissão julgadora. 
 
 
São Paulo, Fevereiro 2001. 
 
 
 
 
 
Banca Examinadora: 
 
 
- Prof. Dr. Heleno Bolfarine (Orientador) – IME – USP. 
- Prof. Dra. Silvia Nagib Elian – IME – USP. 
- Prof. Dr. Filidor Vilca Labra – IME – UNICAMP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta dissertação é dedicada a: 
 
A Deus por permitir-me a oportunidade de conhecer ao povo 
brasileiro e poder estudar na USP. 
 
A meus queridos pais, Adalberto e Zoraida 
e meu irmão, Oscar, com gratidão. 
 
A minha esposa Carla por sua 
companhia e compreensão. 
 
A minha filha Gabriela 
por ser o meu motivo 
 de viver. 
 
Dedico com carinho e amor. 
 
 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
· A meu Orientador professor Dr. Heleno Bolfarine pela 
orientação no meu trabalho, pelo aporte tanto 
profissional como humana que me deixa. 
 
· Ao Professor Dr. Fabio Prates Machado e sua esposa 
por sua amizade sem eles não estivera estudando neste 
pais. 
 
· A meus amigos Vicente e Gladys pela força e amizade 
que sempre superam oferecer. 
 
· A minha turma do mestrado 1999, Fabio, Edivaldo, 
Josué, Cecília, Claudia, Gissela, Alberto os quais 
incentivaram nesta caminhada. 
 
· A todos meus professores do IME muito obrigado pelas 
aulas e pela amizade. 
 
· Ao pessoal Administrativo do IME pela ajuda. 
 
· A FAPESP pelo apoio financeiro ao presente trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
O objetivo deste trabalho é apresentar a eficiência dos 
estimadores quando são usados os algoritmos SIMEX e EM nos 
modelos de regressão lineares mistos com erros nas variáveis, 
numa primeira etapa apresentamos o análise do algoritmo SIMEX 
num modelo de regressão simples com a finalidade de ver seus 
vantagens, numa segunda etapa apresentamos o modelos de 
regressão linear misto sem erros nas variáveis com a 
finalidade de observar seus estimadores, numa terceira etapa 
consideramos os algoritmos SIMEX e EM num modelo de regressão 
linear misto com erros nas variáveis, observando os 
estimadores obtidos e comparando-los com aqueles obtidos no 
modelo de regressão linear misto sem erros nas variáveis, com 
a finalidade de ver se os estimadores obtidos com os dois 
algoritmos são razoáveis, fazendo também uma comparação entre 
os estimadores obtidos por ambos algoritmos. 
 
Os programas foram feitos no pacote OX para a obtenção 
das estimativas dos algoritmos propostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Abstract 
 
 The objective in this work is show efficient this 
estimators when use the algorithms SIMEX and EM in linear 
mixed measurement error models, in the first part showing the 
algorithm SIMEX in structural measurement error models, in 
the second part showing linear mixed without measurement 
error models with finality see this estimators, in the third 
part propose this algorithms SIMEX and EM in linear mixed 
measurement error model with finality see this estimators and 
compare with estimators without measurement error and also 
compare between algorithms. 
 
 This programs was make in software Ox for obtain this 
algorithms estimators. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 
 
 
1. Introdução ........................................ 1 
 
 
2. O algoritmo SIMEX no modelo de regressão linear simples 
com erros nas variáveis ........................... 6 
2.1 Introdução ................................... 6 
2.2 O problema no modelo de regressão linear simples 
com erros nas variáveis (ENV) ................ 7 
2.3 Descrição do Algoritmo SIMEX ................. 10 
2.4 Estudo da distribuição Assintótica do estimador 
SIMEX ........................................ 16 
2.5 Avaliação do algoritmo SIMEX ................. 29 
 
 
3. Modelos Lineares Mistos. Sem erros nas variáveis .. 36 
3.1 Introdução ................................... 36 
3.2 Obtenção dos estimadores fazendo uso da 
distribuição marginal de Y ................... 38 
3.3 Obtenção dos estimadores fazendo uso da 
distribuição conjunta de Y e a ............... 45 
3.4 Teste de Hipóteses ........................... 50 
3.5 Um estudo de Simulação ....................... 51 
 
 
4. Estudo do viés nos modelos mistos com erros nas 
variáveis ......................................... 63 
4.1 Introdução ................................... 63 
4.2 O problema do viés ........................... 64 
4.3 Algoritmo EM no modelo misto com erros nas 
variáveis. O modelo de Berkson ............... 68 
4.4 Algoritmo SIMEX no modelo misto com erros nas 
variáveis .................................... 71 
4.5 Aplicação dos métodos apresentados ........... 73 
4.6 Algumas considerações finais ................. 88 
 
 
5. Apêndice .......................................... 89 
 
 
6. Referências Bibliográficas ........................ 109 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
 
 
 
 
Introdução. 
 
 Ao avaliar a correlação num conjunto de dados pode-se 
cometer outro tipo de erro diferente do erro usual de 
planejamento. Este erro tem uma peculiaridade de estar ligado 
diretamente a uma determinada variável. Por exemplo, Fuller 
(1987) apresenta um exercício onde se tem interesse em 
avaliar o rendimento da produção de um certo cereal (Y) em 
função da verdadeira porcentagem de Nitrogênio no solo (X). 
Para isso precisamos recolher uma amostra do solo e levá-la a 
um laboratório para que seja analisada, mas ainda com uma 
excelente precisão na medição é impossível o verdadeiro valor 
porcentual do nitrogênio no solo. Pode-se então concluir que 
existem vários erros de medição associados a este simples 
exemplo, onde um deles pode estar ligado ao fato de que a 
amostra obtida não seja a mais representativa por diversas 
causas; outra pode existir um erro nas medições no 
laboratório, e assim outras considerações. Na realidade o que 
se está fazendo é estimar a verdadeira porcentagem de 
nitrogênio (X) através da quantidade observada (W) (estimação 
 2
no laboratório), de modo que o verdadeiro valor nunca poderá 
ser conhecido. Surge então a necessidade de avaliar as 
variáveis Y e W cada uma com seus respectivos erros, o que 
nos leva a considerar o seguinte modelo com erros nas 
variáveis: 
 
uXW
XfY
+=
+= e)(
 
 
 No modelo acima, temos que Y é a variável resposta, X 
é o verdadeiro valor da variável regressora (não observada), 
)(Xf é uma função de X e b , e o erro devido a Y , W o 
valor estimado de X e u o erro devido à estimação do X . Uma 
suposição que pode ser adicionada ao modelo acima é que e e 
u sejam independentes com a finalidade de tornar mais 
simplesa sua manipulação. Contudo, é possível considerar 
situações mais gerais, sem a suposição de independência. 
 
 Se )(Xf é uma equação de regressão, as conseqüências da 
estimação dos parâmetros de )(Xf sem levar em conta os erros 
de medição são que os estimadores obtidos são viciados (mesmo 
assintóticamente, ou seja, não consistentes) e portanto as 
predições obtidas a partir do modelo estimado não são nada 
confiáveis. 
 
 Uma alternativa para corrigir o viés é através de 
métodos que possam eliminar o efeito de u no modelo. Tal é o 
caso quando se considera o modelo de Berkson, que permite 
combinar as duas equações das acima em uma única equação e a 
partir daí utilizar procedimentos que não levam em conta 
erros nas variáveis. Mas em geral, a obtenção de estimadores 
 3
consistentes não é simples e depende da forma de )(Xf e da 
estrutura estocástica que envolve as variáveis u e e . 
 
 Uma forma de se controlar o problema é substituir X por 
W e trabalhar com a equação de estimação resultante para que 
se possa verificar qual o viés associado com o procedimento 
sem erros nas variáveis, usualmente denominado procedimento 
“ingênuo” (“naive” em inglês). 
 
 Com a determinação do viés do estimador usual, pode-se 
tentar corrigir os estimadores para a obtenção da 
consistência através do método de Simulação e Extrapolação 
(SIMEX) como proposto por Cook e Stefanski (1995), que 
argumentam ser este um método estritamente computacional. 
 
 O problema da estimação se torna ainda mais complexo 
quando )(Xf é uma equação de regressão com uma mistura de 
efeitos, isto é, podemos ter um conjunto de efeitos fixos e 
um conjunto de efeitos aleatórios, de modo que )(Xf pode ser 
representada como: 
 
~~~~
)~( aZXXf += b . 
 
 Na equação acima, 
~
b é um vetor de efeitos fixos de 
dimensão p e ~a é um vetor de efeitos aleatórios de dimensão 
s e ~X e ~Z são as matrizes de planejamento associados aos 
efeitos fixos e aleatórios, respectivamente. 
 
 4
 O objetivo dos modelos mistos é introduzir através de 
efeitos aleatórios, dependências entre observações obtidas de 
um mesmo indivíduo (ou de indivíduos com alguma 
similaridade). Nestes modelos, o objetivo principal é fazer 
inferência sobre os parâmetros fixos. Os parâmetros de não 
interesse são chamados parâmetros “nuisance” posto que é o 
resultado de um processo onde o pesquisador não tem interesse 
direto de seu estudo. Contudo, em algumas situações pode ser 
de interesse avaliar (estimar) a similaridade nos indivíduos 
através dos efeitos aleatórios. 
 
 Neste estudo considera-se o método desenvolvido por 
Henderson, denominado Equações de Henderson para os modelos 
lineares Mistos (HMME), como destacado em Searle, Casella e 
McCulloch (1992). 
 
 O objetivo deste trabalho é fazer um estudo dos 
estimadores obtidos a partir do algoritmo SIMEX nos modelos 
lineares mistos com erros nas variáveis e comparar com o 
estimador obtido a partir do algoritmo EM quando é usado o 
modelo de Berkson em seu estudo, estando este ultimo processo 
de estimação livre de viés devido ao uso do modelo de 
Berkson. 
 
 Para atingir o objetivo, o trabalho é organizado em 4 
capítulos. 
 
 No Capítulo 2, apresentaremos um estudo do algoritmo 
SIMEX no modelo de regressão simples com erros nas variáveis 
com base à publicação feita por Carroll, et al. (1996) com a 
finalidade de avaliar vantagens e desvantagens que ele tem, 
 5
analisando as propriedades assintóticas do estimador SIMEX 
tanto na parte de Simulação como na parte de Extrapolação. 
 
 No Capítulo 3, é feito um estudo de dois modos de 
estimação para os modelos lineares mistos, sendo uma proposta 
por Henderson (1959) onde ele obtém os estimadores “BLUE” 
(Best Linear Unbiesed Estimators) e “BLUP” (Best Linear 
Unbiesed Preditor) simultaneamente e a outra usando o 
algoritmo Fisher Scoring onde só obtemos os estimadores 
“BLUE”. A comparação entre procedimentos também é 
apresentada. 
 
 No Capitulo 4, é feito um estudo do viés do modelo 
linear misto com erros nas variáveis que é obtido a partir da 
utilização dos estimadores “naives”, considerados com a 
finalidade de fazer correções usando os algoritmos SIMEX e 
EM. 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 
 
 
O algoritmo SIMEX no modelo de 
regressão linear simples com erros 
nas variáveis. 
 
 
 
 
2.1 Introdução. 
 
 
O algoritmo SIMEX foi desenvolvido por Cook e Stefanski 
(1995), com a finalidade de obter a consistência de 
estimadores de tipo "naive", que usualmente ocorrem quando se 
avalia um modelo de regressão com erros nas variaveis medidos 
aditivamente. 
 
Neste estudo apresentamos uma revisão geral do método 
SIMEX ao avaliar o modelo de regressão linear simples, tendo 
como objetivo principal mostrar procedimentos de cálculo do 
SIMEX que serão usadas no Capítulo 4. Na Seção 2.2 apresenta-
se o problema no modelo de regressão linear simples. Na seção 
2.3 faz-se uma descrição do Algoritmo SIMEX. Na seção 2.4 faz-
se um estudo da distribuição assintótica de 1
Ù
b obtido através 
do algoritmo com a finalidade de se obter as estimativas das 
variâncias assintóticas. Na seção 2.5 apresenta-se uma 
aplicação do Algoritmo SIMEX. 
 7
 
2.2 O Problema no modelo de regressão linear 
simples com erros nas variáveis (ENV). 
 
 O modelo de regressão linear simples sem erros nas 
variáveis é usualmente definido por: 
niparaeXY iii ,...,110 =++= bb . 
Uma suposição importante para o estudo do modelo acima, 
estabelece que 0)( =ieE e que: 
î
í
ì
¹
=
=
ji
ji
eeCov eji 0
),(
2s
. 
Sabemos que o estimador de Mínimos Quadrados (M.Q.) no 
modelo de regressão linear simples acima é definido pela 
seguinte expressão: 
å
å
=
=
Ù
-
--
= n
i
i
n
i
ii
MQ
XX
XXYY
1
2
1
1
)(
))((
b . ...(2.1) 
 Este estimador é consistente e de variância mínima na 
classe de estimadores de Gauss Markov, sendo útil nas 
predições e interpolações ou extrapolações. 
 
 O modelo de regressão linear simples pode ser ampliado de 
forma aditiva para se considerar erros nas variáveis, isto é: 
niuXW
eXY
iii
iii
,...,1,
10
=+=
++= bb
. 
Dependendo do comportamento de iX , o modelo pode ser 
considerado funcional se os iX não tem uma distribuição que o 
caracterize, sendo cada valor de iX um parâmetro (denominado 
 8
incidental) do modelo. No caso que iX se distribue com média 
Xm e variância 
2
Xs o modelo é chamado estrutural. 
Temos que adicionar suposições sobre as distribuições dos 
erros envolvidos. Considerando o modelo estrutural onde iX é 
aleatório, podemos supor: 
 
niN
X
u
e
X
u
e
Xi
i
i
,,1,
00
00
00
,0
0
~
2
2
2
3 L=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
s
s
s
m
. 
 
Como conseqüência, pode-se obter a distribuição conjunta 
de iY e iW , que pode ser escrita como: 
 
niN
W
Y
uXX
XeX
X
X
i
i ,,1,,~
222
1
2
1
222
110
2 L=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
÷÷
ø
ö
çç
è
æ +
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
sssb
sbssb
m
mbb
. ...(2.2) 
 
Se o pesquisador em sua análise não considera erro nas 
variáveis regressoras )(X e toma em consideração o estimador 
de mínimos quadrados, este estimador sob este novo modelo não 
é consistente, e portanto apresenta viés como estimador de b . 
O viés persistemesmo em grandes amostras, ou seja, o 
estimador de mínimos quadrados não é consistente. O que ocorre 
é que a variância do estimador MQ
Ù
b converge a zero quando 
¥®n e como ele é inconsistente, um intervalo de confiança 
baseado em MQ
Ù
b por exemplo pode não cobrir b , especialmente 
quando não é grande. Ou seja, podemos ter a situação ilustrada 
abaixo: 
 
 
 9
 
 
O intervalo não cobre o parâmetro b . 
 
Obtenção do viés 
 
 Considerando o modelo estrutural, podemos obter o viés da 
distribuição condicional de Y dado W apresentado na equação 
(2.2), ou seja, 
 
( )( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-+
)()(
)),((
1)(;)(
)(
),(
)(~|
2
ii
ii
ii
i
ii
iii WVarYVar
WYCov
YVarWW
WVar
WYCov
YENWY , 
 
que pode ser reescrita, após as substituições necessárias 
como: 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) .222221
22
1222
122
2
1
10
)(
1;)(~|
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++
-+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
+
++
uXeX
X
eXi
uX
X
Xii WWNWY ssssb
sb
ssb
ss
sb
mbb
 
 
Portanto, o valor esperado da expressão (2.1), quando é 
considerado o erro nas variáveis é: 
 
( )
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
--
=÷
ø
ö
ç
è
æ
å
å
=
=
Ù
n
i
i
n
i
iii
MQ
WW
WYYEWW
EE
1
2
1
1
)(
|)()(
b , 
ou seja, 
0 bLInf LSup 
 10
( ) ( )( )
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
++-
=÷
ø
ö
ç
è
æ
å
å
=
=Ù
n
i
i
n
i uX
iX
Xi
MQ
WW
WW
WW
EE
1
2
1
22
2
1
10
1
)(
)(
ss
sb
mbb
b , 
de onde segue então 
22
2
1
1
uX
X
MQE ss
sb
b
+
=÷
ø
ö
ç
è
æ Ù . 
 
Como pode ser observado, o estimador é não viesado, e seu 
vício pode ser escrito como: 
22
2
1
1
uX
u
MQViés ss
sb
b
+
-=÷
ø
ö
ç
è
æ Ù . 
 
Deste modo qualquer estimativa obtida a partir deste 
estimador nos encaminharia a decisões possivelmente errôneas. 
 
 
 
2.3 Descrição do Algoritmo SIMEX 
 
2.3.1 Introdução 
O objetivo de usar o algoritmo SIMEX é poder corrigir 
o viés encontrado na seção anterior. Cook e Stefanski 
(1995), com a finalidade de corrigir este viés 
consideraram a esperança do estimador de mínimos 
quadrados como uma função de uma nova componente ( )0³l 
e pretende-se a partir dela, mediante uma etapa de 
extrapolação obter um estimador não viciado quando 
1-=l . Isto é, o modelo é modificado através da 
incorporação de variáveis aleatórias na equação da 
variável observada de modo que: 
 11
22
2
1
1 )1(
)(
uX
X
MQE sls
sb
lb
++
=÷
ø
ö
ç
è
æ Ù . 
 
Note que esta formulação é de caráter intuitiva com a 
finalidade de eliminar da expressão a variância 2us , de 
modo que quando 1-=l o estimador é não viciado. 
 
2.3.2 Parte de Simulação 
Para implementar o algoritmo SIMEX, criamos uma nova 
variável aleatória )(),( lsiW a partir da variável observada 
iW e de uma constante l , de modo que: 
 
),(),( )( siisi uWW ll += , ...(2.3) 
 
onde ),0(~ 2),( usi Nu s , ni ,,1 L= , bs ,,1 L= , e 
2
us é conhecido. 
 
No caso que não seja conhecido deve fazer-se réplicas 
do experimento de forma tal que possa estimar-se 
consistentemente, além disso os ),( siu são independentes 
dos iW . Deve-se simular b observações da ),0(~
2
),( usi Nu s 
para cada uma das observações, de tal modo que passamos 
a ter uma matriz ( )bn ´ de valores observados de )(),( lsiW , 
obtidos a partir de iW , para cada 0³l . 
 
 Da equação (2.3) acima, temos que: 
 
,
)1())((
22
22
)(
2
s,
uW
uXWsiWVar
lss
slssl l
+=
++==
 
onde 222 uXW sss += . 
 12
 
Logo a estimativa de 1b a partir do estimador de 
Mínimos Quadrados para um l particular é dada por: 
 
å
å
=
=
Ù
-
--
=
n
i
ssi
n
i
ssii
MQs
WW
WWYY
1
2
),(
1
),(
,1
))()((
))()()((
)(
ll
ll
lb bs ,,1 L= , 
onde 
å
=
=
n
i
sis Wn
W
1
),( )(
1
)( ll . 
 
Obtemos deste modo b estimadores )(1 lb MQ
Ù
 para cada 
l , e com estas informações podemos resumi-las usando a 
média destes valores para cada 0³l , que escrevemos 
como: 
 
å
=
ÙÙ
=
b
s
MQsb 1
,11 )(
1
)( lblb . 
 
 
2.3.3 Parte de Extrapolação 
 
Até o momento, na fase anterior conseguimos obter 
mediante um processo de simulação a estimativa )(1 lb MQ
Ù
 
de 1b para um valor particular de 0³l , fixado. Nesta 
seção pretendemos repetir o passo anterior para 
diferentes valores de 0³l , de modo que estamos gerando 
um conjunto de pares ÷
ø
ö
ç
è
æ Ù llb ,)(1 , que se associam com a 
 13
finalidade de estabelecer um modelo de regressão e fazer 
uma extrapolação quando 1-=l , obtendo deste modo o 
estimador simex1
Ù
b . Precisamos agora definir a nova 
variável resposta ),~( lGY , que em nosso caso seriam as 
estimativas )(1 lb
Ù
 obtidas na parte da simulação, isto é, 
)(),~( 1 lbl
Ù
=GY . 
 
Para a estimativa de ),~( lGY , consideramos os 
seguintes modelos de regressão, 
 
lggl 10),~( +=GY .................. (Linear); 
 
2
210),~( lglggl ++=GY ............. (Quadrático); 
 
lg
g
gl
+
+=GY
2
1
0),~( ............... (Não Linear), 
 
e a escolha de um dos modelos será usada na etapa de 
extrapolação. Aqui t),,(~ 210 ggg=G , de modo que dependendo 
do caso, ~G terá dois ou três parâmetros a serem 
estimados. 
 
Para calcular as estimativas t),,(~ 210
ÙÙÙÙ
=G ggg de 
t),,(~ 210 ggg=G , nos casos dos modelos linear e quadrático 
será usado o método de mínimos quadrados usuais, isto é, 
 
 14
)),~(~)(~())(~)(~(~
1 llll GYDDD=G -
Ù
tt , 
 
onde tm ),...,,()(~ 21 llll =D são os valores de l usados na 
etapa de simulação e 
t
m ÷ø
ö
ç
è
æ=GY
ÙÙÙÙ
)(,...),(),(),~(~ 12111 lblblbl , sendo 
m o número de valores l que se vai considerar na 
formulação do modelo para a extrapolação. 
 
No caso do modelo não linear o cálculo da estimativa 
será baseado no método dos mínimos quadrados iterativos, 
isto é, 
)
~
),~(~()~())~()~((~~
0
0
1
00
1 ftjjtjjj -GYZZZ+G=G -+ l , 
onde, 
0~
Z é uma matriz de dimensão ( )3´m da derivada da 
função mif
i
i ,,1,
2
1
0 L=+
+=
lg
g
g , com respeito a cada 
parâmetro t),,(~ 210 ggg=G , isto é, 
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
-
+
+
-
+
+
-
+
=Z
2
2
1
2
2
22
1
22
2
12
1
12
0
)(
1
1
)(
1
1
)(
1
1
~
mm lg
g
lg
lg
g
lg
lg
g
lg
MMM
 e 
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
+
+
+
+
+
=
m
f
lg
g
g
lg
g
g
lg
g
g
2
1
0
22
1
0
12
1
0
0
~
M
. 
 
Deste modo, para qualquer modelo, a extrapolação será 
implementada calculando-se, 
 
)1,~(1 -GY=
ÙÙ
simexb . 
 
 15
2.3.4 Estrutura do algoritmo SIMEX 
A estrutura do algoritmo SIMEX está resumida nos 
seguintes passos, para elaboração de um programa 
computacional. 
 
1. Para cada l , gerar b conjuntos de números 
aleatórios para calcular as variáveis u(i,s) com 
distribuição normal com média zero e variância 2us 
conhecida, onde b,1,s L= e n,1,iL= . 
 
2. Obter ),(),( )( siisi uWW ll += , para cada l fixado, 
resultando em uma matriz de dimensão )( bn ´ de 
)(),( lsiW . 
 
3. Gerar a regressão de iY com cada coluna )(),( lsiW e 
registrar cada valor de )(,1 lb MQs
Ù
 para b,1,s L= . 
 
4. Obter å
=
ÙÙ
=
b
s
MQsb 1
,11 )(
1
)( lblb para cada 0³l . 
 
5. Para a etapa de extrapolação precisamos de um dos 
modelos de regressão apresentados anteriormente. 
 
6. Fazer 1-=l no modelo escolhido para a avaliação, 
obtendo deste modo o estimador simex1
Ù
b . 
 
 
 
 
 16
2.4 Estudo da distribuição Assintótica do 
estimador SIMEX. 
 
2.4.1 Introdução 
 
Nesta parte pretendemos obter as distribuições 
assintóticas dos estimadores do algoritmo SIMEX tanto na 
parte de Simulação como na parte de Extrapolação, com a 
finalidade de se obter estimativas para a variância do 
estimador simex1
Ù
b e a partir daí construir Intervalos de 
Confiança ou para hipóteses sobre b usando este 
estimador. 
 
Na seção 2.4.2 consideramos a distribuição 
assintótica de )(1 lb
Ù
, obtendo a variância assintótica 
dos estimadores de 1b para cada valor de 0³l . 
 
Na seção 2.4.3 consideramos a distribuição 
assintótica de simex1
Ù
b , isto é, considerando em 
particular um estudo sobre a variabilidade do estimador 
1
Ù
b , quando o modelo de regressão considerado é Linear, 
Quadrático ou Não Linear, a extrapolação é feita com 
1-=l . 
 
 
 
 
 
 
 17
2.4.2 Parte de Simulação 
Teorema 1: 
 Para todo 0³l , existe um )(1 lb , tal que para 
¥®b , 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
¾®¾÷
ø
ö
ç
è
æ -
Ù
2
222
11 ;0)()(
Ws
YWsWsYD Nb
s
sss
lblb , 
onde: 
222
1
2
eXY ssbs += , 
222 )1( uXWs slss ++= e 
2
1
2
XYWs sbs = . 
Prova: 
Lembremos que: 
å
å
=
=
Ù
-
--
= n
i
ssi
n
i
ssii
MQs
WW
WWYY
1
2
),(
1
),(
,1
))()((
))()()((
)(
ll
ll
lb para bs ,,1 L= , 
podemos então definir, 
2
)(
)(
,1 )(
l
llb
Ws
YWs
MQs S
S
=
Ù
, 
onde 
å
=
--=
n
i
ssiiYWs WWYYn
S
1
),()( ))()()((
1
lll 
e 
å
=
-=
n
i
ssiWs WWn
S
1
2
),(
2
)( ))()((
1
lll . 
 
Podendo-se escrever: 
))()(())()((
1
1
),()( XsY
n
i
XsiYiYWs WYWYn
S mlmmlml -----= å
=
 
e 
2
1
2
),(
2
)( ))(())((
1
Xs
n
i
XsiWs WWn
S mlmll ---= å
=
, 
de modo que, 
 18
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
--
-
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
--
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
å
å
=
=
2
1
2
),(
1
),(
2 ))((
))()((
))((
1
))()((
1
Xs
XsY
n
i
Xsi
n
i
XsiYi
Ws
YWs
W
WY
W
n
WY
n
S
S
ml
mlm
ml
mlm
. 
 
Por outro lado, pode-se demonstrar facilmente que, 
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=-
n
OpW Xs
1
))(( ml e ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=-
n
OpY Y
1
)( m , 
 
de modo que 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¾®¾÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
--
0
0
))((
))()((
2
P
Xs
YXs
W
YW
n
ml
mml . 
Como 
[ ] 21
1
),()( ))()((
1
X
n
i
XsiYiYWs WYEn
sbmlms l =--= å
=
, 
[ ] 22
1
2
),(
2
)( )1())((
1
uX
n
i
XsiWs WEn
slsmls l ++=-= å
=
, 
 
e dada à expressão anterior, pode-se dizer que, 
 
ú
û
ù
ê
ë
é
L÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¾®¾ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
~,0
0
222 NS
S
n D
Ws
YWs
Ws
YWs
s
s
, ... (2.4) 
onde, para a obtenção de ~L, definimos: 
[ ]tXsiYiXsii WYWG 2),(),( ))((,))()((~ mlmml ---=
 
e 
( )[ ] .2),(),( ))((,))()(()~(
t
XsiYiXsii WEYWEGE mlmml ---=
 
 19
Das expressões acima temos que: 
[ ] [ ]tuXXtWsYWsiGE 22212 )()( )1(,,)~( slssbss ll ++== ; 
além disso, 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
---
----
= 4
),(
3
),(
3
),(
22
),(
))(()())((
)())(()())((
~~ XsiYiXsi
YiXsiYiXsit
ii WYW
YWYW
GG
mlmml
mmlmml
, 
de modo que 
( ) ( )
( ) úúû
ù
ê
ê
ë
é
---
----
= 4
),(
3
),(
3
),(
22
),(
))(()())((
)())(()())((
)
~~
(
XsiYiXsi
YiXsiYiXsit
ii WEYWE
YWEYWE
GGE
mlmml
mmlmml
. 
Mas, 
( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
=-- )(
)(
)())(( ),(
22
)(
),(22
)(
22
),( ls
m
s
ml
ssmml
l
l si
Y
Yi
Ws
Xsi
YWsYiXsi W
Y
E
W
EYWE
 
e como, 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
--+ )1(,))((~)( 22),(
)(
),( rsmls
s
rml
l
YXsi
Ws
Y
Ysii WNWY , 
onde, 
22
)(
2
)(2
YWs
YWs
ss
s
r
l
l= 
então, 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
÷÷
ø
ö
çç
è
æ - )2
)(
),(
),( 1(,
)(
~)( r
s
ml
rl
s
m
lWs
Xsi
si
Y
Xi
W
NW
Y
; ...(2.4) 
portanto, 
2
),(),(),(
2
)()()(
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
+
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
=
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
l
s
m
l
s
m
l
s
m
si
Y
Xi
si
Y
Xi
si
Y
Xi W
Y
EW
Y
VarW
Y
E , 
ou seja, 
 20
2
)(
),(22
),(
2 )(
)1()( ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
+-=
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
ls
ml
rrl
s
m
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Xsi
si
Y
Xi
W
W
Y
E , 
de modo que, 
( )
.
4
)(
),(22
)(
2
)(
),(222
)(
22
),(
)(
)(
)1()())((
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
-=--
l
l
l
l
s
ml
ss
s
ml
rssmml
Ws
Xsi
YWs
Ws
Xsi
YWsYiXsi
W
E
W
EYWE
 
Como 
)1,0(~
)(
)(
),( N
W
Ws
Xsi
ls
ml -
, 
então 
2
)1(
2
)(
),( ~
)( c
ls
ml
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
Ws
XsiW 
e portanto, 
1
)(
2
)(
),( =÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
ls
ml
Ws
XsiWE e 2
)(
2
)(
),( =÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
ls
ml
Ws
XsiWVar . 
Então, 
312
)()()(
22
)(
),(
2
)(
),(
4
)(
),( =+=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
lll s
ml
s
ml
s
ml
Ws
Xsi
Ws
Xsi
Ws
Xsi WE
W
Var
W
E . 
 
Daqui, 
( )
22
)(
222
)(
222
)(
222
)(
22
),(
2
3)1()())((
YWsYWs
YWsYWsYiXsi YWE
ssrss
rssrssmml
ll
ll
+=
+-=--
 
e como 
22
)(
2
)(2
YWs
YWs
ss
s
r
l
l= , temos 
 
 21
( ) 2 )(22 )(22),( 2)())(( ll sssmml YWsYWsYiXsi YWE +=-- . ...(2.5) 
 
Outro componente de ~L é: 
( )
4
)(
),(3
)(
3
),(
)(
)())(( ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
=--
l
l s
ml
srsmml
Ws
Xsi
YWsYiXsi
W
EYWE , 
ou seja, 
( ) 2 )()(3 )(3),( 33)())(( lll sssrsmml WsYWsYWsYiXsi YWE ==-- , ...(2.6) 
e 
( ) 4 )(4),( 3)( lsml WsXsiWE =- . ...(2.7) 
 
Das equações (2.5), (2.6) e (2.7) temos: 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é +
= 4
)(
2
)()(
2
)()(
2
)(
22
)(
33
32
)
~~
(
lll
llll
sss
sssss
WsWsYWs
WsYWsYWsYWst
ii GGE , 
e como 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
= 4
)(
2
)()(
2
)()(
2
)()
~
()
~
(
lll
lll
sss
sss
WsWsYWs
WsYWsYWst
ii GEGE , 
como tii
t
ii GEGEGGE)~
()
~
()
~~
(~ -=L , temos: 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ +
=L 4
)(
2
)()(
2
)()(
2
)(
22
)(
22
2
~
lll
llll
sss
sssss
WsWsYWs
WsYWsYWsYWs . 
 
Além disso devemos lembrar da expressão (2.2) que 
222
1
1
22 )(
1
eX
n
i
YiY Yn
E ssbms +=÷
ø
ö
ç
è
æ
-= å
=
. 
 
Mas nosso interesse é avaliar a distribuição 
assintótica de 
å
=
ÙÙ
=
b
s
MQsb 1
,11 )(
1
)( lblb . 
 22
 Para obter a distribuição assintótica da expressão 
acima é necessário usar a expressão (2.4), mediante o 
uso do Método Delta (Sen e Singer, 1993) em )(,1 lb MQs
Ù
, 
primeiro para ¥®b . 
 
 Portanto ao considerar os passos mencionados acima 
temos a seguinte expressão, quando ¥®b : 
÷
ø
ö
ç
è
æ
L¾®¾÷
ø
ö
ç
è
æ -
Ù
~~~
;0)()( 1,1 bb VVlblb
tD
MQs Nb , 
sendo 
21 )(
Ws
YWs
s
s
lb = , 
e 
~
bV é o vetor de derivadas parciais com respeito a 
)(lYWsS e 
2
)(lWsS avaliadas em ( )tWsYWs 2, ss de modo tal que, 
t
Ws
YWs
Ws
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-= 4
)(
)(
2
)(
,
1
~ l
l
l
b s
s
s
V . 
 
Portanto, fazendo as operações apropriadas temos, 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
¾®¾÷
ø
ö
ç
è
æ -
Ù
2
)(
2
)(
2
)(
2
11 ,0)()(
l
ll
s
sss
lblb
Ws
YWsWsYD Nb , 
quando ¥®b . Concluímos então a prova do teorema. 
 
Deste teorema pode-se estabelecer as seguintes 
igualdades assintóticas: 
 
22
2
1
11 )1(
))(()(
uX
XE
sls
sb
lblb
++
==
Ù
 
e 
 23
))1((
)()1(
))((
22
2222
1
22
1
uX
eXXeu
b
Var
sls
sssbssl
lb
++
+++
=
Ù
. 
 
 De maneira similar pode-se obter a covariância 
assintótica entre )(1 ilb
Ù
 e )(1 jlb
Ù
, ji ¹ . 
 
 Pode-se notar que assintóticamente, 
 
))1()()1((
)()2()()1)(1(
))(),((
2222
4422
1
2222222
1
24
11
ujXuiX
eXXeeXujiXeuji
ji b
Cov
slssls
sssbssssllsbssll
lblb
++++
++++++++
=
ÙÙ
 
 
 
2.4.3 Parte de Extrapolação 
Teorema 2: 
Ao considerar os valores mlll ,,, 21 L e 
)(,),(),( 12111 mlblblb
ÙÙÙ
L gerados na etapa da simulação e para 
1-=l , que é o valor de extrapolação, temos quando 
¥®m , que 
 
))1,~(~
()~(~))1,~(~
(;0()( 11 -GYGS-GY¾®¾- GG
Ù
tD Nsimexm bb , 
 
onde 
~G
Y é a derivada do modelo de regressão escolhido 
com respeito aos parâmetros envolvidos no modelo para 
fazer a extrapolação com 1-=l e )~(~
Ù
GS é uma matriz de 
covariâncias, função de ~S que é a matriz de 
 24
covariâncias assintóticas dos ( )mb ´ estimadores )(1 lb
Ù
 
obtida no teorema 1. 
 
Prova 
 
Para desenvolver esta prova, primeiro temos que obter 
a distribuição de ~
Ù
G que é um vetor aleatório de 
estimadores dos parâmetros que associam aos )(1 lb
Ù
 
obtidas na parte de simulação e os l , e logo pelo 
Método Delta obter a distribuição assintótica de 
simex1
Ù
b . 
 
· Distribuição assintótica de ~
Ù
G 
Como na parte da simulação geramos )(1 lb
Ù
 para um 
conjunto de valores, com mii ,,1,0 L=³l , então temos uma 
distribuição Normal Multivariada assintótica para 
)(,),(),( 12111 mlblblb
ÙÙÙ
L , isto é, quando ¥®b , 
( )~,~0
)()(
)()(
11
1111
S¾®¾
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
-
Ù
Ù
m
D
mm
Nb
lblb
lblb
M . 
Note que ~S é estimado por ~
Ù
S , onde ~
Ù
S é a matriz de 
covariâncias amostrais ( )mb ´ dos estimadores de )(,1 lb MQs
Ù
. 
 
 25
Se fazemos, )(
~
),~(~ 1 lbl
ÙÙ
=GY para todo t),,(~ 210 ggg=G , então 
pode-se obter os seguintes modelos de regressão para a 
extrapolação, 
 
lggl 10),~( +=GY .................. (Linear) 
 
2
210),~( lglggl ++=GY ............. (Quadrático) 
 
lg
g
gl
+
+=GY
2
1
0),~( ............... (Não Linear) 
 
Para as estimativas dos parâmetros ig pode-se aplicar 
a técnica exposta na seção anterior, mas Carroll (1998) 
considera para o caso Não Linear as estimativas dos ig 
obtidas a partir de um conjunto de 3 equações com 
solução única para três valores dos )(1 lb
Ù
 e dos l 
( )321 , lll e obtendo-se as seguintes equações: 
 
))()()(())()()((
))()()(())()()((
213112112123
11212312131123
2
lblblllblbll
lblbllllblblll
g ÙÙÙÙ
ÙÙÙÙ
Ù
-----
-----
= , 
 
))((
)(
))()((
1222
21
1121
1 lglgll
lblb
g ++
-
-
=
ÙÙ
ÙÙ
Ù
, 
 
12
1
110 )(
lg
g
lbg
+
-= Ù
Ù
ÙÙ
. 
 
 26
 Desta forma podemos definir o resíduo destes modelos 
como, 
),~(~),~(~)~(~ ll
Ù
GY-GY=GR . 
 
 Pelo Método de Mínimos Quadrados Generalizados, temos 
a seguinte expressão, 
 
))~(~(~))~(~(~
1 GSG= - RRM t , ... (2.8) 
 
para um modelo normal com média )~(~ GR , define-se a matriz 
de covariância amostrai 
Ù
S~ , então, 
),~(~
~
),~(~
ll GY
G¶
¶
=GYG , 
a derivada da equação de regressão considerada. Defina-
se também, para cada valor de l o vetor, 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ GYGY=G GG ),~(~
,...,),~(~
)~(~ 1 mS ll . ... (2.9) 
 
Então, se na expressão (2.8) derivamos ~M com 
respeito a ~G temos a função escore, 
)~(~~)~(~)~(~
~
~ 1 GSG=G=
G¶
¶
- RSU
M
, 
e a derivada da função escore, 
)~(~))~(~(~)~(~)~(~
~~
~ 1
2
2
G=GSG=G
G¶
¶
=
G¶
¶
- DSSU
M
t , ... (2.10) 
 27
sendo )~(~ GD um escalar; além disso, pode observar-se que 
)~(~ GD não depende de ),~(~ lGY e portanto a matriz de 
Informação de Fisher é definida por: 
)~(~)~(
~
)~(~
G-=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
G
G¶
¶
-=GI DUEF . 
 Usando o Método de “Fisher Scoring” na expansão de ~G 
temos, 
)~(~)~(~~~
1 GGI+G@G -
Ù
UF , 
de onde segue que, 
)~(~)~(~~~
1 GGI@G-G -
Ù
UF , 
e portanto, 
111 ))~(~())~(~(~)~(~))~(~()~~)(~~()~(~
---
ÙÙ
GGSGG@G-GG-G=GS DSSDE tt , ...(2.11) 
 
onde ~S foi definida como a matriz de covariâncias 
assintótica que seguem do teorema 1. 
 
Segue então que, 
))~(~,~0()~~( GS@G-G
Ù
Nm . 
 
Usando o Método Delta para o estimador 
)1,~(1 -GY=
ÙÙ
simexb , 
temos então que a variância assintótica pode ser 
estimado por, 
))1,~(~
()~(~))1,~(~
( -GYGS-GY
Ù
G
ÙÙ
G
t 
 28
Para estimar as variâncias do estimador SIMEX1
Ù
b , 
consideramos os seguintes passos: 
 
1. Obter a matriz de covariâncias dos estimadores 
“ingênuos” )~(
Ù
S . 
 
2. Obter )~(~ GS que é um vetor de derivadas do modelo de 
regressão proposto como na expressão (2.9), do modo 
seguinte: 
( )tii ll ;1),( =GYG .................... (Linear) 
( )tiii 2;;1),( lll =GYG ............... (Quadrático) 
( )
t
ii
i ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
+
=GYG 2
2
1
2
;
1
;1),(
lg
g
lg
l ...... (Não Linear) 
 
3. Obter )~(~ GD que está em função de )~(~ GS como foi 
obtida na expressão (2.10). 
 
4. Obter )~(~ GS como obtido na expressão (2.11). 
 
5. A seguir, obter )1,~(~
-GYG , isto é repetir o passo 2 
para um único valor de l , isto é, quando 1-=l . 
 
6. A estimativa da variância assintótica é obtida 
quando multiplicamos convenientemente os valores dos 
passos 4 e 5 de acordo como o teorema 2. 
 
 
 29
2.5 Avaliação do Algoritmo SIMEX 
 
2.5.1 Um estudo de Simulação 
 Para avaliar o algoritmo SIMEX consideramos uma simulação 
do modelo eXY ++= ba , onde 10 == ba e , )25,0(~ Ne , )100,0(~ NX , 
e no modelo uXW += , )49,0(~ Nu . X , e e u são gerados 
independentemente.O tamanho da amostra considerada para a 
avaliação foi 100=n . Consideramos também 500 iterações para a 
simulação dos dados, e considerou-se 100=b simulações de u 
para a obtenção de ),( siW (W SIMEX) na equação (2.3). O 
estimador SIMEX foi gerado pelos três modelos de regressão 
considerados (Linear, Quadrático e Não Linear) considerando-se 
os pontos ( )t0,25,10,15,00=l , que encontra-se no apêndice com 
o nome Programa SimulaSimex implementado no OX. 
 
Tabela 2.1: Resultados do estudo de Simulação do Algoritmo SIMEX. 
 Extrapolação 
Linear 
Extrapolação 
Quadrática 
Extrapolação Não 
Linear 
SIMEX
Ù
b 
 
0,7877470 
 
0,906123 
 
1,017810 
Variância( SIMEX
Ù
b ) 
 
0,0048326 
 
0,196090 
 
0,019035 
Desvio Padrão SIMEX
Ù
b 
 
0,0695169 
 
0,442820 
 
0,137967 
LIC( SIMEX
Ù
b )90% 0,6733920 0,177684 0,790854 
LSC( SIMEX
Ù
b )90% 0,9021020 1,634562 1,244766 
LIC( SIMEX
Ù
b )95% 0,6514940 0,038196 0,747395 
LSC( SIMEX
Ù
b )95% 0,9240000 1,774050 1,288225 
LIC( SIMEX
Ù
b )99% 0,6083930 -0,236350 0,661855 
LSC( SIMEX
Ù
b )99% 0,9671010 2,048599 1,373765 
 30
Os resultados obtidos na tabela 2.1 são o resultado 
da média de 500 iterações. 
 
Na tabela 2.1, pode-se apreciar que em média das 500 
iterações o melhor estimador do parâmetro 1b é aquele 
correspondente a extrapolação para o SIMEX não linear, 
apresentando também uma variabilidade baixa. 
 
Quanto aos intervalos confidenciais de 90%, 95% e 
99%, pode-se apreciar que o modelo de extrapolação linear 
não consegue cobrir a unidade, parâmetro proposto na 
simulação. 
 
Contudo os modelos quadrático e não linear consideram 
em seus intervalos à unidade pelo que se pode concluir que 
estes dois modelos de extrapolação são bons para o 
propósito do SIMEX. Esta conclusão coincide com a 
apresentada por Carroll, R. et. (1996), onde ele descarta 
ao modelo linear como um bom modelo de extrapolação. 
 
Notemos além disso, que o modelo de extrapolação não 
linear apresenta intervalo com menor comprimento que o do 
modelo de extrapolação quadrático, veja tabela 2.2. 
 
Tabela 2.2: Comprimento dos intervalos para 1b 
 Comprimento dos intervalos 
Extrapolação 90% 95% 99% 
Quadrático 1,456879463 1,735856381 2,039743494 
Não Linear 0,453912705 0,540832159 0,706393024 
 
 31
Isto nos permite concluir que o modelo de 
extrapolação não linear tem mais precisão nas estimativas 
e, portanto produz melhor estimativa para nosso propósito. 
 
 
Gráfico 2.1: Comportamento do algoritmo SIMEX com os três 
modelos propostos para a extrapolação. 
Avaliação da Extrapolação
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Lambda
B
et
h
a
BethaLin
BethaQ
BethaNL
Betha
 
A partir do presente gráfico pode-se ver que o modelo 
de regressão não linear tem um melhor comportamento para a 
extrapolação, enquanto os outros subestimam o valor 1. 
 
Note que o intervalo confidencial obtido com 
01781,11 =
Ù
SIMEXb (não linear) não inclui o valor obtido com o 
estimador ingênuo “Naive” 67597,01 =
Ù
NAIVEb , a que nos 
permite concluir que este estimador não é adequado. 
 
 
 
 32
2.5.2 Um caso prático 
 
Para estudar um caso prático considerou-se o exemplo 
apresentado na pagina 18 em Fuller (1987). O objetivo é de 
avaliar a produção de Milho no solo nitrogenado do estado de 
Iowa. Fuller (1987) propõe considerar )57;0(~ Nui , ni ,,1 L= . 
 
Para obter os estimadores através do método SIMEX foi 
utilizado o pacote Ox, considerando-se 100=b distribuições 
)57;0(~ Nui para os 11=n amostras consideradas no exemplo de 
Fuller. 
 
Tabela 2.3: Resultados do exemplo fazendo uso do Algoritmo SIMEX. 
 
 Extrapolação 
Linear 
Extrapolação 
Quadrática 
Extrapolação Não 
Linear 
SIMEX1
Ù
b 
 
0,388352 
 
0,385456 
 
0,387324 
Variância( SIMEX1
Ù
b ) 
 
0,011167 
 
0,31792 
 
0,12485 
Desvio Padrão SIMEX1
Ù
b 
 
0,105674 
 
0,563844 
 
0,353341 
LIC( SIMEX1
Ù
b )90% 0,214518225 -0,542067298 -0,193922266 
LSC( SIMEX1
Ù
b )90% 0,562185775 1,312979298 0,968570266 
LIC( SIMEX1
Ù
b )95% 0,181230907 -0,719678142 -0,305224742 
LSC( SIMEX1
Ù
b )95% 0,595473093 1,490590142 1,079872742 
LIC( SIMEX1
Ù
b )99% 0,117826491 -1,057984512 -0,517229459 
LSC( SIMEX1
Ù
b )99% 0,658877509 1,828896512 1,291877459 
 
 
 33
Na tabela 2.2, pode-se apreciar que os três modelos de 
extrapolação do SIMEX levam quase a um mesmo resultado, 
notemos que a diferença começa aparecer na terceira cifra 
decimal, podendo-se concluir para este exemplo que os três 
modelos atingem ao parâmetro desejado. 
 
Notemos por outro lado que a extrapolação linear tem uma 
menor variabilidade, portanto quando consideramos os 
intervalos confidenciais aquele com menor comprimento 
corresponde a extrapolação linear. 
 
Ao considerar o estimador de 1
Ù
b obtido por Fuller (1987) 
quando é usado o método de Máxima Verossimilhança obtemos um 
estimador igual a 4232,01 =
Ù
MVb , do seguinte modo: 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷
÷
ø
ö
çç
è
æ
222
1
2
1
2
1
22
10
,~
eXX
XuX
X
X
i
i N
Y
W
ssbsb
sbss
mbb
m
 
 
WX =
Ù
m , 22
2
2
2
2
uWXuXW SS ssss -=Þ+=
ÙÙ
, 
WY MVMV 10
ÙÙ
-= bb , 2221
2
1
uW
YW
X
YW
MVXMVYW S
SS
S
s
s
bsb
-
==Þ=
Ù
ÙÙÙ
, 
22
1
2
2222
1
2
XMVYeeXMVY SS
ÙÙÙÙÙÙ
-=Þ+= sbsssb . 
 
Ao aplicar o método Delta e alguns cálculos algébricos 
similares aos realizados no caso da estimação do estimador da 
variância do estimador de SIMEX, temos: 
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ +++
¾®¾÷
ø
ö
ç
è
æ -
Ù
4
42
1
22
1
222
11
))((
,0
X
uueuXD
MV Nn s
sbsbsss
bb . 
 34
 Como 572 =us , então: 
4545,97=Y , 6364,70=W , 6727,872 =YS , 8818,104=YWS , 8545,304
2 =WS 
8545,247578545,304
2
=-=
Ù
Xs , 4232,0
8545,247
8818,104
1 ==
Ù
MVb , 
291,43)8545,247()4232,0(6727,87 2
2
=-=
Ù
es . 
Daqui, 
0304,0
)8545,247(
)57()4232,0())57()4232,0(291,43)(8545,304(
)(
2
222
1 =
++
=
Ù
MVVar b . 
 
Os resultados estão apresentados na tabela 2.3. 
 
Tabela 2.3: Estimação de Máxima Verossimilhança. 
 90% 95% 99% 
Estimador LIC LSC LIC LSC LIC LSC 
MV1
Ù
b 
 
0,1363 
 
0,7100 
 
0,0814 
 
0,7649 
 
-0,0231 
 
0,8695 
 
A primeira vista parece estar longe do valor de 
388352,01 =
Ù
SIMEXb linear, mas considerando os intervalos 
confidenciais de 90%, 95% e 99% para qualquer SIMEX1
Ù
b podemos 
dizer que ambas estimativas obtidas (Fuller e SIMEX) são 
iguais. 
 
Note que o intervalo obtido com o estimador de máxima 
verossimilhança MV1
Ù
b inclui o estimador “Naive” 34404,01 =
Ù
NAIVEb , 
de modo que neste caso, o estimador “Naive” também pode ser 
razoável. 
 
 35
Em conclusão para estes dados, fazer uma estimação via o 
método de máxima verossimilhança, SIMEX ou pelo método de 
Mínimos Quadrados sem erros nas variáveis pode-se obter 
estimativas adequadas. 
 
Gráfico 2.2: Comportamento do algoritmo SIMEX quando é usados 
os três modelos propostos para a extrapolação. 
 
A partir do presente gráfico pode-se ver que o modelo de 
regressão não linear, Quadrático e Linear tem quase o mesmo 
comportamento para a extrapolação, obtendo um estimador mais 
alto que o estimadorNAIVE
Ù
b que é igual a 0,34404. Contudo, 
estes valores não estão muito afastados, podendo-se inclusive 
concluir que estes estimadores apontam na mesma direção pra 
estimação do parâmetro de interesse. 
 
Avaliação da Extrapolação
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Lambda
B
et
h
a
BethaLin
BethaQ
BethaNL
Betha
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3 
 
 
 
Modelos Lineares Mistos. Sem erros 
nas variáveis 
 
 
 
 
3.1 Introdução. 
 
 
Existem várias formas de se tratar o problema dos modelos 
mistos em modelos lineares com dados cuja distribuição é 
Normal. Neste capítulo pretendemos estudar o desenvolvimento 
de duas formas de tratar o problema; uma usando a distribuição 
marginal de ~Y com a finalidade de se obter estimativas dos 
parâmetros usando o algoritmo “Fisher-Scoring”, onde os 
efeitos aleatórios desaparecem do contexto do modelo; a outra 
usando a distribuição conjunta de ~Y e ~a que será definido 
mais ao frente, gerando desta forma as equações consideradas 
em Henderson (1959). Este é um procedimento que permite a 
obtenção dos estimadores de efeitos fixos (BLUE) e efeitos 
aleatórios (BLUP) mediante a utilização do algoritmo EM 
(Estimação e Maximização). 
 37
Apresentamos inicialmente uma revisão geral dos métodos. O 
modelo geral para nosso estudo estará definido por: 
,,,1;,,1;~~~~~~
sinjeaZXY i LL ==++= b ... (3.1) 
onde: 
( )
÷÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
=
sn
n
xN
s
s
Y
Y
Y
Y
Y
M
M
M
1
1
11
1
1
~ , ( )
÷÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
=
sn
n
xN
s
s
X
X
X
X
X
M
M
M
M
M
M
1
1
11
2
1
1
1
1
1
~ , ( )
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
=
1
1
0
0
0
0
1
1
~
M
M
M
L
L
L
L
M
M
M
sxN
Z , 
( )
÷÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
=
sn
n
xN
s
s
e
e
e
e
e
M
M
M
1
1
11
1
1
~ , 
( )
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
1
0
12~ b
b
b
x
 , 
( )
÷÷
÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
ç
è
æ
=
s
s
a
a
a
a
x M
2
1
1~
 . 
Aqui ~a e ~e são independentes; além disso )~;~0(~~ DNa e 
)~;~0(~~ RNe sendo ~~ s
ID q= e 
~~
2
Ne IR s= , com å
=
=
s
i
inN
1
. Além disso, 
q=),( ikij YYCov para todo kj ¹ , 0),( =lkij YYCov para todo li ¹ e 
2)( eijYVar sq += . 
 
Na Seção 3.2 apresentaremos o problema da distribuição 
marginal de ~Y ; na Seção 3.3 apresentaremos o procedimento para 
a obtenção das equações dos modelos mistos de Henderson 
(HMME). Na seção 3.4 será tratado o problema de testes de 
hipóteses para os parâmetros de interesse qb e
~
. Na seção 3.5 
apresentamos uma aplicação prática dos procedimentos 
estudados. 
 
 
 38
3.2 Obtenção dos estimadores fazendo uso da 
distribuição Marginal de Y. 
 
 Como ~a e ~e são componentes aleatórios, ambos podem 
ser juntadas numa variável aleatória só, de modo que 
~~~~ eaZ +=e , sendo ~0)~( =eE e ~~~~
)~(
2 GIZZVar Ne
t =+= sqe , de onde 
pode-se obter a distribuição marginal de )~;~~
(~~ GXNY N b , ou 
seja, 
þ
ý
ü
î
í
ì ---= - )
~~~
(~)~~~
(
2
1
exp
~)2(
1
)~(
1
2/1
2/
bb
p
XYGXY
G
Yf t
N
. 
 
3.2.1 Obtenção dos estimadores 
 
Tomando o logaritmo da função anterior e derivando 
com respeito a 
~
b temos o seguinte estimador: 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
-Ù
--ÙÙ
~~~~~~~
111
YGXXGX ttb . ...(3.2) 
Ao derivar o logaritmo da função da verossimilhança 
com respeito a 2es obtemos: 
0)
~~~
(~)~~~
(
2
1
)~(2
1 21
=--+-
Ù-ÙÙ-Ù
bb XYGXYGTr t 
ou seja, 
0)
~~~
()
~~~
()~( =úû
ù
êë
é ---
ÙÙÙ
bb XYXYTrGTr t . 
Como 
)()
~~~
()~(
22
eNe
t NIZZTrGTr
ÙÙÙÙÙ
+=+= sqsq , 
 
 
 39
podemos escrever 
ÙÙÙÙ
---= qbbs )
~~~
()
~~~
(
12
XYXY
N
t
e ...(3.3) 
Para q usando o mesmo procedimento, obtemos o 
seguinte estimador: 
2
)
~~~
()
~~~
(
1
e
t XYXY
N
ÙÙÙÙ
---= sbbq . ...(3.4) 
 
3.2.2 Algoritmo “Fisher-Scoring” 
 
Como não é possível obter expressões fechadas para 
cada um dos estimadores recorremos ao algoritmo “Fisher-
Scoring” que pode ser escrito como: 
 
)(
1
)(
)()1(
)()( mm UImm ffff
-+ += , ...(3.5) 
 
onde m neste caso é o número de iterações necessárias até 
a convergência, f é o vetor de parâmetros a estimar, 
)( )( m
U
f
 
é o vetor de funções escores, isto é a primeira derivada 
do logaritmo da função marginal com respeito a cada 
parâmetro e 
)( )( m
I
f
 é a matriz de informação de Fisher dos 
parâmetros a serem estimados, obtida a partir da segunda 
derivada do logaritmo da função de verossimilhança 
marginal. No modelo acima ( )qsbf ,, 2e= . 
 
Após algumas manipulações algébricas pode-se 
verificar que as segundas derivadas são dadas por: 
 
~)~(~
~~
))~(log( 1
2
XGX
Yf
t
--=
¶¶
¶
bb
 Þ ( ) ~)~(~
1
, XGXI
-=bb , 
 40
)
~~~
)(~(~
~
))~(log( 2
2
2
b
sb
XYGX
Yf
e
t --=¶¶
¶
- Þ ( ) ~02, =eI sb , 
)
~~~
)(~(~~~
~
))~(log( 2
2
b
qb
XYGZZX
Yf
t
t --=¶¶
¶
- Þ ( ) ~0, =qbI , 
)
~~~
)(~()~~~
()~(2
1))~(log( 32
22
2
bb
ss
XYGXYGTr
Yf
t
ee
---=
¶¶
¶
-- . 
 
 Seja ( ) xI ba =, o componente (a,b) da matriz de 
informação de Fisher 
)( )( m
I
f
. 
 
Utilizando a primeira derivada, concluímos que 
)
~~~
)(~()~~~
()~(
32 bb XYGXYGTr t --= -- , 
de onde segue que 
)~(2
1))~(log( 2
22
2
--=
¶¶
¶
GTr
Yf
ee ss
 Þ ( ) )~(2
1 2
, 22
-= GTrI
ee ss
, 
 
lembrando que ~~~~~ ZDZRG
t+= onde 
~~
2
Ne IR s= e ~~ s
ID q= , então 
pela expressão de Schuartz (Anexo do Searle et., 1992) 
temos que: 
111111111111
~~)~~~~~
(~~~~~~)~~~~(~~~~
------------ +-=+-= RZDZRZIDZRRRZZRZDZRRG tts
tt . 
 
Definindo 21211 )~~~
()~~~~~
(~ e
t
se
t
s ZZIDZRZIM sqs
--- +=+= , temos que 
~~~~~~
11
s
t IMDZRZ -= -- e, daqui: 
21112 )~~~~~~~()~(
---- -= RZMDZRRTrGTr t , 
 41
,)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~()~(
121211222 --------- +--= RZMDZRZMDZRRZMDZRRZMDZRRTrGTr tttt
 
,)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~()~
(
1
)~(
1111
4
2
úû
ù
êë
é -+-= ----- DZRZMDZRZMDZRZMDZRZMTrITrGTr ttttN
es
 
,)
~~
(~)~~
(~)~~
(~)~~
(~)~
(
1
)~(
1111
4
2
úû
ù
êë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ ----+--= ----- ssssN
e
IMMIMMIMMIMMTrITrGTr
s
 
úû
ù
êë
é +-=- )~()~
()
~
(
1
)~(
2
4
2 MTrITrITrGTr sN
es
, 
[ ] úû
ù
êë
é ++-=+-= -- 2242
2
4
2 )~~~
()(
1
)~(
1
)~( ZZITrsNMTrsNGTr
t
see
ee
qss
ss
, 
2
2
4
2 )~~()~
()(
1
)~(
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ ++-= ZZTrITrsNGTr tse
e
qs
s
, 
2224
2
)(
1
)~( qss +
+
-
=-
ee s
sN
GTr . 
 
Portanto, 
( ) ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
-
= 2224, )(
1
2
1
22
qssss ee s
sN
I
ee
. 
 
 
 Temos também que 
 
)
~~~
)(~(~~)~~~
()~~~(2
1))~(log( 32
2
2
bb
qs
XYGZZXYZZGTr
Yf
ttt
e
---=
¶¶
¶
-- . 
 
 Usando a primeira derivada temos ainda que: 
)~~~
)(~(~~)~~~
()~~~(
32 bb XYGZZXYZZGTr ttt --= -- , 
de modo que 
 42
)~~~(2
1))~(log( 2
2
2
t
e
ZZGTr
Yf
--=
¶¶
¶
qs
 Þ ( ) )~~~(2
1 2
,2
tZZGTrI
e
-=
qs
. 
 
 
Como 1111 ~~~~~~~~
---- -= RZMDZRRG t , temos que 
1111
~~~~~~~~~~~
---- -= RZMDZRZRZGZ tttt , e além disso sabemos que 
~~~~~~
11 DZRZIM ts
-- =- , então: 
11111
~~~~~~)~~
(~~~~
----- =--= RZMRZMIMRZGZ tts
tt , agora: 
( ))~~~()~~~()~~~~()~~~( 11112 ----- == RZMRZMTrGZZGTrZZGTr ttt , 
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ -== ---- ts
e
t
e
t MDIMMTrMZRZMTrZZGTr ~~)~~
(~(
1
)~~~~~(
1
)~~~(
11
2
1
2
2
ss
, 
( ) ( ))~~()~(1)~~~~~(1)~~~( 2121122 MMTrDTrMDMMDTrZZGTr
e
tt
e
t -=-= ----
ss
, 
( )
,
2
212
212
2
2
2
2
)~~~
(
)~~~
(
1
)~()~(
1
)~~~(
÷
÷
ø
ö
÷
ø
ö
ç
è
æ +
ç
è
æ -÷
ø
ö
ç
è
æ +=-=
-
--
e
t
se
e
t
se
ee
t
ZZITr
ZZITrMTrMTrZZGTr
sqs
sqs
sqsq
 
2
2
24
1
22
2
)~~()~
()~~()~
(
)~~~(
e
t
see
t
see
t
ZZTrITrZZTrITr
ZZGTr
sq
qssqss
--
-
÷
ø
ö
ç
è
æ +-÷
ø
ö
ç
è
æ +
= , 
2
224122
2 ))(())(()~~~(
e
eeeet ssZZGTr
sq
qssqss --- +-+= , 
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-
+
=-
222
2
2
2
)()(
11
)~~~( qs
s
qsq e
e
e
t
ss
ZZGTr . 
 
 
 
 
 43
Portanto, 
( ) ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-
+
= 222
2
2, )()(
11
2
1
2
qs
s
qsqqs e
e
e ss
I
e
. 
 
)
~~~
)(~(~~~~)~~~
()~~~~~(2
1))~(log( 32
2
bb
qq
XYGZZZZXYZZZZGTr
Yf
ttttt ---=
¶¶
¶
-- . 
 
 Novamente, consideramos: 
 
)
~~~
)(~(~~~~)~~~
()~~~~~(
32 bb XYGZZZZXYZZZZGTr ttttt --= -- , 
 
de modo que 
 
)~~~~~(2
1))~(log( 2
2
tt ZZZZGTr
Yf
--=
¶¶
¶
qq
 Þ ( ) )~~~~~(2
1 2
,
tt ZZZZGTrI -=qq . 
Como ~~~~~~~~~~~~)~~~~~~~(~~~~
1111111 ZRZMDZRZZRZZRZMDZRRZZGZ tttttt ------- -=-= 
sabemos que ~~~~~~
11 DZRZIM ts
-- =- e ~~~~~~
111 ZRZDIM ts
--- =÷
ø
ö
ç
è
æ - . 
 
 
Assim, 111111 ~)~~
(~)~~
(~)~~
(~~~
------ ----= DIMMIMDIMZGZ sss
t , depois 
de alguns cálculos algébricos temos que: 
11
~)~~
(~~~
-- -= DMIZGZ s
t . 
 
Então, 
2
1112
~)~~
()~~~~~~()~~~~~( úû
ù
êë
é -== ---- DMITrZGZZGZTrZZZZGTr s
tttt , 
2
22 )~~
()~()~~~~~( úû
ù
êë
é -= -- MITrDTrZZZZGTr s
tt , 
 44
( ))~()~(2)~~2~()~(
1
)~~~~~(
2
2
2
2
2 MTrMTrs
s
MMITrITrZZZZGTr ss
tt +-÷
ø
ö
ç
è
æ=úû
ù
êë
é +-=-
qq
, 
mas, 
)(
)~~~
()~( 2
2
122
qs
s
qss
+
=+= -
e
et
see s
ZZITrMTr . 
 
Além disso, 
222
4
2242
)(
)~~~
()~( qs
s
qss
+
=+= -
e
et
see s
ZZITrMTr , 
então, 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
+
-÷
ø
ö
ç
è
æ=- 222
4
2
2
2
2
)()(
2
)~~~~~( qs
s
qs
s
q e
e
e
ett
ss
s
s
ZZZZGTr 
e, portanto 
( ) ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
+
-÷
ø
ö
ç
è
æ=
222
4
2
2
2, )()(
2
2
1
qs
s
qs
s
qqq e
e
e
e
ss
s
s
I . 
 
Em resumo, 
 
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
--+-
--+-
-
=
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
=
--
--
-
)
~~~
(~~~)~~~
(
2
1
)~~~(2
1
)
~~~
(~)~~~
(
2
1
)~(2
1
)
~~~
(~~
)(
)(
)
~
(
)(
21
21
1
2
bb
bb
b
q
s
b
f
XYGZZXYZZGTr
XYGXYGTr
XYGX
U
U
U
U
ttt
t
t
e , ...(3.6) 
de onde segue que, 
÷÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
+
-÷
ø
ö
ç
è
æ
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-
+
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-
+úû
ù
ê
ë
é
+
+
-
=
-
222
4
2
2
2222
2
2
222
2
22224
1
)()(
2
2
1
)()(
11
2
1
~0
)()(
11
2
1
)(
1
2
1
~0
~0~0~~~
)(
qs
s
qs
s
qqs
s
qsq
qs
s
qsqqss
f
e
e
e
e
e
e
e
e
e
eee
t
ss
s
s
ss
sss
sN
XGX
I
 ...(3.7) 
 
 45
Substituindo as expressões (3.6) e (3.7) em (3.5) 
temos o algoritmo “Fisher-Scoring”, que deve produzir 
estimadores dos parâmetros do modelo (3.1). 
 
 
3.4 Obtenção dos estimadores fazendo uso da 
distribuição conjunta de Y e a. 
 
 Neste caso serão utilizadas as equações do modelo 
misto de Henderson, que se caracterizam por um 
procedimento em dois estágios. 
 
Estágio 1: Para a unidade experimental i, considera-se o 
seguinte modelo condicional: 
 
~~~~~~
|~ eaZXaY ++= b , 
onde ~Y , ~X , ~Z , ~
b e ~a são como na seção 3.1. 
 
Neste estágio 
~
b e ~a são considerados fixos. 
Os erros )~,~0(~~ RNe N são independentes, onde 
~~
2
Ne IR s= . 
Estágio 2: Suponhamos que os elementos de ~a são 
independentes e que )~,~0(~~ DNa s , onde ~~ s
ID q= . 
 
Desta forma temos que a função de distribuição 
conjunta de ~Y e ~a é definida por Henderson como a função 
de Verossimilhança, e pode ser escrita como 
 
 46
)~()~|~()~,~( afaYfaYf = , 
onde 
þ
ý
ü
î
í
ì -----= - )~~~~~
(~)~~~~~
(
2
1
exp
~2
1
)~|~(
1
2
1 aZXYRaZXY
R
aYf t bb
p
 
 
segue do estágio 1, e 
þ
ý
ü
î
í
ì-= - ~~~2
1
exp
~2
1
)~(
1
2
1 aDa
D
af t
p
 
 
segue do estágio 2, de modo que 
 
þ
ý
ü
î
í
ì
úû
ù
êë
é +-----= -- ~~~)~~~~~
(~)~~~~~
(
2
1
exp
~~2
1
)~,~(
11
2
1 aDaaZXYRaZXY
DR
aYf tt bb
p
. 
 
3.3.1 Obtenção dos estimadores 
 
Derivando o logaritmo da função de verossimilhança e 
igualando a zero temos as seguintes equações lineares de 
Henderson, 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
÷÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+ Ù
Ù
~~
~~
~
~
~~~~~
~~~~
2
YZ
YX
aIZZXZ
ZXXX
t
t
s
ett
tt
b
q
s . ...(3.8) 
 Se o logaritmo da função de Verossimilhança conjunta 
de ~Y e ~a obtido acima é derivado com respeito a 
2
es 
obtemos 
þ
ý
ü
î
í
ì ----=
ÙÙÙÙÙ
)~~~~~
()~~~~~
(
12
aZXYaZXY
N
t
e bbs . ...(3.9) 
 47
 Ao derivar a função de Verossimilhança conjunta com 
respeito a q, obtemos 
ÙÙÙ
= ~~
1
aa
s
t
q , ...(3.10) 
onde 
Ù
b e 
Ù
a serão obtidos pelo algoritmo EM. 
 
3.3.2 Algoritmo EM (Estimação e Maximização) 
Novamente não é possível obter expressões fechadas 
para cada um dos estimadores. Além disso o modelo envolve 
variáveis não observáveis ~a , de modo que neste caso 
consideramos a utilização do algoritmo EM. 
 
As equações (3.8), (3.9) e (3.10) definem o passo M 
do algoritmo EM. 
 
No passo E necessitamos calcular as esperanças 
condicionais das equações (3.9) e (3.10) dado ~Y para ~a , 
~
b ,q e 2es fixados. Isto é: 
 
úû
ù
êë
é ----=
Ù
)~~~~~
()~~~~~
(
1
),,~~
,,~|(
2
2
aZXYaZXY
N
EaYE tee bbsqbs 
 úû
ù
êë
é= 2,,~,~
,~|~~
1
e
t aYeeE
N
sqb ...(3.11) 
e 
úû
ù
êë
é=
Ù
22 ,,~,~
,~|~~
1
),,~,~
,~|( e
t
e aYaaEs
aYE sqbsqbq . ...(3.12) 
 
 48
 Para as equações (3.11) e (3.12) considera-se o fato 
de que a esperança de uma forma quadrática ~~~ xAxt , pode 
ser calculada como: 
[ ])~(~)~(~)~()~~~( xVarATrxEAxExAxE tt += . ...(3.13) 
 Portanto as esperanças condicionais de (3.11) e 
(3.12) são dadas por 
 
úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é+=
Ù
),,~,~
,~|~(),,~
,~|~(),,~,~
,~|~(
1
),,~,~
,~|(
2222
2
eee
t
ee aYeVarTrYeEaYeEN
aYE sqbsqbsqbsqbs 
...(3.14) 
e 
úû
ù
êë
é
úû
ù
êë
é+=
Ù
),,~,~
,~|~(),,~,~
,~|~(),,~,~
,~|~(
1
),,~,~
,~|(
2222
eee
t
e aYaVarTraYaEaYaEs
aYE sqbsqbsqbsqbq . 
 ...(3.15) 
 
As variâncias condicionais de ~a e ~e são obtidas a 
partir da distribuição conjunta 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ +
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
~~0~
~0~~~
~~~~~~~
,
~0
~0
~~
~
~
~
~
RR
DZD
RDZRZDZX
N
e
a
Y
t
tb
. 
Além disso sabemos que se 
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
2221
1211
2
1
2
1 ,~
VV
VV
N
x
x
m
m
, 
então 
[ ]2112212112212212121 ,)(~| VVVVxVVNxx -- --+ mm . 
 49
Portanto as variâncias condicionais de ~a e ~e são 
dadas por: 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-=+-=
-
-
122
212
~~~~~
)~~~~(~~),,~,~
,~|~( N
ete
Ne
t
e IZZIRZDZRRRaYeVar q
s
q
s
ssqb , 
...(3.16) 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-=+-=
-
-
~~~~~~~~
)~~~~(~~~),,~,~
,~|~(
12
12 ZIZZZIDZZDZRZDDaYaVar N
etttt
e s q
s
qsqb . 
...(3.17) 
 
 Como )~~~~~
(),,~,~
,~|~(
2 aZXYaYeE e --= bsqb e ~),,~,~
,~|~(
2 aaYaE e =sqb , 
usando as expressões (3.16) e (3.17) as equações (3.14) e 
(3.15) podem ser escritas como: 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-+----=
-
Ù
122
22
2
~~~~
)~~~~~
()~~~~~
(
1
),,~,~
,~|( N
ete
Ne
t
ee IZZITraZXYaZXYN
aYE
q
s
q
s
sbbsqbs
e 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-+=
-
Ù
~~~~~~~~
1
),,~,~
,~|(
12
2 ZIZZZITraa
s
aYE N
ettt
e s q
s
qsqbq . 
 
Então, um processo iterativo estará dado por: 
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+= -
-
-
~)~~~
(~~)~~~
(~~
1)(2)(
1
1)(2)()( YIZZXXIZZX N
m
e
tmt
N
m
e
tmtm sqsqb , ...(3.18) 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ -÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
-
)(
1
)(2)()()(
~~~~~~~~~
m
N
m
e
tmtmm XYIZZZa bsqq , ...(3.19) 
 
 50
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-+----=
-
+
1
)(
)(2
)(
)(2
)(2)()()()()1(2
~~~~
)~~~~~
()~~~~~
(
1
Nm
m
et
m
m
e
N
m
e
mmtmmm
e IZZITraZXYaZXYN q
s
q
s
sbbs 
... (3.20) 
e 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-+=
-
+
~~~~~~~~
1
1
)(
)(2
)()()()1( ZIZZZITraa
s Nm
m
ettmmtmm
s q
s
qq . ... (3.21) 
 
 O algoritmo funciona do seguinte modo: 
 
1. Decidir os valores iniciais de )0(2es e 
)0(q . 
2. Na etapa M, obter o valor de )(
~
mb , )(~
ma , usando (3.18) 
e (3.19). 
3. Na etapa E, calcular )1(2 +mes e 
)1( +mq , usando (3.19) e 
(3.20). 
4. Incrementar em 1 unidade o contador se não há 
convergência. 
 
 
3.4 Teste de Hipóteses. 
 
Como os parâmetros de interesse são 
~
b , 2es e q , para 
fazer testes de hipóteses e intervalos de confianças 
apropriados, a Função de Escore, obtida na equação (3.6) 
e a Matriz de Informação de Fisher, obtida na equação 
(3.7) são necessários para formular alguma hipótese. 
 
· Teste de Hipótese sob q 
H0 : q = 0 
H1 : q > 0 
 51
Estatística: 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 )1(1 ~ cqqq UU t -I , 
onde 
 )
~~~
(~~~)~~~
(
2
1
)~~~(2
1 21
)( bbq XYGZZXYZZGTrU
ttt --+-= -- 
e 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1,1 ,,,1 2222 --- III-I=I eeeet sqssqsqqq . 
· Teste de Hipótese para 1b que representa a associação 
entre ~Y e ~X . A hipótese de interes é: 
H0 : 1b = 0 
H1 : 1b ¹ 0. 
 Neste caso, utilizamos a estatística 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 )1(1 ~ cbbb UU t -I , 
onde, 
 )
~~~
(~~
1
)( bb XYGXU
t -= - , 
e 
 ( )
111 )~~~(
--- =I XGX tb . 
 
3.5 Um estudo de Simulação. 
 
Para implementar este estudo precisou-se simular o modelo 
gerando de uma variável )1,0(~ NX , para cada um dos quatro 
estratos considerados no estudo )4( =s ; cada variável 
aleatória (efeito do estrato), considerou-se como uma 
distribuição normal com média zero e variância 1 ( )1=q 
( ))1,0(~ Nai ; para o erro considera-se uma distribuição 
normal com média zero e variância 1 em cada estrato 
 52
( 12 =es ), e os parâmetros fixos 10 =b e 11 =b . Neste caso 
para estudar o desempenho dos estimadores, considerou-se 
o erro quadrático médio (EQM), para diferentes tamanhos 
da amostra. Inicialmente consideramos tamanhos das 
amostras para cada estrato do modo seguinte: n1=4; n2=8; 
n3=5; n4=7, sendo o tamanho total do experimento igual a 
N=24. A seguir, para estudar o comportamento dos 
estimadores em outras situações multiplicamos cada ni por 
uma constante até fazer 6 vezes o seu tamanho inicial. 
 
Para o presente estudo consideramos os algoritmos 
Fisher Scoring e algoritmo EM. Na notação usada nas 
tabelas, Erro=viés e D.P.= desvio padrão. Depois de 150 
iterações obtemos os seguintes resultados. 
 
 
1. Os resultados das médias das 150 iterações dos 
estimadores dos parâmetros para o algoritmo Fisher 
Scoring são apresentados nas seguintes tabelas: 
 
Tabela 3.1.- Estimadores dos parâmetros no Modelo Misto 
usando o algoritmo de Fisher Scoring para 
tamanhos das amostras n1=4, n2=8, n3=5, 
n4=7, N=24. 
Parâmetro Estimadores Variância D.P. Erro EQM 
0b 1,0061 0,22578 0,4752 0,0060592 0,25409 
1b 1,0036 0,049998 0,2236 0,0035985 0,052882 
q 0,73753 0,11748 0,3428 -0,26247 0,10961 
2
es 0,92982 0,096029 0,3099 -0,070178 0,56162 
 
 
 53
Tabela 3.2.- Estimadores dos parâmetros no Modelo Misto 
usando o algoritmo de Fisher Scoring para 
tamanhos das amostras n1=8, n2=16, n3=10, 
n4=14, N=48. 
Parâmetro Estimadores Variância D.P. Erro EQM 
0b 0,97448 0,19403 0,4405 -0,02552 0,27432 
1b 1,0207 0,022176 0,1489 0,020706 0,026201 
q 0,69425 0,099979 0,3162 -0,30575 0,47252 
2
es 0,96923 0,044508 0,2110 -0,03077 0,050322 
 
Tabela 3.3.- Estimadores dos parâmetros no Modelo Misto 
usando o algoritmo de Fisher Scoring para 
tamanhos das amostras n1=12, n2=24, n3=15, 
n4=21, N=72. 
Parâmetro Estimadores Variância D.P. Erro EQM 
0b 0,99203 0,17664 0,4203 -0,0079 0,32641 
1b 0,99666 0,014878 0,1220 -0,0033 0,018229 
q 0,65210 0,079983 0,2828 -0,3479 0,36732 
2
es 0,99327 0,029561 0,1719 -0,0067 0,028347 
 
Tabela 3.4.- Estimadores dos parâmetros no Modelo Misto 
usando o algoritmo de Fisher Scoring para 
tamanhos das amostras n1=16, n2=32, n3=20, 
n4=28, N=96. 
Parâmetro Estimadores Variância D.P. Erro EQM 
0b 0,98454 0,18596 0,4312 -0,0154 0,28736 
1b 1,0090 0,010716 0,1035 0,00903 0,010027 
q 0,70511 0,093718 0,3061 -0,2948 0,38205 
2
es 0,98458 0,021476 0,1465 -0,0154 0,028267 
 54
Tabela 3.5.- Estimadores dos parâmetros no Modelo Misto 
usando o algoritmo de Fisher Scoring para 
tamanhos das amostras n1=20, n2=40, n3=25, 
n4=35, N=120. 
Parâmetro Estimadores Variância D.P. Erro EQM 
0b 0,91993 0,19760 0,4445 -0,0801 0,255501b 0,98807 0,0087376 0,0935 -0,0119 0,0085941 
q 0,76046 0,10705 0,3272 -0,2395 0,38864 
2
es 0,99906 0,017333 0,1317 -0,0009 0,016900 
 
Tabela 3.6.- Estimadores dos parâmetros no Modelo Misto 
usando o algoritmo de Fisher Scoring para 
tamanhos das amostras n1=24, n2=48, n3=30, 
n4=42, N=144. 
Parâmetro Estimadores Variância D.P. Erro EQM 
0b 0,98206 0,19616 0,4429 -0,0179 0,27095 
1b 0,98730 0,0070366 0,0839 -0,0127 0,0074691 
q 0,76079 0,11454 0,3384 -0,0055 0,48889 
2
es 0,99446 0,014244 0,1193 -0,2392 0,017768 
 
Ao considerar todas as tabelas apresentadas 
percebemos que num modelo de regressão misto sem erros 
nas variáveis avaliado com o método de Fisher Scoring 
acontecem os seguintes fatos: 
 
· Os estimadores de 0
Ù
b , 1
Ù
b e 
2
e
Ù
s atingem ao valor 
paramétrico planejado na simulação. 
 55
· O estimador de 
Ù
q não atinge ao valor 
paramétrico planejado na simulação ficando numa 
faixa compreendida entre 0,6 e 0,8. 
· O estimador que apresenta menos variabilidade é 
o estimador 1
Ù
b , seguindo em importância a 
variabilidade de 
2
e
Ù
s . 
· Os estimadores 0
Ù
b e 
Ù
q apresentam maior 
variabilidade. 
· O estimador 1
Ù
b apresenta pouco viés, sendo seu 
EQM próximo de zero, sendo este estimador o mais 
estável. 
· Quando consideramos ao estimador de 
2
e
Ù
s , 
observamos que seu EQM atinge ao valor de zero 
só quando aumentamos o tamanho da amostra. Isto 
não esta acontecendo com os EQM dos estimadores 
0
Ù
b e 
Ù
q . 
· Por outro lado, um intervalo aproximado de 95% 
de confiança para 
Ù
q , cobre 0,1=q . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56
Gráfico 3.1.- Comportamento dos estimadores na simulação 
ao usar o algoritmo Fisher Scoring. 
Avaliação dos estimadores
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
N=24 N=48 N=72 N=96 N=120 N=144
Tamanhos da amostra
V
al
o
re
s 
o
b
ti
d
o
s
betha0
betha1
thetha
sigmae
 
 No gráfico 3.1 pode notar-se que os estimadores 0
Ù
b , 
1
Ù
b e 
2
e
Ù
s num modelo linear misto sem erros nas variáveis 
atingem aos valores propostos como parâmetros na 
simulação, mas os estimadores dos efeitos aleatórios 
Ù
q 
não atingem ao valor proposto como parâmetro na 
simulação, ainda quando se aumenta o tamanho da amostra, 
se estabiliza em um valor por abaixo de 0.8, isto quer 
dizer que os diferentes tamanhos da amostra afetam o 
comportamento do estimador ou devido à aleatoriedade de 
~i
a faz que o estimador se afaste do verdadeiro valor do 
parâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 57
 
Gráfico 3.2.- Comportamento dos erros Quadráticos Médios 
na simulação ao usar o algoritmo Fisher 
Scoring. 
Avaliação dos EQM
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
N=24 N=48 N=72 N=96 N=120 N=144
tamanho da amostra
E
Q
M
betha0
betha1
thetha
sigmae
 
 
No gráfico 3.2, pode-se ver que os EQM de 1
Ù
b e 
2
e
Ù
s a 
medida que se incrementa o tamanho da amostra estes 
valores atingem ao valor zero o qual nos permite concluir 
que estes estimadores são consistentes, enquanto os 
outros dois 0
Ù
b e 
Ù
q não chegam a atingir ao valor de 
zero, mais vemos que se estabilizam numa faixa de 0,25 e 
0,35, mas ainda assim devido à pouca variabilidade 
podemos dizer que estes estimadores são confiáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 58
2. Os resultados finais para o algoritmo EM (Método de 
Henderson) são apresentados nas seguintes tabelas: 
 
Tabela 3.7.- Estimadores do Modelo Misto usando o 
algoritmo EM para tamanhos das amostras 
n1=4, n2=8, n3=5, n4=7, N=24. 
Parâmetro Estimadores Variância D.P. Erro EQM 
0b 1,0057 0,22761 0,4771 0,0056912 0,25481 
1b 1,0057 0,044114 0,2100 0,0057089 0,053157 
q 0,76505 0,12791 0,3576 -0,99659 1,5002 
2
es 0,82170 0,074989 0,2738 -1,0109 1,7824 
 
Tabela 3.8.- Estimadores do Modelo Misto usando o 
algoritmo EM para tamanhos das amostras 
n1=8, n2=16, n3=10, n4=14, N=48. 
Parâmetro Estimadores Variância D.P. Erro EQM 
0b 0,97459 0,19519 0,4418 -0,02541 0,27479 
1b 1,0209 0,020614 0,1436 0,020887 0,026254 
q 0,70509 0,038346 0,1958 -1,0088 1,5183 
2
es 0,90140 0,10461 0,3234 -0,94748 1,6643 
 
Tabela 3.9.- Estimadores do Modelo Misto usando o 
algoritmo EM para tamanhos das amostras 
n1=12, n2=24, n3=15, n4=21, N=72. 
Parâmetro Estimadores Variância D.P. Erro EQM 
0b 0,99199 0,17752 0,4213 -0,0080 0,32636 
1b 0,99675 0,014092 0,1187 -0,0032 0,018215 
q 0,65877 0,082506 0,2872 -1,0077 1,7082 
2
es 0,94075 0,026424 0,1626 -1,0058 1,5892 
 59
Tabela 3.10.- Estimadores do Modelo Misto usando o 
algoritmo EM para tamanhos das amostras 
n1=16, n2=32, n3=20, n4=28, N=96. 
Parâmetro Estimadores Variância D.P. Erro EQM 
0b 0,98458 0,18745 0,4330 -0,0154 0,28750 
1b 1,0090 0,010256 0,1013 0,0089971 0,010042 
q 0,71299 0,096854 0,3112 -0,95300 1,5449 
2
es 0,94242 0,019591 0,1400 -1,0638 1,8902 
 
Tabela 3.11.- Estimadores do Modelo Misto usando o 
algoritmo EM para tamanhos das amostras 
n1=20, n2=40, n3=25, n4=35, N=120. 
Parâmetro Estimadores Variância D.P. Erro EQM 
0b 0,91976 0,19990 0,4471 -0,0802 0,25533 
1b 0,98804 0,0084246 0,0918 -0,0119 0,0086172 
q 0,77097 0,11078 0,3328 -1,0177 1,7802 
2
es 0,96324 0,016048 0,1267 -0,9435 1,5766 
 
 
Tabela 3.12.- Estimadores do Modelo Misto usando o 
algoritmo EM para tamanhos das amostras 
n1=24, n2=48, n3=30, n4=42, N=144. 
Parâmetro Estimadores Variância D.P. Erro EQM 
0b 0,98208 0,19814 0,4451 -0,0179 0,27109 
1b 0,98727 0,0068164 0,0826 -0,0127 0,0074765 
q 0,76967 0,11842 0,3441 -1,0567 1,7509 
2
es 0,96334 0,013311 0,1154 -1,0423 1,8261 
 
 60
Das tabelas anteriormente apresentadas podemos 
apreciar que com o método de Henderson se obtém 
comportamentos parecidos ao algoritmo Fisher Scoring, 
isto é, os estimadores 0
Ù
b , 1
Ù
b , 
2
e
Ù
s chegam ao valor do 
parâmetro proposto, enquanto 
Ù
q não. 
 
Gráfico 3.3.- Comportamento dos estimadores na simulação 
usando o algoritmo EM. 
Avaliação dos estimadores
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
N=24 N=48 N=72 N=96 N=120 N=144
Tamanhos da amostra
V
al
o
re
s 
o
b
ti
d
o
s
betha0
betha1
thetha
sigmae
 
Gráfico 3.4.- Comportamento dos estimadores na simulação 
ao usar o algoritmo EM. 
Avaliação dos EQM
0
0,5
1
1,5
2
N=24 N=48 N=72 N=96 N=120 N=144
tamanho da amostra
E
Q
M
betha0
betha1
thetha
sigmae
 
 61
Pode-se notar do gráfico 3.3 que, os estimadores dos 
parâmetros 0b , 1b e 
2
es se aproximam bastante dos valores 
reais, enquanto que de q não chega a atingir ao valor 
real mas se aproxima a medida que o tamanho da amostra 
aumentam, possivelmente pelos diferentes tamanhos da 
amostra por estratos. Note-se também que o estimador de 
2
es demora para atingir 1, o que acontece quando 
aumentamos o tamanho da amostra. 
 
Quando avaliamos o gráfico dos Erros Quadráticos 
Médios no gráfico 3.4, nota-se que ao aumentar o tamanho 
da amostra, o EQM do estimador de 1b tende a zero, o 
estimador de 0b manteve-se estável numa faixa de 0,2 a 
0,4, enquanto que os EQM dos estimadores de q e 2es , são 
os mais variáveis que os outros dois EQM. 
 
Sem fazemos uma comparação entre o algoritmo de 
Fisher Scoring e o algoritmo EM, encontramos que os 
estimadores obtidos pelo algoritmo de Fisher Scoring são 
mais precisos que os estimadores obtidos pelo algoritmo 
EM posto que os EQM no