166671 1 Aula matrizes, determinantes e sistemas GA Lic. em Química

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24/07/2017
1
Prof. Adriana Carvalho Rosa
Geometria Analítica
Lic. em Química – 2017-2
Matrizes
2
Definição e Notação
Chamamos de Matriz a todo conjunto de “valores”, 
dispostos em linhas e colunas. Representamos 
matrizes com letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Elemento Genérico
ija
i: linha onde o elemento se encontra
j: coluna do elemento
Sempre diz-se primeiro a linha, depois a coluna.
Matriz Genérica mxn
Notações
Podemos escrever matrizes das 
seguintes formas:










7987
8986
8995










7987
8986
8995
Matriz Linha
 0124A
É toda matriz que possui apenas uma linha.
Matriz Coluna












10
4
5
B
É toda matriz que possui apenas uma coluna.
Matriz Quadrada
 É toda matriz onde o número de linhas é 
igual ao número de colunas.
 É toda matriz do tipo nxn














205
625
021
C
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Diagonais de uma Matriz Quadrada
Quando a matriz é quadrada destaca-se
suas diagonais: a diagonal principal e
secundária.
Matriz Identidade
É toda matriz quadrada onde os termos que 
estão na diagonal principal são iguais a 1 e 
os outros são nulos.






10
01
2I











100
010
001
3I













1000
0100
0010
0001
4I
Matriz Nula
É toda matriz que independentemente do 
número de linhas e colunas todos os seus 
elementos são iguais a zero.
O = 
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são iguais quando todos os elementos 
correspondentes são iguais.
Exemplo de Igualdade de Matrizes
Determine o valor de x e y para que se tenha
A = B, sendo:
Resposta:
Adição e Subtração de Matrizes
Para realizarmos estas operações entre 
matrizes, precisamos ter matrizes de mesma 
ordem e realizar as respectivas operações 
com os elementos correspondentes.
Propriedades da Adição de Matrizes
i) A + B = B + A
ii) (A + B) + C = A + (B + C)
iii) A + O = A
Multiplicação de Matriz Por Um Número
Para realizarmos o produto de uma constante 
por uma matriz, basta multiplicarmos todos 
os elementos pela constante dada.
Propriedades da Multiplicação de Matrizes 
por Um Número
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Matriz Transposta
É toda matriz onde os termos que estão na 
posição de linha são transpostos para a posição 
de coluna. Notação: ܣ௧, ܣ்݋ݑ ܣᇱ
Propriedades de Matrizes Transposta
i)
ii)
iii)
Exemplo Adição e Multiplicação de Matrizes por Um Número 
e Transposta
Sejam ܣ = 2 1 04 3 −5 , ܤ =
−6 7
− ସ ଷ⁄ −3
2 4
 ݁ ܥ = −3 −1 72 −2 ଷ ଶ⁄
.
Calcule:
a) A − ܥ
b) ܣ − 5ܤ
c) 4ܣ௧ − 2ܤ
d) ܣ + 3ܤ௧ − 5ܥ
Determinantes
22
Definição e Notação
 Calcula-se apenas o determinante de
matrizes quadradas.
 Denotamos o determinante de uma matriz
quadrada A como: det A ou |A|.
Determinante matriz 2x2
 Determinante é a diferença entre os produtos da
diagonal principal pelo produto dos elementos da
sua diagonal secundária.
 Dada a matriz seu determinante é:
Exemplo Determinante matriz 2x2
Calcule:
Resposta:
Exemplo Determinante matriz 2x2
Calcule:
a) −1 7−2 −4
b)
ିଷ
ସ
ଵ
ଷ
4 5
c)
ିଵ
ସ
ଷ
ସ
ଶ
ଷ
−2
Determinante matriz 3x3
Regra de Sarrus:
 Basta repetir as duas primeiras colunas à
direita do determinante e multiplicar os
elementos do determinante da seguinte forma:
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Exemplo Determinante matriz 3x3
Calcule:
Repetimos as duas primeiras colunas:
Seguir as diagonais, multiplicando os elementos, não
esquecendo de trocar o sinal no resultado das
diagonais paralelas a secundária.
Resposta: det A= +5 – 2 – 6 = -3
Exemplo Determinante matriz 3x3
1. Calcule:
ܽ)
1 −2 3
2 1 −1
−2 −1 2
b)
7 −3 −6
0 1 2
4 5 10
2. Determine o valor de x se
Propriedades do Determinante
 Se uma matriz quadrada tem todos os elementos
de uma linha ou coluna nulos, seu determinante é
zero.
Propriedades do Determinante
 Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas
colunas iguais seu determinante é zero.
Propriedades do Determinante
 Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas
colunas proporcionais seu determinante é zero.
Propriedades do Determinante
 Se trocarmos duas linhas ou duas colunas de uma
matriz quadrada, seu determinante troca somente
de sinal.
Propriedades do Determinante
 O determinante de uma matriz quadrada coincide 
com o determinante de sua trasposta, ou seja, 
det ܣ = det ܣ௧ 
Observações sobre Determinante
 De um modo geral, o determinante de uma soma
de duas matrizes não é igual à soma dos
determinantes das matrizes. Ou seja,
܌܍ܜ ࡭ + ࡮ ≠ ܌܍ܜ ࡭ + ܌܍ܜ ࡮.
det ܣ =
1 −2 3
2 1 −1
−2 −1 2
= 1 e det B =
7 −3 −6
0 1 2
4 5 10
= 0
ܣ + ܤ =
9 −5 −3
2 2 1
2 4 12
, det ܣ + ܤ =? ? ?
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Sistemas 
Lineares
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Problema
Numa lanchonete os pastéis têm preço único e os
refrigerantes também. Nesse lugar, paguei R$ 31,50
por 5 pastéis e 3 latas de refrigerantes e meu amigo
pagou R$ 19,50 por 3 pastéis e 2 latas de refrigerante.
Qual o preço do pastel e do refrigerante?
Resolução:
Sejam ቊ x: preço do pastely: preço do refrigerante
Problema
ቊ5x + 3ݕ = 31,503x + 2ݕ = 19,50
⋮
Após alguns cálculos obtém-se que:
ݔ = 4,5 e ݕ = 3
Portanto, cada pastel custa R$ 4,50 e o refrigerante
R$ 3,00.
Definições
Toda equação da forma:
ࢇ૚࢞૚ + ࢇ૛࢞૛ + ⋯ + ࢇ࢔࢞࢔ = ࢈
é uma equação linear.
Sendo ܽଵ, ܽଶ, … , ܽ௡ números reais chamados
coeficientes; ݔଵ, ݔଶ, … , ݔ௡ as incógnitas(ou variáveis);
e ܾ é o termo independente, um número real qualquer.
Exemplos de Equações Lineares
Exemplo 1:
Equação Linear 5ݔ − 3ݕ + ݖ = 4 −ܽ + 2ܾ = −3
Coeficientes 5, −3, 1 −1, 2
Incógnitas ݔ, ݕ, ݖ ܽ, ܾ
Termo 
independente 4 −3
Sistema Linear
Exemplos de Sistemas Lineares
Exemplo 2:
a) ቐ
3ݔ + ݕ − 2ݖ + 4ݐ = 0
−ݔ − 3ݕ + ݖ − ݐ = −2
ݔ + ݕ + ݐ = 1
Sistema linear com 3 equações e 4 variáveis.
b) ቊx + 3ݕ = −33x − 2ݕ = 1
Sistema linear com 2 equações e 2 variáveis.
Solução de um Sistema
Uma solução de um sistema é um conjunto de valores
que satisfazem ao mesmo tempo todas as equações do
sistema.
Exemplo 3:
Seja o sistema ቊ x − ݕ = 12x + 3ݕ = 7. Verifique se os valores
são soluções.
a) ݔ = −1 e ݕ = −2
b) ݔ = 2 e ݕ = 1
Classificação de um Sistema Linear
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Sistemas Lineares 2ݔ2
Trataremos aqui apenas de sistemas lineares 2ݔ2, ou
seja, com 2 equações e 2 variáveis.
Exemplo 1: (Sistema Possível e Determinado (SPD))
O sistema ቊ
2ݔ + 3ݕ = 18
3ݔ + 4ݕ = 25 tem uma única solução:
ݔ = 3 e ݕ = 4.
Sistemas Lineares 2ݔ2
Exemplo 2: (Sistema Possível e Indeterminado (SPI))
O sistema ቊ 2ݔ + ݕ = 58ݔ + 4ݕ = 20 tem infinitas soluções:
ݔ 0 1 2 3 4 5 6 ...
ݕ 5 3 1 -1 -3 -5 -7 ...
Sistemas Lineares 2ݔ2
Exemplo 3: (Sistema Impossível (SI))
O sistema ቊݔ + 3ݕ = 5ݔ + 3ݕ = 7
não tem solução, pois 5 ≠ 7.
Método da Substituição
Esse método consiste em escolher uma das duas
equações, isolar ݔ ou ݕ e substituir na outra equação.
Exemplo 1:
Resolva os sistemas:
a) ቊ−2ݔ + ݕ = −103ݔ + 2ݕ = 1 c) ቊ
ݔ − 3ݕ = −1
2ݔ − 6ݕ = 5
b) ቊ 2ݔ + 3ݕ = 5−3ݔ + 5ݕ = 21
Método da Adição (ou Cancelamento)
• Esse método consiste em somar as duas equações de
tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero.
• Para que isso aconteça será preciso que
multipliquemos algumas vezes as duas equações ou
apenas uma equação por números inteiros
“convenientes” para que a soma de uma das
incógnitas seja zero.
Método da Adição (ou Cancelamento)
Exemplo 2:
Resolva os sistemas:
a) ቊ
−2ݔ + ݕ = −10
3ݔ + 2ݕ = 1 c) ቊ
ݔ − 3ݕ = −1
2ݔ − 6ݕ = 5
b) ቊ
2ݔ + 3ݕ = 5
−3ݔ + 5ݕ = 21 d)ቊ
2ݔ + ݕ = 7
4ݔ + 2ݕ = 14 
Exemplos Sistemas 2x2
Exemplo 3:
Resolva os sistemas:
a) ቊ
2ݔ + ݕ = 6
ݔ − ݕ = −1 ܵ =
ହ
ଷ
, ଼
ଷ
ou ݔ = ହ
ଷ
, ݕ = ଼
ଷ
b) ቊ
3ݔ + 6ݕ = −9
−ݔ − 2ݕ = 3 ܵ = −2ݕ − 3, ݕ ou
ݔ = −2ݕ − 3, ݕ ∈ ℝ
Exemplos Sistemas 2x2
c) ቊ
2ݔ − 3ݕ = −5
−4ݔ + 2ݕ = 2 ܵ =
ଵ
ଶ
, 2 ou ݔ = ଵ
ଶ
, ݕ = 2
d) ቊ
3ݔ − 6ݕ = 5
−6ݔ + 12ݕ = −1 SI
e) ቊ
4ݔ − 3ݕ = −1
−6ݔ − 5ݕ = 3 ܵ =
ି଻
ଵଽ
, ିଷ
ଵଽ
 ou
ݔ = ି଻
ଵଽ
, ݕ = ିଷ
ଵଽ
.