Cap. 23 - Lei de Gauss (1)

Prévia do material em texto

Cap. 23
Lei de Gauss
Prof. Oscar R. dos Santos
oscarsantos@utfpr.edu.br
Fluxo de Água
Av.
A
v
A
Fluxo de água pela 
seção transversal de 
área A de uma torneira
v
: Vazão ou fluxo 
: velocidade da água
: área da seção transversal por onde há o fluxo de água
: vetor área.
A

O vetor área , é um vetor que tem módulo a área da seção 
transversal do cano e direção perpendicular a esse plano.
O que é fluxo?
Taxa de algo atravessando uma superfície.
A
Av  cos
Fluxo de Ar
Fluxo de vento em uma espira quadrada.
Av.
Conjunto de vetores velocidade é denominado Campo de velocidades.
Fluxo de campo de velocidades através da 
espira.
O fluxo depende: da velocidade (1), da área da superfície (2) e da relação entre 
as direções e sentidos dos vetores velocidade e área.
Fluxo de Campo Elétrico
Ev 
Fluxo de campo elétrico: não temos um fluido mas linhas de campo que 
atravessam um determinada superfície.
Fluxo de campo elétrico para Ē
uniforme ao longo da superfície 
plana A.
Φ: Fluxo de campo elétrico (N.m2/C)
AE.
A

0
E

A
E

E

A
E

a
b
Fluxo de campo elétrico proporcional ao 
número total de linhas de campo que 
atravessam a área A
Φa> Φb
A

Fluxo de Campo Elétrico
 AdE .
Fluxo de Campo Elétrico
• Se Ē não é uniforme 
ao longo da superfície 
de área A? 
superfície à normal vetor :Ad
Exemplo 1:Superfície cilíndrica de raio r e comprimento L imerso em um
campo elétrico uniforme. Qual o fluxo de campo elétrico através desta
superfície fechada?
E
Fluxo de Campo Elétrico
Exemplo 2: Um campo elétrico dado pela expressão abaixo atravessa o
cubo gaussiano que aparece na Figura abaixo. Qual o fluxo total de campo
elétrico através do cubo? (24 N.m2/C)
jixE ˆ4ˆ3 
Fluxo de Campo Elétrico
Exercício
1. Um disco com raio r = 10cm está orientado de modo que seu vetor normal
faça um ângulo de 30º com o campo elétrico uniforme de módulo 2 x 103 N/C. (a)
Qual é o fluxo do campo elétrico do disco? (b) Qual o fluxo de campo elétrico
depois que ele gira e a normal fica perpendicular ao vetor campo elétrico? (c)
Qual o fluxo elétrico através do disco quando sua normal é paralela à E? (54
N.m2/C; 0; 63 N.m2/C)
Ad
2. Uma carga pontual positiva de 3,0 μC está no centro de uma superfície
esférica de raio 20 cm. Qual é o fluxo elétrico através desta superfície? (3,4
x 105 N.m2/C)
Lei de Gauss
 Cálculo simplificado;
 Simetria;
 Superfície Gaussiana: superfície fechada imaginária que pode ter 
a forma que desejarmos;
 Relação entre fluxo de campo elétrico na superfície gaussiana e 
a carga contida em seu interior.
0
int


q

qint = soma das cargas 
internas da superfície 
gaussiana.
Lei de Gauss Lei de Coulomb
Superfície 
Gaussiana
-
-
-
+
+
+
-
+
-
+
- +
Lei de Gauss
 
0
int.

q
AdE
Lei de Gauss
O fluxo elétrico total através de qualquer 
superfície fechada é igual à carga elétrica 
total (líquida) existente no interior da 
superfície dividida por εo.
O fluxo resultante não depende
da forma da superfície
gaussiana, apenas da carga
líquida contida nela. A
superfície é escolhida de
acordo com a situação.
0
int


q

Lei de Gauss 
(modo geral)
Lei de Gauss 
(E uniforme)
0
intqA.E 
Lei de Gauss
S3: qint= 0 → Φ = 0
S1: qint =+q → Φ > 0
S2: qint =-q → Φ < 0
S4: qint= (+q)+(-q) =0 → Φ = 0
0
int


q

Lei de Gauss e Lei de Coulomb
0
int.

q
AdE 
Uma superfície gaussiana 
esférica com centro em uma 
carga pontual q.
2
int
04
1
r
q
E


Lei de Coulomb par carags 
pontuais obtida pela Lei de 
Gauss
A Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb.
r: raio da superfície gaussiana.
Um condutor Carregado
Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor, 
a carga se concentra na superfície do condutor; o interior 
do condutor continua a ser neutro.
O campo elétrico no interior do 
condutor deve ser nulo. Caso 
contrário, o campo exerceria 
força sobre os elétrons.
Cargas em condutores
Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor, 
a carga se concentra na superfície do condutor; o interior 
do condutor continua a ser neutro.
A carga qc fica
inteiramente sobre
a superfície.
Em todos os pontos no
interior do condutor
campo elétrico é nulo
Cavidade tem carga total –q
para anular o campo
elétrico em todos os pontos
sobre a superfície
gaussiana.
Campo elétrico em condutores
Blindagem eletrostática
Gaiola de Faraday
Na gaiola, as cargas se espalham de tal
maneira que o campo elétrico em seu interior
é nulo.
Aplicações: Blindagem eletrostática
Figura: O campo das cargas induzidas 
sobre a caixa de metal junta-se ao campo 
uniforme externo para produzir um campo 
total nulo dentro da caixa.
Figura: Equipamentos como rádio, videocassetes, 
reprodutores de DVD são montados em gabinetes 
metálicos. Por igual razão, fios e cabos coaxiais são 
envolvidos por uma tela metálica.
Campo elétrico em condutores
Exemplo 3: Condutor esférico carregado com carga + q.
R
E
Campo elétrico em condutores
Exemplo 3: Condutor esférico carregado com carga +q
2
04
1
r
q
E


Campo elétrico de uma carga puntiforme
Rr  Se
r
Superfície
Gaussiana
Ad
E
Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele uma 
partícula carregada situada do lado de fora da casca 
como se toda a casca estivesse situada no centro.
Teorema das Cascas (Parte 1)
R
Campo elétrico em condutores
Exemplo 3: Condutor esférico carregado com carga +q
Rr  Se
0E
2
1
r
E 
0E
r
Superfície
Gaussiana
Excesso de carga se distribui 
pela superfície externa
Se uma partícula carregada está situada no interior de 
uma casca uniforme de cargas a casca não exerce 
nenhuma força eletrostática sobre a partícula.
Teorema das Cascas (Parte 2)
R
R
Simetria Esférica
Exemplo 4: Campo em uma esfera isolante uniformemente carregada.
Simetria Esférica
Exercício
3. Duas cascas esféricas concêntricas carregadas tem raios de 10cm e 15cm. A
carga da casca menor é 4x10-8 C, e da casca maior é 2x10-8 C. Determine o campo
elétrico (a) em r = 12 cm e (b) e, r = 20 cm. (2,5x104 N/C; 1,35x104 N/C)
4. Na figura uma esfera maciça não-condutora de raio a = 2 cm é concêntrica com
uma casca esférica condutora de raio interno b = 2a e raio externo c = 2,4 a. A
esfera possui um carga q1 = +5 fC, com distribuição uniforme, e a casca possui
uma carga q2 = -5 fC. Determine o módulo do campo elétrico (a) em r = a/2; (b) em
r = a; (c) em r =1,5 a; (d) em r =2,3 a; (e) em r =3,5 a.
(a) 5.62x10-2 N/C ;b) 0.112 N/C; c) 0.0499 N/C; d) 0; e) 0)
Simetria Cilíndrica
r
E

02
1

Exemplo 5: Barra cilíndrica de plástico infinita com densidade 
linear de cargas.
E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
P
r
L
Superfície 
Gaussiana
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Ad
E
+
r
Linha cargas
Simetria Cilíndrica
Um cilindro muito longo de raio R possui uma distribuição volumétrica
de cargas uniformes . (a) Determine o campo elétrico a uma distância
r<R do eixo do cilindro e (b) e r>R.
Exemplo 6: Barra cilíndrica de plástico infinita com densidade 
volumétrica de cargas.
Simetria Cilíndrica
Exercício
5.Uma linha infinita de cargas produz um campo elétrico de módulo 4,5x104 N/C a
uma distância 2 m. Calcule a densidade linear de cargas. (5x10-6C/m)
6. A figura mostra um cilindro fino, maciço, carregado e uma casca cilíndrica
coaxial, também carregada. Os dois objetos, são feitos de material não condutor e
possuem uma densidade superficial de cargas uniforme na superfície externa. A
segunda figura, mostra a componente radial de E do campo elétrico em função da
distância radial r a partir do eixo comum. A escala do eixo vertical é definida por Es
= 3 x 103 N/C. (a) Qual a densidade linear de cargas do cilindro fino? (b) Qual é a
densidade linear de cargas da casca? (1,95 x 10-9 C/m; -5,84 x 10-9 C/m)
Simetria Planar
02

E
Exemplo 7: Placa fina, infinita, não-condutora com densidade de 
carga σ.
Vista (a) em perspectiva (b) perfil de uma pequena parte de uma placa de
grande extensão com carga positiva na superfície. Uma superfície gaussiana
cilíndrica, engastada na superfície, envolve as cargas.
Placa não condutora de cargas
Simetria Planar
0

E
Exemplo 8: Duas placas condutoras com cargas superficiais +σ e -
σ.
Duas placas condutoras colocadas lado a lado.
Entre as placas
Simetria Planar
Exercício 7
A figura mostra partes de duas placas de grande extensão,
paralelas, não-condutoras, ambas com uma carga uniforme dos
lados. Os valores das densidades superficiais de cargas são σ+ =
6,8µC/m2 e σ- = -4,3µC/m
2 .Determine o módulo do campo elétrico
(a) à esquerda; (b) entre e (c) à direita das placas. (1,4x105 N/C;
6,3x105 N/C; 1,4x105 N/C)