lista interpolao

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia
Lista de Exercícios - Interpolação e MMQ
1. Num determinado experimento, levou-se a água ao ponto de ebulição, desejamos no
entanto calcular o calor específico da água a 61
◦
C. O calor específico da água é dado
conforme a seguinte tabela:
Temperatura 22 42 52 82 100
Calor específico 4181 4179 4186 4199 4217
Determine o valor do calor específico na temperatura de 61
◦
C utilizando os polinômios
interpoladores de Lagrange.
2. Para a função dada, seja x0 = 0, x1 = 0, 6 e x2 = 0, 9. Construa polinômios de grau n
≤ 2, para aproximar f (0,45), e encontre o erro relativo.
(a) f(x) = cos(x)
(b) f(x) =
√
1 + x
(c) f(x) = ln(x+ 1)
3. Sabendo-se que f (0,81)=16,94, f (0,83)=17,56,f (0,86)=18,50 e f (0,87)=18,82, calcule
um valor aproximado de f (0,84), usando:
(a) Polinômio interpolador de Lagrange de grau n ≤ 1, 2, 3
(b) Forma de Newton para polinômio interpolador de grau n ≤ 1, 2, 3
(c) O erro relativo.
4. Considere a tabela abaixo:
Altura(cm) 183 173 188 163 178
Peso(kg) 79 69 82 63 73
(a) Usando um Polinômio Interpolador de grau dois, calcule a altura aproximada de
uma pessoa com peso de 70 kg.
(b) Determine a melhor função da forma γ(x) = αsen(x) + βcos(x) que ajusta estes
pontos e calcule a altura aproximada de uma pessoa com peso de 70 Kg.
5. A tabela abaixo representa a inflação acumulada ao longo dos últimos meses.
Mês/ano 06/15 08/15 10/15 12/15 01/16 03/16
Inflação 0,79 0,22 0,82 0,96 1,27 0,43
(a) Estime qual foi a inflação em fevereiro , utilizando um polinômio interpolador de
grau n ≤ 2.
(b) Calcule o erro relativo.
(c) Baseado no resultado obtido, podemos afirmar que a inflação semestral foi menor
que 4% ?.
6. O número de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após t horas
é dado na seguinte tabela:
horas 0 1 2 3 4 5
bactérias 32 47 65 92 132 190
(a) Ajuste os dados acima a curva y = αe
βt
pelo método dos mínimos quadrados.
(b) Quantas horas serão necessárias para que o número de bactérias por unidade de
volume ultrapasse 1100?
7. Os seguintes dados foram reunidos para determinar a relação entre a pressão e a tem-
peratura de um volume fixo de 1kg de nitrogênio. O volume é 10m3.
T,
◦
C -40 0 40 80 120 160
p,N/m2 6.900 8.100 9.300 10.500 11.700 12900
Use a lei dos gases ideais pV = nRT para determinar R com base nesses dados. Observe
que, para a lei, T deve ser expressa em kelvins.
8. Um estudo de engenharia de transporte foi conduzido para determinar um projeto
adequado de faixas para bicicleta. Foram coletados dados sobre a largura das faixas
para bicicleta e a distância média entre as bicicletas e os carros trafegando. Os dados
de nove ruas são:
Distância,m 2,4 1,5 2,4 1,8 1,8 2,9 1,2 3 1,2
Largura da faixa,m 2,9 2,1 2,3 2,1 1,8 2,7 1,5 2,9 1,5
(a) Ajuste uma reta aos dados, por regressão linear.
(b) Se for considerar a distância mínima média segura entre as bicicletas e os carros
trafegando do que é 2 m, determine a largura mínima da faixa correspondente.
9. Na engenharia de fontes de água, a estimativa dos tamanhos dos reservatórios depende
de estimativas acuradas do escoamento da água no rio que está sendo confinado. Para
alguns rios, registros históricos de longa duração de tais dados de escoamento são
difíceis de obter. Em contraste, em geral os dados meteorológicos sobre precipitação
estão disponíveis para muitos anos do passado. Portanto, é útil determinar a relação
entre escoamento e precipitação. Essa relação pode então ser usada para fazer uma
estimativa do escoamento nos anos nos quais apenas medidas de precipitação foram
feitas. Os seguintes dados estão disponíveis para um rio que deve ser estancado:
Precipitação,cm 88,9 108,5 104,1 139,7 127 94 116,8 99,1
Escoamento,m3/s 14,6 16,7 15,3 23,2 19,5 16,1 18,1 16,6
(a) Ajuste uma reta aos dados, por regressão linear.
(b) Use a reta de melhor ajuste para prever o escoamento anual de água se a precipi-
tação for 120 cm.
(c) Se a área de drenagem for 1.100km2, estime qual fração da precipitação será
perdida por processos como evaporação, infiltração profunda da água no solo e
uso destrutivo.
10. Três organismos transportadores de doenças decaem exponencialmente em água de
lago de acordo com o seguinte modelo:
p(t) = Ae−1,5t +Be−0,3t + Ce−0,05t
Estime a população inicial de cada organismo (A, B e C) dadas as seguintes medidas:
t, h 0,5 1 2 3 4 5 6 7 9
p(t) 6,0 4,4 3,2 2,7 2,2 1,9 1,7 1,4 1,1
11. Você mediu a queda de voltagem V através de um resistor para diversos valores dife-
rentes da corrente i. Os resultados são
i, A 0,25 0,75 1,25 1,5 2,0
V, volts -0,45 -0,6 0,70 1,88 6,0
Use interpolação polinomial de primeiro a quarto graus para fazer uma estimativa da
queda de voltagem para i = 1,15A. Interprete seus resultados.
12. É conhecido que a queda de voltagem através de um indutor segue a lei de Faraday:
VL = L
di
dt
onde VL é a queda de voltagem (em volts), L é a indutância (em henrys) e i é a corrente
(em ampères). Use os seguintes dados para fazer uma estimativa de L:
di
dt
, A
s
1 2 4 6 8 10
VL, V 5,5 12,5 17,5 32 38 49
Qual o significado, se houver algum, da intersecção com o eixo y da equação de regres-
são deduzida a partir desses dados?