Estatística - UVA - Aula 09

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Modelos Probabilisticos 
 
Modelos de distribuições Discretas 
Profª Adriana Maria Balena Tostes 
Aula 9 
Existem variáveis aleatórias que têm uma função de 
distribuição pertencente a uma classe de distribuições 
teóricas. 
 
As distribuições teóricas, como o próprio nome 
indica, foram submetidas a estudos prévios e têm 
propriedades conhecidas; portanto, podem servir 
como modelo em determinadas situações em que a 
distribuição esteja identificada, poupando tempo na 
análise do problema estudado. 
Conceito de modelos probabilisticos 
Principais modelos de 
distribuições discretas 
- Uniforme Discreta 
- Bernoulli 
- Binomial 
- Geométrica 
- Binomial Negativa (Pascal) 
- Hipergeométrica 
- Poisson 
Modelo de Distribuição Binomial 
 Hipóteses a serem atendidas: 
—  São realizadas “n” provas do mesmo tipo 
(idênticas), ou seja, execução de um número 
finito de tentativas; 
—  Cada prova admite dois resultados possíveis, 
um chamado sucesso e o outro fracasso; 
—  As probabilidades “p” de sucesso e q=1-p, de 
fracasso, permanecem constantes em todas 
as provas; 
—  Os resultados das provas são independentes. 
—  PRINCIPAL ASPECTO: nº de sucessos 
obtidos após execução de todas tentativas. 
Exemplos: 
—  Jogar uma moeda seis vezes e observar o 
número de caras obtido; 
—  Sexo das crianças nascidas em determinada 
maternidade; 
—  Fumantes ou não fumantes em um grupo de 
adultos; 
—  Escolha entre um produto bom ou 
defeituoso; 
—  Atirar em um alvo, atingindo-o ou não; 
—  Alunos de uma escola vacinados ou não. 
Parâmetros de uma distribuição 
binomial. 
 São valores definidores de uma distribuição 
binomial. 
 
São dois: 
 
 n = Número total de ensaios 
 
 p = probabilidade de sucesso em cada 
 ensaio 
 
Notação: X~B(n,p) 
 
 
indica que v.a. X tem distribuição Binomial 
com parâmetros n e p. 
Cada experimento é um evento de Bernoulli, logo, são 
“n” ensaios de Bernoulli 
Fórmula: 
 
onde: 
n = número de repetições do experimento 
x = número de sucessos 
p = a probabilidade de sucesso em cada prova 
q = a probabilidade de fracasso em cada prova 
 
P(X = x) = nx
!
"
#
$
%
& pxqn−x
µ = np
σ 2 = npq
Exemplos 
1- Admite-se que uma válvula eletrônica, 
instalada em determinado circuito, tenha a 
probabilidade 0,3 de funcionar mais de 600 
horas. Se ensaiarmos 10 válvulas, qual será a 
probabilidade de que, entre elas, exatamente x 
válvulas funcionem mais de 600 horas? 
Determinar também, a média e o desvio 
padrão. 
μ= 3 σ=1,45 
2- Admitindo-se que os nascimentos de 
meninos e meninas sejam iguais, calcule a 
probabilidade de um casal com seis 
gestações ter quatro filhos homens e duas 
mulheres. 
R = 23,44% 
3- A probabilidade de um atiador acertar o 
alvo é 1/3. Se ele atirar seis vezes, qual a 
probabilidade de: 
a)  Acertar exatamente dois tiros 
b)  Não acertar nenhum tiro 
a)  80/243=33% 
b)  64/729=8,78% 
4- Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcule as seguintes 
probabilidades: 
a)  de ocorrer seis caras; 
b)  de dar pelo menos duas caras; 
c)  de não dar nenhuma coroa; 
d)  de dar pelo menos uma coroa; 
e)  de não dar 5 caras e 5 coroas. 
a)  105/512=20,5% 
b)  1013/1024=98,9% 
c)  1/1024= 0,098% 
d)  1023/1024=99,9% 
e)  193/256=75,39% 
5- Um professor da disciplina de Estatística elaborou uma prova de múltipla 
escolha, consistente em 10 questões cada uma com 5 alternativas cada 
questão. Suponha que os estudantes que vão a fazer a prova não vão as 
aulas e não estudaram para a prova. O professor estabeleceu que para 
aprovar deve contestar corretamente ao menos 6 questões. Calcule a 
probabilidade de um aluno ser aprovado. Se 200 alunos se apresentaram, 
quantos alunos aprovaram na disciplina? 
A probabilidade de aprovar um aluno é: 
000637,00,99363061)5(1)6(1)6( =−=−=<−=≥ FXPXP
Portanto, dos 200 alunos que fizeram a prova aprovariam:200(0,00637)≈2, 
alunos 
x f(x) F(x) 
0 0,107374 0,10737 
1 0,268435 0,37581 
2 0,301990 0,67780 
3 0,201327 0,87913 
4 0,088080 0,96721 
5 0,026424 0,99363 
6 0,005505 0,99914 
7 0,000786 0,99992 
8 0,000074 1,00000 
9 0,000004 1,00000 
10 0,000000 1,00000