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AULA 3: Matemática – parte 1
1. PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES ................................................................... 2
2. PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS ................................................................................................ 5
3. NÚMEROS PRIMOS ......................................................................................................................... 6
4. FRAÇÕES ......................................................................................................................................... 9
5. DÍZIMA PERIÓDICA ....................................................................................................................... 13
6. GRANDEZAS PROPORCIONAIS ...................................................................................................... 16
7. REGRA DE TRÊS ............................................................................................................................. 20
8. PROBLEMAS ENVOLVENDO ESPAÇO, TEMPO E VELOCIDADE ..................................................... 28
9. PORCENTAGEM ............................................................................................................................ 32
9.1. Aumentos e reduções percentuais ....................................................................................................... 38
10. CONJUNTOS ............................................................................................................................. 40
10.1. Introdução ........................................................................................................................................... 40
10.2. Conjunto universo ............................................................................................................................... 41
10.3. Subconjuntos. ...................................................................................................................................... 42
10.4. Conjuntos em que os elementos também são conjuntos. ..................................................................... 44
10.5. Operações com conjuntos ................................................................................................................... 46
10.6. Conjuntos numéricos ........................................................................................................................... 53
10.7. Formas de representação de conjuntos............................................................................................... 54
10.8. Diagramas e número de elementos do conjunto. ................................................................................ 56
11. EQUAÇÕES ............................................................................................................................... 65
12. EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU ............................................................................................... 70
13. INEQUAÇÕES ............................................................................................................................ 74
14. RESUMÃO................................................................................................................................. 78
15. CONTEÚDO DE DESTAQUE ....................................................................................................... 79
16. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA ..................................................................................... 79
17. GABARITO ................................................................................................................................ 89
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1. PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES
Bom pessoal, aqui não vou gastar tempo com teoria, certo? Direto para questões.
Questão 1 MPOG 2010 [ESAF]
Ana é nutricionista e está determinando o peso médio – em quilos (kg) – de todos seus 50
clientes. Enquanto Ana está somando os pesos de seus clientes, para calcular a média
aritmética entre eles, sem perceber, ela troca os dígitos de um dos pesos; ou seja, o peso XY
kg foi trocado por YX kg. Essa troca involuntária de dígitos alterou a verdadeira média dos
pesos dos 50 clientes; a média aritmética ficou acrescida de 0,9 kg. Sabendo-se que os pesos
dos 50 clientes de Ana estão entre 28 e 48 kg, então o número que teve os dígitos trocados
é, em quilos, igual a:
a) 38
b) 45
c) 36
d) 40
e) 46
Resolução:
Para calcular a média, somamos todos os pesos e dividimos por 50, pois são 50 clientes.
Para que a média seja aumentada em 0,9, o número teve que ser aumentado em uma
quantidade 50 vezes maior, para que, quando dividido por 50, resulte no acréscimo de 0,9.
0,9 × 50 = 45
O peso do cliente foi aumentado em 45 kg.
Assim, o valor YX é 45 unidades maior que XY.
Sendo Y e X dois algarismos (portanto, valem de 0 a 9), podemos escrever esses valores
assim:
�
� → 10 +
�
� → 10
+
Fazendo a diferença entre os dois pesos:
45 = �10 +
� − �10
+ �
45 = 9 − 9
Dividindo os dois lados da igualdade por 9:
−
= 5
Assim, o algarismo Y é 5 unidades maior que X.
As possibilidades para o peso XY são:
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05; 16; 27; 39; 49
Como os pesos possíveis estão entre 27 e 48, a única possibilidade é 38.
Gabarito: A
Questão 2 CGU 2002 [ESAF]
Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada
uma gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$ 2,00 de
estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?
a) R$ 220,00
b) R$ 204,00
c) R$ 196,00
d) R$ 188,00
e) R$ 180,00
Resolução:
Pedro tinha x reais inicialmente.
Em seguida, passou por quatro lojas, sempre gastando metade do que possuía. Ou seja,
quando saía de uma loja, ficava com metade do valor que tinha antes de entrar na loja.
Vamos então fazer a análise de trás para frente. Ou seja, vamos supor que Pedro gravou
todo o seu dia de compras, e agora estamos assistindo ao vídeo, só que de trás para frente.
Certo?
Ao final ele tinha R$ 8,00. Voltamos o vídeo e vemos Pedro pagando R$ 2,00 de
estacionamento. Este é o quarto estacionamento do dia.
Assim, antes de pagar pelo quarto estacionamento, ele tinha:
8 + 2 = 10
Ele tinha R$ 10,00.
Continuamos voltando o vídeo. Agora Pedro está saindo da quarta loja do dia.
Ou seja, ele saiu da quarta loja com 10,00. Como na loja ele gastou metade do que tinha, ao
entrar na quarta loja ele tinha R$ 20,00.
Voltamos mais um pouco.
Agora Pedro está pagando pelo terceiro estacionamento do dia. Ele gastou 2,00 no
estacionamento. Logo, antes disso, ele tinha R$ 22,00.
Voltando mais: se Pedro saiu da terceira loja com R$ 22,00, então ele entrou lá com R$
44,00.
E asism por diante:
• Pedro tinha 44 + 2 = 46,00 antes de pagar pelo segundo estacionamento do dia
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• Pedro tinha 46 x 2 = 92,00 antes de entrar na segunda loja do dia
• Pedro tinha 92 + 2 = 94,00 antes de pagar pelo primeiro estacionamento do dia
• Pedro tinha 94 x 2 = 188,00 antes de entrar naprimeira loja do dia.
Ou seja, Pedro tinha R$ 188,00 antes de sair de casa.
Gabarito: D
Questão 3 AFRFB 2012 [ESAF]
Luca vai ao shopping com determinada quantia. Com essa quantia, ele pode comprar 40
lápis ou 30 canetas. Luca, que sempre é muito precavido, guarda 10% do dinheiro para
voltar de ônibus. Sabendo que Luca comprou 24 lápis, então o número de canetas que Luca
pode comprar, com o restante do dinheiro, é igual a
a) 9.
b) 12.
c) 6.
d) 18.
e) 15.
Resolução:
Vamos jogar valores para facilitar. Suponha que Lucas tivesse consigo 120 reais. Usamos 120
porque é múltiplo de 40 e de 30.
Com essa quantia, ele pode comprar 40 lápis. Logo, cada lápis custa R$ 3,00.
Com essa quantia de R$ 120,00, ele também pode comprar 30 canetas. Portanto, cada
caneta custa R$ 4,00.
Sabe-se ainda que lucas reservou 10% dos R$ 120,00 (o que corresponde a R$ 12,00), para
pagar ônibus.
Sobrou então:
120 − 12 = 108
Ele comprou 24 lápis. Logo, gastou: 24 × 3 = 72. Gastou R$ 72,00.
Assim, da quantia de R$ 108,00 disponível, sobrou:
108 − 72 = 36
Cada caneta custa R$ 4,00. Quantas canetas compramos com R$ 36,00?
36 ÷ 4 = 9
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É possível comprar 9 canetas.
Gabarito: A
2. PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS
Imagine que temos 5 casinhas para abrigar alguns pombos. Só que temos, ao todo, 6
pombos. Então pelo menos uma cainha terá que abrigar 2 pombos, concordam?
Oras, se há mais pombos do que casinhas, não é possível que todos eles fiquem sozinhos em
suas respectivas casinhas.
É isso. Isso é o princípio da casa dos pombos. Tranquilo, né?
Dizendo de maneira mais “bonita”:
Se tivermos “n” pombos e “p” casinhas, e n > p, então pelo menos uma casinha terá dois
pombos.
Vamos aos exercícios:
Questão 4 SERPRO 2001 [ESAF]
Hermes guarda suas gravatas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete
gravatas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no
escuro, Hermes abre a gaveta e pega algumas gravatas. O número mínimo de gravatas que
Hermes deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
Resolução:
Cada cor é como se fosse uma casinha. São 5 cores (azul, amarelo, preto, verde, vermelho).
Cada gravata é como se fosse um pombo.
O número de gravatas (pombos) deve ser maior que o de cores (casas) para que tenhamos
certeza de que há pelo menos duas de mesma cor. Logo, precisamos de 6 gravatas.
Gabarito: C
Questão 5 MPOG 2008 [ESAF]
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Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes
de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24
meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que
Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo
de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma
cor é igual a:
a) 30
b) 40
c) 246
d) 124
e) 5
Resolução:
Exercício idêntico ao anterior. Agora temos 4 cores. Logo, precisaremos de mais meias do
que cores. Precisaremos de 5 meias.
Gabarito: E
3. NÚMEROS PRIMOS
Primeiro você tem que saber o que é um divisor.
O número 2 é um divisor de 16.
Por quê?
Porque na divisão de 16 por 2, não há resto. É uma divisão exata. Por isso dizemos que 2 é
divisor de 16.
Os divisores de 16 são:
1, 2, 4, 16
Agora vejamos os divisores de 15:
1, 3, 5, 15
Agora os divisores de 14:
1, 2, 7, 14
Seguem os divisores de 13:
1, 13
Olha que interessante. O número 1 é sempre divisor dos demais números inteiros. Ele
aparece em qualquer lista de divisores que você fizer.
Além disso, um número “n” qualquer será sempre divisor de si mesmo. Veja que 16 é divisor
de 16. 15 é divisor do próprio 15. E assim por diante.
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No caso do 13, seus únicos divisores são esses que vimos acima: o “1” e o próprio número.
Quando isso ocorre, estamos diante de um número primo.
Número primo: é aquele que só é divisível por 1 e por ele mesmo.
Exceção: o próprio número 1 não é considerado primo
São exemplos de números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
Observem que o único primo que é par é o 2. Todos os demais são ímpares.
Qualquer número inteiro pode ser decomposto em fatores primos.
Como exemplo, vamos trabalhar com o número 252.
252 é um número par. Logo, é divisível por 2:
252 ÷ 2 = 126
Portanto:
252 = 126 × 2
126 é par, também pode ser dividido por 2. Vejam: 126 ÷ 2 = 63. Logo: 126 = 63 × 2
Podemos substituir isso na igualdade acima:
252 = 126 × 2
252 = 63 × 2 × 2
O número 63 é múltiplo de 3. Podemos substituir 63 por 21× 3
252 = 21 × 3 × 2 × 2
O número 21 pode ser substituído por 7 × 3
252 = 7 × 3 × 3 × 2 × 2
Pronto.
Notem que expressamos 252 como um produto de diversos fatores. E todos esses fatores
são números primos.
Qualquer número inteiro pode ser expresso como um produto entre fatores primos.
Outro exemplo:
18 = 2 × 3 × 3
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Só não conseguimos fazer a decomposição se o número em questão for primo. Vejam:
13 = 13 × 1
Bom, até decompomos, mas não foi uma decomposição “para valer”, né? Afinal,
basicamente escrevemos que 13 = 13, isso não é lá muita coisa. E outro detalhe: um dos
fatores foi “1”, que não é considerado primo.
Questão 6 MPU 2004/ [ESAF]
Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem
olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das
idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais a
números primos. Segue-se que a idade de Ana – a filha de olhos azuis –, em número de anos
completados, é igual
a) à idade de Júlia mais 7 anos.
b) ao triplo da idade de Júlia.
c) à idade de Júlia mais 5 anos.
d) ao dobro da idade de Júlia.
e) à idade de Júlia mais 11 anos.
Resolução:
Sejam a e j as idades de Ana e Júlia. Como a e j são idades, em anos completos, então a e j
são números naturais.
Sabemos que o produto ja × é um número primo.
Mas o que é mesmo um número primo? É um número que só é divisível por 1 e por ele
mesmo.
Assim, 17 é primo, pois 17 só é divisível por 1 e por 17.
Desta forma, um número primo só pode ser expresso na forma � × � se esses dois números
(a e j) forem iguais a 1 e ao próprio número primo.
Assim, já descobrimos a idade de Júlia. Como Júlia é a mais nova, então:
� = 1
Bom, já descobrimos a idade de Júlia.
A idade de Ana, esta ainda não sabemos. Só sabemos que é um número primo, o que faz
com que � × � também seja primo.
Vamos para a segunda informação do enunciado. O exercício disse que a soma das idades é
um número primo.
Vamos escrever os primeiros números primos:
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Números primos: 2, 3, 5,7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, ...
Esses números acima seriam possíveis candidatos à idade de Ana.
Vamos testar?
Se Ana tiver 2 anos, então temos:
� + � = 2 + 1 = 3
Somando as idades das duas temos 3, que também é um número primo. Deu certinho.
E se Ana tiver 3 anos? Aí ficaríamos com:
� + � = 3 + 1 = 4
Obtivemos 4, que não é primo. Não deu certo.
E se Ana tiver 5 anos? Aí temos:
� + � = 5 + 1 = 6
O resultado foi 6, que não é primo. E podemos continuar testando e testando que nunca
mais iremos obter um número primo.
Isto porque os únicos dois números primos que estão em seqüência são o 2 e o 3. São dois
números primos cuja diferença é 1. Não há mais nenhum par de números primos tão
próximos assim. Os números primos vão ficando cada vez mais raros, à medida que eles
aumentam.
Logo, o único número primo que, somado a 1, resulta em outro primo é o 2.
Logo:
� = 2
Pronto. Descobrimos as duas idades (de Ana e Júlia). Assim, podemos ver que a alternativa
correta é a D, pois o número 2 (idade de Ana) é o dobro de 1 (idade de Júlia).
Gabarito: D
4. FRAÇÕES
De forma bem “grosseira” e simplista: fração é uma divisão. Dividimos um número pelo
outro. E os representamos com um sobre o outro, separados por um traço, assim:
4
3
Estamos dividindo 4 por 3.
“4” é o numerador da fração, é o que vai em cima, é o número que será dividido.
“3” é o denominador da fração, é o que vai em baixo, é o número que divide.
Uma coisa importante sobre frações é a tal da simplificação. Exemplo:
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8
14
Observem que podemos dividir 8 por 2. E podemos dividir 14 por 2. Ou seja, 2 é um divisor
comum de 8 e de 14.
Quando dividimos o numerador e o denominador pela mesma constante, a fração não se
altera:
8
14
=
8 ÷ 2
14 ÷ 2
=
4
7
Com isso, diminuímos o numerador e o denominador. Eles ficaram menores, mais simples.
Ou seja, simplificamos a fração.
A fração 4/7 não pode mais ser simplificada, pois 4 e 7 não têm divisores em comum.
É importante relembrarmos todas as operações envolvendo frações.
Somas e subtrações só podem ser feitas se o denominador das frações for o mesmo.
Para somar ou subtrair duas frações de mesmo denominador, basta somarmos ou
subtrairmos os numeradores, e mantermos o denominador:
2
5
+
1
5
=
2 + 1
5
=
3
5
2
5
−
1
5
=
2 − 1
5
=
1
5
Se o denominador for diferente, antes precisamos fazer com que fiquem iguais. Assim:
2
5
−
1
3
=?
Primeiro achamos um múltiplo comum de 3 e de 5. Um múltiplo comum entre ambos é 15.
Então vamos fazer com que ambos os denominadores fiquem iguais a 15.
Para tanto, basta multiplicar cada um deles por uma constante:
2
5 × �3�
−
1
3 × �5�
=
Ou seja, o primeiro denominador foi multiplicado por 3. O segundo denominador foi
multiplicado por 5. Agora os denominadores estão iguais.
Mas há um erro grave acima!!!
Quando multiplicamos cada denominador, estamos alterando a fração original.
Para que ela não seja alterada, temos que fazer exatamente a mesma multiplicação no
numerador. Assim:
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2 × �3�
5 × �3�
−
1 × �5�
3 × �5�
Pronto, agora as frações iniciais foram preservadas.
=
6
15
−
5
15
O resultado disso é que os denominadores agora já estão iguais. Já podemos calcular a
diferença:
=
6
15
−
5
15
=
6 − 5
15
=
1
15
Para multiplicar e dividir as frações, os denominadores podem ser diferentes entre si, isso
não é problema.
Para multiplicar duas frações, multiplicamos os numeradores entre si, multiplicamos os
denominadores entre si, e mantemos a divisão:
2
3
×
5
7
=
2 × 5
3 × 7
=
10
21
Para dividir duas frações, mantemos a primeira, invertemos a segunda, e multiplicamos as
duas:
2
3
÷
5
7
=
2
3
×
7
5
=
14
15
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Operação Exemplo
Adição ou subtração de frações, com
denominador igual
2
5
+
1
5
=
2 + 1
5
=
3
5
2
5
−
1
5
=
2 − 1
5
=
1
5
Adição ou subtração de frações, com
denominador diferente
2
5
−
1
3
=?
Primeiro igualamos os denominadores:
2 × �3�
5 × �3�
−
1 × �5�
3 × �5�
Depois fazemos o cálculo:
6
15
−
5
15
=
6 − 5
15
=
1
15
Multiplicação de frações 2
3
×
5
7
=
2 × 5
3 × 7
=
10
21
Divisão de frações 2
3
÷
5
7
=
2
3
×
7
5
=
14
15
Questão 7 CGU 2001 [ESAF]
Achar uma fração equivalente a 7/8 cuja soma dos termos é 120.
a) 52/68
b) 54/66
c) 56/64
d) 58/62
e) 60/60
Resolução:
Queremos encontrar uma fração do tipo:
�
�
Sabe-se que a soma dos termos é 120. Logo:
� + � = 120
Observando as alternativas, todas elas trazem termos cuja soma é 120:
52 + 68 = 120
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54 + 66 = 120
56 + 64 = 120
58 + 62 = 120
60 + 60 = 120
E mais uma coisa. A fração a/b deve ser igual a 7/8.
Vamos simplificar cada uma das frações acima, para ver se obtemos 7/8.
Letra A:
52
68
=
52 ÷ 4
68 ÷ 4
=
13
32
Não dá para continuar a simplificação, pois 13 e 32 não têm mais divisores em comum.
Não obtivemos 7/8.
Letra B:
54
66
=
54 ÷ 2
66 ÷ 2
=
27
33
=
27 ÷ 3
33 ÷ 3
=
9
11
9 e 11 não têm divisores entre si. Não dá para simplificar mais.
Letra C:
56
64
=
56 ÷ 8
64 ÷ 8
=
7
8
Pronto. Após a simplificação, obtivemos 7/8. Esta é a resposta.
Gabarito: C
Além disso, essa fração é igual a 7/8.
�
�
=
7
8
Quando duas frações são iguais, podemos multiplicar cruzado, que a igualdade se mantém.
Multiplicando cruzado:
� × 8 = � × 7
5. DÍZIMA PERIÓDICA
Existem frações cuja divisão apresenta infinitas casas após a vírgula.
Se essas casas após a virgula apresentarem um padrão de números repetidos, nós temos
uma dízima periódica.
Exemplo:
444
99
= 4,484848484…
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Observem que, em um dado momento, fica repetindo os números “84”, “84”, “84”:
4,48484848484
Por isso dizemos que se trata de uma dízima periódica, pois há uma parcela do número que
é periódica, que repete indefinidamente.
Temos que saber como transformar uma dízima periódica em fração.
É bem tranqüilo. A técnica está ilustrada no exemplo abaixo.
Exemplo: 35,67123123123123...
Nesta dízima, separamos a parte depois da vírugula em:
• parte aperiódica: é aquela que não repete: 35,67123123
• periódica: é a parte que repete: 35,67123123...
Primeiro passo: chamamos o valor acima de x:
� = 35,67123123123
Segundo passo: devemos deixar do lado direito da vírgula só a parte periódica.
Como fazer isso?
Basta multiplicar por uma potência de 10. Quando multiplicamos um número por uma
potência de 10, a gente simplesmente anda com a vírgula para a direita.
Qual potência de 10 usamos?
É só contarmos quantos são os algarismos da parte aperiódica. Neste caso, sãodois
algarismos (“6”, “7”).
Então basta multiplicar “x” por 10 elevado à segunda potência (=102). Ou seja, o expoente é
“2”, justamente porque temos dois algarismos na parte aperiódica.
Então temos que multiplicar por 100. Assim, andamos duas casas com a vírgula, e
obteremos:
100� = 3.567,123123123…
Pronto. Agora, depois da vírgula, temos só a parte periódica.
Em síntese: multiplicamos por 10a,onde “a” é a quantidade de algarismos da parte
aperiódica.
Terceiro passo: multiplicamos o número acima por outra potência de 10.
Qual potência de 10?
Aquela em que o expoente coincide com a quantidade de algarismos da parte periódica.
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Contamos quantos algarismos ficam repetindo. Neste exemplo, são três algarismos que
ficam sempre repetindo: “1”, “2” e “3”.
Se são três algarismos que ficam repetindo, multiplicamos por 103. É só andar de novo com
a vírgula:
�100�� × 1000 = 3.567.123,123123123…
Em síntese, multiplicamos por 10p, onde “p” é a quantidade de algarismos da parte
periódica.
Quarto passo: Agora subtraímos os dois números e isolamos “x”:
100� × 1000 − 100� = �3.567.123,123123… � − �3.567,123123… �
Para que é que fizemos isso tudo?
Para que, na subtração acima, as infinitas casas após a vírgula se cancelassem:
100.000� − 100� = 3.563.556
99.900� = 3.563.556
� =
3.563.556
99.900
Pronto.
Lá no início, “x” estava representado por 35,67123123... Agora, conseguimos obter a
correspondente fração.
Repetindo os passos:
Questão 8 SEFAZ MG 2005 [ESAF]
Um indivíduo fazendo cálculos chegou à dízima 5,48383....
Obtenha o número racional p/q que representa esta dízima.
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a) Tal número não existe porque esta dízima corresponde a um número irracional.
b) p=5483, q=990.
c) p=5483-54=5429, q=999.
d) p=5483-54=5429, q=900.
e) p=5483-54=5429, q=990.
Resolução:
A dízima é:
5,48383...
A parte aperiódica tem um algarismo (ver em vermelho). Logo: � = 1
A parte periódica tem dois algarismos (vem em amarelo). Logo, � = 2
Ficamos com:
� = 5,4838383…
Multiplicamos por 10a:
10� = 54,8383…
Multiplicamos por 10p:
10� × 100 = 1.000� = 5.483,8383…
Subtraímos as quantias acima e isolamos “x”:
1.000� − 10� = 5.483,8383…− 54,8383…
990� = 5.483 − 54
� =
5.483 − 54
990
=
5.429
990
Gabarito: E
6. GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Em matemática, proporção é sinônimo de razão, que é sinônimo de divisão:
proporção = razão = divisão
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas (ou
ainda: a divisão entre elas) for uma constante. É também comum usarmos só a expressão
“grandezas proporcionais”, omitindo a palavra “diretamente”.
Exemplo: um carro faz um trajeto a uma velocidade de 100 km/hora.
Ao final de 1 hora, ele terá andado 100 km. Ao final de 2 horas, ele terá andado 200 km. Ao
final de 3 horas, ele terá andado 300 km. E assim por diante.
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Em qualquer caso, se dividirmos a distância percorrida pelo tempo gasto, obteremos
sempre o mesmo resultado. Observem:
3
300
2
200
1
100
==
Dizemos que o tempo e a distância são diretamente proporcionais, pois a razão (ou a
divisão) entre ambos é sempre constante.
No caso, a constante é igual a 100. Dizemos que 100 é a constante de proporcionalidade.
Observem que, quando duas grandezas são diretamente proporcionais, temos o seguinte.
Se uma aumenta, a outra também aumenta, para que a razão se mantenha inalterada.
Tudo certo até aqui?
Há também as grandezas inversamente proporcionais.
Vimos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é
constante.
Pois bem, qual é o inverso da divisão?
É a multiplicação.
Assim, quando o produto entre duas grandezas é constante, dizemos que tais grandezas são
inversamente proporcionais.
Exemplo: dois trabalhadores terminam um serviço em 10 dias. Se tivermos 4 trabalhadores
(o dobro de gente), eles vão gastar 5 dias (metade do tempo).
As grandezas “quantidade de trabalhadores” e “quantidade de dias” são inversamente
proporcionais. O produto entre ambas é sempre constante:
2 × 10 = 4 × 5
Notem ainda que, quando uma grandeza aumenta (aumentamos o número de
trabalhadores), a outra diminui (diminuiu a quantidade de dias), de modo que o produto
fique inalterado.
Questão 9 STN 2008 [ESAF]
Uma escola terá 120 alunos, que deverão ser divididos em 3 (três) turmas, segundo o
tamanho em m2 de cada sala. A sala A tem 40m2, a sala B tem 80m2 e a sala C tem 120m2.
Indique abaixo a opção correta.
a) A = 15, B = 45 e C = 60.
b) A = 15, B = 40 e C = 65.
c) A = 20, B = 45 e C = 55.
d) A = 15, B = 50 e C = 55.
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e) A = 20, B = 40 e C = 60.
Resolução:
Sejam x, y e z as quantidades de alunos em cada sala.
Eles serão distribuídos de forma proporcional ao tamanho da sala. Isso significa que a
divisão entre a quantidade de aluno em cada sala pela respectiva área é sempre constante
(=K):
�
40
=
�
80
=
120
= !
A constante “k” é chamada de constante de proporcionalidade.
Quando temos igualdade entre frações, podemos fazer o seguinte.
Podemos somar os numeradores, somar os denominadores, fazer a divisão, que a igualdade
não se altera:
� + � +
40 + 80 + 120
= !
O total de alunos é 120:
120
40 + 80 + 120
= !
! =
120
240
= 0,5
Tendo o valor de “k”, podemos achar “x”, “y” e “z”:
�
40
=
�
80
=
120
= !
Logo:
� = 40! = 20
� = 80! = 40
= 120! = 60
Gabarito: E
Questão 10 SUSEP 2010 [ESAF]
Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na razão direta da
quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a
renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do
meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos,
o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires
receberá o filho do meio?
a) 80
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b) 100
c) 120
d) 160
e) 180
Resolução:
Considere que a renda do filho mais novo seja de R$ 1,00. Com isso, temos:
- filho mais velho: renda = R$ 2,00; quantidade de filhos: 3
- filho do meio: renda = R$3,00; quantidade de filhos: 2
- filho mais novo: renda = R$ 1,00; quantidade de filhos: 2
Sejam a, b e c as quantidades de terra que cada filho vai receber.
Estes valores são diretamente proporcionais à quantidade de filhos e inversamente
proporcionais à renda.
Vamos por partes.
Vamos alterar o enunciado.
1ª Parte:
Vamos supor que a questão apenas disse que a quantidade de terra é diretamente
proporcional à quantidade de filhos.
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais é porque a razão entre elas é uma
constante.
Razão, em matemática, é sinônimode divisão.
Ou seja, a divisão entre as áreas das terras e as quantidades de filhos seria constante.
Assim:
kcba ===
223
2ª Parte:
Vamos supor que a questão apenas disse que a quantidade de terra que cada filho vai
receber é inversamente proporcional à renda.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando seus produtos são constantes. Ou
seja:
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kcba =×=×=× 132
Agora, vamos juntar tudo.
A questão disse que:
- as áreas das terras são diretamente proporcionais à quantidade de filhos;
- as áreas das terras são inversamente proporcionais à renda.
Isso tudo deve acontecer ao mesmo tempo. Assim, precisamos juntar as duas partes que
vimos acima.
Ficamos com:
kcba =×=×=×
2
1
2
3
3
2
Disto, chegamos a:
ka 5,1=
3/2kb =
kc 2=
Além disso, sabemos que:
500=++ cba
Substituindo os valores de a, b, c:
50023/25,1 =++ kkk
Multiplicando os dois lados da igualdade por 3:
500.1625,4 =++ kkk
500.15,12 =k
k = 120
Portanto:
3/2kb = = 80
Gabarito: A
7. REGRA DE TRÊS
Questão 11 CGU 2001 [ESAF]
Cinco trabalhadores de produtividade padrão e trabalhando individualmente beneficiam ao
todo 40 kg de castanha por dia de trabalho de 8 horas. Considerando que existe uma
encomenda de 1,5 toneladas de castanha para ser entregue em 15 dias úteis, quantos
trabalhadores de produtividade padrão devem ser utilizados para se atingir a meta
pretendida, trabalhando dez horas por dia?
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a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
Resolução:
Este tipo de problema pode ser resolvido por meio de uma forma esquemática, denominada
de regra de três.
Primeiro organizamos todos os dados em uma tabela:
Quantidade de
trabalhadores
Horas por dia Quantidade de dias Quantidade de
castanha (kg)
5 8 1 40
x 10 15 1.500
Agora fazemos assim.
Escolhemos uma coluna como referência.
É praxe que a coluna escolhida seja aquela que contém a incógnita. Isso não é obrigatório,
mas é o que se costuma fazer. No caso, nossa referência passa a ser a quantidade de
trabalhadores.
Agora, analisamos como cada uma das demais grandezas se comporta quando variamos a
quantidade de trabalhadores. Assim, poderemos determinar se são grandezas diretamente
proporcionais ou inversamente proporcionais.
E uma coisa importante: analisamos apenas duas grandezas por vez. Supomos que as
demais fiquem inalteradas, ok?
Vamos começar então. Lembrando: nossa referência é a quantidade de trabalhadores.
Se aumentarmos a quantidade de trabalhadores, precisaremos de menos horas por dia de
trabalho para concluir uma encomenda (relação inversa). Observem que, nessa análise,
consideramos que as demais grandezas ficam inalteradas (quantidade de dias de trabalho, e
quantidade de castanha a ser produzida).
Continuando.
Se aumentarmos a quantidade de trabalhadores, precisaremos de menos dias de trabalho
para concluir uma encomenda (relação inversa).
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Se aumentarmos a quantidade de trabalhadores, conseguiremos produzir mais castanha,
em um mesmo intervalo de tempo. (relação direta).
Agora simbolizamos as relações com seta para cima (relação direta) e seta para baixo
(relação inversa):
Agora, para cada coluna, montamos uma fração.
5
�
;
8
10
;
1
15
;
40
1.500
Em seguida, invertemos as frações com seta para baixo:
5
�
;
10
8
;
15
1
;
40
1.500
Agora, deixamos a fração de referência de um lado da igualdade. Do outro lado, colocamos
as demais frações multiplicando:
5
�
=
10
8
×
15
1
×
40
1.500
Podemos simplificar 40 com 8:
5
�
=
10
1
×
15
1
×
5
1.500
Podemos simplificar 10 x 15 com 1.500:
5
�
=
1
1
×
1
1
×
5
10
Podemos simplificar 5 com 5:
1
�
=
1
1
×
1
1
×
1
10
1
�
=
1
10
� = 10
Gabarito: B
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Questão 12 PREFEITURA DO RIO DE JANEIRO 2010 [ESAF]
Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 dias, colhem juntos 60
sacos de arroz. Três outros trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem
juntos 75 sacos de arroz em 10 dias. Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo é
mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo?
a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo.
b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo.
c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo.
d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma.
e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo.
Resolução:
Primeiro organizamos os dados em uma tabela:
Quantidade de
trabalhadores
Horas por dia Quantidade de
dias
Sacos de
arroz
Produtividade
2 8 15 60 100
3 10 10 75 x
Observem que chutamos um valor qualquer para a produtividade dos dois trabalhadores
iniciais. Nem sabemos qual a unidade de medida da produtividade. Mas não importa. O que
temos que saber é o quanto a produtividade do segundo grupo é maior ou menor que a do
primeiro grupo.
Vamos adotar a produtividade como referência.
Se aumentarmos a produtividade dos trabalhadores, precisaremos de menos trabalhadores
para executar o serviço (relação inversa).
Se aumentarmos a produtividade dos trabalhadores, precisaremos de menos horas por dia
de trabalho (relação inversa).
Se aumentarmos a produtividade dos trabalhadores, precisaremos de menos dias de
trabalho (relação inversa).
Se aumentarmos a produtividade dos trabalhadores, serão colhidos mais sacos de arroz
(relação direta).
Montando as frações:
2
3
;
8
10
;
15
10
;
60
75
;
100
�
Agora invertemos aquelas com relação inversa:
3
2
;
10
8
;
10
15
;
60
75
;
100
�
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Agora deixamos a fração de referência de um lado da igualdade, e as demais do outro lado,
multiplicando:
100
�
=
3
2
×
10
8
×
10
15
×
60
75
Podemos simplificar 60 com 15:
100
�
=
3
2
×
10
8
×
10
1
×
4
75
Podemos simplificar 3 com 75:
100
�
=
1
2
×
10
8
×
10
1
×
4
25
Podemos simplificar 100 com 10:
10
�
=
1
2
×
1
8
×
10
1
×
4
25
Podemos simplificar 10 com 10:
1
�
=
1
2
×
1
8
×
1
1
×
4
25
Podemos simplificar 4 com 8:
1
�
=
1
2
×
1
2
×
1
1
×
1
25
1
�
=
1
2 × 2 × 25
1
�
=
1
100
� = 100
As duas produtividades são iguais.
Gabarito: D
Questão 13 ATA MF 2009 [ESAF]
Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for
aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta,
ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo
tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?
a) 12 horas
b) 30 horas
c) 20 horas
d) 24 horas
e) 16 horasResolução:
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Neste tipo de exercício, é muito útil calcularmos quanto cada torneira enche por hora.
A primeira torneira enche 1 tanque em 24 horas.
Quanto do tanque ela enche em 1 hora? Basta fazer uma regra de três:
1 tanque ---- 24 horas
x ---- 1 hora
Multiplicando cruzado:
24� = 1 → � =
1
24
Esta torneira enche
24
1
de tanque, em uma hora.
A segunda torneira enche 1 tanque em 48 horas. Quando do tanque ela enche em 1 hora?
Basta fazer outra regra de três.
1 tanque ---- 48 horas
x ---- 1 hora
Multiplicando cruzado:
48� = 1 → � =
1
48
A segunda torneira enche
48
1
de tanque, também em uma hora.
Logo, juntas, elas encherão:
1
24
+
1
48
=
2 + 1
48
=
3
48
Ou seja, juntas, elas encherão
#
$%
do tanque, em uma hora.
Para saber em quanto tempo elas encherão o tanque inteiro, basta fazer outra regra de três.
1 hora ----
48
3
de tanque
y ----- 1 tanque
Multiplicando cruzado:
� ×
3
48
= 1
� =
48
3
� = 16
Elas gastarão 16 horas para encher o tanque inteiro.
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Gabarito: E
Questão 14 ATFRB 2012 [ESAF]
Para construir 120 m2 de um muro em 2 dias, são necessários 6 pedreiros. Trabalhando no
mesmo ritmo, o número de pedreiros necessários para construir 210 m2 desse mesmo
muro em 3 dias é igual a
a) 2.
b) 4.
c) 3.
d) 5.
e) 7.
Resolução:
Área Dias Pedreiros
120 2 6
210 3 x
Quanto mais pedreiros disponíveis, maior a área de muro construída. As grandezas são
diretamente proporcionais.
Quanto mais pedreiros disponíveis, menos tempo gastaremos para construir o muro. As
grandezas são inversamente proporcionais.
Agora, montamos as frações. De um lado da igualdade a fração usada como referência
(pedreiros):
6
�
=
Do outro lado a igualdae, colocamos as demais frações multiplicando. Tomamos o cuidado
de inverter aquelas que são inversamente proporcionais à quantidade de pedreiros.
6
�
=
120
210
×
3
2
� =
6 × 2 × 210
120 × 3
= 7
Gabarito: E
Questão 15 ATRFB 2012 [ESAF]
Em um tanque há 3 torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, a segunda, em 8
horas, já a terceira o esvazia em 4 horas. Abrindo-se as 3 torneiras ao mesmo tempo e
estando o tanque vazio, em quanto tempo o tanque ficará cheio?
a) 10 horas e 40 minutos
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b) 13 horas e 20 minutos
c) 14 horas e 30 minutos
d) 11 horas e 50 minutos
e) 12 horas e 10 minutos
Resolução:
Vamos jogar valores, para facilitar o raciocínio. Suponha que o tanque tem 40 litros.
Por que 40?
Porque 40 é múltiplo de 5, 8 e de 4.
Continuando
A primeira torneira enche o tanque em 5 horas. Ou seja, em 5 horas, enche 40 litros.
Portanto, em 1 hora (1/5 do tempo), ela enche 1/5 do tanque (=8 litros).
A segunda torneira enche 40 litros em 8 horas. Logo, em 1 hora (1/8 do tempo) ela enche
1/8 do tanque (= 5 litros).
A terceira torneira esvazia 40 litros em 4 horas. Logo, em 1 hora (1/4 do tempo) ela esvazia
1/4 do tanque (=10 litros).
Se acionarmos as 3 torneiras ao mesmo tempo, em 1 hora teremos:
(8 litros da primeira torneira) + (5 litros da segunda torneira) - (10 litros da terceira torneira)
= 3 litros
Elas enchem 3 litros por hora.
Litros Horas
3 1
40 X
As grandezas são diretamente proporcionais. Logo:
3
40
=
1
�
� =
40
3
= 13 +
1
3
São gastas 13 horas mais 1/3 de hora para encher o tanque.
Lembrando que 1/3 de hora equivale a 20 minutos.
Logo, são gastos 13 horas e 20 minutos.
Gabarito: B
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8. PROBLEMAS ENVOLVENDO ESPAÇO, TEMPO E VELOCIDADE
A regra de três pode ser utilizada para resolver um tipo bem particular de problema: aquele
que envolve velocidade, espaço e tempo. Isso ocorre porque, se um móvel anda a
velocidade constante, o espaço é diretamente proporcional ao tempo.
Questão 16 CGU 2004 [ESAF]
Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho caminhando, sempre a uma
velocidade igual e constante. Neste percurso, ele gasta exatamente 20 minutos. Em um
determinado dia, em que haveria uma reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso
tempo para chegar ao trabalho 8 minutos antes do início da reunião. Ao passar em frente ao
Cine Bristol, Lúcio deu-se conta de que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e
imediatamente reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade,
chegaria atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância entre o Cine
Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de Lúcio a seu local de trabalho
é igual a:
a) 1.200m
b) 1.500m
c) 1.080m
d) 760m
e) 1.128m
Resolução:
Vamos fazer um diagrama da situação descrita no enunciado:
Lúcio gasta 20 minutos para ir de casa ao trabalho.
Num dado dia, Lúcio tinha uma reunião. Suponhamos que a reunião seja às 8h00. Lúcio quer
chegar 8 minutos antes da reunião. Ou seja, quer chegar às 7h52. Para tanto, Lúcio sai de
casa às 7h32 (pois ele gasta 20 minutos no trajeto).
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Neste dia, Lúcio sai de casa e vai até o cine Bristol (seta vermelha). Depois, ele volta até sua
casa (seta azul). Por fim, vai de casa até o trabalho (seta verde). E chega ao trabalho dez
minutos atrasado à reunião. Ou seja, chega ao trabalho às 8h10.
Em seu trajeto total, entre as 7h32 e 8h10, Lúcio gastou 38 minutos. Deste tempo, 20
minutos foram gastos para percorrer o trajeto entre sua casa e o trabalho (seta verde).
Os demais 18 minutos foram gastos para percorrer o trajeto entre a casa e o cine (seta
vermelha) e o trajeto entre o cine e a casa (seta azul). Ou seja, em 18 minutos Lúcio
percorreu 1080 metros.
Descobrimos que Lúcio percorre 1080 metros em 18 minutos. E a pergunta é: quanto ele
caminha em 20 minutos?
Basta fazer uma regra de três:
1.080 metros ---- 18 minutos
x ---- 20 minutos
Multiplicando cruzado:
� × 18 = 1.080 × 20
� =
1.080
18
× 20 = 1.200
Em 20 minutos, ele caminha 1.200 metros.
Logo, a distância procurada é de 1.200 metros
Gabarito: A
Questão 17 STN 2008 [ESAF]
Uma equipe de três policiais está em uma viatura perseguindo o carro de Telma e Louise
que corre por uma estrada reta onde existe um túnel construído também em linha reta.
Antes de chegarem até o túnel, os policiais avistam o carro de Telma e Louise que já está
dentro do túnel ─, exatamente a 200 metros de uma das extremidades. Na posição em que
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o carro das moças se encontra, elas acreditam que têm duas opções de fuga: continuar
dirigindo no sentindo em que se encontram ou dirigirem em direção à polícia. A partir da
velocidade do carro de Telma e Louise e da velocidade da viatura, os policiais concluíram,
acertadamente, que as moças não poderãofugir se forem capturadas no túnel. Ou seja, os
policiais poderão apanhá-las numa ou noutra extremidade do túnel, independentemente da
direção que elas tomarem. Sabe-se que o carro de Telma e Louise e a viatura dos policiais
locomovem- se a velocidades constantes. Sabe-se, também, que o túnel tem um quilômetro
de comprimento. Desse modo, conclui-se que a relação entre a velocidade da viatura e a do
carro das moças é dada por:
a) 3/2
b) 3/5
c) 7/5
d) 3/4
e) 5/3
Resolução:
Vamos fazer um diagrama para representar a situação.
Os dois carros estão indo para a esquerda. O carro de Telma tem uma velocidade vtelma. O
carro da polícia tem uma velocidade vpol.
O carro de Telma já está dentro do túnel. Ela está a 200 metros de uma extremidade e a 800
metros da outra extremidade.
O carro da polícia ainda não entrou no túnel. Ele está a uma distância x do começo do túnel.
Vamos considerar que o carro da polícia é k vezes mais rápido que o carro de Telma. Ou
seja:
&'()
&*+),-
= ! =?
E o exercício quer justamente saber o valor de k.
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Caso Telma decida retornar e voltar para a primeira extremidade, ela gastará um tempo t
neste trajeto. Como o carro da polícia vai alcançá-la justamente na extremidade, então o
carro de polícia também vai gastar um tempo t para atingir o mesmo ponto.
Como o carro de polícia é k vezes mais rápido, ele vai, no mesmo intervalo de tempo,
percorrer uma distância k vezes maior. Logo:
� = 200! �equação I�
Agora vamos para a outra situação.
Se Telma continuar em frente, dirigindo-se para a segunda extremidade, ela vai gastar um
tempo 't para chegar lá. Como o carro de polícia vai alcançá-la justamente nesta segunda
extremidade, o carro da polícia vai gastar o mesmo tempo 't em seu trajeto.
O carro de Telma vai percorrer uma distância de 800 metros, num tempo 't . No mesmo
tempo, o carro de polícia vai percorrer uma distância k vezes maior. Logo:
� + 1.000 = 800!
Substituindo o valor de x por k200 (conforme equação I):
� + 1.000 = 800!
�200!� + 1.000 = 800!
1.000 = 800! − 200!
1.000 = 600!
! =
1.000
600
Cortando os zeros:
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! =
10
6
Dividindo o numerador e o denominador por 2:
! =
5
3
Gabarito: E.
9. PORCENTAGEM
Um símbolo que aparece bastante em prova, sobretudo em matemática financeira, é o
símbolo de porcentagem: %
Pois bem, o símbolo % significa apenas: divido por 100. É isso mesmo. O símbolo % sempre
vem depois de um número. Ele quer dizer apenas que este número está divido por 100.
Exemplo: se escrevemos 5%, isto significa que o número 5 está sendo dividido por 100.
Ou seja:
5% =
5
100
= 5 × 0,01 = 0,05
Acima listamos quatro maneiras de escrever a mesma coisa. Todas elas representam o
número 0,05.
Porcentagem:
5% =
5
100
= 0,05
Qual a utilidade do símbolo de “%”?
Ele serve para dar a noção de parte e de todo, de uma maneira mais amigável para quem faz
a leitura de qualquer tipo de dado.
Na verdade, isso é apenas uma simplificação. O símbolo de porcentagem pode ser usado em
situações que não envolvam comparação entre parte e todo. Apesar disso, esta é a sua
utilização mais frequente, e é a mais simples, ideal para nos acostumarmos com o conceito
de porcentagem.
Suponha que você está lendo uma reportagem que informe que 1.000 habitantes da cidade
alfa foram contaminados com certa doença.
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Pergunta: essa doença é preocupante?
A resposta vai depender da cidade. Se estivermos numa megalópole com 10 milhões de
habitantes, talvez a doença não seja assim tão preocupante. Do contrário, se estivermos
numa pequena cidade, com 20.000 habitantes, aí a doença é bem preocupante.
Vamos considerar o segundo caso. Dos 20.000 habitantes, 1.000 têm a doença. Vamos
dividir a parte pelo todo. Vamos dividir o número de doentes pela população total:
1.000
20.000
Simplificando:
1.000
20.000
=
1
20
= 0,05 =
5
100
= 5%
Lembrando do significado do símbolo de porcentagem, chegamos a:
5%
Dizemos que 5% da população têm a doença. Ou seja, de cada 100 habitantes, 5 estão
contaminados.
Se a reportagem, em vez de informar o número de doentes (=1.000), tivesse dito que 5% da
população está contaminada, de imediato teríamos uma noção de quão grande é a parcela
afetada pela doença.
Dois são os procedimentos importantes, relacionados ao símbolo de porcentagem. O
primeiro é, dado um percentual, sabermos achar a respectiva quantidade. O segundo é o
caminho contrário. Dada uma quantidade, precisamos saber achar o respectivo percentual.
Exemplo 1:
Numa sala de aula com 40 alunos, 30% foram reprovados. Pergunta: quantos alunos foram
reprovados?
Resolução:
Neste caso, queremos saber quanto é 30% de 40.
30% de 40 é o mesmo que 30% vezes 40
30% de 40 = 40%30 ×
Visto isto, calculemos quantos alunos foram reprovados.
Número de alunos reprovados:
12
100
120040
100
3040%30 ==×=×
Ou seja, foram reprovados 12 alunos.
Neste caso, tínhamos o percentual de alunos reprovados. Para achar a quantidade de alunos
reprovados, bastou multiplicar. Multiplicamos 30% por 40 (pois são 40 alunos ao todo).
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Exemplo 2:
Em uma turma de 30 alunos, 6 foram reprovados. Qual o percentual de alunos reprovados?
Resolução:
No caso anterior, foi dado o percentual e tínhamos que calcular a quantidade de alunos
reprovados.
Aqui, fomos informados da quantidade de alunos reprovados (=6) e temos que achar o
respectivo percentual.
A pergunta é: 6 representa quantos por cento de 30?
Nestes casos, basta dividir os números (a parte pelo todo).
6 1 200, 2 20%
30 5 100
= = = =
Assim, 20% dos alunos foram reprovados.
Estes dois exemplos que acabamos de ver podem ser resumidos da seguinte forma:
Para achar um percentual, basta dividir a parte pelo todo:
[parte]
[todo]
=[percentual]
Dado o percentual, para achar a quantidade referente à parte, basta multiplicar o
percentual pelo todo.
[parte]=[todo]×[percentual]
Para achar um percentual, basta dividir a parte pelo todo:
[parte]
[todo]
=[percentual]
Dado o percentual, para achar a quantidade referente à parte, basta multiplicar o
percentual pelo todo.
[parte]=[todo]×[percentual]
Como já dissemos, a comparação de parte e todo é a utilização mais frequente da
porcentagem, embora não seja a única. Matematicamente, o símbolo de % apenas indica
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uma divisão por 100. Com isso, em qualquer situação em que surgir esta divisão, poderemos
usar “%”, mesmo que não estejamos comparando parte com todo.
Para melhor visualização, considere o seguinte exemplo.
Pedro recebe um salário de R$ 2.000,00. Gustavo recebe um salário de R$ 4.000,00.
Se dividirmos o salário de Pedro pelo salário de Gustavo, obtemos:
2.000
4.000
= 0,5 = 50%
Dizemos que o salário de Pedro é igual a 50% do salário de Gustavo. No entanto,estas duas
quantidades não podem ser vistas como parte e todo, o que não nos impede de utilizar a
porcentagem.
Questão 18 SUSEP 2006 [ESAF]
Em um concurso, de cada 100 candidatos, 60 eram mulheres e 40 homens. Considerando
que a porcentagem de aprovação entre os candidatos mulheres foi de 20% e entre os
homens foi de 15%, calcule a porcentagem de aprovação em geral entre os candidatos,
independentemente do sexo.
a) 15%
b) 17%
c) 18%
d) 19%
e) 20%
Resolução:
Vamos considerar que são apenas 100 candidatos, com 60 mulheres e 40 homens.
20% das mulheres foram aprovadas. Logo o número de mulheres aprovadas é:
20
100
× 60 = 12
Ou seja, multiplicamos o percentual pelo todo.
Doze mulheres foram aprovadas.
15% dos homens foram aprovados. Logo, o número de homens aprovados é:
15
100
× 40 = 6
Seis homens foram aprovados.
Somando homens e mulheres, a quantidade de aprovados é:
12 + 6 = 18
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São 18 aprovados em um total de 100 pessoas.
O percentual geral de aprovados é:
18
100
= 18%
Gabarito: C
Questão 19 AFRFB 2009 [ESAF]
Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total dos
funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total dos
funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as opções abaixo, é o valor mais próximo da
porcentagem do total dos funcionários dessa repartição que são homens não concursados?
a) 21%
b) 19%
c) 42%
d) 56%
e) 32%
Resolução:
Vamos jogar valores. Vamos supor que a repartição tem 60 pessoas.
3/5 dos funcionários são concursados.
36605/3 =×
São 36 concursados.
1/3 do total de funcionários são mulheres.
2060
3
1
=×
São 20 mulheres. Consequentemente, o número de homens é 40, de modo que o total de
pessoas seja 60.
1/4 dos funcionários são mulheres concursadas.
1560
4
1
=×
São 15 mulheres concursadas. Já sabemos que o total de concursados é 36. Assim, o
número de homens concursados é: 211536 =− .
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Como temos 40 homens e, destes, 21 são concursados, então 19 homens não são
concursados.
O percentual de homens não concursados, em relação ao total de funcionários, é:
=
60
19
0,32= 32%
Gabarito: E
Questão 20 MTE 2010 [ESAF]
Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências humanas e
os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem matemática e
física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da
universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na
universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os
alunos que estudam em cursos de ciências exatas?
a) 20,00%.
b) 21,67%.
c) 25,00%.
d) 11,00%.
e) 33,33%.
Resolução:
Vamos supor que são 100 alunos. 56% estudam humanas.
56% de 100 = 56
44% cursam exatas
44% de 100 = 44.
Destes 44, temos:
- 5 estudam matemática (=5% do total)
- 6 estudam física (=6% do total).
O número de alunos que estudam matemática ou física é igual a 11.
Assim, de cada 44 alunos de exatas, 11 estudam matemática ou física.
O percentual procurado é de:
11
44
= 25%
Gabarito: C
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9.1. Aumentos e reduções percentuais
Considere que tenho hoje R$ 20,00. Aplico este dinheiro em um investimento que, dentro
de um ano, rende 10%.
Ou seja, ao final de 1 ano, meu dinheiro terá aumentado em 10%.
Com isto, estou querendo dizer que, dividindo o aumento pela quantia inicial, o resultado é
10%.
aumento
20,00
= 10%
aumento = 10% × 20 = 2,00
aumento=2,00
O aumento foi de R$ 2,00.
Logo, após 1 ano eu terei:
00,2200,200,20 =+
Vamos mudar o exemplo. Se, em vez de R$ 20,00, eu tivesse x reais, vamos ver como ficaria.
aumento
�
= 10%
aumento = 10% × � = 0,1�
aumento=0,1x
E, após um ano, eu teria:
� + 0,1�
Colocando x em evidência:
� × �1 + 0,1� = 1,1�
E aqui está um resultado muito importante, que é muito utilizado lá na matemática
financeira, nos tópicos de juros simples e juros compostos. Aumentar algo em 10% é o
mesmo que multiplicar por 1,1.
Analogamente, aumentar algo em 20% é o mesmo que multiplicar por 1,2.
E isso vale para qualquer outro aumento.
Aumentar algo em 30% é o mesmo que multiplicar por 1,3. E assim por diante.
Aumentar algo em 10% é o mesmo que multiplicar por 1,1.
Aumentar algo em 20% é o mesmo que multiplicar por 1,2.
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Aumentar algo em 30% é o mesmo que multiplicar por 1,3.
Aumentar algo em 1% é o mesmo que multiplicar por 1,01.
Aumentar algo em 2% é o mesmo que multiplicar por 1,02.
Aumentar algo em 15% é o mesmo que multiplicar por 1,15.
E assim por diante.
Considere agora que um produto custa 200,00. O comprador pechincha e o vendedor abaixa
o preço em 10%. Qual o novo valor do produto?
A redução no valor é 10% do preço inicial.
redução=10% de 200
redução = 0,1 × 200 = 20
A redução é de R$ 20,00.
Com isso, o produto passará a custar R$ 180,00.
Se, em vez de 200,00, o produto custasse X, ficaria assim.
A redução seria de 10% de X.
Redução = 0,1X
O novo preço seria:
− 0,1
Colocando X em evidência:
× �1 − 0,1�
Ou seja, diminuir algo em 10% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,1.
E isto vale para todos os demais percentuais.
Este raciocínio é a base para os descontos comerciais, estudados lá na matemática
financeira.
Diminuir algo em 10% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,1.
Diminuir algo em 20% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,2.
Diminuir algo em 30% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,3.
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Diminuir em 1% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,1.
Diminuir algo em 2% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,02.
Diminuir algo em 15% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,15.
E assim por diante.
Questão 21 Prefeitura do Rio de Janeiro 2010 [ESAF]
O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha crescido 10% no primeiro
trimestre de 2008, 5% no segundo trimestre, tinha ficado estável no terceiro trimestre e
tinha caído 10% no último trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIB
desse País, em 2008.
a) 1,25%.
b) 5%.
c) 4,58%.
d) 3,95%.
e) -5%.
Resolução:
Suponha que o PIB era inicialmente de 100,00.
Primeiro ele aumentou 10%.
100 × 1,1 = 110
Depois aumentou 5%:
110 × 1,05 = 115,5
Depois caiu 10%:
115,5 × �1 − 0,1� = 103,95
No geral, o PIB aumentou de 100 para 103,95. O aumento foi de 3,95 em um total de
100,00. Trata-se de um aumento de 3,95%.
Gabarito: D
10. CONJUNTOS
10.1. Introdução
Podemos dizer que um conjunto é qualquer coleção de objetos. Assim, poderíamos dizer
que, abaixo, temos o conjunto dos estados do Norte:
{Pará, Amazonas, Rondônia, Roraima, Tocantins, Amapá, Acre}
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Podemos também formar o conjunto dos jogadores brasileiros que já ganharam o prêmio
de melhor jogador pela Fifa:
{Ronaldo; Ronaldinho Gaúcho; Rivaldo; Romário; Kaká; Marta}
E poderíamos formar inúmeros outros conjuntos. Então é isso. Conjunto é um grupo de
objetos.
Para representar um conjunto, nós geralmente utilizamos uma letra maiúscula do alfabeto.
Voltando ao primeiro conjunto apresentado, podemos dizer que se trata do conjunto A:
A ={Pará, Amazonas, Rondônia, Roraima, Tocantins, Amapá, Acre}
Cada um dos estados acima é um elemento do conjunto A. Para indicar que um elemento
faz parte do conjunto, nós dizemos que ele pertence ao conjunto.
Deste modo, o estado do Pará pertence ao conjunto dos estados do Norte. Ou seja, o estado
do Pará pertence ao conjunto A. Usando símbolos, esta frase fica assim:
Pará ∈ E
O símbolo “∈” representa a palavra “pertence”. Ele indica que o elemento em análise (o
estado do Pará) faz parte do conjunto A.
Podemos usar a mesma representação para qualquer outro estado:
Amazonas ∈ E
Rondônia ∈ E
Roraima ∈ E
E assim por diante.
Vamos pensar agora num elemento que não faz parte do conjunto. O estado de Goiás não
pertence à região norte. Ou seja, Goiás não pertence ao conjunto A. Para representar isso
em forma de símbolo, nós fazemos assim:
Goias ∉ E
O símbolo ∉ representa a expressão “não pertence”. Ele indica que o elemento em análise
não faz parte do conjunto A.
De modo análogo, o estado da Bahia também não pertence ao conjunto A.
Bahia ∉ E
10.2. Conjunto universo
É muito comum a expressão “conjunto universo”. Geralmente a utilizamos para indicar
todos os elementos com os quais se pretende trabalhar.
A título de exemplo, considere que, em uma empresa, deseja-se determinar um valor x que
atenda a uma necessidade da firma.
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A partir de várias considerações, conclui-se que x deve ser menor que 10. Seja A o conjunto
formado por todos os valores de x que atendem a esta especificação. Pergunta: qual é o
conjunto A?
A resposta vai depender do conjunto universo com o qual se está trabalhando.
Por exemplo, se x for o número de máquinas que podem estar operando simultaneamente,
sem comprometer o gerador próprio da empresa, então x só pode assumir valores naturais.
Nosso conjunto universo seria o conjunto dos números naturais. Neste caso, a resposta
seria:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Outro exemplo. Se x for o número de luvas de segurança que a empresa vai distribuir para
cada funcionário, sem extrapolar o orçamento com itens de segurança, então x só pode
assumir valores naturais e pares (pois as luvas sempre são usadas aos pares). Este é nosso
conjunto universo. Neste segundo caso, a resposta seria:
A = {0, 2, 4, 6, 8}
Exemplo 3:
Seja A o conjunto dos números maiores que 9 e menores que 20.
Represente o conjunto A nas seguintes situações:
a) quando o conjunto Universo é o conjunto dos números naturais (ainda vamos falar dos
números naturais; por hora, fique com a informação de que são aqueles que usamos para
contar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...).
b) quando o conjunto Universo é o conjunto dos números primos.
c) quando o conjunto Universo é o conjunto dos números pares.
Resolução.
a) A = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
b) A = {11, 13, 17, 19}
c) A = {10, 12, 14, 16, 18}
10.3. Subconjuntos.
Considere uma sala de aula com oito crianças: João, Maria, Pedro, Paula, Augusto, Luciana,
Leonardo e Luíza.
Seja A o conjunto formado por todas as crianças da sala de aula. Ele é dado por:
A = {José, Maria, Pedro, Paula, Augusto, Luciana, Leonardo, Luíza}
Pois bem. A partir do conjunto acima, podemos formar outros conjuntos, menores.
Podemos formar, por exemplo, o conjunto dos meninos desta sala de aula:
B = {José, Pedro, Augusto, Leonardo}
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O conjunto B é formado apenas pelos meninos.
Dizemos que o conjunto B é um subconjunto de A. Isto ocorre porque todo elemento que
pertence a B também pertence ao conjunto A.
Outra forma de indicarmos isso é: B está contido em A.
Assim, dizer que um conjunto está contido em outro significa que o primeiro é um
subconjunto do segundo.
Podemos representar isso por meio de símbolos:
AB⊂ (B está contido em A; significa que B é um subconjunto de A)
O símbolo “ ⊂ ” representa a expressão “está contido”.
Existe um outro símbolo semelhante, que é o ⊂ (estritamente contido).
Se escrevermos P ⊂ E, isto significa que o conjunto B está estritamente contido em A. Ou
seja, B está contido em A, e B é diferente de A.
Em outras palavras, todo elemento de B também pertence a A. Além disso, o conjunto A
possui elementos que não pertencem a B.
O diagrama abaixo representa dois conjuntos, tal que B está estritamente contido em A:
A diferença entre os dois símbolos fica clara quando temos dois conjuntos iguais.
X = {1,2}
Y = {1,2}
É correto dizer que X está contido em Y (pois todo elemento de X também pertence a Y).
Mas é errado dizer que X está estritamente contido em Y (pois não existem elementos de Y
que não pertencem a X).
Assim, o símbolo ⊂ não abrange a situação em que os conjuntos são iguais.
Podemos fazer uma analogia com os símbolos de “menor que” e “menor ou igual”.
O símbolo ⊂ seria análogo ao símbolo “<”.
O símbolo ⊆ seria análogo ao símbolo “≤”
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Símbolos ∈ e ∉: expressam relações entre conjunto e elementos - indicam se um
elemento pertence ou não a um conjunto.
Símbolos “ ⊂ ” e ⊂ : expressam relações entre conjuntos
Exemplo 4:
Seja A o seguinte conjunto:
A = {1, 5, 7, 8}
Encontre todos os subconjuntos de A que têm 3 elementos.
Resolução:
Subconjuntos de A são conjuntos formados por elementos que pertencem a A.
Assim, a título de exemplo, o conjunto {1, 5} é um subconjunto de A. Por quê?
Porque todos os seus elementos pertencem a A. O número 1 pertence ao conjunto {1,5}. E
também pertence a A. O mesmo vale para o número 5.
O detalhe é que o conjunto {1, 5} possui dois elementos. Embora ele realmente seja um
subconjunto de A, ele não atende ao solicitado na questão, em que se pedem os conjuntos
com três elementos.
Muito bem, então vamos responder à pergunta. Queremos encontrar todos os subonjuntos
de A que possuam 3 elementos. Para montar tais subconjuntos, basta nos dirigirmos a A e
escolhermos três de seus elementos.
{1, 5, 7}
{1, 7, 8}
{5, 7, 8}
{1, 5, 8}
Pronto. Acima temos todos os subconjuntos de A que possuem 3 elementos.
10.4. Conjuntos em que os elementos também são conjuntos.
Um conjunto pode ser formado por elementos isolados. É o caso do conjunto de todos os
alunos da sala:
A = {José, Maria, Pedro, Paula, Augusto, Luciana, Leonardo, Luíza}
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Contudo, um conjunto também pode ser formado por elementos que, na verdade, são
outros conjuntos.
Seja C o conjunto formado pelas frutas que Maria usa para fazer salada de frutas.
C = {banana, maçã,mamão}
Seja D o conjunto formado pelas frutas que Alberto usa para fazer salada de frutas.
D = {pêra, melão, abacaxi}
Seja E o conjunto formado pelas duas saladas de frutas:
E = {C, D}
O conjunto E é formado por elementos que, na verdade, são conjuntos. Poderíamos
reescrever E da seguinte forma:
E = {{banana, maçã, mamã}, {pêra, melão, abacaxi}}
Podemos dizer que C está contido em E?
Não, não podemos. É errado dizer isso.
Dentro do conjunto E, C é visto como um elemento. Quando queremos expressar relação
entre um conjunto e seus elementos, a expressão correta é: pertence. Dizemos que C
pertence a E.
Do mesmo modo, não podemos dizer que C é um subconjunto de E.
Se isso fosse verdade, ou seja, se C fosse um subconjunto de E, deveríamos ter o seguinte.
Todo elemento de C também deveria ser um elemento de E.
Vamos pegar a maçã. A maçã é um elemento de C. Sabemos que o conjunto C é formado
pelas frutas que Maria usa na sua salada de frutas. Como Maria usa a maçã, então a maçã
pertence ao conjunto C.
Pois bem. Vamos ao conjunto E. A maçã pertence ao conjunto E?
Não!
O conjunto E não tem nenhum elemento que seja a maçã. Os elementos do conjunto E são:
C e D. Estes são os únicos dois elementos de E. Nenhum deles é a maçã.
Só relembrando. O conjunto E é formado pelas saladas de frutas prontas, acabadas, já
preparadas. O conjunto E é formado pela salada de frutas da Maria e pela salada de frutas
do Alberto. Estas duas saladas de frutas é que formam o conjunto E. Ora, nas saladas de
frutas, já prontas e acabadas, não distinguimos mais a maçã. Não temos mais maçã, banana,
mamão, etc. O que temos agora é apenas isso: duas saladas de frutas.
Exemplo 5:
Considere os conjuntos abaixo.
A = {1, 3}
B = {2, 4}
C = {1}
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D = {A, B} = {{1, 3}, {2, 4}}
Indique a relação entre:
a) 1 e A
b) 1 e B
c) 1 e C
d) 1 e D
e) A e C
f) A e D
Resolução.
a) O número 1 é um elemento do conjunto A. Dizemos que 1 pertence a A.
1 ∈ A
b) O número 1 não é um elemento do conjunto B. Dizemos que 1 não pertence a B.
1 ∉ B
c) O número1 é um elemento do conjunto C. Dizemos que 1 pertence a C.
1 ∈ C
d) O número 1 não é um elemento do conjunto D. Os elementos de D são outros conjuntos.
Os elementos de D são A e B.
1 ∉ D
e) O único elemento de C é 1. Este elemento também pertence a A. Portanto, todos os
elementos de C também são elementos de A. Conclusão: C é um subconjunto de A. Logo:
C ⊂ A (C está estritamente contido em A)
A ⊃ C (A contém C)
f) A é um elemento de D. Portanto, A pertence a D.
A ∈ D
10.5. Operações com conjuntos
Considere os conjuntos A e B dados por:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
Podemos representar estes dois conjuntos por meio do seguinte diagrama:
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Os números que estão dentro do círculo da esquerda pertencem ao conjunto A. Os números
que estão dentro do círculo da direita pertencem ao conjunto B.
Observem que há quatro números que pertencem, simultaneamente, aos dois conjuntos.
Eles estão dentro dos dois círculos ao mesmo tempo. São eles: 6, 7, 8, 9.
Chamamos de intersecção entre A e B ao conjunto dos elementos que pertencem
simultaneamente aos dois conjuntos. Abaixo destacamos, em amarelo, a intersecção de A e
B.
A intersecção é representada pelo símbolo ∩. Deste modo, temos:
E ∩ P ={6, 7, 8, 9}
Chamamos de união de A com B ao conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos
um dos dois conjuntos iniciais. Abaixo, em amarelo, destacamos a união de A e B.
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A união é representada pelo símbolo∪ . Deste modo, temos:
E ∪ P ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
A diferença entre A e B corresponde ao conjunto dos elementos que pertencem a A e não
pertencem a B. A figura abaixo representa a diferença entre os dois conjuntos (destaque em
amarelo):
Deste modo, podemos dizer que:
E − P ={1, 2, 3, 4, 5}
Também podemos fazer a diferença entre B e A, representada abaixo:
P − E ={10, 11, 12, 13, 14}
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Finalmente, precisamos estudar o complementar de um conjunto.
Considere que o conjunto universo com o qual estamos trabalhando seja o conjunto dos
números naturais de 1 até 20.
V = W1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20X
O complementar de A, indicado por AC, corresponde a todos os elementos do universo (U),
que não pertencem a “A”. Em outras palavras, EY = V − E
Neste caso:
EY = W10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20X
Exemplo 6:
Considere os conjuntos:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
C = {2, 3, 4, 5, 6}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Calcule:
a) ( ) ABC ∪−
b) BA ∩
c) ( ) CBA ∩−
d) AC.
Resolução:
a) Primeiro fazemos a diferença entre C e B:
=− BC {2, 6}
Depois fazemos a união do conjunto acima com o conjunto A:
{2, 6} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 6}
b) A intersecção entre A e B corresponde ao conjunto formado pelos elementos que
pertencem, ao mesmo tempo, a A e a B.
BA ∩ = {3}
c) Primeiro fazemos a diferença entre A e B:
=− BA {1, 2}
Depois fazemos a intersecção do conjunto acima com o conjunto C.
{1, 2} ∩ {2, 3, 4, 5, 6} = {2}
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d) AC = U – A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Questão 22 STN 2005 [ESAF]
Considere dois conjuntos, A e B, onde A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-se
que a operação Ψ é definida por A Ψ B = (A – B) ∪ (B – A), então a expressão (A Ψ B) Ψ B é
dada por:
a) { X1, X5, X4}
b) { X1, X2}
c) { X1, X2, X3, X4}
d) {X4, X6, X5}
e) { X1, X6}
Resolução:
Precisamos calcular: (A Ψ B) Ψ B.
Vamos fazer por partes. Vamos começar com o que está dentro do parêntesis. Comecemos
com:
A Ψ B = ?
A Ψ B = )()( ABBA −∪−
A Ψ B = {X2, X3} ∪ {X5, X6} = {X2, X3, X5, X6}
Vamos chamar este conjunto acima de C.
C = {X2, X3, X5, X6}
Pronto. Calculamos o que estava dentro do parêntesis. Agora podemos continuar com a
expressão original:
(A Ψ B) Ψ B = C Ψ B
(A Ψ B) Ψ B = ( ) ( )CBBC −∪−
(A Ψ B) Ψ B = {X2, X3} ∪ {X1, X4}
(A Ψ B) Ψ B = {X1, X2, X3, X4}
Gabarito: C
Questão 23 SUSEP 2010 [ESAF]
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e sejam BA ∩ , BA ∪ e BA \ , respectivamente, as
operações de intersecção, união e diferença entre eles.
Seja Ф o conjunto vazio, U o conjunto universo e seja AUAC \= . A opção correta é:
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a� �E ∩ P� ∪ �EY ∪ PY�Y = V
b� �E ∩ P� ∩ �EY ∪ PY�Y = ∅
c� �E ∩ P� ∩ �EY ∪ PY� = ∅
d� �E ∩ P� ∪ �EY ∪ PY� = E ∪ P
e� �E ∪ P� ∪ �EY ∪ PY�Y = V
Resolução.
Como exemplo, considere o conjunto dos números naturais de 1 a 10. Este é o universo no
qual estamos trabalhando.
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Sejam A e B subconjuntosdo conjunto universo.
A = {1, 2, 3}
B = (3, 4, 5, 6}
A intersecção entre A e B corresponde ao conjunto formado pelos elementos que
pertencem aos dois conjuntos. É representada assim:
}3{=∩ BA
A união entre A e B é formada pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos
conjuntos.
}6,5,4,3,2,1{=∪ BA
A diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto
A e não pertencem a B.
}2,1{\ =BA
Analogamente, temos:
}6,5,4{\ =AB
O complementar de A é formado pelos elementos do conjunto universo que não pertencem
ao conjunto A.
}10,9,8,7,6,5,4{=CA
De igual modo, o complementar de B é formado por todos os elementos do conjunto
universo que não pertencem a B.
}10,9,8,7,2,1{=CB
Observem que, em todas as alternativas, aparece o seguinte conjunto:
CC BA ∪
No nosso exemplo, este conjunto seria:
CC BA ∪ ={4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∪ {1, 2, 7, 8, 9, 10}
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= {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Ou seja, o único termo que não pertence a este conjunto é o 3, que está justamente na
intersecção entre A e B.
Assim, este conjunto acima é quase igual ao conjunto universo. Só faltou incluirmos o 3
(intersecção entre A e B).
Em algumas alternativas, aparece o complementar deste conjunto.
( ) ?=∪ CCC BA
Para achar o complementar de um conjunto, pegamos todos os elementos que não
pertencem a ele. No nosso exemplo:
( ) }3{=∪ CCC BA
Pois 3 é o único elemento que ficou de fora.
Agora vamos analisar cada alternativa.
Letra A:
A alternativa está errada, pois afirmou que o resultado seria o conjunto universo.
Letra B:
A letra b traz exatamente a mesma seqüência de operações da alternativa ‘a’. Já vimos que
o resultado é o conjunto {3}.
A alternativa está errada, pois afirma que o resultado é vazio.
Letra C:
Exatamente como afirmado pela alternativa, o resultado é o conjunto vazio. Os dois
conjuntos obtidos não têm elementos em comum. Por isso sua intersecção é o conjunto
vazio.
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Gabarito: C
10.6. Conjuntos numéricos
Os números naturais são aqueles que utilizamos para contar as coisas:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...
O conjunto formado por todos os números naturais é representado por: ℕ
ℕ = W0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,… X
Se colocarmos o sinal de negativo na frente de um número natural, obtemos o seu oposto.
Ou seja, -1 é oposto de 1. -2 é oposto de 2. -3 é oposto de 3. E assim por diante.
Se acrescentarmos ao conjunto acima os opostos de cada elemento, obtemos os números
inteiros, representados por: ℤ.
ℤ = W… ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … X
O conjunto dos naturais está estritamente contido no conjunto dos inteiros:
ℕ ⊂ ℤ
Os números racionais são todos aqueles que podem ser escritos em forma de fração do
tipo:
�
^
Onde “p” e “q” são números inteiros.
Exemplos:
2
3
,
4
5
,
8
2
,…
Observem que todos os números inteiros também são racionais. Exemplificando, o número
−2 pode ser simbolizado por:
−
2
1
Que é uma fração com numerador e denominador inteiros. Logo, é racional.
O conjunto dos números racionais é simbolizado pela letra: ℚ
O conjunto dos números inteiros está estritamente contido no conjunto dos racionais:
ℤ ⊂ ℚ
Os números irracionais são aqueles que apresentam infinitas casas após a vírgula, que não
apresentam comportamento periódico (não são dízimas periódicas). Portanto, não é
possível representar tais números como uma fração p/q, com “p” e “q” inteiros.
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Exemplos:
√2 = 1,414214…
Não há padrão periódico nas casas após a vírgula, não sendo possível representar esse
número como uma fração p/q, de termos inteiros.
Ao contrário dos demais conjuntos numéricos, não há uma letra padrão para
representarmos o conjunto dos irracionais.
Por fim, o conjunto dos números reais (ℝ) é dado pela união dos racionais e dos irracionais.
Há também o conjunto dos números complexos, sobre o qual não vamos falar agora.
Por hora, só queria refrescar vossas memórias. A ideia foi só relembrar sobre os tipos de
números existentes, rever os símbolos usuais para cada conjunto numérico. Determinadas
propriedades específicas de cada conjunto só serão comentadas quando forem aparecendo
nos exercícios desta ou da próxima aula, ok?
10.7. Formas de representação de conjuntos
Considere o conjunto abaixo:
B = {3, 4, 5, 6}
Como fizemos para representar este conjunto? Simplesmente colocamos, entre chaves,
todos os elementos do conjunto. Ou seja, listamos todos os elementos.
Pois bem, há uma outra forma de representação de conjuntos que é muito útil. Muitas
vezes, os conjuntos abrigam elementos que possuem uma dada característica em comum.
Nestes casos, podemos representar o conjunto apenas indicando que característica é essa.
Com este pensamento, o conjunto B pode ser reescrito assim:
B = {x| x ∈N; 72 << x }
O que significam estes símbolos? Significa o seguinte.
B é formado por vários elementos, a que estamos chamando de ‘x’. Isto corresponde à parte
sublinhada:
xB {= | x ∈N; 72 << x }
Na sequência, temos uma barra vertical. Ela simboliza a expressão “tal que”.
Depois, indicamos que esses elementos ‘x’ têm uma característica especial: eles pertencem
ao conjunto dos números naturais.
B = {x| Nx ∈ ; 72 << x }
Então temos que B é formado por todos os elementos ‘x’ que são números naturais. Esta é a
característica em comum dos elementos do conjunto B. Todos eles são números naturais.
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Ok, só que os elementos x ainda têm outra característica em comum. Além de serem
números naturais, eles também são maiores que 2 e menores que 7.
B = {x| x ∈N; 72 << x }
Reescrevendo tudo: o conjunto B é formado por todos os elementos x que têm algumas
características em comum: são números naturais, maiores que 2 e menores que 7.
Quais números são naturais, maiores que 2 e menores que 7? Ora, são os números 3, 4, 5, 6.
Assim, escrever:
B = {x| x ∈N; 72 << x }
É o mesmo que escrever:
B = {3, 4, 5, 6}
Qual a grande vantagem desta representação que indica a característica dos elementos do
conjunto? É que, se o conjunto for muito grande, talvez fique mais fácil apenas indicar a
característica em comum de seus elementos. Imagine que quiséssemos indicar o conjunto
de todos os números pares maiores que 1 e menores que 199.896.903. Seria um baita de
um conjunto enorme. É bem mais fácil escrever:
A = {x| x é par; 903.896.1991 << x }
Em alguns casos, nem é possível listar todos os elementos do conjunto. Isso acontece, por
exemplo, quando temos valores num dado intervalo real.
Considere que o conjunto C é o conjunto formado por todos os números reais maiores que 1
e menores que 4. Dá para listar todos eles? Não dá. Isso não é possível. Existem infinitos
números reais entre 1 e 4.
Qual é o primeiro número real maior que 1? Nem dá para escrever. Alguém diria: é o 1,1.
Será mesmo?
Oura pessoa diria: não, na verdade o primeiro número real depois do 1 é o 1,01.
Uma terceira pessoa afirmaria que é o 1,00001.
E assim por diante. Para qualquer número k que você pense, sempre dápara pensar em
outro número real que seja maior que 1 e menor k. Com isso, nunca conseguiremos sequer
iniciar a nossa listagem.
Num caso destes, só nos resta representar o conjunto indicando a característica de seus
elementos:
C = {x| x ∈ R; 41 << x }
Exemplo 7:
Liste todos os elementos dos conjuntos abaixo.
a) A = {x| x é par; 2617 << x }
b) B = {x| x é primo; 3010 << x }
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Resolução:
a) A é o conjunto formado por todos os números pares maiores que 17 e menores que 26.
A = {18, 20, 22, 24}
b) B é o conjunto formado por todos os números primos maiores que 10 e menores que 30.
B = {11, 13, 17, 19, 23, 29}
Exemplo 8:
Reescreva os conjuntos a seguir, indicando a característica que eles têm em comum.
a) A = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30}
b) B = {0, 1, 4, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
Resolução:
a) O conjunto A é formado por todos os múltiplos de 5 entre zero e 30.
A = {x| 300 ≤≤ x ; x é múltiplo de 5}
b) O conjunto B é formado por todos os quadrados perfeitos menores ou iguais a 81.
B = {x| x é quadrado perfeito; 81≤x }.
Outra forma de representação seria:
B = {x2| x ∈N; 90 ≤≤ x }.
10.8. Diagramas e número de elementos do conjunto.
Em alguns tipos de problemas, em vez de representar os conjuntos propriamente ditos,
pode ser útil indicar, apenas, quantos elementos possui o conjunto.
Para ilustrar a aplicação deste tipo de diagrama, considere o seguinte exemplo.
Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São disponibilizados cursos
de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos.
Atualmente temos a seguinte situação:
• 30 alunos fazem inglês.
• 20 alunos fazem inglês e espanhol.
• 35 alunos fazem espanhol.
• 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol.
Vamos representar graficamente os alunos dessa escola.
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Dentro do círculo azul temos os trinta alunos que fazem inglês. Dez deles estão dentro do
circulo azul, mas não estão dentro do círculo vermelho.
Dentro do círculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. Quinze deles estão
dentro do círculo vermelho, mas não estão dentro do círculo azul.
Outros vinte estão nos dois círculos simultaneamente. São os que fazem inglês e espanhol.
E os 25 que estão de fora dos dois círculos não fazem inglês nem espanhol.
Simples não? Pois é, este tipo de diagrama é o que é mais cobrado em concursos.
Vamos aproveitar este exemplo para estudarmos a fórmula que nos fornece o número de
elementos da união entre dois conjuntos.
Exemplo 9:
Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São disponibilizados cursos
de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos.
Atualmente temos a seguinte situação:
30 alunos fazem inglês.
20 alunos fazem inglês e espanhol.
35 alunos fazem espanhol.
25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol.
Qual o número de alunos que fazem inglês ou espanhol?
Resolução:
Na hora de contar quantos alunos fazem inglês ou espanhol, estamos interessados naqueles
que fazem só inglês, que fazem só espanhol, ou que fazem ambos, inglês e espanhol.
Seja “I” o conjunto dos alunos que fazem inglês. Seja “E” o conjunto dos alunos que fazem
espanhol. No fundo, o que o exercício está perguntando é o número de alunos da união dos
conjuntos “E” e “I”.
alunos que fazem
espanholalunos que
fazem ingles
10 20 15
25
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Com base no diagrama acima, podemos afirmar que são 45 os alunos que fazem inglês ou
espanhol.
Vamos tentar chegar nesse valor sem usar o tal diagrama.
Sabemos que 30 alunos fazem inglês e 35 fazem espanhol. Somando, temos:
653530 =+
Não deu 45. Por quê?
Acontece que, no valor acima, estamos contando alguns alunos em duplicidade. Os alunos
que fazem inglês e espanhol estão sendo contados duas vezes. Tratam-se dos alunos
pertencentes à intersecção. São os alunos que estão, ao mesmo tempo, dentro do círculo do
inglês e do círculo do espanhol.
Sei que a ideia da resolução era não usarmos o diagrama, mas só para deixar claro, vamos a
ele. Vejam como os 20 alunos da região amarela estão, ao mesmo tempo, dentro dos dois
círculos.
Devemos subtrair 20 do número que obtivemos. Com isso, excluímos as contagens
indevidas.
452065 =−
Agora sim, chegamos aos 45 elementos da união de I e E. São 45 alunos que fazem inglês ou
espanhol. No valor acima não temos nenhum aluno sendo contado em duplicidade.
Vamos resumir tudo o que fizemos?
Para chegar ao número de elementos da união, fizemos a seguinte conta:
20353045 −+=
Dando nomes a cada uma das parcelas:
)()()()( IEnInEnIEn ∩−+=∪
Onde:
• )( IEn ∪ é o número de elementos da união
• )(En é o número de elementos do conjunto E
• )(In é o número de elementos do conjunto I
• )( IEn ∩ é o número de elementos da intersecção
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Genericamente, dados dois conjuntos A e B, o número de elementos da união é dado por:
)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪
Número de elementos da união
Genericamente, dados dois conjuntos A e B, o número de elementos da união é dado por:
)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪ .
A subtração por )( BAn ∩ serve para retirarmos os elementos contados em duplicidade.
Questão 24 RFB 2009 [ESAF]
Uma escola para filhos de estrangeiros oferece cursos de idiomas estrangeiros para seus
alunos. Em uma determinada série, 30 alunos estudam francês, 45 estudam inglês, e 40,
espanhol. Dos alunos que estudam francês, 12 estudam também inglês e 3 estudam
também espanhol. Dos alunos que estudam inglês, 7 estudam também espanhol e desses 7
alunos que estudam inglês e espanhol, 3 estudam também francês. Por fim, há 10 alunos
que estudam apenas alemão. Não sendo oferecidos outros idiomas e sabendo-se que todos
os alunos dessa série devem estudar pelo menos um idioma estrangeiro, quantos alunos
dessa série estudam nessa escola?
a) 96.
b) 100.
c) 125.
d) 115.
e) 106.
Resolução.
Vamos organizar as informações:
1) 30 alunos estudam francês
2) 45 estudam inglês
3) 40 estudam espanhol
4) 12 estudam francês e inglês
5) 3 estudam francês e espanhol
6) 7 estudam inglês e espanhol
7) 3 estudam inglês, francês e espanhol
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8) 10 alunos estudam apenas alemão
Vamos começar pelas intersecções. Da sétima informação, temos que 3 alunos fazem inglês,
francês e espanhol.
Da sexta informação, temos que 7 alunos estudam inglês e espanhol. Destes 7, 3 já foram
alocados na região amarela acima. Logo, faltam 4 alunos para serem alocados na
intersecção entre inglês e espanhol.
Agora vamos preencher a intersecção entre francês e espanhol. Da informação 5, temos que
há 3 pessoas nesta intersecção. Todas estas 3 pessoas já estão alocadas, pois são as mesmas
que fazem as três línguas.
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Por fim, vamos à intersecção entre inglês e francês. Da informação 4, temos que são 12
pessoas nesta região. Três delas já foram alocadas. Faltam 9.
Terminadas as intersecções, vamos aos alunos que fazem apenas uma língua.
Sabemos que 30 alunos estudam francês. 12 deles já foram alocados. Faltam 18.
45 estudam inglês. 16 deles já foram alocados. Faltam 29.
40 estudam espanhol. 7 deles já foram alocados. Faltam 33.
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Além dos alunos acima, temos os 10 que estudam apenas alemão.
Somando todos eles, temos:
106.
Gabarito: E
Outra forma de resolução seria assim.
São 45 alunos que estudam inglês, 40 espanhol e 30 francês.
115304045 =++
As intersecções foram contadas em duplicidade. Portanto, precisamos excluir os alunos das
intersecções, pois eles foram contados duas vezes. As intersecções são:
• 12 que fazem francês e inglês
• 7 fazem inglês e espanhol
• 3 fazem francês e espanhol
223712 =++
Excluindo os alunos contados em duplicidade:
9322115 =−
Ainda temos um problema. Os 3 alunos que fazem as três línguas foram, inicialmente,
contados três vezes (como integrantes das turmas de inglês, de francês e de espanhol).
Posteriormente, quando da exclusão dos alunos contados em duplicidade, eles foram
excluídos três vezes (pois pertencem a todas as intersecções).
Assim, no final de tudo, estes 3 alunos ficaram de foram da contagem. Precisamos
acrescentá-los.
96393 =+
Nesse momento, a partir dos cálculos feitos, podemos concluir que a fórmula que nos
fornece a quantidade de elementos da união de três conjuntos é:
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b�E ∪ P ∪ c� = b�E� + b�P� + b�c� − b�E ∩ P� − b�E ∩ c� − b�P ∩ c� + b�E ∩ P ∩ c�
Ok, continuando.
Por fim, falta somar os 10 alunos que fazem alemão.
1061096 =+
Questão 25 CGU 2012 [ESAF]
Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são empresas
familiares, 44 são empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhuma das
classificações acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras.
Das empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de empresas do Nordeste que são
ao mesmo tempo familiares e exportadoras é
a) 21.
b) 14.
c) 16.
d) 19.
e) 12
Resolução:
As informações são:
1) o grupo tem 120 empresas
2) 57 estão situadas na Região Nordeste
3) 48 são empresas familiares
4) 44 são empresas exportadoras
5) 19 não se enquadram em nenhuma das classificações acima.
6) das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras.
7) das empresas familiares, 21 são exportadoras
Das 120 empresas, 19 não se enquadram em nenhum desses grupos (informação 5). Logo,
120 – 19 = 101 empresas se enquadram em pelo menos um desses grupos.
Seja “x” a quantidade de empresas que faz parte dos três conjuntos.
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Das empresas do nordeste, 20 são exportadoras. Já alocamos “x”. Faltam 20 – x.
Além disso, 19 são familiares. Já alocamos “x”, faltam 19 – x.
Das empresas familiares, 21 são exportadoras. Já alocamos “x”. Faltam 21 – x:
Agora completamos o diagrama, de modo que o conjunto preto tenha 57 elementos, o azul
tenha 48 e o verde tenha 44:
Agora somamos todas essas quantidades. O resultado tem que ser igual a 101, que é o
número de empresas que pertence a pelo menos uma das categorias:
�18 + � + 19 − � + � + 20 − �� + 8 + � + 21 − � + 3 + � = 101
Entre parêntesis temos todos os elementos do conjunto preto (nordeste). Já sabemos que
esse conjunto tem 57 empresas. Logo:
57 + 8 + � + 21 − � + 3 + � = 101
� + 89 = 101 → � = 12
Gabarito: E
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Outra solução possível é a seguinte.
Sejam “A”, “B” e “C” os conjuntos que representam, respectivamente, as empresas do
Nordeste, familiares e exportadoras.
Aplicamos a fórmula que dá o número de elementos da união:
b�E ∪ P ∪ c� = b�E� + b�P� + b�c� − b�E ∩ P� − b�E ∩ c� − b�P ∩ c� + b�E ∩ P ∩ c�
101 = 57 + 48 + 44 − 19 − 20 − 21 + �
101 = 89 + � → � = 12
11. EQUAÇÕES
Na verdade, nós já utilizamos diversas vezes os conceitos relativos a equações. É algo tão
comum em exatas, que não foi possível esperar estudarmos esse tópico para só então
usarmos as ferramentas correspondentes.
Basicamente, os exercícios envolvidos vão trazer uma quantidade desconhecida, a que
chamamos de incógnita. Geralmente designamos as incógnitas por “x”, “y”, “z”. O trabalho
então é encontrar o valor de tais incógnitas.
Para isolar uma incógnita, vamos fazendo as operações necessárias para que ela fique
sozinha de um lado da igualdade.
Exemplo:
3�
4
+ 250 = 0
Queremos deixar “x” sozinho de um lado da igualdade. Ou seja, queremos “isolar” o “x”.
Para tanto, vamos fazendo operações que eliminem os demais termos.
Primeiro, subtraímos 250 dos dois lados da igualdade. Assim, a igualdade não se altera:
3�
4
+ 250 − 250 = 0 − 250
3�
4
= −250
Muita gente costuma dizer que o 250 “passou para o outro lado subtraindo”.
Agora, multiplicamos os dois lados da igualdade por 4:
3�
4
× 4 = −250 × 4
3� = −250 × 4
Na linguagem “popular”, o 4 que estava dividindo “passou para o outro lado multiplicando”.
Finalmente, dividimos ambos os lados da igualdade por3:
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3�
3
= −250 ×
4
3
� = −250 ×
4
3
O 3 “passou para o outro lado dividindo”.
Então é isso. Basta passarmos os números de um lado para o outro da igualdade. O que
estava somando vai passar subtraindo. O que estava subtraindo passa somando.
Adição vira subtração e vice-versa
O que estava multiplicando passa dividindo. E o que estava dividindo passa multiplicando.
Multiplicação vira divisão e vice-versa.
Outro exemplo:
4�
5
− 200 = 25
O 200 passa somando:
4�
5
= 25 + 200
O 5 passa multiplicando:
4� = �25 + 200� × 5
O 4 passa dividindo:
� =
�25 + 200� × 5
4
Agora é só calcular:
� =
225 × 5
4
=
1125
4
= 281,25
Quando há mais de uma incógnita, a gente usa o método da substituição.
Vejamos como fazer direto nos exercícios:
Questão 26 MPOG 2009 [ESAF]
Se a idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a
dez anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje?
a) 3 anos.
b) 2 anos.
c) 4 anos.
d) 5 anos.
e) 6 anos.
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Resolução:
Seja x a idade da criança no dia de hoje.
Daqui a dez anos, ela terá:
10+x
Há dois anos ela tinha:
2−x
A idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a dez
anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos:
� =
� + 10
2
−
� − 2
2
Como os denominadores são iguais, podemos subtrair os numeradores e manter os
denominadores:
� =
�� + 10� − �� − 2�
2
� =� + 10 − � + 2
2
� =
12
2
= 6
Gabarito: E
Questão 27 MPOG 2009 [ESAF]
Uma empresa de turismo fechou um pacote para um grupo de 80 pessoas, com o qual ficou
acordado que cada pessoa que participasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa que
desistisse pagaria apenas uma taxa de R$ 150,00. Se a empresa de turismo arrecadou um
total de R$ 59.600,00, qual a porcentagem das pessoas que desistiram do pacote?
a) 20%
b) 24%
c) 30%
d) 42%
e) 36%
Resolução:
Seja “x” a quantidade de pessoas que participaram e “y” a quantidade de pessoas que
desistiram.
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O total de pessoas foi 80:
� + � = 80
Esta é nossa primeira equação:
� + � = 80 �equação I�
Cada pessoa que participa paga 1.000,00 e cada desistente paga 150,00.
Multiplicando a quantidade de participantes por 1.000, temos o total pago pelos
participantes.
Multiplicando a quantidade de desistentes por 150, temos o total pago pelos desistentes.
Somando as duas quantias, temos R$ 59.600,00:
1.000� + 150� = 59.600 �equação II�
Quando temos duas incógnitas, fazemos assim. Isolamos uma incógnita em uma equação,
assim:
� + � = 80
� = 80 − �
Agora pegamos isso e substituímos na outra equação. Ou seja, onde tem “x”, colocamos
80 − �.
1.000� + 150� = 59.600
1.000 × �80 − �� + 150� = 59.600
80.000 − 1.000� + 150� = 59.600
80.000 − 59.600 = 1.000� − 150�
20.400 = 850�
� =
20.400
850
= 24
24 pessoas desistiram.
24 representa quantos por cento de 80?
Basta dividir a parte pelo todo:
24
80
= 30%
Gabarito: C
Questão 28 AFRFB 2009 [ESAF]
Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o
mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando
ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera?
a) 4
b) 5
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c) 3
d) 2
e) 1
Resolução.
Vamos dar nomes aos objetos.
w: pirâmide
x: esfera
y: cubo
z: cone
Temos:
� + � = �I�
� = � + d �II�
2� = 3d �III�
Da equação III, temos:
= 1,5d �IV�
Substituindo IV em I:
� + � = 1,5d �V�
Da equação II, temos:
d = � − � �VI�
Substituindo VI em V:
� + � = 1,5 × �� − ��
� + � = 1,5� − 1,5�
0,5� = 2,5�
� = 5�
Uma esfera pesa 5 cubos.
Gabarito: B
Questão 29 ATA MF 2012 [ESAF]
Dado o sistema de equações lineares
2� + 3� − 4 = 3
� − � + 5 = 6
� + 2� + 3 = 7
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O valor de � + � + é igual a
a) 8.
b)16.
c) 4.
d) 12.
e) 14.
Resolução:
Somando todas as equações, temos:
�2� + 3� − 4 � + �� − � + 5 � + �� + 2� + 3 � = 3 + 6 + 7
Agrupando os termos semelhantes:
�2� + � + �� + �3� − � + 2�� + �−4 + 5 + 3 � = 16
4� + 4� + 4 = 16
Dividindo todos os termos por 16:
� + � + = 16 ÷ 4 = 4
Gabarito: C
12. EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Existem equações em que a incógnita x está elevada ao quadrado. Trata-se de uma equação
de segundo grau.
Exemplo:
2�f − 10� + 12 = 0
Para resolver uma equação de segundo grau, usamos a fórmula de Bhaskara.
Dada uma equação do segundo grau do tipo
��f + �� + g = 0,
em que a, b, e c são número reais e x é uma incógnita, a fórmula nos diz que as raízes da
equação (ou seja, os valores de x que satisfazem à igualdade) são dados por:
� =
−� ± √�f − 4�g
2�
Exemplo:
2�f − 10� + 12 = 0
Nesta equação, temos:
� = 2; � = −10; g = 12
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A solução fica:
� =
−� ± √�f − 4�g
2�
� =
10 ± i�−10�f − 4 × 2 × 12
2 × 2
� =
10 ± √100 − 96
2 × 2
� =
10 ± √4
4
� =
10 ± 2
4
Isto nos dá dois valores para x.
Primeiro valor (chamado de x’):
�j =
10 + 2
4
= 3
Segundo valor (chamado de x’’)
�jj =
10 − 2
4
= 2
Ou seja, uma equação de segundo grau possui duas soluções. Há casos em que as soluções
são iguais. Contudo, de forma geral, elas são diferentes, como foi o exemplo acima
(soluções: 2 e 3).
Questão 30 PREFEITURA DO RIO DE JANEIRO 2010 [ESAF]
Dois números a e b, a ≠ 0, b ≠ 0 e b > a, formam uma razão φ tal que φ = b/a = (a+b)/b.
Calcule o valor mais próximo de φ.
a) 1,618
b) 1,732
c) 1,707
d) 1,5708
e) 1,667
Resolução:
Temos:
�
�
=
� + �
�
�f = �f + �� �equação I�
Agora voltamos na expressão de k:
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k =
�
�
Elevando ao quadrado:
kf =
�f
�f
�equação II�
Substituindo I em II:
kf =
�f + ��
�f
kf = 1 +
�
�
kf = 1 + k
kf − k − 1 = 0
Aplicando Bhaskara:
Δ = �−1�f − 4 × 1 × �−1� = 5
Logo:
k =
−�−1� ± √5
2
kj ≈ 1,618
kjj ≈ −0,618
A primeira resposta aparece na alternativa “A”.
Gabarito: A
Questão 31 CGU 2012 [ESAF]
Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas partes com comprimentos x e
1-x respectivamente. Calcule o valor mais próximo de x de maneira que
X = (1-x)/x, usando √5 ≈ 2,24
a) 0,62
b) 0,38
c) 1,62
d) 0,5
e) 1/ π
Resolução:
Queremos que:
� =
1 − �
�
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�f = 1 − � → �f + � − 1 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Δ = 1f − 4 × 1 × �−1� = 1 + 4 = 5
As raízes ficam:
� =
−1 ± √5
2
=
−1 ± 2,24
2
�j =
1,24
2
= 0,62
�jj =
−3,24
2
= −1,62
Gabarito: A
Questão 32 AFRFB 2012 [ESAF]
Sabendo-se que o conjunto X é dado por
X = {x Є R │ x2 – 9 = 0 ou 2x – 1 = 9}
e o que o conjunto Y é dado por
Y = {y Є R │2y + 1 = 0 e 2y2 – y – 1 = 0},
onde R é o conjunto dos números reais, então pode-se afirmar que:
a) X υ Y = {-3; -0,5; 1; 3; 5}.
b) X - Y = {-3; 3}.
c) X υ Y = {-3; -0,5; 3; 5}.
d) Y = {-0,5; 1}.
e) Y = {-1}.
Resolução:
Para X temos:
�f − 9 = 0
�f = 9 → � = 3 no � = −3
Na segunda equação, temos:
2� − 1 = 9 → � = 5
Então � vale -3, ou 3, ou 5.
Para Y temos:
2� + 1 = 0 → � = −0,5
2�f − � − 1 = 0 → � = 1 no � = −0,5
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Para achar as raízes desta última equação, basta aplicar Bháskara. Assim:
Δ = �−1�f − 4 × 2 × �−1� = 9
� =
−�−1� ± √9
2 × 2
� = 1 no � = −0,5
Mas "y" tem que atender às duas equações ao mesmo tempo. Logo, � = −0,5 (o número 1
não atende à primeira equação)
Logo:
= W−3; 3; 5X
= W−0,5X
∪ = W−3; 0,5; 3; 5X
Gabarito: C
13. INEQUAÇÕES
Inequações são muito semelhantes às equações. A única diferença é que, em vez do sinal de
igualdade, temos um sinal de desigualdade (<,≤,> , ≥).
Questão 33 Enap 2006 [ESAF]
Sabe-se que x pertence ao conjunto dos números reais. Sabe-se, também, que
4323+≤+−<+ xxx . Então, pode-se afirmar que
a) 25,05,0 <≤− x
b) 25,05,0 ≤<− x .
c) 25,05,0 −≤< x
d) 25,05,0 <≤ x
e) 25,05,0 ≤≤− x
Resolução:
Temos duas inequações. Para facilitar a visualização, podemos resolver uma de cada vez.
Vamos começar com:
−� + 3 ≤ � + 4
Agora passamos o 4 para o lado esquerdo, trocando de sinal:
−� + 3 − 4 ≤ �
Agora passamos o x para o lado direito, trocando de sinal:
3 − 4 ≤ � + �
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−1 ≤ 2�
−0,5 ≤ �
Ou seja, x é maior ou igual a -0,5.
Vamos agora para a segunda inequação:
3� + 2 < −� + 3
3� + 2 + � < 3
3� + � < 3 − 2
4� < 1
� < 0,25
Juntando os dois resultados:
25,05,0 <≤− x
Gabarito: A
Questão 34 SUSEP 2010 [ESAF]
A inequação dada por 23 ≤−
x
x
é definida no conjunto dos números reais, R, tem como
solução o conjunto S representado por:
a) 0{ <∈ xRx ou }3
4
3
<≤ x
b) 0{ ≤∈ xRx ou }3
4
3 ≤≤ x
c) 0{ <∈ xRx ou }3
4
3 ≤< x
d) 0{ <∈ xRx ou }3
4
3 ≤≤ x
e) 0{ <∈ xRx ou }3
4
3
<< x
Resolução.
Observem que todas as alternativas são muito semelhantes. Só o que muda é a inclusão ou
não dos valores 0, 3/4 e 3.
Então só o que temos que saber é se estes valores satisfazem ou não a inequação.
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Primeiro: testando o zero.
Basta substituir x por 0:
23 ≤−
x
x
2
0
03 ≤−
Temos uma divisão por zero, que é impossível. Logo, o zero não faz parte do conjunto
solução.
Segundo caso: testando o 3/4.
23 ≤−
x
x
2
4/3
4/33 ≤−
2
4/3
4/9 ≤
2
4/3
2/3 ≤
2
3
4
2
3 ≤×
22 ≤
Chegamos a uma expressão correta, pois, de fato, 2 é menor ou igual a 2. Logo, o número
3/4 faz parte do conjunto solução.
Terceiro caso: testando o número 3.
23 ≤−
x
x
2
3
33 ≤−
2
3
0 ≤
20 ≤
Chegamos em outra expressão correta (pois é verdade que zero é menor ou igual a 2).
Portanto, o número 3 também faz parte do conjunto solução.
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Com isso, concluímos que a alternativa correta é aquela que exclui o 0, inclui o 3/4 e inclui o
3.
Gabarito: D
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14. RESUMÃO
Tópico Lembretes
Princípio da casa dos pombos Se tivermos mais pombos do que casas, então
pelo menos uma casa terá dois pombos
Números primos São aqueles que só são divisíveis por 1 e por si
mesmos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
Todo número inteiro que não seja primo pode
ser decomposto em fatores primos.
Frações Para somar ou subtrair, os denominadores têm
que ser iguais.
Para multiplicar, basta multiplicar os
numeradores entre si e os denominadores
entre si.
Para dividir, basta manter a primeira fração e
multiplicar pelo inverso da segunda.
Dízima periódica 1 – Multiplicar por 10a.
2 – Multiplicar por 10p.
3 – Subtrair os números acima e isolar “x”
Grandezas proporcionais 1 – Grandezas diretamente proporcionais: a
razão entre elas é constante. Quando uma
aumenta, a outra aumenta. Quando uma
diminui, a outra diminui.
2 – Grandezas inversamente proporcionais: o
produto entre elas é constante. Quando uma
aumenta, a outra diminui
Regra de três 1 – colocar os dados em uma tabela
2 – adotar a coluna com a incógnita como
referência
3 – analisar se as demais grandezas são
diretamente ou inversamente proporcionais
4 – montar as frações, invertendo aquelas com
relação inversa
5 – colocar a fração de referência de um lado
da igualdade; do outro lado, colocar as demais
multiplicando.
Porcentagem % = 1/100 = 0,01
[parte]
[todo]
=[percentual]
[parte]=[todo]×[percentual]
Conjuntos ∈: indica que o elemento pertence ao
conjunto.
⊂: indica que um conjunto está estritamente
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contido em outro conjunto
⊆: indica que um conjunto está contido em
outro conjunto.
E⋃P: união entre A e B: tomamos os
elementos que pertencem a qualquer um dos
conjuntos.
E ∩ P: intersecção entre A e B. Tomamos os
elementos que pertencem, simultaneamente,
a A e B.
E − P: tomamos os elementos de A que não
pertencem a B
Ec: tomamos os elementos do conjunto
universo (U) que não pertencem a “A”
Diagramas contendo o número de
elementos de cada conjunto
Excluir as contagens repetidas (intersecções)
Equações (quantidade de incógnitas igual ao
número de equações)
Isole uma das incógnitas em uma equação.
Substitua seu valor na outra equação.
Equação de segundo grau Aplicar Bhaskara:
� =
−� ± √�f − 4�g
2�
15. CONTEÚDO DE DESTAQUE
Nesta aula eu destaco dois tópicos:
1 – regra de três: é um assunto bem tranquilo, que aprendemos lá no ensino fundamental.
As questões são sempre iguais, é difícil inovar. E cai bastante em prova. Ou seja, há uma
excelente relação custo/benefício
2 – fórmula de bhaskara para resolução de equações de segundo grau – tem aparecido nas
últimas provas da banca.
16. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA
Questão 1 MPOG 2010 [ESAF]
Ana é nutricionista e está determinando o peso médio – em quilos (kg) – de todos seus 50
clientes. Enquanto Ana está somando os pesos de seus clientes, para calcular a média
aritmética entre eles, sem perceber, ela troca os dígitos de um dos pesos; ou seja, o peso XY
kg foi trocado por YX kg. Essa troca involuntária de dígitos alterou a verdadeira média dos
pesos dos 50 clientes; a média aritmética ficou acrescida de 0,9 kg. Sabendo-se que os pesos
dos 50 clientes de Ana estão entre 28 e 48 kg, então o número que teve os dígitos trocados
é, em quilos, igual a:
a) 38
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b) 45
c) 36
d) 40
e) 46
Questão 2 CGU 2002 [ESAF]
Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada
uma gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$ 2,00 de
estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?
a) R$ 220,00
b) R$ 204,00
c) R$ 196,00
d) R$ 188,00
e) R$ 180,00
Questão 3 AFRFB 2012 [ESAF]
Luca vai ao shopping com determinada quantia. Com essa quantia, ele pode comprar 40
lápis ou 30 canetas. Luca, que sempre é muito precavido, guarda 10% do dinheiro para
voltar de ônibus. Sabendo que Luca comprou 24 lápis, então o número de canetas que Luca
pode comprar, com o restante do dinheiro, é igual a
a) 9.
b) 12.
c) 6.
d) 18.
e) 15.
Questão 4 SERPRO 2001 [ESAF]
Hermes guarda suas gravatas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete
gravatas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no
escuro, Hermes abre a gaveta e pega algumas gravatas. O número mínimo de gravatas que
Hermes deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
Questão 5 MPOG 2008 [ESAF]
Marcos está se arrumando para ir ao teatro comsua nova namorada, quando todas as luzes
de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24
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meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que
Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo
de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma
cor é igual a:
a) 30
b) 40
c) 246
d) 124
e) 5
Questão 6 MPU 2004/ [ESAF]
Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem
olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das
idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais a
números primos. Segue-se que a idade de Ana – a filha de olhos azuis –, em número de anos
completados, é igual
a) à idade de Júlia mais 7 anos.
b) ao triplo da idade de Júlia.
c) à idade de Júlia mais 5 anos.
d) ao dobro da idade de Júlia.
e) à idade de Júlia mais 11 anos.
Questão 7 CGU 2001 [ESAF]
Achar uma fração equivalente a 7/8 cuja soma dos termos é 120.
a) 52/68
b) 54/66
c) 56/64
d) 58/62
e) 60/60
Questão 8 SEFAZ MG 2005 [ESAF]
Um indivíduo fazendo cálculos chegou à dízima 5,48383....
Obtenha o número racional p/q que representa esta dízima.
a) Tal número não existe porque esta dízima corresponde a um número irracional.
b) p=5483, q=990.
c) p=5483-54=5429, q=999.
d) p=5483-54=5429, q=900.
e) p=5483-54=5429, q=990.
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Questão 9 STN 2008 [ESAF]
Uma escola terá 120 alunos, que deverão ser divididos em 3 (três) turmas, segundo o
tamanho em m2 de cada sala. A sala A tem 40m2, a sala B tem 80m2 e a sala C tem 120m2.
Indique abaixo a opção correta.
a) A = 15, B = 45 e C = 60.
b) A = 15, B = 40 e C = 65.
c) A = 20, B = 45 e C = 55.
d) A = 15, B = 50 e C = 55.
e) A = 20, B = 40 e C = 60.
Questão 10 SUSEP 2010 [ESAF]
Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na razão direta da
quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a
renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do
meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos,
o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires
receberá o filho do meio?
a) 80
b) 100
c) 120
d) 160
e) 180
Questão 11 CGU 2001 [ESAF]
Cinco trabalhadores de produtividade padrão e trabalhando individualmente beneficiam ao
todo 40 kg de castanha por dia de trabalho de 8 horas. Considerando que existe uma
encomenda de 1,5 toneladas de castanha para ser entregue em 15 dias úteis, quantos
trabalhadores de produtividade padrão devem ser utilizados para se atingir a meta
pretendida, trabalhando dez horas por dia?
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
Questão 12 PREFEITURA DO RIO DE JANEIRO 2010 [ESAF]
Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 dias, colhem juntos 60
sacos de arroz. Três outros trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem
juntos 75 sacos de arroz em 10 dias. Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo é
mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo?
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a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo.
b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo.
c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo.
d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma.
e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo.
Questão 13 ATA MF 2009 [ESAF]
Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for
aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta,
ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo
tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?
a) 12 horas
b) 30 horas
c) 20 horas
d) 24 horas
e) 16 horas
Questão 14 ATFRB 2012 [ESAF]
Para construir 120 m2 de um muro em 2 dias, são necessários 6 pedreiros. Trabalhando no
mesmo ritmo, o número de pedreiros necessários para construir 210 m2 desse mesmo
muro em 3 dias é igual a
a) 2.
b) 4.
c) 3.
d) 5.
e) 7.
Questão 15 ATRFB 2012 [ESAF]
Em um tanque há 3 torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, a segunda, em 8
horas, já a terceira o esvazia em 4 horas. Abrindo-se as 3 torneiras ao mesmo tempo e
estando o tanque vazio, em quanto tempo o tanque ficará cheio?
a) 10 horas e 40 minutos
b) 13 horas e 20 minutos
c) 14 horas e 30 minutos
d) 11 horas e 50 minutos
e) 12 horas e 10 minutos
Questão 16 CGU 2004 [ESAF]
Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho caminhando, sempre a uma
velocidade igual e constante. Neste percurso, ele gasta exatamente 20 minutos. Em um
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determinado dia, em que haveria uma reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso
tempo para chegar ao trabalho 8 minutos antes do início da reunião. Ao passar em frente ao
Cine Bristol, Lúcio deu-se conta de que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e
imediatamente reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade,
chegaria atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância entre o Cine
Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de Lúcio a seu local de trabalho
é igual a:
a) 1.200m
b) 1.500m
c) 1.080m
d) 760m
e) 1.128m
Questão 17 STN 2008 [ESAF]
Uma equipe de três policiais está em uma viatura perseguindo o carro de Telma e Louise
que corre por uma estrada reta onde existe um túnel construído também em linha reta.
Antes de chegarem até o túnel, os policiais avistam o carro de Telma e Louise que já está
dentro do túnel ─, exatamente a 200 metros de uma das extremidades. Na posição em que
o carro das moças se encontra, elas acreditam que têm duas opções de fuga: continuar
dirigindo no sentindo em que se encontram ou dirigirem em direção à polícia. A partir da
velocidade do carro de Telma e Louise e da velocidade da viatura, os policiais concluíram,
acertadamente, que as moças não poderão fugir se forem capturadas no túnel. Ou seja, os
policiais poderão apanhá-las numa ou noutra extremidade do túnel, independentemente da
direção que elas tomarem. Sabe-se que o carro de Telma e Louise e a viatura dos policiais
locomovem- se a velocidades constantes. Sabe-se, também, que o túnel tem um quilômetro
de comprimento. Desse modo, conclui-se que a relação entre a velocidade da viatura e a do
carro das moças é dada por:
a) 3/2
b) 3/5
c) 7/5
d) 3/4
e) 5/3
Questão 18 SUSEP 2006 [ESAF]
Em um concurso, de cada 100 candidatos, 60 eram mulheres e 40 homens. Considerando
que a porcentagem de aprovação entre os candidatos mulheres foi de 20% e entre os
homens foi de 15%, calcule a porcentagem de aprovação em geral entre os candidatos,
independentemente do sexo.
a) 15%
b) 17%
c) 18%
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d) 19%
e) 20%
Questão 19 AFRFB 2009 [ESAF]
Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total dos
funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total dos
funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as opções abaixo, é o valor mais próximo da
porcentagem do total dos funcionários dessa repartição que são homens não concursados?
a) 21%
b) 19%
c) 42%
d) 56%
e) 32%
Questão 20 MTE 2010 [ESAF]
Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências humanas e
os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem matemática e
física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da
universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na
universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os
alunos que estudam em cursos de ciências exatas?
a) 20,00%.
b) 21,67%.
c) 25,00%.
d) 11,00%.
e) 33,33%.
Questão 21 Prefeitura do Rio de Janeiro 2010 [ESAF]
O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha crescido 10% no primeiro
trimestre de 2008, 5% no segundo trimestre, tinha ficado estável no terceiro trimestre e
tinha caído 10% no último trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIB
desse País, em 2008.
a) 1,25%.
b) 5%.
c) 4,58%.
d) 3,95%.
e) -5%.
Questão 22 STN 2005 [ESAF]
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Considere dois conjuntos, A e B, onde A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-se
que a operação Ψ é definida por A Ψ B = (A – B) ∪ (B – A), então a expressão (A Ψ B) Ψ B é
dada por:
a) { X1, X5, X4}
b) { X1, X2}
c) { X1, X2, X3, X4}
d) {X4, X6, X5}
e) { X1, X6}
Questão 23 SUSEP 2010 [ESAF]
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e sejam BA ∩ , BA ∪ e BA \ , respectivamente, as
operações de intersecção, união e diferença entre eles.
Seja Ф o conjunto vazio, U o conjunto universo e seja AUAC \= . A opção correta é:
a� �E ∩ P� ∪ �EY ∪ PY�Y = V
b� �E ∩ P� ∩ �EY ∪ PY�Y = ∅
c� �E ∩ P� ∩ �EY ∪ PY� = ∅
d� �E ∩ P� ∪ �EY ∪ PY� = E ∪ P
e� �E ∪ P� ∪ �EY ∪ PY�Y = V
Questão 24 RFB 2009 [ESAF]
Uma escola para filhos de estrangeiros oferece cursos de idiomas estrangeiros para seus
alunos. Em uma determinada série, 30 alunos estudam francês, 45 estudam inglês, e 40,
espanhol. Dos alunos que estudam francês, 12 estudam também inglês e 3 estudam
também espanhol. Dos alunos que estudam inglês, 7 estudam também espanhol e desses 7
alunos que estudam inglês e espanhol, 3 estudam também francês. Por fim, há 10 alunos
que estudam apenas alemão. Não sendo oferecidos outros idiomas e sabendo-se que todos
os alunos dessa série devem estudar pelo menos um idioma estrangeiro, quantos alunos
dessa série estudam nessa escola?
a) 96.
b) 100.
c) 125.
d) 115.
e) 106.
Questão 25 CGU 2012 [ESAF]
Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são empresas
familiares, 44 são empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhuma das
classificações acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras.
Das empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de empresas do Nordeste que são
ao mesmo tempo familiares e exportadoras é
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a) 21.
b) 14.
c) 16.
d) 19.
e) 12
Questão 26 MPOG 2009 [ESAF]
Se a idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a
dez anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje?
a) 3 anos.
b) 2 anos.
c) 4 anos.
d) 5 anos.
e) 6 anos.
Questão 27 MPOG 2009 [ESAF]
Uma empresa de turismo fechou um pacote para um grupo de 80 pessoas, com o qual ficou
acordado que cada pessoa que participasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa que
desistisse pagaria apenas uma taxa de R$ 150,00. Se a empresa de turismo arrecadou um
total de R$ 59.600,00, qual a porcentagem das pessoas que desistiram do pacote?
a) 20%
b) 24%
c) 30%
d) 42%
e) 36%
Questão 28 AFRFB 2009 [ESAF]
Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o
mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando
ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera?
a) 4
b) 5
c) 3
d) 2
e) 1
Questão 29 ATA MF 2012 [ESAF]
Dado o sistema de equações lineares
2� + 3� − 4 = 3
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� − � + 5 = 6
� + 2� + 3 = 7
O valor de � + � + é igual a
a) 8.
b)16.
c) 4.
d) 12.
e) 14.
Questão 30 PREFEITURA DO RIO DE JANEIRO 2010 [ESAF]
Dois números a e b, a ≠ 0, b ≠ 0 e b > a, formam uma razão φ tal que φ = b/a = (a+b)/b.
Calcule o valor mais próximo de φ.
a) 1,618
b) 1,732
c) 1,707
d) 1,5708
e) 1,667
Questão 31 CGU 2012 [ESAF]
Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas partes com comprimentos x e
1-x respectivamente. Calcule o valor mais próximo de x de maneira que
X = (1-x)/x, usando √5 ≈ 2,24
a) 0,62
b) 0,38
c) 1,62
d) 0,5
e) 1/ π
Questão 32 AFRFB 2012 [ESAF]
Sabendo-se que o conjunto X é dado por
X = {x Є R │ x2 – 9 = 0 ou 2x – 1 = 9}
e o que o conjunto Y é dado por
Y = {y Є R │2y + 1 = 0 e 2y2 – y – 1 = 0},
onde R é o conjunto dos números reais, então pode-se afirmar que:
a) X υ Y = {-3; -0,5; 1; 3; 5}.
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b) X - Y = {-3; 3}.
c) X υ Y = {-3; -0,5; 3; 5}.
d) Y = {-0,5; 1}.
e) Y = {-1}.
Questão 33 Enap 2006 [ESAF]
Sabe-se que x pertence ao conjunto dos números reais. Sabe-se, também, que
4323 +≤+−<+ xxx . Então, pode-se afirmar que
a) 25,05,0 <≤− x
b) 25,05,0 ≤<− x .
c) 25,05,0 −≤< x
d) 25,05,0 <≤ x
e) 25,05,0 ≤≤− x
Questão 34 SUSEP 2010 [ESAF]
A inequação dada por 23 ≤−
x
x
é definida no conjunto dos números reais, R, tem como
solução o conjunto S representado por:
a) 0{ <∈ xRx ou }3
4
3
<≤ x
b) 0{ ≤∈ xRx ou }3
4
3 ≤≤ x
c) 0{ <∈ xRx ou }3
4
3 ≤< x
d) 0{ <∈ xRx ou }3
4
3 ≤≤ x
e) 0{ <∈ xRx ou }3
4
3
<< x
17. GABARITO
1 a
2 d
3 a
4 c
5 e
6 d
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7 c
8 e
9 e
10 a
11 b
12 d
13 e
14 e
15 b
16 a
17 e
18 c
19 e
20 c
21 d
22 c
23 c
24 e
25 e
26 e
27 c
28 b
29 c
30 a
31 a
32 c
33 a
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A. 117
B. 196
C. 118
D. 85
