Aula 03 (1)

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AULA 3: Matemática – parte 1 
 
 
1. PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES ................................................................... 2 
2. PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS ................................................................................................ 5 
3. NÚMEROS PRIMOS ......................................................................................................................... 6 
4. FRAÇÕES ......................................................................................................................................... 9 
5. DÍZIMA PERIÓDICA ....................................................................................................................... 13 
6. GRANDEZAS PROPORCIONAIS ...................................................................................................... 16 
7. REGRA DE TRÊS ............................................................................................................................. 20 
8. PROBLEMAS ENVOLVENDO ESPAÇO, TEMPO E VELOCIDADE ..................................................... 28 
9. PORCENTAGEM ............................................................................................................................ 32 
9.1. Aumentos e reduções percentuais ....................................................................................................... 38 
10. CONJUNTOS ............................................................................................................................. 40 
10.1. Introdução ........................................................................................................................................... 40 
10.2. Conjunto universo ............................................................................................................................... 41 
10.3. Subconjuntos. ...................................................................................................................................... 42 
10.4. Conjuntos em que os elementos também são conjuntos. ..................................................................... 44 
10.5. Operações com conjuntos ................................................................................................................... 46 
10.6. Conjuntos numéricos ........................................................................................................................... 53 
10.7. Formas de representação de conjuntos............................................................................................... 54 
10.8. Diagramas e número de elementos do conjunto. ................................................................................ 56 
11. EQUAÇÕES ............................................................................................................................... 65 
12. EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU ............................................................................................... 70 
13. INEQUAÇÕES ............................................................................................................................ 74 
14. RESUMÃO................................................................................................................................. 78 
15. CONTEÚDO DE DESTAQUE ....................................................................................................... 79 
16. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA ..................................................................................... 79 
17. GABARITO ................................................................................................................................ 89 
 
 
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1. PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES 
Bom pessoal, aqui não vou gastar tempo com teoria, certo? Direto para questões. 
 
Questão 1 MPOG 2010 [ESAF] 
Ana é nutricionista e está determinando o peso médio – em quilos (kg) – de todos seus 50 
clientes. Enquanto Ana está somando os pesos de seus clientes, para calcular a média 
aritmética entre eles, sem perceber, ela troca os dígitos de um dos pesos; ou seja, o peso XY 
kg foi trocado por YX kg. Essa troca involuntária de dígitos alterou a verdadeira média dos 
pesos dos 50 clientes; a média aritmética ficou acrescida de 0,9 kg. Sabendo-se que os pesos 
dos 50 clientes de Ana estão entre 28 e 48 kg, então o número que teve os dígitos trocados 
é, em quilos, igual a: 
a) 38 
b) 45 
c) 36 
d) 40 
e) 46 
 
Resolução: 
Para calcular a média, somamos todos os pesos e dividimos por 50, pois são 50 clientes. 
Para que a média seja aumentada em 0,9, o número teve que ser aumentado em uma 
quantidade 50 vezes maior, para que, quando dividido por 50, resulte no acréscimo de 0,9. 
0,9 × 50 = 45 
O peso do cliente foi aumentado em 45 kg. 
Assim, o valor YX é 45 unidades maior que XY. 
Sendo Y e X dois algarismos (portanto, valem de 0 a 9), podemos escrever esses valores 
assim: 
�	
� → 10	 + 
 
�
	� → 10
 + 	 
Fazendo a diferença entre os dois pesos: 
45 = �10	 + 
� − �10
 + 	� 
45 = 9	 − 9
 
Dividindo os dois lados da igualdade por 9: 
	 − 
 = 5 
Assim, o algarismo Y é 5 unidades maior que X. 
As possibilidades para o peso XY são: 
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05; 16; 27; 39; 49 
Como os pesos possíveis estão entre 27 e 48, a única possibilidade é 38. 
Gabarito: A 
 
Questão 2 CGU 2002 [ESAF] 
Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada 
uma gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$ 2,00 de 
estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa? 
a) R$ 220,00 
b) R$ 204,00 
c) R$ 196,00 
d) R$ 188,00 
e) R$ 180,00 
 
Resolução: 
Pedro tinha x reais inicialmente. 
Em seguida, passou por quatro lojas, sempre gastando metade do que possuía. Ou seja, 
quando saía de uma loja, ficava com metade do valor que tinha antes de entrar na loja. 
Vamos então fazer a análise de trás para frente. Ou seja, vamos supor que Pedro gravou 
todo o seu dia de compras, e agora estamos assistindo ao vídeo, só que de trás para frente. 
Certo? 
Ao final ele tinha R$ 8,00. Voltamos o vídeo e vemos Pedro pagando R$ 2,00 de 
estacionamento. Este é o quarto estacionamento do dia. 
Assim, antes de pagar pelo quarto estacionamento, ele tinha: 
8 + 2 = 10 
Ele tinha R$ 10,00. 
Continuamos voltando o vídeo. Agora Pedro está saindo da quarta loja do dia. 
Ou seja, ele saiu da quarta loja com 10,00. Como na loja ele gastou metade do que tinha, ao 
entrar na quarta loja ele tinha R$ 20,00. 
Voltamos mais um pouco. 
Agora Pedro está pagando pelo terceiro estacionamento do dia. Ele gastou 2,00 no 
estacionamento. Logo, antes disso, ele tinha R$ 22,00. 
Voltando mais: se Pedro saiu da terceira loja com R$ 22,00, então ele entrou lá com R$ 
44,00. 
E asism por diante: 
• Pedro tinha 44 + 2 = 46,00 antes de pagar pelo segundo estacionamento do dia 
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• Pedro tinha 46 x 2 = 92,00 antes de entrar na segunda loja do dia 
• Pedro tinha 92 + 2 = 94,00 antes de pagar pelo primeiro estacionamento do dia 
• Pedro tinha 94 x 2 = 188,00 antes de entrar naprimeira loja do dia. 
Ou seja, Pedro tinha R$ 188,00 antes de sair de casa. 
Gabarito: D 
 
Questão 3 AFRFB 2012 [ESAF] 
Luca vai ao shopping com determinada quantia. Com essa quantia, ele pode comprar 40 
lápis ou 30 canetas. Luca, que sempre é muito precavido, guarda 10% do dinheiro para 
voltar de ônibus. Sabendo que Luca comprou 24 lápis, então o número de canetas que Luca 
pode comprar, com o restante do dinheiro, é igual a 
a) 9. 
b) 12. 
c) 6. 
d) 18. 
e) 15. 
 
Resolução: 
Vamos jogar valores para facilitar. Suponha que Lucas tivesse consigo 120 reais. Usamos 120 
porque é múltiplo de 40 e de 30. 
 
Com essa quantia, ele pode comprar 40 lápis. Logo, cada lápis custa R$ 3,00. 
 
Com essa quantia de R$ 120,00, ele também pode comprar 30 canetas. Portanto, cada 
caneta custa R$ 4,00. 
 
Sabe-se ainda que lucas reservou 10% dos R$ 120,00 (o que corresponde a R$ 12,00), para 
pagar ônibus. 
Sobrou então: 
120 − 12 = 108 
 
Ele comprou 24 lápis. Logo, gastou: 24 × 3 = 72.	 Gastou R$ 72,00. 
Assim, da quantia de R$ 108,00 disponível, sobrou: 
108 − 72 = 36 
Cada caneta custa R$ 4,00. Quantas canetas compramos com R$ 36,00? 
36 ÷ 4 = 9 
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É possível comprar 9 canetas. 
 
 
Gabarito: A 
 
2. PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS 
Imagine que temos 5 casinhas para abrigar alguns pombos. Só que temos, ao todo, 6 
pombos. Então pelo menos uma cainha terá que abrigar 2 pombos, concordam? 
Oras, se há mais pombos do que casinhas, não é possível que todos eles fiquem sozinhos em 
suas respectivas casinhas. 
É isso. Isso é o princípio da casa dos pombos. Tranquilo, né? 
Dizendo de maneira mais “bonita”: 
Se tivermos “n” pombos e “p” casinhas, e n > p, então pelo menos uma casinha terá dois 
pombos. 
 
Vamos aos exercícios: 
 
Questão 4 SERPRO 2001 [ESAF] 
Hermes guarda suas gravatas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete 
gravatas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no 
escuro, Hermes abre a gaveta e pega algumas gravatas. O número mínimo de gravatas que 
Hermes deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
 
Resolução: 
Cada cor é como se fosse uma casinha. São 5 cores (azul, amarelo, preto, verde, vermelho). 
Cada gravata é como se fosse um pombo. 
O número de gravatas (pombos) deve ser maior que o de cores (casas) para que tenhamos 
certeza de que há pelo menos duas de mesma cor. Logo, precisamos de 6 gravatas. 
Gabarito: C 
 
Questão 5 MPOG 2008 [ESAF] 
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Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes 
de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 
meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que 
Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo 
de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma 
cor é igual a: 
a) 30 
b) 40 
c) 246 
d) 124 
e) 5 
 
Resolução: 
Exercício idêntico ao anterior. Agora temos 4 cores. Logo, precisaremos de mais meias do 
que cores. Precisaremos de 5 meias. 
Gabarito: E 
 
3. NÚMEROS PRIMOS 
Primeiro você tem que saber o que é um divisor. 
O número 2 é um divisor de 16. 
Por quê? 
Porque na divisão de 16 por 2, não há resto. É uma divisão exata. Por isso dizemos que 2 é 
divisor de 16. 
Os divisores de 16 são: 
1, 2, 4, 16 
Agora vejamos os divisores de 15: 
1, 3, 5, 15 
Agora os divisores de 14: 
1, 2, 7, 14 
Seguem os divisores de 13: 
1, 13 
Olha que interessante. O número 1 é sempre divisor dos demais números inteiros. Ele 
aparece em qualquer lista de divisores que você fizer. 
Além disso, um número “n” qualquer será sempre divisor de si mesmo. Veja que 16 é divisor 
de 16. 15 é divisor do próprio 15. E assim por diante. 
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No caso do 13, seus únicos divisores são esses que vimos acima: o “1” e o próprio número. 
Quando isso ocorre, estamos diante de um número primo. 
 
Número primo: é aquele que só é divisível por 1 e por ele mesmo. 
Exceção: o próprio número 1 não é considerado primo 
São exemplos de números primos: 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... 
Observem que o único primo que é par é o 2. Todos os demais são ímpares. 
 
Qualquer número inteiro pode ser decomposto em fatores primos. 
Como exemplo, vamos trabalhar com o número 252. 
252 é um número par. Logo, é divisível por 2: 
252 ÷ 2 = 126 
Portanto: 
252 = 126 × 2 
126 é par, também pode ser dividido por 2. Vejam: 126 ÷ 2 = 63. Logo: 126 = 63 × 2 
Podemos substituir isso na igualdade acima: 
252 = 126 × 2 
252 = 63 × 2 × 2 
O número 63 é múltiplo de 3. Podemos substituir 63 por 21× 3 
252 = 21 × 3 × 2 × 2 
O número 21 pode ser substituído por 7 × 3 
252 = 7 × 3 × 3 × 2 × 2 
Pronto. 
Notem que expressamos 252 como um produto de diversos fatores. E todos esses fatores 
são números primos. 
Qualquer número inteiro pode ser expresso como um produto entre fatores primos. 
Outro exemplo: 
18 = 2 × 3 × 3 
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Só não conseguimos fazer a decomposição se o número em questão for primo. Vejam: 
13 = 13 × 1 
Bom, até decompomos, mas não foi uma decomposição “para valer”, né? Afinal, 
basicamente escrevemos que 13 = 13, isso não é lá muita coisa. E outro detalhe: um dos 
fatores foi “1”, que não é considerado primo. 
 
Questão 6 MPU 2004/ [ESAF] 
Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem 
olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das 
idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais a 
números primos. Segue-se que a idade de Ana – a filha de olhos azuis –, em número de anos 
completados, é igual 
a) à idade de Júlia mais 7 anos. 
b) ao triplo da idade de Júlia. 
c) à idade de Júlia mais 5 anos. 
d) ao dobro da idade de Júlia. 
e) à idade de Júlia mais 11 anos. 
 
Resolução: 
Sejam a e j as idades de Ana e Júlia. Como a e j são idades, em anos completos, então a e j 
são números naturais. 
Sabemos que o produto ja × é um número primo. 
Mas o que é mesmo um número primo? É um número que só é divisível por 1 e por ele 
mesmo. 
Assim, 17 é primo, pois 17 só é divisível por 1 e por 17. 
Desta forma, um número primo só pode ser expresso na forma � × � se esses dois números 
(a e j) forem iguais a 1 e ao próprio número primo. 
Assim, já descobrimos a idade de Júlia. Como Júlia é a mais nova, então: 
� = 1 
Bom, já descobrimos a idade de Júlia. 
A idade de Ana, esta ainda não sabemos. Só sabemos que é um número primo, o que faz 
com que � × � também seja primo. 
Vamos para a segunda informação do enunciado. O exercício disse que a soma das idades é 
um número primo. 
Vamos escrever os primeiros números primos: 
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Números primos: 2, 3, 5,7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, ... 
Esses números acima seriam possíveis candidatos à idade de Ana. 
Vamos testar? 
Se Ana tiver 2 anos, então temos: 
� + � = 2 + 1 = 3 
Somando as idades das duas temos 3, que também é um número primo. Deu certinho. 
E se Ana tiver 3 anos? Aí ficaríamos com: 
� + � = 3 + 1 = 4 
Obtivemos 4, que não é primo. Não deu certo. 
E se Ana tiver 5 anos? Aí temos: 
� + � = 5 + 1 = 6 
O resultado foi 6, que não é primo. E podemos continuar testando e testando que nunca 
mais iremos obter um número primo. 
Isto porque os únicos dois números primos que estão em seqüência são o 2 e o 3. São dois 
números primos cuja diferença é 1. Não há mais nenhum par de números primos tão 
próximos assim. Os números primos vão ficando cada vez mais raros, à medida que eles 
aumentam. 
Logo, o único número primo que, somado a 1, resulta em outro primo é o 2. 
Logo: 
� = 2 
Pronto. Descobrimos as duas idades (de Ana e Júlia). Assim, podemos ver que a alternativa 
correta é a D, pois o número 2 (idade de Ana) é o dobro de 1 (idade de Júlia). 
Gabarito: D 
 
4. FRAÇÕES 
De forma bem “grosseira” e simplista: fração é uma divisão. Dividimos um número pelo 
outro. E os representamos com um sobre o outro, separados por um traço, assim: 
4
3
 
Estamos dividindo 4 por 3. 
“4” é o numerador da fração, é o que vai em cima, é o número que será dividido. 
“3” é o denominador da fração, é o que vai em baixo, é o número que divide. 
 
Uma coisa importante sobre frações é a tal da simplificação. Exemplo: 
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8
14
 
Observem que podemos dividir 8 por 2. E podemos dividir 14 por 2. Ou seja, 2 é um divisor 
comum de 8 e de 14. 
Quando dividimos o numerador e o denominador pela mesma constante, a fração não se 
altera: 
8
14
=
8 ÷ 2
14 ÷ 2
=
4
7
 
Com isso, diminuímos o numerador e o denominador. Eles ficaram menores, mais simples. 
Ou seja, simplificamos a fração. 
 
A fração 4/7 não pode mais ser simplificada, pois 4 e 7 não têm divisores em comum. 
 
É importante relembrarmos todas as operações envolvendo frações. 
 
Somas e subtrações só podem ser feitas se o denominador das frações for o mesmo. 
Para somar ou subtrair duas frações de mesmo denominador, basta somarmos ou 
subtrairmos os numeradores, e mantermos o denominador: 
2
5
+
1
5
=
2 + 1
5
=
3
5
 
2
5
−
1
5
=
2 − 1
5
=
1
5
 
Se o denominador for diferente, antes precisamos fazer com que fiquem iguais. Assim: 
2
5
−
1
3
=? 
Primeiro achamos um múltiplo comum de 3 e de 5. Um múltiplo comum entre ambos é 15. 
Então vamos fazer com que ambos os denominadores fiquem iguais a 15. 
Para tanto, basta multiplicar cada um deles por uma constante: 
2
5 × �3�
−
1
3 × �5�
= 
Ou seja, o primeiro denominador foi multiplicado por 3. O segundo denominador foi 
multiplicado por 5. Agora os denominadores estão iguais. 
Mas há um erro grave acima!!! 
Quando multiplicamos cada denominador, estamos alterando a fração original. 
Para que ela não seja alterada, temos que fazer exatamente a mesma multiplicação no 
numerador. Assim: 
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2 × �3�
5 × �3�
−
1 × �5�
3 × �5�
 
Pronto, agora as frações iniciais foram preservadas. 
=
6
15
−
5
15
 
O resultado disso é que os denominadores agora já estão iguais. Já podemos calcular a 
diferença: 
=
6
15
−
5
15
=
6 − 5
15
=
1
15
 
 
Para multiplicar e dividir as frações, os denominadores podem ser diferentes entre si, isso 
não é problema. 
Para multiplicar duas frações, multiplicamos os numeradores entre si, multiplicamos os 
denominadores entre si, e mantemos a divisão: 
2
3
×
5
7
=
2 × 5
3 × 7
=
10
21
 
Para dividir duas frações, mantemos a primeira, invertemos a segunda, e multiplicamos as 
duas: 
2
3
÷
5
7
=
2
3
×
7
5
=
14
15
 
 
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Operação Exemplo 
Adição ou subtração de frações, com 
denominador igual 
2
5
+
1
5
=
2 + 1
5
=
3
5
 
2
5
−
1
5
=
2 − 1
5
=
1
5
 
 
Adição ou subtração de frações, com 
denominador diferente 
2
5
−
1
3
=? 
 
Primeiro igualamos os denominadores: 
2 × �3�
5 × �3�
−
1 × �5�
3 × �5�
 
Depois fazemos o cálculo: 
6
15
−
5
15
=
6 − 5
15
=
1
15
 
Multiplicação de frações 2
3
×
5
7
=
2 × 5
3 × 7
=
10
21
 
 
Divisão de frações 2
3
÷
5
7
=
2
3
×
7
5
=
14
15
 
 
Questão 7 CGU 2001 [ESAF] 
Achar uma fração equivalente a 7/8 cuja soma dos termos é 120. 
a) 52/68 
b) 54/66 
c) 56/64 
d) 58/62 
e) 60/60 
 
Resolução: 
Queremos encontrar uma fração do tipo: 
�
�
 
Sabe-se que a soma dos termos é 120. Logo: 
� + � = 120 
Observando as alternativas, todas elas trazem termos cuja soma é 120: 
52 + 68 = 120 
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54 + 66 = 120 
56 + 64 = 120 
58 + 62 = 120 
60 + 60 = 120 
E mais uma coisa. A fração a/b deve ser igual a 7/8. 
Vamos simplificar cada uma das frações acima, para ver se obtemos 7/8. 
Letra A: 
52
68
=
52 ÷ 4
68 ÷ 4
=
13
32
 
Não dá para continuar a simplificação, pois 13 e 32 não têm mais divisores em comum. 
Não obtivemos 7/8. 
 
Letra B: 
54
66
=
54 ÷ 2
66 ÷ 2
=
27
33
=
27 ÷ 3
33 ÷ 3
=
9
11
 
9 e 11 não têm divisores entre si. Não dá para simplificar mais. 
 
Letra C: 
56
64
=
56 ÷ 8
64 ÷ 8
=
7
8
 
Pronto. Após a simplificação, obtivemos 7/8. Esta é a resposta. 
Gabarito: C 
Além disso, essa fração é igual a 7/8. 
�
�
=
7
8
 
Quando duas frações são iguais, podemos multiplicar cruzado, que a igualdade se mantém. 
Multiplicando cruzado: 
� × 8 = � × 7 
5. DÍZIMA PERIÓDICA 
Existem frações cuja divisão apresenta infinitas casas após a vírgula. 
Se essas casas após a virgula apresentarem um padrão de números repetidos, nós temos 
uma dízima periódica. 
Exemplo: 
444
99
= 4,484848484… 
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Observem que, em um dado momento, fica repetindo os números “84”, “84”, “84”: 
4,48484848484 
Por isso dizemos que se trata de uma dízima periódica, pois há uma parcela do número que 
é periódica, que repete indefinidamente. 
Temos que saber como transformar uma dízima periódica em fração. 
É bem tranqüilo. A técnica está ilustrada no exemplo abaixo. 
Exemplo: 35,67123123123123... 
Nesta dízima, separamos a parte depois da vírugula em: 
• parte aperiódica: é aquela que não repete: 35,67123123 
• periódica: é a parte que repete: 35,67123123... 
 
Primeiro passo: chamamos o valor acima de x: 
� = 35,67123123123 
 
Segundo passo: devemos deixar do lado direito da vírgula só a parte periódica. 
Como fazer isso? 
Basta multiplicar por uma potência de 10. Quando multiplicamos um número por uma 
potência de 10, a gente simplesmente anda com a vírgula para a direita. 
Qual potência de 10 usamos? 
É só contarmos quantos são os algarismos da parte aperiódica. Neste caso, sãodois 
algarismos (“6”, “7”). 
Então basta multiplicar “x” por 10 elevado à segunda potência (=102). Ou seja, o expoente é 
“2”, justamente porque temos dois algarismos na parte aperiódica. 
 
Então temos que multiplicar por 100. Assim, andamos duas casas com a vírgula, e 
obteremos: 
100� = 3.567,123123123… 
Pronto. Agora, depois da vírgula, temos só a parte periódica. 
Em síntese: multiplicamos por 10a,onde “a” é a quantidade de algarismos da parte 
aperiódica. 
 
 
Terceiro passo: multiplicamos o número acima por outra potência de 10. 
Qual potência de 10? 
Aquela em que o expoente coincide com a quantidade de algarismos da parte periódica. 
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Contamos quantos algarismos ficam repetindo. Neste exemplo, são três algarismos que 
ficam sempre repetindo: “1”, “2” e “3”. 
Se são três algarismos que ficam repetindo, multiplicamos por 103. É só andar de novo com 
a vírgula: 
�100�� × 1000 = 3.567.123,123123123… 
 
Em síntese, multiplicamos por 10p, onde “p” é a quantidade de algarismos da parte 
periódica. 
 
Quarto passo: Agora subtraímos os dois números e isolamos “x”: 
100� × 1000 − 100� = �3.567.123,123123… � − �3.567,123123… � 
Para que é que fizemos isso tudo? 
Para que, na subtração acima, as infinitas casas após a vírgula se cancelassem: 
100.000� − 100� = 3.563.556 
99.900� = 3.563.556 
� =
3.563.556
99.900
 
Pronto. 
Lá no início, “x” estava representado por 35,67123123... Agora, conseguimos obter a 
correspondente fração. 
 
Repetindo os passos: 
 
 
Questão 8 SEFAZ MG 2005 [ESAF] 
Um indivíduo fazendo cálculos chegou à dízima 5,48383.... 
Obtenha o número racional p/q que representa esta dízima. 
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a) Tal número não existe porque esta dízima corresponde a um número irracional. 
b) p=5483, q=990. 
c) p=5483-54=5429, q=999. 
d) p=5483-54=5429, q=900. 
e) p=5483-54=5429, q=990. 
 
Resolução: 
A dízima é: 
5,48383... 
A parte aperiódica tem um algarismo (ver em vermelho). Logo: � = 1 
A parte periódica tem dois algarismos (vem em amarelo). Logo, � = 2 
Ficamos com: 
� = 5,4838383… 
Multiplicamos por 10a: 
10� = 54,8383… 
Multiplicamos por 10p: 
10� × 100 = 1.000� = 5.483,8383… 
Subtraímos as quantias acima e isolamos “x”: 
1.000� − 10� = 5.483,8383…− 54,8383… 
990� = 5.483 − 54 
� =
5.483 − 54
990
=
5.429
990
 
Gabarito: E 
 
6. GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
Em matemática, proporção é sinônimo de razão, que é sinônimo de divisão: 
proporção = razão = divisão 
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas (ou 
ainda: a divisão entre elas) for uma constante. É também comum usarmos só a expressão 
“grandezas proporcionais”, omitindo a palavra “diretamente”. 
Exemplo: um carro faz um trajeto a uma velocidade de 100 km/hora. 
Ao final de 1 hora, ele terá andado 100 km. Ao final de 2 horas, ele terá andado 200 km. Ao 
final de 3 horas, ele terá andado 300 km. E assim por diante. 
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Em qualquer caso, se dividirmos a distância percorrida pelo tempo gasto, obteremos 
sempre o mesmo resultado. Observem: 
3
300
2
200
1
100
==
 
Dizemos que o tempo e a distância são diretamente proporcionais, pois a razão (ou a 
divisão) entre ambos é sempre constante. 
No caso, a constante é igual a 100. Dizemos que 100 é a constante de proporcionalidade. 
 
Observem que, quando duas grandezas são diretamente proporcionais, temos o seguinte. 
Se uma aumenta, a outra também aumenta, para que a razão se mantenha inalterada. 
 
Tudo certo até aqui? 
Há também as grandezas inversamente proporcionais. 
Vimos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é 
constante. 
Pois bem, qual é o inverso da divisão? 
É a multiplicação. 
Assim, quando o produto entre duas grandezas é constante, dizemos que tais grandezas são 
inversamente proporcionais. 
 
Exemplo: dois trabalhadores terminam um serviço em 10 dias. Se tivermos 4 trabalhadores 
(o dobro de gente), eles vão gastar 5 dias (metade do tempo). 
As grandezas “quantidade de trabalhadores” e “quantidade de dias” são inversamente 
proporcionais. O produto entre ambas é sempre constante: 
2 × 10 = 4 × 5 
Notem ainda que, quando uma grandeza aumenta (aumentamos o número de 
trabalhadores), a outra diminui (diminuiu a quantidade de dias), de modo que o produto 
fique inalterado. 
 
Questão 9 STN 2008 [ESAF] 
Uma escola terá 120 alunos, que deverão ser divididos em 3 (três) turmas, segundo o 
tamanho em m2 de cada sala. A sala A tem 40m2, a sala B tem 80m2 e a sala C tem 120m2. 
Indique abaixo a opção correta. 
a) A = 15, B = 45 e C = 60. 
b) A = 15, B = 40 e C = 65. 
c) A = 20, B = 45 e C = 55. 
d) A = 15, B = 50 e C = 55. 
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e) A = 20, B = 40 e C = 60. 
 
Resolução: 
Sejam x, y e z as quantidades de alunos em cada sala. 
Eles serão distribuídos de forma proporcional ao tamanho da sala. Isso significa que a 
divisão entre a quantidade de aluno em cada sala pela respectiva área é sempre constante 
(=K): 
�
40
=
�
80
=
 
120
= ! 
 
A constante “k” é chamada de constante de proporcionalidade. 
Quando temos igualdade entre frações, podemos fazer o seguinte. 
Podemos somar os numeradores, somar os denominadores, fazer a divisão, que a igualdade 
não se altera: 
� + � + 
40 + 80 + 120
= ! 
O total de alunos é 120: 
120
40 + 80 + 120
= ! 
! =
120
240
= 0,5 
Tendo o valor de “k”, podemos achar “x”, “y” e “z”: 
�
40
=
�
80
=
 
120
= ! 
Logo: 
� = 40! = 20 
� = 80! = 40 
 = 120! = 60 
Gabarito: E 
 
Questão 10 SUSEP 2010 [ESAF] 
Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na razão direta da 
quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a 
renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do 
meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, 
o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires 
receberá o filho do meio? 
a) 80 
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b) 100 
c) 120 
d) 160 
e) 180 
 
Resolução: 
Considere que a renda do filho mais novo seja de R$ 1,00. Com isso, temos: 
- filho mais velho: renda = R$ 2,00; quantidade de filhos: 3 
- filho do meio: renda = R$3,00; quantidade de filhos: 2 
- filho mais novo: renda = R$ 1,00; quantidade de filhos: 2 
 
Sejam a, b e c as quantidades de terra que cada filho vai receber. 
Estes valores são diretamente proporcionais à quantidade de filhos e inversamente 
proporcionais à renda. 
 
Vamos por partes. 
 
Vamos alterar o enunciado. 
 
1ª Parte: 
Vamos supor que a questão apenas disse que a quantidade de terra é diretamente 
proporcional à quantidade de filhos. 
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais é porque a razão entre elas é uma 
constante. 
Razão, em matemática, é sinônimode divisão. 
Ou seja, a divisão entre as áreas das terras e as quantidades de filhos seria constante. 
Assim: 
kcba ===
223
 
 
2ª Parte: 
Vamos supor que a questão apenas disse que a quantidade de terra que cada filho vai 
receber é inversamente proporcional à renda. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando seus produtos são constantes. Ou 
seja: 
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kcba =×=×=× 132 
 
Agora, vamos juntar tudo. 
A questão disse que: 
- as áreas das terras são diretamente proporcionais à quantidade de filhos; 
- as áreas das terras são inversamente proporcionais à renda. 
Isso tudo deve acontecer ao mesmo tempo. Assim, precisamos juntar as duas partes que 
vimos acima. 
Ficamos com: 
kcba =×=×=×
2
1
2
3
3
2
 
Disto, chegamos a: 
ka 5,1= 
3/2kb = 
kc 2= 
Além disso, sabemos que: 
500=++ cba 
Substituindo os valores de a, b, c: 
50023/25,1 =++ kkk 
Multiplicando os dois lados da igualdade por 3: 
500.1625,4 =++ kkk 
500.15,12 =k 
k = 120 
Portanto: 
3/2kb = = 80 
Gabarito: A 
 
7. REGRA DE TRÊS 
Questão 11 CGU 2001 [ESAF] 
Cinco trabalhadores de produtividade padrão e trabalhando individualmente beneficiam ao 
todo 40 kg de castanha por dia de trabalho de 8 horas. Considerando que existe uma 
encomenda de 1,5 toneladas de castanha para ser entregue em 15 dias úteis, quantos 
trabalhadores de produtividade padrão devem ser utilizados para se atingir a meta 
pretendida, trabalhando dez horas por dia? 
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a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 25 
 
Resolução: 
Este tipo de problema pode ser resolvido por meio de uma forma esquemática, denominada 
de regra de três. 
Primeiro organizamos todos os dados em uma tabela: 
Quantidade de 
trabalhadores 
Horas por dia Quantidade de dias Quantidade de 
castanha (kg) 
5 8 1 40 
x 10 15 1.500 
Agora fazemos assim. 
Escolhemos uma coluna como referência. 
É praxe que a coluna escolhida seja aquela que contém a incógnita. Isso não é obrigatório, 
mas é o que se costuma fazer. No caso, nossa referência passa a ser a quantidade de 
trabalhadores. 
Agora, analisamos como cada uma das demais grandezas se comporta quando variamos a 
quantidade de trabalhadores. Assim, poderemos determinar se são grandezas diretamente 
proporcionais ou inversamente proporcionais. 
 
E uma coisa importante: analisamos apenas duas grandezas por vez. Supomos que as 
demais fiquem inalteradas, ok? 
 
Vamos começar então. Lembrando: nossa referência é a quantidade de trabalhadores. 
 
Se aumentarmos a quantidade de trabalhadores, precisaremos de menos horas por dia de 
trabalho para concluir uma encomenda (relação inversa). Observem que, nessa análise, 
consideramos que as demais grandezas ficam inalteradas (quantidade de dias de trabalho, e 
quantidade de castanha a ser produzida). 
 
Continuando. 
Se aumentarmos a quantidade de trabalhadores, precisaremos de menos dias de trabalho 
para concluir uma encomenda (relação inversa). 
 
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Se aumentarmos a quantidade de trabalhadores, conseguiremos produzir mais castanha, 
em um mesmo intervalo de tempo. (relação direta). 
 
Agora simbolizamos as relações com seta para cima (relação direta) e seta para baixo 
(relação inversa): 
 
 
Agora, para cada coluna, montamos uma fração. 
5
�
;
8
10
;
1
15
;
40
1.500
 
Em seguida, invertemos as frações com seta para baixo: 
5
�
;
10
8
;
15
1
;
40
1.500
 
Agora, deixamos a fração de referência de um lado da igualdade. Do outro lado, colocamos 
as demais frações multiplicando: 
5
�
=
10
8
×
15
1
×
40
1.500
 
Podemos simplificar 40 com 8: 
5
�
=
10
1
×
15
1
×
5
1.500
 
Podemos simplificar 10 x 15 com 1.500: 
5
�
=
1
1
×
1
1
×
5
10
 
Podemos simplificar 5 com 5: 
1
�
=
1
1
×
1
1
×
1
10
 
1
�
=
1
10
 
� = 10 
Gabarito: B 
 
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Questão 12 PREFEITURA DO RIO DE JANEIRO 2010 [ESAF] 
Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 dias, colhem juntos 60 
sacos de arroz. Três outros trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem 
juntos 75 sacos de arroz em 10 dias. Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo é 
mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo? 
a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo. 
b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo. 
c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo. 
d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma. 
e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo. 
 
Resolução: 
Primeiro organizamos os dados em uma tabela: 
Quantidade de 
trabalhadores 
Horas por dia Quantidade de 
dias 
Sacos de 
arroz 
Produtividade 
2 8 15 60 100 
3 10 10 75 x 
Observem que chutamos um valor qualquer para a produtividade dos dois trabalhadores 
iniciais. Nem sabemos qual a unidade de medida da produtividade. Mas não importa. O que 
temos que saber é o quanto a produtividade do segundo grupo é maior ou menor que a do 
primeiro grupo. 
 
Vamos adotar a produtividade como referência. 
 
Se aumentarmos a produtividade dos trabalhadores, precisaremos de menos trabalhadores 
para executar o serviço (relação inversa). 
Se aumentarmos a produtividade dos trabalhadores, precisaremos de menos horas por dia 
de trabalho (relação inversa). 
Se aumentarmos a produtividade dos trabalhadores, precisaremos de menos dias de 
trabalho (relação inversa). 
Se aumentarmos a produtividade dos trabalhadores, serão colhidos mais sacos de arroz 
(relação direta). 
Montando as frações: 
2
3
;
8
10
;
15
10
;
60
75
;
100
�
 
Agora invertemos aquelas com relação inversa: 
3
2
;
10
8
;
10
15
;
60
75
;
100
�
 
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Agora deixamos a fração de referência de um lado da igualdade, e as demais do outro lado, 
multiplicando: 
100
�
=
3
2
×
10
8
×
10
15
×
60
75
 
Podemos simplificar 60 com 15: 
100
�
=
3
2
×
10
8
×
10
1
×
4
75
 
Podemos simplificar 3 com 75: 
100
�
=
1
2
×
10
8
×
10
1
×
4
25
 
Podemos simplificar 100 com 10: 
10
�
=
1
2
×
1
8
×
10
1
×
4
25
 
Podemos simplificar 10 com 10: 
1
�
=
1
2
×
1
8
×
1
1
×
4
25
 
Podemos simplificar 4 com 8: 
1
�
=
1
2
×
1
2
×
1
1
×
1
25
 
1
�
=
1
2 × 2 × 25
 
1
�
=
1
100
 
� = 100 
As duas produtividades são iguais. 
Gabarito: D 
Questão 13 ATA MF 2009 [ESAF] 
Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for 
aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, 
ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo 
tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? 
a) 12 horas 
b) 30 horas 
c) 20 horas 
d) 24 horas 
e) 16 horasResolução: 
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Neste tipo de exercício, é muito útil calcularmos quanto cada torneira enche por hora. 
A primeira torneira enche 1 tanque em 24 horas. 
Quanto do tanque ela enche em 1 hora? Basta fazer uma regra de três: 
1 tanque ---- 24 horas 
x ---- 1 hora 
Multiplicando cruzado: 
24� = 1 → 	� =
1
24
 
Esta torneira enche 
24
1
 de tanque, em uma hora. 
 
A segunda torneira enche 1 tanque em 48 horas. Quando do tanque ela enche em 1 hora? 
Basta fazer outra regra de três. 
1 tanque ---- 48 horas 
x ---- 1 hora 
Multiplicando cruzado: 
48� = 1 → 	� =
1
48
 
 
A segunda torneira enche 
48
1
 de tanque, também em uma hora. 
Logo, juntas, elas encherão: 
1
24
+
1
48
=
2 + 1
48
=
3
48
 
Ou seja, juntas, elas encherão 
#
$%
 do tanque, em uma hora. 
Para saber em quanto tempo elas encherão o tanque inteiro, basta fazer outra regra de três. 
1 hora ---- 
48
3
 de tanque 
y ----- 1 tanque 
Multiplicando cruzado: 
� ×
3
48
= 1 
� =
48
3
 
� = 16 
Elas gastarão 16 horas para encher o tanque inteiro. 
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Gabarito: E 
 
Questão 14 ATFRB 2012 [ESAF] 
Para construir 120 m2 de um muro em 2 dias, são necessários 6 pedreiros. Trabalhando no 
mesmo ritmo, o número de pedreiros necessários para construir 210 m2 desse mesmo 
muro em 3 dias é igual a 
a) 2. 
b) 4. 
c) 3. 
d) 5. 
e) 7. 
 
Resolução: 
Área Dias Pedreiros 
120 2 6 
210 3 x 
Quanto mais pedreiros disponíveis, maior a área de muro construída. As grandezas são 
diretamente proporcionais. 
Quanto mais pedreiros disponíveis, menos tempo gastaremos para construir o muro. As 
grandezas são inversamente proporcionais. 
Agora, montamos as frações. De um lado da igualdade a fração usada como referência 
(pedreiros): 
6
�
= 
Do outro lado a igualdae, colocamos as demais frações multiplicando. Tomamos o cuidado 
de inverter aquelas que são inversamente proporcionais à quantidade de pedreiros. 
6
�
=
120
210
×
3
2
 
� =
6 × 2 × 210	
120 × 3
= 7 
Gabarito: E 
 
Questão 15 ATRFB 2012 [ESAF] 
Em um tanque há 3 torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, a segunda, em 8 
horas, já a terceira o esvazia em 4 horas. Abrindo-se as 3 torneiras ao mesmo tempo e 
estando o tanque vazio, em quanto tempo o tanque ficará cheio? 
a) 10 horas e 40 minutos 
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b) 13 horas e 20 minutos 
c) 14 horas e 30 minutos 
d) 11 horas e 50 minutos 
e) 12 horas e 10 minutos 
 
Resolução: 
Vamos jogar valores, para facilitar o raciocínio. Suponha que o tanque tem 40 litros. 
Por que 40? 
Porque 40 é múltiplo de 5, 8 e de 4. 
Continuando 
A primeira torneira enche o tanque em 5 horas. Ou seja, em 5 horas, enche 40 litros. 
Portanto, em 1 hora (1/5 do tempo), ela enche 1/5 do tanque (=8 litros). 
A segunda torneira enche 40 litros em 8 horas. Logo, em 1 hora (1/8 do tempo) ela enche 
1/8 do tanque (= 5 litros). 
A terceira torneira esvazia 40 litros em 4 horas. Logo, em 1 hora (1/4 do tempo) ela esvazia 
1/4 do tanque (=10 litros). 
Se acionarmos as 3 torneiras ao mesmo tempo, em 1 hora teremos: 
(8 litros da primeira torneira) + (5 litros da segunda torneira) - (10 litros da terceira torneira) 
= 3 litros 
 
Elas enchem 3 litros por hora. 
Litros Horas 
3 1 
40 X 
 
As grandezas são diretamente proporcionais. Logo: 
3
40
=
1
�
 
� =
40
3
= 13 +
1
3
 
São gastas 13 horas mais 1/3 de hora para encher o tanque. 
Lembrando que 1/3 de hora equivale a 20 minutos. 
Logo, são gastos 13 horas e 20 minutos. 
Gabarito: B 
 
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8. PROBLEMAS ENVOLVENDO ESPAÇO, TEMPO E VELOCIDADE 
A regra de três pode ser utilizada para resolver um tipo bem particular de problema: aquele 
que envolve velocidade, espaço e tempo. Isso ocorre porque, se um móvel anda a 
velocidade constante, o espaço é diretamente proporcional ao tempo. 
 
Questão 16 CGU 2004 [ESAF] 
Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho caminhando, sempre a uma 
velocidade igual e constante. Neste percurso, ele gasta exatamente 20 minutos. Em um 
determinado dia, em que haveria uma reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso 
tempo para chegar ao trabalho 8 minutos antes do início da reunião. Ao passar em frente ao 
Cine Bristol, Lúcio deu-se conta de que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e 
imediatamente reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade, 
chegaria atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância entre o Cine 
Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de Lúcio a seu local de trabalho 
é igual a: 
a) 1.200m 
b) 1.500m 
c) 1.080m 
d) 760m 
e) 1.128m 
 
Resolução: 
Vamos fazer um diagrama da situação descrita no enunciado: 
 
Lúcio gasta 20 minutos para ir de casa ao trabalho. 
Num dado dia, Lúcio tinha uma reunião. Suponhamos que a reunião seja às 8h00. Lúcio quer 
chegar 8 minutos antes da reunião. Ou seja, quer chegar às 7h52. Para tanto, Lúcio sai de 
casa às 7h32 (pois ele gasta 20 minutos no trajeto). 
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Neste dia, Lúcio sai de casa e vai até o cine Bristol (seta vermelha). Depois, ele volta até sua 
casa (seta azul). Por fim, vai de casa até o trabalho (seta verde). E chega ao trabalho dez 
minutos atrasado à reunião. Ou seja, chega ao trabalho às 8h10. 
Em seu trajeto total, entre as 7h32 e 8h10, Lúcio gastou 38 minutos. Deste tempo, 20 
minutos foram gastos para percorrer o trajeto entre sua casa e o trabalho (seta verde). 
Os demais 18 minutos foram gastos para percorrer o trajeto entre a casa e o cine (seta 
vermelha) e o trajeto entre o cine e a casa (seta azul). Ou seja, em 18 minutos Lúcio 
percorreu 1080 metros. 
Descobrimos que Lúcio percorre 1080 metros em 18 minutos. E a pergunta é: quanto ele 
caminha em 20 minutos? 
Basta fazer uma regra de três: 
1.080 metros ---- 18 minutos 
x ---- 20 minutos 
Multiplicando cruzado: 
� × 18 = 1.080 × 20 
� =
1.080
18
× 20 = 1.200 
Em 20 minutos, ele caminha 1.200 metros. 
Logo, a distância procurada é de 1.200 metros 
Gabarito: A 
 
Questão 17 STN 2008 [ESAF] 
Uma equipe de três policiais está em uma viatura perseguindo o carro de Telma e Louise 
que corre por uma estrada reta onde existe um túnel construído também em linha reta. 
Antes de chegarem até o túnel, os policiais avistam o carro de Telma e Louise que já está 
dentro do túnel ─, exatamente a 200 metros de uma das extremidades. Na posição em que 
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o carro das moças se encontra, elas acreditam que têm duas opções de fuga: continuar 
dirigindo no sentindo em que se encontram ou dirigirem em direção à polícia. A partir da 
velocidade do carro de Telma e Louise e da velocidade da viatura, os policiais concluíram, 
acertadamente, que as moças não poderãofugir se forem capturadas no túnel. Ou seja, os 
policiais poderão apanhá-las numa ou noutra extremidade do túnel, independentemente da 
direção que elas tomarem. Sabe-se que o carro de Telma e Louise e a viatura dos policiais 
locomovem- se a velocidades constantes. Sabe-se, também, que o túnel tem um quilômetro 
de comprimento. Desse modo, conclui-se que a relação entre a velocidade da viatura e a do 
carro das moças é dada por: 
a) 3/2 
b) 3/5 
c) 7/5 
d) 3/4 
e) 5/3 
 
Resolução: 
Vamos fazer um diagrama para representar a situação. 
 
Os dois carros estão indo para a esquerda. O carro de Telma tem uma velocidade vtelma. O 
carro da polícia tem uma velocidade vpol. 
O carro de Telma já está dentro do túnel. Ela está a 200 metros de uma extremidade e a 800 
metros da outra extremidade. 
O carro da polícia ainda não entrou no túnel. Ele está a uma distância x do começo do túnel. 
Vamos considerar que o carro da polícia é k vezes mais rápido que o carro de Telma. Ou 
seja: 
&'()
&*+),-
= ! =? 
 
E o exercício quer justamente saber o valor de k. 
 
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Caso Telma decida retornar e voltar para a primeira extremidade, ela gastará um tempo t 
neste trajeto. Como o carro da polícia vai alcançá-la justamente na extremidade, então o 
carro de polícia também vai gastar um tempo t para atingir o mesmo ponto. 
 
Como o carro de polícia é k vezes mais rápido, ele vai, no mesmo intervalo de tempo, 
percorrer uma distância k vezes maior. Logo: 
� = 200!	�equação	I� 
Agora vamos para a outra situação. 
Se Telma continuar em frente, dirigindo-se para a segunda extremidade, ela vai gastar um 
tempo 't para chegar lá. Como o carro de polícia vai alcançá-la justamente nesta segunda 
extremidade, o carro da polícia vai gastar o mesmo tempo 't em seu trajeto. 
 
O carro de Telma vai percorrer uma distância de 800 metros, num tempo 't . No mesmo 
tempo, o carro de polícia vai percorrer uma distância k vezes maior. Logo: 
� + 1.000 = 800! 
Substituindo o valor de x por k200 (conforme equação I): 
� + 1.000 = 800! 
�200!� + 1.000 = 800! 
1.000 = 800! − 200! 
1.000 = 600! 
! =
1.000
600
 
Cortando os zeros: 
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! =
10
6
 
Dividindo o numerador e o denominador por 2: 
! =
5
3
 
Gabarito: E. 
 
9. PORCENTAGEM 
Um símbolo que aparece bastante em prova, sobretudo em matemática financeira, é o 
símbolo de porcentagem: % 
Pois bem, o símbolo % significa apenas: divido por 100. É isso mesmo. O símbolo % sempre 
vem depois de um número. Ele quer dizer apenas que este número está divido por 100. 
Exemplo: se escrevemos 5%, isto significa que o número 5 está sendo dividido por 100. 
Ou seja: 
5% =
5
100
= 5 × 0,01 = 0,05 
Acima listamos quatro maneiras de escrever a mesma coisa. Todas elas representam o 
número 0,05. 
 
Porcentagem: 
5% =
5
100
= 0,05 
 
Qual a utilidade do símbolo de “%”? 
Ele serve para dar a noção de parte e de todo, de uma maneira mais amigável para quem faz 
a leitura de qualquer tipo de dado. 
Na verdade, isso é apenas uma simplificação. O símbolo de porcentagem pode ser usado em 
situações que não envolvam comparação entre parte e todo. Apesar disso, esta é a sua 
utilização mais frequente, e é a mais simples, ideal para nos acostumarmos com o conceito 
de porcentagem. 
 
Suponha que você está lendo uma reportagem que informe que 1.000 habitantes da cidade 
alfa foram contaminados com certa doença. 
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Pergunta: essa doença é preocupante? 
A resposta vai depender da cidade. Se estivermos numa megalópole com 10 milhões de 
habitantes, talvez a doença não seja assim tão preocupante. Do contrário, se estivermos 
numa pequena cidade, com 20.000 habitantes, aí a doença é bem preocupante. 
Vamos considerar o segundo caso. Dos 20.000 habitantes, 1.000 têm a doença. Vamos 
dividir a parte pelo todo. Vamos dividir o número de doentes pela população total: 
1.000
20.000
 
Simplificando: 
1.000
20.000
=
1
20
= 0,05 =
5
100
= 5% 
Lembrando do significado do símbolo de porcentagem, chegamos a: 
5% 
Dizemos que 5% da população têm a doença. Ou seja, de cada 100 habitantes, 5 estão 
contaminados. 
Se a reportagem, em vez de informar o número de doentes (=1.000), tivesse dito que 5% da 
população está contaminada, de imediato teríamos uma noção de quão grande é a parcela 
afetada pela doença. 
Dois são os procedimentos importantes, relacionados ao símbolo de porcentagem. O 
primeiro é, dado um percentual, sabermos achar a respectiva quantidade. O segundo é o 
caminho contrário. Dada uma quantidade, precisamos saber achar o respectivo percentual. 
 
Exemplo 1: 
Numa sala de aula com 40 alunos, 30% foram reprovados. Pergunta: quantos alunos foram 
reprovados? 
 
Resolução: 
Neste caso, queremos saber quanto é 30% de 40. 
30% de 40 é o mesmo que 30% vezes 40 
30% de 40 = 40%30 × 
Visto isto, calculemos quantos alunos foram reprovados. 
Número de alunos reprovados: 
12
100
120040
100
3040%30 ==×=× 
Ou seja, foram reprovados 12 alunos. 
Neste caso, tínhamos o percentual de alunos reprovados. Para achar a quantidade de alunos 
reprovados, bastou multiplicar. Multiplicamos 30% por 40 (pois são 40 alunos ao todo). 
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Exemplo 2: 
Em uma turma de 30 alunos, 6 foram reprovados. Qual o percentual de alunos reprovados? 
 
Resolução: 
No caso anterior, foi dado o percentual e tínhamos que calcular a quantidade de alunos 
reprovados. 
Aqui, fomos informados da quantidade de alunos reprovados (=6) e temos que achar o 
respectivo percentual. 
A pergunta é: 6 representa quantos por cento de 30? 
Nestes casos, basta dividir os números (a parte pelo todo). 
6 1 200, 2 20%
30 5 100
= = = = 
Assim, 20% dos alunos foram reprovados. 
Estes dois exemplos que acabamos de ver podem ser resumidos da seguinte forma: 
 
Para achar um percentual, basta dividir a parte pelo todo: 
[parte]
[todo]
=[percentual] 
Dado o percentual, para achar a quantidade referente à parte, basta multiplicar o 
percentual pelo todo. 
[parte]=[todo]×[percentual] 
 
 
Para achar um percentual, basta dividir a parte pelo todo: 
[parte]
[todo]
=[percentual] 
Dado o percentual, para achar a quantidade referente à parte, basta multiplicar o 
percentual pelo todo. 
[parte]=[todo]×[percentual] 
Como já dissemos, a comparação de parte e todo é a utilização mais frequente da 
porcentagem, embora não seja a única. Matematicamente, o símbolo de % apenas indica 
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uma divisão por 100. Com isso, em qualquer situação em que surgir esta divisão, poderemos 
usar “%”, mesmo que não estejamos comparando parte com todo. 
Para melhor visualização, considere o seguinte exemplo. 
Pedro recebe um salário de R$ 2.000,00. Gustavo recebe um salário de R$ 4.000,00. 
Se dividirmos o salário de Pedro pelo salário de Gustavo, obtemos: 
2.000
4.000
= 0,5 = 50% 
Dizemos que o salário de Pedro é igual a 50% do salário de Gustavo. No entanto,estas duas 
quantidades não podem ser vistas como parte e todo, o que não nos impede de utilizar a 
porcentagem. 
 
Questão 18 SUSEP 2006 [ESAF] 
Em um concurso, de cada 100 candidatos, 60 eram mulheres e 40 homens. Considerando 
que a porcentagem de aprovação entre os candidatos mulheres foi de 20% e entre os 
homens foi de 15%, calcule a porcentagem de aprovação em geral entre os candidatos, 
independentemente do sexo. 
a) 15% 
b) 17% 
c) 18% 
d) 19% 
e) 20% 
 
Resolução: 
Vamos considerar que são apenas 100 candidatos, com 60 mulheres e 40 homens. 
20% das mulheres foram aprovadas. Logo o número de mulheres aprovadas é: 
20
100
× 60 = 12 
Ou seja, multiplicamos o percentual pelo todo. 
Doze mulheres foram aprovadas. 
 
15% dos homens foram aprovados. Logo, o número de homens aprovados é: 
15
100
× 40 = 6 
Seis homens foram aprovados. 
Somando homens e mulheres, a quantidade de aprovados é: 
12 + 6 = 18 
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São 18 aprovados em um total de 100 pessoas. 
O percentual geral de aprovados é: 
18
100
= 18% 
Gabarito: C 
 
Questão 19 AFRFB 2009 [ESAF] 
Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total dos 
funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total dos 
funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as opções abaixo, é o valor mais próximo da 
porcentagem do total dos funcionários dessa repartição que são homens não concursados? 
a) 21% 
b) 19% 
c) 42% 
d) 56% 
e) 32% 
 
Resolução: 
Vamos jogar valores. Vamos supor que a repartição tem 60 pessoas. 
3/5 dos funcionários são concursados. 
36605/3 =× 
São 36 concursados. 
 
1/3 do total de funcionários são mulheres. 
2060
3
1
=× 
São 20 mulheres. Consequentemente, o número de homens é 40, de modo que o total de 
pessoas seja 60. 
 
1/4 dos funcionários são mulheres concursadas. 
1560
4
1
=× 
São 15 mulheres concursadas. Já sabemos que o total de concursados é 36. Assim, o 
número de homens concursados é: 211536 =− . 
 
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Como temos 40 homens e, destes, 21 são concursados, então 19 homens não são 
concursados. 
O percentual de homens não concursados, em relação ao total de funcionários, é: 
=
60
19
0,32= 32% 
Gabarito: E 
 
Questão 20 MTE 2010 [ESAF] 
 Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências humanas e 
os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem matemática e 
física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da 
universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na 
universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os 
alunos que estudam em cursos de ciências exatas? 
a) 20,00%. 
b) 21,67%. 
c) 25,00%. 
d) 11,00%. 
e) 33,33%. 
 
Resolução: 
Vamos supor que são 100 alunos. 56% estudam humanas. 
56% de 100 = 56 
44% cursam exatas 
44% de 100 = 44. 
Destes 44, temos: 
- 5 estudam matemática (=5% do total) 
- 6 estudam física (=6% do total). 
 
O número de alunos que estudam matemática ou física é igual a 11. 
Assim, de cada 44 alunos de exatas, 11 estudam matemática ou física. 
O percentual procurado é de: 
11
44
= 25% 
Gabarito: C 
 
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9.1. Aumentos e reduções percentuais 
Considere que tenho hoje R$ 20,00. Aplico este dinheiro em um investimento que, dentro 
de um ano, rende 10%. 
Ou seja, ao final de 1 ano, meu dinheiro terá aumentado em 10%. 
Com isto, estou querendo dizer que, dividindo o aumento pela quantia inicial, o resultado é 
10%. 
aumento
20,00
= 10% 
aumento = 10% × 20 = 2,00 
aumento=2,00 
O aumento foi de R$ 2,00. 
Logo, após 1 ano eu terei: 
00,2200,200,20 =+ 
Vamos mudar o exemplo. Se, em vez de R$ 20,00, eu tivesse x reais, vamos ver como ficaria. 
aumento
�
= 10% 
aumento = 10% × � = 0,1� 
aumento=0,1x 
E, após um ano, eu teria: 
� + 0,1� 
Colocando x em evidência: 
� × �1 + 0,1� = 1,1� 
E aqui está um resultado muito importante, que é muito utilizado lá na matemática 
financeira, nos tópicos de juros simples e juros compostos. Aumentar algo em 10% é o 
mesmo que multiplicar por 1,1. 
Analogamente, aumentar algo em 20% é o mesmo que multiplicar por 1,2. 
E isso vale para qualquer outro aumento. 
Aumentar algo em 30% é o mesmo que multiplicar por 1,3. E assim por diante. 
 
Aumentar algo em 10% é o mesmo que multiplicar por 1,1. 
Aumentar algo em 20% é o mesmo que multiplicar por 1,2. 
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Aumentar algo em 30% é o mesmo que multiplicar por 1,3. 
Aumentar algo em 1% é o mesmo que multiplicar por 1,01. 
Aumentar algo em 2% é o mesmo que multiplicar por 1,02. 
Aumentar algo em 15% é o mesmo que multiplicar por 1,15. 
E assim por diante. 
 
Considere agora que um produto custa 200,00. O comprador pechincha e o vendedor abaixa 
o preço em 10%. Qual o novo valor do produto? 
 
A redução no valor é 10% do preço inicial. 
redução=10%	de	200 
redução	=	0,1 × 200 = 20 
A redução é de R$ 20,00. 
Com isso, o produto passará a custar R$ 180,00. 
 
Se, em vez de 200,00, o produto custasse X, ficaria assim. 
A redução seria de 10% de X. 
Redução = 0,1X 
O novo preço seria: 
 − 0,1
 
Colocando X em evidência: 
 × �1 − 0,1� 
Ou seja, diminuir algo em 10% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,1. 
E isto vale para todos os demais percentuais. 
Este raciocínio é a base para os descontos comerciais, estudados lá na matemática 
financeira. 
 
Diminuir algo em 10% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,1. 
Diminuir algo em 20% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,2. 
Diminuir algo em 30% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,3. 
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Diminuir em 1% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,1. 
Diminuir algo em 2% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,02. 
Diminuir algo em 15% é o mesmo que multiplicar por 1 – 0,15. 
E assim por diante. 
 
Questão 21 Prefeitura do Rio de Janeiro 2010 [ESAF] 
O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha crescido 10% no primeiro 
trimestre de 2008, 5% no segundo trimestre, tinha ficado estável no terceiro trimestre e 
tinha caído 10% no último trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIB 
desse País, em 2008. 
a) 1,25%. 
b) 5%. 
c) 4,58%. 
d) 3,95%. 
e) -5%. 
 
Resolução: 
Suponha que o PIB era inicialmente de 100,00. 
Primeiro ele aumentou 10%. 
100 × 1,1 = 110 
Depois aumentou 5%: 
110 × 1,05 = 115,5 
Depois caiu 10%: 
115,5 × �1 − 0,1� = 103,95 
No geral, o PIB aumentou de 100 para 103,95. O aumento foi de 3,95 em um total de 
100,00. Trata-se de um aumento de 3,95%. 
Gabarito: D 
 
10. CONJUNTOS 
10.1. Introdução 
Podemos dizer que um conjunto é qualquer coleção de objetos. Assim, poderíamos dizer 
que, abaixo, temos o conjunto dos estados do Norte: 
{Pará, Amazonas, Rondônia, Roraima, Tocantins, Amapá, Acre} 
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Podemos também formar o conjunto dos jogadores brasileiros que já ganharam o prêmio 
de melhor jogador pela Fifa: 
{Ronaldo; Ronaldinho Gaúcho; Rivaldo; Romário; Kaká; Marta} 
E poderíamos formar inúmeros outros conjuntos. Então é isso. Conjunto é um grupo de 
objetos. 
Para representar um conjunto, nós geralmente utilizamos uma letra maiúscula do alfabeto. 
Voltando ao primeiro conjunto apresentado, podemos dizer que se trata do conjunto A: 
A ={Pará, Amazonas, Rondônia, Roraima, Tocantins, Amapá, Acre} 
Cada um dos estados acima é um elemento do conjunto A. Para indicar que um elemento 
faz parte do conjunto, nós dizemos que ele pertence ao conjunto. 
Deste modo, o estado do Pará pertence ao conjunto dos estados do Norte. Ou seja, o estado 
do Pará pertence ao conjunto A. Usando símbolos, esta frase fica assim: 
Pará ∈ E 
O símbolo “∈” representa a palavra “pertence”. Ele indica que o elemento em análise (o 
estado do Pará) faz parte do conjunto A. 
Podemos usar a mesma representação para qualquer outro estado: 
Amazonas	 ∈ E 
Rondônia	 ∈ E 
Roraima	 ∈ E 
 
E assim por diante. 
Vamos pensar agora num elemento que não faz parte do conjunto. O estado de Goiás não 
pertence à região norte. Ou seja, Goiás não pertence ao conjunto A. Para representar isso 
em forma de símbolo, nós fazemos assim: 
Goias	 ∉ E 
 
O símbolo ∉ representa a expressão “não pertence”. Ele indica que o elemento em análise 
não faz parte do conjunto A. 
De modo análogo, o estado da Bahia também não pertence ao conjunto A. 
Bahia	 ∉ E 
 
10.2. Conjunto universo 
É muito comum a expressão “conjunto universo”. Geralmente a utilizamos para indicar 
todos os elementos com os quais se pretende trabalhar. 
A título de exemplo, considere que, em uma empresa, deseja-se determinar um valor x que 
atenda a uma necessidade da firma. 
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A partir de várias considerações, conclui-se que x deve ser menor que 10. Seja A o conjunto 
formado por todos os valores de x que atendem a esta especificação. Pergunta: qual é o 
conjunto A? 
A resposta vai depender do conjunto universo com o qual se está trabalhando. 
Por exemplo, se x for o número de máquinas que podem estar operando simultaneamente, 
sem comprometer o gerador próprio da empresa, então x só pode assumir valores naturais. 
Nosso conjunto universo seria o conjunto dos números naturais. Neste caso, a resposta 
seria: 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Outro exemplo. Se x for o número de luvas de segurança que a empresa vai distribuir para 
cada funcionário, sem extrapolar o orçamento com itens de segurança, então x só pode 
assumir valores naturais e pares (pois as luvas sempre são usadas aos pares). Este é nosso 
conjunto universo. Neste segundo caso, a resposta seria: 
A = {0, 2, 4, 6, 8} 
 
Exemplo 3: 
Seja A o conjunto dos números maiores que 9 e menores que 20. 
Represente o conjunto A nas seguintes situações: 
a) quando o conjunto Universo é o conjunto dos números naturais (ainda vamos falar dos 
números naturais; por hora, fique com a informação de que são aqueles que usamos para 
contar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...). 
b) quando o conjunto Universo é o conjunto dos números primos. 
c) quando o conjunto Universo é o conjunto dos números pares. 
 
Resolução. 
a) A = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} 
b) A = {11, 13, 17, 19} 
c) A = {10, 12, 14, 16, 18} 
10.3. Subconjuntos. 
Considere uma sala de aula com oito crianças: João, Maria, Pedro, Paula, Augusto, Luciana, 
Leonardo e Luíza. 
Seja A o conjunto formado por todas as crianças da sala de aula. Ele é dado por: 
A = {José, Maria, Pedro, Paula, Augusto, Luciana, Leonardo, Luíza} 
Pois bem. A partir do conjunto acima, podemos formar outros conjuntos, menores. 
Podemos formar, por exemplo, o conjunto dos meninos desta sala de aula: 
B = {José, Pedro, Augusto, Leonardo} 
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O conjunto B é formado apenas pelos meninos. 
Dizemos que o conjunto B é um subconjunto de A. Isto ocorre porque todo elemento que 
pertence a B também pertence ao conjunto A. 
Outra forma de indicarmos isso é: B está contido em A. 
Assim, dizer que um conjunto está contido em outro significa que o primeiro é um 
subconjunto do segundo. 
Podemos representar isso por meio de símbolos: 
AB⊂ (B está contido em A; significa que B é um subconjunto de A) 
O símbolo “ ⊂ ” representa a expressão “está contido”. 
Existe um outro símbolo semelhante, que é o ⊂ (estritamente contido). 
Se escrevermos P ⊂ E, isto significa que o conjunto B está estritamente contido em A. Ou 
seja, B está contido em A, e B é diferente de A. 
Em outras palavras, todo elemento de B também pertence a A. Além disso, o conjunto A 
possui elementos que não pertencem a B. 
O diagrama abaixo representa dois conjuntos, tal que B está estritamente contido em A: 
 
 
A diferença entre os dois símbolos fica clara quando temos dois conjuntos iguais. 
X = {1,2} 
Y = {1,2} 
É correto dizer que X está contido em Y (pois todo elemento de X também pertence a Y). 
Mas é errado dizer que X está estritamente contido em Y (pois não existem elementos de Y 
que não pertencem a X). 
Assim, o símbolo ⊂ não abrange a situação em que os conjuntos são iguais. 
Podemos fazer uma analogia com os símbolos de “menor que” e “menor ou igual”. 
O símbolo ⊂ seria análogo ao símbolo “<”. 
O símbolo ⊆ seria análogo ao símbolo “≤” 
 
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Símbolos ∈ e ∉: expressam relações entre conjunto e elementos - indicam se um 
elemento pertence ou não a um conjunto. 
Símbolos “ ⊂ ” e ⊂ : expressam relações entre conjuntos 
 
Exemplo 4: 
Seja A o seguinte conjunto: 
A = {1, 5, 7, 8} 
Encontre todos os subconjuntos de A que têm 3 elementos. 
 
Resolução: 
Subconjuntos de A são conjuntos formados por elementos que pertencem a A. 
Assim, a título de exemplo, o conjunto {1, 5} é um subconjunto de A. Por quê? 
Porque todos os seus elementos pertencem a A. O número 1 pertence ao conjunto {1,5}. E 
também pertence a A. O mesmo vale para o número 5. 
O detalhe é que o conjunto {1, 5} possui dois elementos. Embora ele realmente seja um 
subconjunto de A, ele não atende ao solicitado na questão, em que se pedem os conjuntos 
com três elementos. 
Muito bem, então vamos responder à pergunta. Queremos encontrar todos os subonjuntos 
de A que possuam 3 elementos. Para montar tais subconjuntos, basta nos dirigirmos a A e 
escolhermos três de seus elementos. 
{1, 5, 7} 
{1, 7, 8} 
{5, 7, 8} 
{1, 5, 8} 
Pronto. Acima temos todos os subconjuntos de A que possuem 3 elementos. 
 
10.4. Conjuntos em que os elementos também são conjuntos. 
Um conjunto pode ser formado por elementos isolados. É o caso do conjunto de todos os 
alunos da sala: 
A = {José, Maria, Pedro, Paula, Augusto, Luciana, Leonardo, Luíza} 
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Contudo, um conjunto também pode ser formado por elementos que, na verdade, são 
outros conjuntos. 
Seja C o conjunto formado pelas frutas que Maria usa para fazer salada de frutas. 
C = {banana, maçã,mamão} 
Seja D o conjunto formado pelas frutas que Alberto usa para fazer salada de frutas. 
D = {pêra, melão, abacaxi} 
Seja E o conjunto formado pelas duas saladas de frutas: 
E = {C, D} 
O conjunto E é formado por elementos que, na verdade, são conjuntos. Poderíamos 
reescrever E da seguinte forma: 
E = {{banana, maçã, mamã}, {pêra, melão, abacaxi}} 
Podemos dizer que C está contido em E? 
Não, não podemos. É errado dizer isso. 
Dentro do conjunto E, C é visto como um elemento. Quando queremos expressar relação 
entre um conjunto e seus elementos, a expressão correta é: pertence. Dizemos que C 
pertence a E. 
Do mesmo modo, não podemos dizer que C é um subconjunto de E. 
Se isso fosse verdade, ou seja, se C fosse um subconjunto de E, deveríamos ter o seguinte. 
Todo elemento de C também deveria ser um elemento de E. 
Vamos pegar a maçã. A maçã é um elemento de C. Sabemos que o conjunto C é formado 
pelas frutas que Maria usa na sua salada de frutas. Como Maria usa a maçã, então a maçã 
pertence ao conjunto C. 
Pois bem. Vamos ao conjunto E. A maçã pertence ao conjunto E? 
Não! 
O conjunto E não tem nenhum elemento que seja a maçã. Os elementos do conjunto E são: 
C e D. Estes são os únicos dois elementos de E. Nenhum deles é a maçã. 
Só relembrando. O conjunto E é formado pelas saladas de frutas prontas, acabadas, já 
preparadas. O conjunto E é formado pela salada de frutas da Maria e pela salada de frutas 
do Alberto. Estas duas saladas de frutas é que formam o conjunto E. Ora, nas saladas de 
frutas, já prontas e acabadas, não distinguimos mais a maçã. Não temos mais maçã, banana, 
mamão, etc. O que temos agora é apenas isso: duas saladas de frutas. 
 
Exemplo 5: 
Considere os conjuntos abaixo. 
A = {1, 3} 
B = {2, 4} 
C = {1} 
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D = {A, B} = {{1, 3}, {2, 4}} 
Indique a relação entre: 
a) 1 e A 
b) 1 e B 
c) 1 e C 
d) 1 e D 
e) A e C 
f) A e D 
 
Resolução. 
a) O número 1 é um elemento do conjunto A. Dizemos que 1 pertence a A. 
1 ∈ A 
b) O número 1 não é um elemento do conjunto B. Dizemos que 1 não pertence a B. 
1 ∉ B 
c) O número1 é um elemento do conjunto C. Dizemos que 1 pertence a C. 
1 ∈ C 
d) O número 1 não é um elemento do conjunto D. Os elementos de D são outros conjuntos. 
Os elementos de D são A e B. 
1 ∉ D 
e) O único elemento de C é 1. Este elemento também pertence a A. Portanto, todos os 
elementos de C também são elementos de A. Conclusão: C é um subconjunto de A. Logo: 
C ⊂ A (C está estritamente contido em A) 
A ⊃ C (A contém C) 
f) A é um elemento de D. Portanto, A pertence a D. 
A ∈ D 
 
10.5. Operações com conjuntos 
Considere os conjuntos A e B dados por: 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} 
Podemos representar estes dois conjuntos por meio do seguinte diagrama: 
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Os números que estão dentro do círculo da esquerda pertencem ao conjunto A. Os números 
que estão dentro do círculo da direita pertencem ao conjunto B. 
Observem que há quatro números que pertencem, simultaneamente, aos dois conjuntos. 
Eles estão dentro dos dois círculos ao mesmo tempo. São eles: 6, 7, 8, 9. 
Chamamos de intersecção entre A e B ao conjunto dos elementos que pertencem 
simultaneamente aos dois conjuntos. Abaixo destacamos, em amarelo, a intersecção de A e 
B. 
 
A intersecção é representada pelo símbolo	∩. Deste modo, temos: 
E ∩ P ={6, 7, 8, 9} 
Chamamos de união de A com B ao conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos 
um dos dois conjuntos iniciais. Abaixo, em amarelo, destacamos a união de A e B. 
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A união é representada pelo símbolo∪	. Deste modo, temos: 
E ∪ P ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} 
A diferença entre A e B corresponde ao conjunto dos elementos que pertencem a A e não 
pertencem a B. A figura abaixo representa a diferença entre os dois conjuntos (destaque em 
amarelo): 
 
Deste modo, podemos dizer que: 
E − P ={1, 2, 3, 4, 5} 
Também podemos fazer a diferença entre B e A, representada abaixo: 
 
P − E ={10, 11, 12, 13, 14} 
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Finalmente, precisamos estudar o complementar de um conjunto. 
Considere que o conjunto universo com o qual estamos trabalhando seja o conjunto dos 
números naturais de 1 até 20. 
V = W1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20X 
O complementar de A, indicado por AC, corresponde a todos os elementos do universo (U), 
que não pertencem a “A”. Em outras palavras, EY = V − E 
Neste caso: 
EY = W10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20X 
 
Exemplo 6: 
Considere os conjuntos: 
A = {1, 2, 3} 
B = {3, 4, 5} 
C = {2, 3, 4, 5, 6} 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
Calcule: 
a) ( ) ABC ∪− 
b) BA ∩ 
c) ( ) CBA ∩− 
d) AC. 
 
Resolução: 
a) Primeiro fazemos a diferença entre C e B: 
=− BC {2, 6} 
Depois fazemos a união do conjunto acima com o conjunto A: 
{2, 6} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 6} 
b) A intersecção entre A e B corresponde ao conjunto formado pelos elementos que 
pertencem, ao mesmo tempo, a A e a B. 
BA ∩ = {3} 
c) Primeiro fazemos a diferença entre A e B: 
=− BA {1, 2} 
Depois fazemos a intersecção do conjunto acima com o conjunto C. 
{1, 2} ∩ {2, 3, 4, 5, 6} = {2} 
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d) AC = U – A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
 
Questão 22 STN 2005 [ESAF] 
Considere dois conjuntos, A e B, onde A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-se 
que a operação Ψ é definida por A Ψ B = (A – B) ∪ (B – A), então a expressão (A Ψ B) Ψ B é 
dada por: 
a) { X1, X5, X4} 
b) { X1, X2} 
c) { X1, X2, X3, X4} 
d) {X4, X6, X5} 
e) { X1, X6} 
 
Resolução: 
Precisamos calcular: (A Ψ B) Ψ B. 
Vamos fazer por partes. Vamos começar com o que está dentro do parêntesis. Comecemos 
com: 
A Ψ B = ? 
A Ψ B = )()( ABBA −∪− 
A Ψ B = {X2, X3} ∪ {X5, X6} = {X2, X3, X5, X6} 
 
Vamos chamar este conjunto acima de C. 
C = {X2, X3, X5, X6} 
Pronto. Calculamos o que estava dentro do parêntesis. Agora podemos continuar com a 
expressão original: 
(A Ψ B) Ψ B = C Ψ B 
(A Ψ B) Ψ B = ( ) ( )CBBC −∪− 
(A Ψ B) Ψ B = {X2, X3} ∪ {X1, X4} 
(A Ψ B) Ψ B = {X1, X2, X3, X4} 
Gabarito: C 
 
Questão 23 SUSEP 2010 [ESAF] 
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e sejam BA ∩ , BA ∪ e BA \ , respectivamente, as 
operações de intersecção, união e diferença entre eles. 
Seja Ф o conjunto vazio, U o conjunto universo e seja AUAC \= . A opção correta é: 
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a�	�E ∩ P� ∪ �EY ∪ PY�Y = V 
b�	�E ∩ P� ∩ �EY ∪ PY�Y = ∅ 
c�	�E ∩ P� ∩ �EY ∪ PY� = ∅ 
d�	�E ∩ P� ∪ �EY ∪ PY� = E ∪ P 
e�	�E ∪ P� ∪ �EY ∪ PY�Y = V 
 
Resolução. 
Como exemplo, considere o conjunto dos números naturais de 1 a 10. Este é o universo no 
qual estamos trabalhando. 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
Sejam A e B subconjuntos