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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabartio da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II – 16/06/2013 Questa˜o 1: (3,0pts) Para a seguinte func¸a˜o f(x) = ln(4− x2) fac¸a o seguinte: a) Calcule o dom´ınio de f(x); b) Calcule os seguintes limites: lim x→−2+ f(x), lim x→2− f(x); c) Calcule e estude o sinal de f ′(x); d) Calcule e estude o sinal de f ′′(x); e) Mostre que f(−x) = f(x); f) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f(x); Soluc¸a˜o: a) A func¸a˜o estara´ bem definida desde que 4 − x2 > 0. Analisando o polinoˆmio vemos que 4− x2 e´ uma para´bola, com o coeficiente do termo x2 negativo e com ra´ızes x = −2 e x = 2. Isso quer dizer que e´ uma para´bola com a boca voltada para baixo e passando por −2, 2. De onde conclu´ımos que 4−x2 > 0 se, e somente se, −2 < x < 2. Portanto D(f) = {x ∈ R : −2 < x < 2}. b) Vamos calcular os limites lim x→−2+ f(x) = lim x→−2+ ln(4− x2) = −∞ e lim x→2− f(x) = lim x→2− ln(4− x2) = −∞. Pois, por exemplo, quando x→ −2+ enta˜o 4− x2 se aproxima de zero com valores positivos e, da´ı ln(4− x2)→ −∞. c) Vamos calcular f ′(x) = −2x ( 1 4− x2 ) = −2x 4− x2 . Vamos calcular o sinal da f ′(x) somente no intervalo−2 < x < 2, mas nesse intervalo, o denominador e´ positivo, enta˜o quem comando o sinal da f ′(x) e´ o numerador, mas o numerador e´ positivo se x < 0 e negativo se x > 0. d) f ′′(x) = (−2)(4− x2)− (−2x)(−2x) (4− x2)2 = −8 + 2x2 − 4x2 (4− x2)2 = −8− 2x2 (4− x2)2 = −2 (4 + x2) (4− x2)2 . Veja que tanto o numerador como o denominador da frac¸a˜o sa˜o positivos em −2 < x < 2, por isso f ′′(x) < 0 em −2 < x < 2. d) Veja que f(−x) = ln(4− (−x)2) = ln(4− x2) = f(x). e) Inicie o esboc¸o do gra´fico marcando as retas x = −2 e x = 2. Pela ana´lise do sinal da f ′(x) sabemos que ela e´ crescente de (−2, 0) e decrescente no intervalo (0, 2). Observe que f ′(0) = 0 e f ′′(0) < 0, portanto x = 0 e´ um ponto de ma´ximo. Calculando f(0) obtemos ln(4). Agora usando a simetria em torno do eixo y dada por f(−x) = f(x) e a informac¸a˜o da pelos dois limites temos Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2 Figura 1: Gra´fico de f(x) = ln(4− x2) Questa˜o 2: (2,0pts) Encontre dois nu´meros que satisfac¸am: duas vezes o primeiro menos o segundo seja 100 e o produto dos dois nu´meros seja o m´ınimo. Soluc¸a˜o: Iniciemos chamando esses nu´meros de x e y. Enta˜o 2x− y = 100 enta˜o y = 2x− 100. E queremos minimizar p(x) = xy, substituindo a relac¸a˜o obtemos p(x) = x(2x − 100), derivando obtemos p′(x) = 4x − 100 e derivando mais uma vez obtemos p′′(x) = 4. Fazendo p′(x) = 0 obtemos x = 25. Enta˜o x = 25 e´ um ponto cr´ıtico da func¸a˜o e esse e´ um ponto de m´ınimo local, uma vez que p′′(25) = 4 > 0. Portanto, x = 25 e y = 50. Questa˜o 3: (2,5pts) Calcule as seguintes integrais. a) ∫ 2x √ 1 + x2 dx b) ∫ (2−√x)2 dx c) ∫ (1− t)(2 + t2) dt Soluc¸a˜o: a) Chame de u = 1 + x2 ⇒ du = 2x dx. portanto,∫ 2x √ 1 + x2 dx = ∫ √ u du = ∫ u 1 2 du = ∫ u 1 2 du = 2 3 u 3 2 = 2 3 ( x2 + 1 )3/2 +K. b)∫ (2−√x)2 dx = ∫ 4− 4√x+ x dx = 4x− 8 3 √ x3 + x2 2 +K = 1 6 x ( 3x− 16√x+ 24)+K. c) Existem pelo menos duas formas de fazer essa questa˜o: Uma delas e´ multiplicar os dois polinoˆmios e depois integrar o resultado, outra forma e´ fazer por integrac¸a˜o por partes. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3 Para isso, chame de dv = 1− t dt⇒ v = t− t2 2 e u = 2 + t2 ⇒ du = 2t dt, enta˜o∫ (1− t)(2 + t2) dt = (2 + t2)(t− t 2 2 )− ∫ (t− t 2 2 )2t dt = (2 + t2)(t− t 2 2 )− ∫ 2t2 − t3 dt = (2 + t2)(t− t 2 2 )− 2t 3 3 + t4 4 +K = −t 4 4 + t3 3 − t2 + 2t+K. Questa˜o 4 (2,5pts) Calcule a a´rea da figura compreendida entre a para´bola y = x2 − 4x e a reta y = 2x. Soluc¸a˜o: Inicialmente vamos encontrar os pontos em que os gra´ficos se cruzam, enta˜o x2 − 4x = 2x⇔ x2 − 6x = 0⇔ x(x− 6) = 0⇒ x = 0 e x = 6. Logo a para´bola cruza com a reta em (0, 0) e (6, 12), veja o esboc¸o da regia˜o abaixo Figura 2: Esboc¸o da regia˜o entre y = 2x e y = x2 − 4x Para calcularmos a a´rea da regia˜o, precisamos integrar uma integral menos outra. a´rea = ∫ 6 0 2x dx− ∫ 6 0 x2 − 4x dx = ∫ 6 0 6x− x2 dx = [ 3x2 − x 3 3 ]6 0 = 36u2. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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