AP3 MD2 2013.1 GABARITO

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabartio da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II – 16/06/2013
Questa˜o 1: (3,0pts) Para a seguinte func¸a˜o f(x) = ln(4− x2) fac¸a o seguinte:
a) Calcule o dom´ınio de f(x);
b) Calcule os seguintes limites: lim
x→−2+
f(x), lim
x→2−
f(x);
c) Calcule e estude o sinal de f ′(x);
d) Calcule e estude o sinal de f ′′(x);
e) Mostre que f(−x) = f(x);
f) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f(x);
Soluc¸a˜o: a) A func¸a˜o estara´ bem definida desde que 4 − x2 > 0. Analisando o polinoˆmio vemos
que 4− x2 e´ uma para´bola, com o coeficiente do termo x2 negativo e com ra´ızes x = −2 e x = 2.
Isso quer dizer que e´ uma para´bola com a boca voltada para baixo e passando por −2, 2. De onde
conclu´ımos que 4−x2 > 0 se, e somente se, −2 < x < 2. Portanto D(f) = {x ∈ R : −2 < x < 2}.
b) Vamos calcular os limites
lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2+
ln(4− x2) = −∞ e lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
ln(4− x2) = −∞.
Pois, por exemplo, quando x→ −2+ enta˜o 4− x2 se aproxima de zero com valores positivos e, da´ı
ln(4− x2)→ −∞.
c) Vamos calcular
f ′(x) = −2x
(
1
4− x2
)
=
−2x
4− x2 .
Vamos calcular o sinal da f ′(x) somente no intervalo−2 < x < 2, mas nesse intervalo, o denominador
e´ positivo, enta˜o quem comando o sinal da f ′(x) e´ o numerador, mas o numerador e´ positivo se
x < 0 e negativo se x > 0.
d)
f ′′(x) =
(−2)(4− x2)− (−2x)(−2x)
(4− x2)2 =
−8 + 2x2 − 4x2
(4− x2)2 =
−8− 2x2
(4− x2)2 = −2
(4 + x2)
(4− x2)2 .
Veja que tanto o numerador como o denominador da frac¸a˜o sa˜o positivos em −2 < x < 2, por isso
f ′′(x) < 0 em −2 < x < 2.
d) Veja que f(−x) = ln(4− (−x)2) = ln(4− x2) = f(x).
e) Inicie o esboc¸o do gra´fico marcando as retas x = −2 e x = 2. Pela ana´lise do sinal da f ′(x)
sabemos que ela e´ crescente de (−2, 0) e decrescente no intervalo (0, 2). Observe que f ′(0) = 0 e
f ′′(0) < 0, portanto x = 0 e´ um ponto de ma´ximo. Calculando f(0) obtemos ln(4). Agora usando
a simetria em torno do eixo y dada por f(−x) = f(x) e a informac¸a˜o da pelos dois limites temos
Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2
Figura 1: Gra´fico de f(x) = ln(4− x2)
Questa˜o 2: (2,0pts) Encontre dois nu´meros que satisfac¸am: duas vezes o primeiro menos o segundo
seja 100 e o produto dos dois nu´meros seja o m´ınimo.
Soluc¸a˜o: Iniciemos chamando esses nu´meros de x e y. Enta˜o 2x− y = 100 enta˜o y = 2x− 100.
E queremos minimizar p(x) = xy, substituindo a relac¸a˜o obtemos p(x) = x(2x − 100), derivando
obtemos p′(x) = 4x − 100 e derivando mais uma vez obtemos p′′(x) = 4. Fazendo p′(x) = 0
obtemos x = 25.
Enta˜o x = 25 e´ um ponto cr´ıtico da func¸a˜o e esse e´ um ponto de m´ınimo local, uma vez que
p′′(25) = 4 > 0. Portanto, x = 25 e y = 50.
Questa˜o 3: (2,5pts) Calcule as seguintes integrais.
a)
∫
2x
√
1 + x2 dx
b)
∫
(2−√x)2 dx
c)
∫
(1− t)(2 + t2) dt
Soluc¸a˜o: a) Chame de u = 1 + x2 ⇒ du = 2x dx. portanto,∫
2x
√
1 + x2 dx =
∫ √
u du =
∫
u
1
2 du =
∫
u
1
2 du =
2
3
u
3
2 =
2
3
(
x2 + 1
)3/2
+K.
b)∫
(2−√x)2 dx =
∫
4− 4√x+ x dx = 4x− 8
3
√
x3 +
x2
2
+K =
1
6
x
(
3x− 16√x+ 24)+K.
c) Existem pelo menos duas formas de fazer essa questa˜o: Uma delas e´ multiplicar os dois polinoˆmios
e depois integrar o resultado, outra forma e´ fazer por integrac¸a˜o por partes.
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3
Para isso, chame de dv = 1− t dt⇒ v = t− t2
2
e u = 2 + t2 ⇒ du = 2t dt, enta˜o∫
(1− t)(2 + t2) dt = (2 + t2)(t− t
2
2
)−
∫
(t− t
2
2
)2t dt
= (2 + t2)(t− t
2
2
)−
∫
2t2 − t3 dt
= (2 + t2)(t− t
2
2
)− 2t
3
3
+
t4
4
+K
= −t
4
4
+
t3
3
− t2 + 2t+K.
Questa˜o 4 (2,5pts) Calcule a a´rea da figura compreendida entre a para´bola y = x2 − 4x e a reta
y = 2x.
Soluc¸a˜o: Inicialmente vamos encontrar os pontos em que os gra´ficos se cruzam, enta˜o
x2 − 4x = 2x⇔ x2 − 6x = 0⇔ x(x− 6) = 0⇒ x = 0 e x = 6.
Logo a para´bola cruza com a reta em (0, 0) e (6, 12), veja o esboc¸o da regia˜o abaixo
Figura 2: Esboc¸o da regia˜o entre y = 2x e y = x2 − 4x
Para calcularmos a a´rea da regia˜o, precisamos integrar uma integral menos outra.
a´rea =
∫ 6
0
2x dx−
∫ 6
0
x2 − 4x dx =
∫ 6
0
6x− x2 dx =
[
3x2 − x
3
3
]6
0
= 36u2.
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