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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II Questa˜o 1 [3,0 pts] Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = x 3 x2−1 . (1) Determine o dom´ınio de f ; (2) Calcule f ′ e f ′′; (3) Fac¸a um estudo do sinal de f ′ e f ′′ e com estas informac¸o˜es explique onde f e´ crescente e decrescente. (4) Calcule os limites laterais quanto x tende a 1 e −1, ale´m disso, calcule o limite quando x→∞ e x→ −∞. (5) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f . Soluc¸a˜o: a) (Vale 0, 4pt) D(f) = {x ∈ R : x 6= ±1}. b)(Vale 1, 2pt sendo 0, 6pt para f ′ e 0, 6pt para f ′′) As derivadas sa˜o f ′(x) = x2 (x2 − 3) (x2 − 1)2 e f ′′(x) = 2x (x2 + 3) (x2 − 1)3 c) (o total desse item e´ 0, 6pt sendo 0, 3pt para a ana´lise do sinal de f ′ e 0, 3pt para a ana´lise do sinal de f ′′) Se x 6= −1 e x 6= 1 o denominador (x+1)2 > 0, temos que o sinal de f ′(x) depende do sinal do numerador mas como x2 ≥ 0, segue que quem determina o sinal de f ′(x) sera´ o polinoˆmio x2 − 3. Como conhecemos y = x2 − 3, por ser uma para´bola com a boca voltada para cima e com ra´ızes ±√3, segue que f ′(x) > 0 se x < −√3 ou se x > √3, do contra´rio f ′(x) ≤ 0. Portanto, f e´ decrescente para todo valor x < −√3 se tornara´ crescente entre (−√3,−1)∪ (−1, 1)∪ (1,√3) e voltara´ a ser decrescente se x > √ 3. Ja´ f ′′(x) depende apenas de x e de (x2 − 1)3. Figura 1: Sinal de f ′′(x) d) (Vale 0, 4pt) lim x→−1+ x3 x2 − 1 = −∞ e limx→−1− x3 x2 − 1 = +∞, lim x→1+ x3 x2 − 1 = −∞ e limx→1− x3 x2 − 1 = +∞, lim x→−∞ x3 x2 − 1 = −∞ e limx→+∞ x3 x2 − 1 = +∞. e) (Vale 0, 4pt) Para fazer o gra´fico, comece marcando duas retas tracejadas x = −1 e x = 1 (uma vez que esse ponto na˜o pertence ao dom´ınio). Esses duas retas sa˜o as retas ass´ıntotas verticais. Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2 Sabemos que no intervalo (−∞,−√−3) f e´ crescente e em (−√3,−1) e´ decrescente. Ale´m disso entre (−∞,−1) a com boca voltada para baixo, ja´ que f ′′ < 0. Algo semelhante acontece no intervalo (1,+∞), pois no intervalo (−1,√3) a func¸a˜o e´ decrescente e no intevalo (1,+∞) a func¸a˜o e´ crescente, ale´m de que no intervalo (1,+∞) tem a boca voltada para cima. No intervalo (−1, 1) vem de +∞ passa por (0,0) e vai para −∞ pro´ximo de 1. Veja que a func¸a˜o tem boca voltada para cima entre (−1, 0) e boca voltada para baixo em (0, 1), com essas informac¸o˜es podemos fazer o restante do gra´fico da func¸a˜o e obtemos Figura 2: Gra´fico de f(x) Questa˜o 2 [2,5 pts] Uma loja vem vendendo 200 aparelhos de DVD por semana, por R$350 cada. Uma pesquisa de mercado indica que para cada abatimento de R$10 oferecido aos compradores, o nu´mero de aparelhos vendidos deve aumentar em 20 por semana. Encontre as func¸o˜es de demanda p(x) e de rendimento r(x). Qual deve ser o abatimento que a loja deve oferecer para maximizar seu rendimento? Soluc¸a˜o: (Vale 0, 5pt exibir cada uma das func¸o˜es p(x) e r(x) e maximizar o lucro corretamente vale 1, 0pt) Seja x o nu´mero de aparelhos vendidos por semana. Enta˜o o crescimento em vendas por semana e´ x − 200. Para cada 20 aparelhos vendidos os prec¸o decresce em R$10. Logo, para cada aparelho vendido o decre´scimo no prec¸o e´ de 1 20 × 10 e a demanda e´ p(x) = 350− 10 20 (x− 200) = 450− x 2 . A func¸a˜o de rendimento sera´ r(x) = xp(x) = 450x− x 2 2 . Como r′(x) = 450 − x, vemos que r′(x) = 0 se x = 450. Esse valor e´ um valor de ma´ximo, uma vez que a func¸a˜o rendimento e´ uma para´bola. Logo o prec¸o deve ser p(450) = 450− 450 2 = 225. O abatimento deve ser de 350 − 225 = 125. Portanto, para maximizar o rendimento a loja deve oferecer um abatimento de R$125, 00. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3 Questa˜o 3 [2,0 pts] a) ∫ x(4 + x2)10 dx b) ∫ 2x6−3x x4 dx c) ∫ 2x− xe2x dx d) ∫ x 1−4x2 dx Soluc¸a˜o: a) (Vale 0, 5pt) Chame de u = 4 + x2 ⇒ du = 2x dx⇒ du 2 = x dx, da´ı∫ x(4 + x2)10 dx = 1 2 ∫ u10 du = u11 22 +K. Segue que ∫ x(4 + x2)10 dx = (4 + x2)11 22 +K. b) (Vale 0, 5pt) Veja que∫ 2x6 − 3x x4 dx = ∫ 2x2 − 3x−3 dx = 2x 3 3 + 3 2x2 +K. c) (Vale 0, 5pt) Veja que∫ 2x− xe2x dx = ∫ 2x dx− ∫ xe2x dx = x2 − ∫ xe2x dx A segunda integral e´ feita por partes, para isso seja u = x⇒ du = dx e dv = e2xdx⇒ v = e2x 2 , da´ı∫ xe2x dx = x e2x 2 − ∫ e2x dx = ( xe2x 2 − e 2x 4 ) Logo ∫ 2x− xe2x dx = x2 − e2x ( x 2 − 1 4 ) +K. d) (Vale 0, 5pt) Chame de v = 1− 4x2 ⇒ dv = −8x dx⇒ −dv 8 = x dx e temos∫ x 1− 4x2 dx = − 1 8 ∫ 1 v dv = − ln(v) 8 +K ∫ x 1− 4x2 dx = − 1 8 ln ( 1− 4x2)+K. Questa˜o 4 [2,5 pts] Calcule a a´rea da regia˜o delimitada por y = x2 e y = 2x− x2. Soluc¸a˜o: (Vale 1, 0pt se montar a integral de forma correta, se realizar o ca´lculo da integral corre- tamente vale os 1, 5pts restantes) Vamos encontrar onde os gra´ficos se interceptam, isto e´, vamos resolver x2 = 2x− x2 ⇔ 2x2 − 2x = 2x(x− 1) = 0⇒ x = 0 ou x = 1. Como 2x − x2 > x2, para todo 0 ≤ x ≤ 1 enta˜o, para encontrarmos a a´rea, temos que integrar 2x− x2 − x2 = 2x− 2x2 entre 0 e 1, isto e´,∫ 1 0 2x− 2x2 dx = [ x2 − 2x 3 3 ]1 0 = 1 3 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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