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AP3 2013 2 MD2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II
Questa˜o 1 [3,0 pts] Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = x
3
x2−1
.
(1) Determine o dom´ınio de f ;
(2) Calcule f ′ e f ′′;
(3) Fac¸a um estudo do sinal de f ′ e f ′′ e com estas informac¸o˜es explique onde f e´ crescente e
decrescente.
(4) Calcule os limites laterais quanto x tende a 1 e −1, ale´m disso, calcule o limite quando x→∞
e x→ −∞.
(5) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: a) (Vale 0, 4pt) D(f) = {x ∈ R : x 6= ±1}.
b)(Vale 1, 2pt sendo 0, 6pt para f ′ e 0, 6pt para f ′′) As derivadas sa˜o
f ′(x) =
x2 (x2 − 3)
(x2 − 1)2 e f
′′(x) =
2x (x2 + 3)
(x2 − 1)3
c) (o total desse item e´ 0, 6pt sendo 0, 3pt para a ana´lise do sinal de f ′ e 0, 3pt para a ana´lise do
sinal de f ′′) Se x 6= −1 e x 6= 1 o denominador (x+1)2 > 0, temos que o sinal de f ′(x) depende do
sinal do numerador mas como x2 ≥ 0, segue que quem determina o sinal de f ′(x) sera´ o polinoˆmio
x2 − 3. Como conhecemos y = x2 − 3, por ser uma para´bola com a boca voltada para cima e com
ra´ızes ±√3, segue que f ′(x) > 0 se x < −√3 ou se x > √3, do contra´rio f ′(x) ≤ 0. Portanto, f
e´ decrescente para todo valor x < −√3 se tornara´ crescente entre (−√3,−1)∪ (−1, 1)∪ (1,√3) e
voltara´ a ser decrescente se x >
√
3.
Ja´ f ′′(x) depende apenas de x e de (x2 − 1)3.
Figura 1: Sinal de f ′′(x)
d) (Vale 0, 4pt)
lim
x→−1+
x3
x2 − 1 = −∞ e limx→−1−
x3
x2 − 1 = +∞,
lim
x→1+
x3
x2 − 1 = −∞ e limx→1−
x3
x2 − 1 = +∞,
lim
x→−∞
x3
x2 − 1 = −∞ e limx→+∞
x3
x2 − 1 = +∞.
e) (Vale 0, 4pt) Para fazer o gra´fico, comece marcando duas retas tracejadas x = −1 e x = 1 (uma
vez que esse ponto na˜o pertence ao dom´ınio). Esses duas retas sa˜o as retas ass´ıntotas verticais.
Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2
Sabemos que no intervalo (−∞,−√−3) f e´ crescente e em (−√3,−1) e´ decrescente. Ale´m disso
entre (−∞,−1) a com boca voltada para baixo, ja´ que f ′′ < 0. Algo semelhante acontece no
intervalo (1,+∞), pois no intervalo (−1,√3) a func¸a˜o e´ decrescente e no intevalo (1,+∞) a
func¸a˜o e´ crescente, ale´m de que no intervalo (1,+∞) tem a boca voltada para cima.
No intervalo (−1, 1) vem de +∞ passa por (0,0) e vai para −∞ pro´ximo de 1. Veja que a func¸a˜o
tem boca voltada para cima entre (−1, 0) e boca voltada para baixo em (0, 1), com essas informac¸o˜es
podemos fazer o restante do gra´fico da func¸a˜o e obtemos
Figura 2: Gra´fico de f(x)
Questa˜o 2 [2,5 pts] Uma loja vem vendendo 200 aparelhos de DVD por semana, por R$350 cada.
Uma pesquisa de mercado indica que para cada abatimento de R$10 oferecido aos compradores, o
nu´mero de aparelhos vendidos deve aumentar em 20 por semana. Encontre as func¸o˜es de demanda
p(x) e de rendimento r(x). Qual deve ser o abatimento que a loja deve oferecer para maximizar seu
rendimento?
Soluc¸a˜o: (Vale 0, 5pt exibir cada uma das func¸o˜es p(x) e r(x) e maximizar o lucro corretamente
vale 1, 0pt) Seja x o nu´mero de aparelhos vendidos por semana. Enta˜o o crescimento em vendas por
semana e´ x − 200. Para cada 20 aparelhos vendidos os prec¸o decresce em R$10. Logo, para cada
aparelho vendido o decre´scimo no prec¸o e´ de 1
20
× 10 e a demanda e´
p(x) = 350− 10
20
(x− 200) = 450− x
2
.
A func¸a˜o de rendimento sera´
r(x) = xp(x) = 450x− x
2
2
.
Como r′(x) = 450 − x, vemos que r′(x) = 0 se x = 450. Esse valor e´ um valor de ma´ximo, uma
vez que a func¸a˜o rendimento e´ uma para´bola. Logo o prec¸o deve ser
p(450) = 450− 450
2
= 225.
O abatimento deve ser de 350 − 225 = 125. Portanto, para maximizar o rendimento a loja deve
oferecer um abatimento de R$125, 00.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3
Questa˜o 3 [2,0 pts]
a)
∫
x(4 + x2)10 dx b)
∫
2x6−3x
x4
dx
c)
∫
2x− xe2x dx d) ∫ x
1−4x2
dx
Soluc¸a˜o: a) (Vale 0, 5pt) Chame de u = 4 + x2 ⇒ du = 2x dx⇒ du
2
= x dx, da´ı∫
x(4 + x2)10 dx =
1
2
∫
u10 du =
u11
22
+K.
Segue que ∫
x(4 + x2)10 dx =
(4 + x2)11
22
+K.
b) (Vale 0, 5pt) Veja que∫
2x6 − 3x
x4
dx =
∫
2x2 − 3x−3 dx = 2x
3
3
+
3
2x2
+K.
c) (Vale 0, 5pt) Veja que∫
2x− xe2x dx =
∫
2x dx−
∫
xe2x dx = x2 −
∫
xe2x dx
A segunda integral e´ feita por partes, para isso seja u = x⇒ du = dx e dv = e2xdx⇒ v = e2x
2
, da´ı∫
xe2x dx = x
e2x
2
−
∫
e2x dx =
(
xe2x
2
− e
2x
4
)
Logo ∫
2x− xe2x dx = x2 − e2x
(
x
2
− 1
4
)
+K.
d) (Vale 0, 5pt) Chame de v = 1− 4x2 ⇒ dv = −8x dx⇒ −dv
8
= x dx e temos∫
x
1− 4x2 dx = −
1
8
∫
1
v
dv = − ln(v)
8
+K
∫
x
1− 4x2 dx = −
1
8
ln
(
1− 4x2)+K.
Questa˜o 4 [2,5 pts] Calcule a a´rea da regia˜o delimitada por y = x2 e y = 2x− x2.
Soluc¸a˜o: (Vale 1, 0pt se montar a integral de forma correta, se realizar o ca´lculo da integral corre-
tamente vale os 1, 5pts restantes) Vamos encontrar onde os gra´ficos se interceptam, isto e´, vamos
resolver
x2 = 2x− x2 ⇔ 2x2 − 2x = 2x(x− 1) = 0⇒ x = 0 ou x = 1.
Como 2x − x2 > x2, para todo 0 ≤ x ≤ 1 enta˜o, para encontrarmos a a´rea, temos que integrar
2x− x2 − x2 = 2x− 2x2 entre 0 e 1, isto e´,∫
1
0
2x− 2x2 dx =
[
x2 − 2x
3
3
]1
0
=
1
3
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ