Buscar

AP3 MD2 2014.2 GABARITO

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 3 páginas

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II – 07/12/2014
Questa˜o 1 [2,0 pts] Fac¸a um estudo da func¸a˜o f(x) = x4 − 4x3, isto e´, calcule: dom´ınio, a 1a e
2a derivada, intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de inflexa˜o (se houver). Utilize estas
informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico.
Soluc¸a˜o: (0,5pt se calcular dom´ınio, 1a e 2a derivada, 05pt se encontrar os pontos cr´ıticos/inflexa˜o
e os intervalos de crescimento e 1,0pt se fizer o esboc¸o do gra´fico corretamente) Inicialmente veja
que a func¸a˜o e´ polinomial, por este motivo o dom´ınio sa˜o todos os valores reais. Derivando:
f ′(x) = 4x3 − 12x2 = 4x2(x− 3)
Logo os pontos x ∈ R onde f ′(x) = 0 sa˜o x = 0 e x = 3. Observe que x2 > 0 para todo x ∈ R,
logo o sinal de f ′ depende somente do sinal de x− 3. Portanto, f ′(x) < 0 se x < 3 e f ′(x) > 0 se
x > 3.
Derivando mais uma vez obtemos
f ′′(x) = 12x2 − 24x = 12(x2 − 2x)
Portanto, como f ′′(0) = 0 (e´ um candidato para ponto de inflexa˜o) e f ′′(3) = 36 > 0 segue que
x = 3 e´ um m´ınimo local. Ale´m disso, f ′′(x) e´ um polinoˆmio de grau 2 com ra´ızes x = 0 e x = 2 e
boca voltada para cima.
Disto tiramos que em (−∞, 0) a concavidade tem boca voltada para cima, de (0,2) tem boca voltada
para baixo e em (2,∞) tem boca voltada para cima novamente. Ale´m de que x = 0 (pois muda o
sinal da 2a derivada) e x = 2 sa˜o pontos de inflexa˜o.
Com f(0) = 0, f(2) = −16 e f(3) = −27, temos os elementos para fazer o esboc¸o do gra´fico
da func¸a˜o. Inicialmente marque os pontos: (0, 0), (2,−16) e (3,−27). Observar que no intervalo
(−∞, 0) a func¸a˜o vem do +∞, e´ decrescente e tem a boca voltada para cima. No intervalo (0, 2) ela
continua decrescente, mas agora a boca e´ voltada para baixo. No intervalo (2, 3) ela e´ decrescente
e com boca voltada para cima e por fim no intevalo (3,+∞) a func¸a˜o se torna crescente e continua
com boca voltada para cima.
s
Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2
Questa˜o 2 [2,0 pts] Encontre os pontos sobre a curva y = x3 − x2 − x + 1 onde a tangente e´
horizontal.
Soluc¸a˜o: (0,5pt se o aluno perceber que precisa encontrar os pontos onde a derivada se anula e
mais 1,5pt se ele calcular corretamente os pontos) Para encontrarmos os pontos x ∈ R tais que a
reta tangente e´ horizontal, basta encontrarmos os pontos x ∈ R tais que y′ = 0, mas enta˜o como
y′ = 3x2 − 2x − 1. Basta determinarmos os x tais que 3x2 − 2x − 1 = 0, e usando a fo´rmula
para determinar as ra´ızes de equac¸a˜o do 2a grau obtemos x =
2+
√
4−4×3×(−1)
2×3 =
2+
√
16
6
= 1 e
x =
2+
√
4−4×3×(−1)
2×3 =
2−
√
16
6
= −1
3
.
Portanto, os valores sa˜o x = 1
3
e x = 1.
Questa˜o 3 [2,0 pts] Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = − e1/x
x2
b) g(t) = t2/3(6− t)1/3
Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt) Vamos derivar usando a regra do quociente
f ′(x) = −x
2e1/x(−1/x2)− e1/x(2x)
x4
=
e1/x(2x+ 1)
x4
b) (Vale 1,0pt) Vamos aplicar a regra do produto
g′(t) = (2/3)× t−1/3 × (6− t)2/3 + t2/3 × (1/3× (−1)(6− t)−2/3) = 4− t
t1/3(6− t)2/3
Questa˜o 4 [2,0 pts] Calcule as integrais abaixo:
a)
∫
(1− t)(2 + t2) dt
b)
∫ 0
−1 (x+ 1)
5 dx
c)
∫ √
5
u
du
Soluc¸a˜o: A) (Vale 0,8pt) Vamos integrar
∫
(1− t)(2 + t2) dt =
∫
2 + t2 − 2t− t3 dt = 2t+ t
3
3
+ t2 − t
4
4
+K.
B) (Vale 0,6pt) Chamando de v = x + 1 temos que dv = dx e quando x = −1 v = 0 e quando
x = 0 v = 1, da´ı ∫ 0
−1
(x+ 1)5 dx =
∫ 1
0
v5 dv =
[
v6
6
]1
0
=
1
6
C) (Vale 0,6pt) Veja que
∫ √
5
u
du =
∫ √
5u−1/2 du =
√
5
1
2
√
u+K = 2
√
5u+K.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3
Questa˜o 5 [2,0 pts] Considere a regia˜o delimitada pelas para´bolas y = x2 + 1 e y = 3 − x2, no
intervalo x = −1 ate´ x = 2. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e calcule a a´rea dessa regia˜o.
Soluc¸a˜o: (0,5pt se encontrar onde as para´bolas se encontram. 0,5pt se fazer o esboc¸o do gra´fico
e 1,0pt se obter e calcular a integral corretamente) Seja yA = x
2 + 1 e yB = 3 − x2. igualando
yA = yB obtemos x
2 + 1 = 3− x2, da´ı x = ±1. Fazendo o gra´fico, vemos que a a´rea da regia˜o no
intervalo (−1, 2) deve ser dado por
A =
∫ 1
−1
yB − yAdx+ =
∫ 2
1
yA − yBdx
e da´ı
A =
∫ 1
−1
2− 2x2 dx+
∫ 2
1
2x2 − 2 dx =
[
2x− 2x
3
3
]1
−1
+
[
−2x+ 2x
3
3
]2
1
=
16
3
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

Outros materiais