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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II – 07/12/2014 Questa˜o 1 [2,0 pts] Fac¸a um estudo da func¸a˜o f(x) = x4 − 4x3, isto e´, calcule: dom´ınio, a 1a e 2a derivada, intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de inflexa˜o (se houver). Utilize estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico. Soluc¸a˜o: (0,5pt se calcular dom´ınio, 1a e 2a derivada, 05pt se encontrar os pontos cr´ıticos/inflexa˜o e os intervalos de crescimento e 1,0pt se fizer o esboc¸o do gra´fico corretamente) Inicialmente veja que a func¸a˜o e´ polinomial, por este motivo o dom´ınio sa˜o todos os valores reais. Derivando: f ′(x) = 4x3 − 12x2 = 4x2(x− 3) Logo os pontos x ∈ R onde f ′(x) = 0 sa˜o x = 0 e x = 3. Observe que x2 > 0 para todo x ∈ R, logo o sinal de f ′ depende somente do sinal de x− 3. Portanto, f ′(x) < 0 se x < 3 e f ′(x) > 0 se x > 3. Derivando mais uma vez obtemos f ′′(x) = 12x2 − 24x = 12(x2 − 2x) Portanto, como f ′′(0) = 0 (e´ um candidato para ponto de inflexa˜o) e f ′′(3) = 36 > 0 segue que x = 3 e´ um m´ınimo local. Ale´m disso, f ′′(x) e´ um polinoˆmio de grau 2 com ra´ızes x = 0 e x = 2 e boca voltada para cima. Disto tiramos que em (−∞, 0) a concavidade tem boca voltada para cima, de (0,2) tem boca voltada para baixo e em (2,∞) tem boca voltada para cima novamente. Ale´m de que x = 0 (pois muda o sinal da 2a derivada) e x = 2 sa˜o pontos de inflexa˜o. Com f(0) = 0, f(2) = −16 e f(3) = −27, temos os elementos para fazer o esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o. Inicialmente marque os pontos: (0, 0), (2,−16) e (3,−27). Observar que no intervalo (−∞, 0) a func¸a˜o vem do +∞, e´ decrescente e tem a boca voltada para cima. No intervalo (0, 2) ela continua decrescente, mas agora a boca e´ voltada para baixo. No intervalo (2, 3) ela e´ decrescente e com boca voltada para cima e por fim no intevalo (3,+∞) a func¸a˜o se torna crescente e continua com boca voltada para cima. s Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2 Questa˜o 2 [2,0 pts] Encontre os pontos sobre a curva y = x3 − x2 − x + 1 onde a tangente e´ horizontal. Soluc¸a˜o: (0,5pt se o aluno perceber que precisa encontrar os pontos onde a derivada se anula e mais 1,5pt se ele calcular corretamente os pontos) Para encontrarmos os pontos x ∈ R tais que a reta tangente e´ horizontal, basta encontrarmos os pontos x ∈ R tais que y′ = 0, mas enta˜o como y′ = 3x2 − 2x − 1. Basta determinarmos os x tais que 3x2 − 2x − 1 = 0, e usando a fo´rmula para determinar as ra´ızes de equac¸a˜o do 2a grau obtemos x = 2+ √ 4−4×3×(−1) 2×3 = 2+ √ 16 6 = 1 e x = 2+ √ 4−4×3×(−1) 2×3 = 2− √ 16 6 = −1 3 . Portanto, os valores sa˜o x = 1 3 e x = 1. Questa˜o 3 [2,0 pts] Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo: a) f(x) = − e1/x x2 b) g(t) = t2/3(6− t)1/3 Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt) Vamos derivar usando a regra do quociente f ′(x) = −x 2e1/x(−1/x2)− e1/x(2x) x4 = e1/x(2x+ 1) x4 b) (Vale 1,0pt) Vamos aplicar a regra do produto g′(t) = (2/3)× t−1/3 × (6− t)2/3 + t2/3 × (1/3× (−1)(6− t)−2/3) = 4− t t1/3(6− t)2/3 Questa˜o 4 [2,0 pts] Calcule as integrais abaixo: a) ∫ (1− t)(2 + t2) dt b) ∫ 0 −1 (x+ 1) 5 dx c) ∫ √ 5 u du Soluc¸a˜o: A) (Vale 0,8pt) Vamos integrar ∫ (1− t)(2 + t2) dt = ∫ 2 + t2 − 2t− t3 dt = 2t+ t 3 3 + t2 − t 4 4 +K. B) (Vale 0,6pt) Chamando de v = x + 1 temos que dv = dx e quando x = −1 v = 0 e quando x = 0 v = 1, da´ı ∫ 0 −1 (x+ 1)5 dx = ∫ 1 0 v5 dv = [ v6 6 ]1 0 = 1 6 C) (Vale 0,6pt) Veja que ∫ √ 5 u du = ∫ √ 5u−1/2 du = √ 5 1 2 √ u+K = 2 √ 5u+K. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3 Questa˜o 5 [2,0 pts] Considere a regia˜o delimitada pelas para´bolas y = x2 + 1 e y = 3 − x2, no intervalo x = −1 ate´ x = 2. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e calcule a a´rea dessa regia˜o. Soluc¸a˜o: (0,5pt se encontrar onde as para´bolas se encontram. 0,5pt se fazer o esboc¸o do gra´fico e 1,0pt se obter e calcular a integral corretamente) Seja yA = x 2 + 1 e yB = 3 − x2. igualando yA = yB obtemos x 2 + 1 = 3− x2, da´ı x = ±1. Fazendo o gra´fico, vemos que a a´rea da regia˜o no intervalo (−1, 2) deve ser dado por A = ∫ 1 −1 yB − yAdx+ = ∫ 2 1 yA − yBdx e da´ı A = ∫ 1 −1 2− 2x2 dx+ ∫ 2 1 2x2 − 2 dx = [ 2x− 2x 3 3 ]1 −1 + [ −2x+ 2x 3 3 ]2 1 = 16 3 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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