Gabarito AP3

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II – 05/12/2015
Questa˜o 1 [2,0 pts] Fac¸a um estudo da func¸a˜o f(x) = 2−15x+9x2−x3, isto e´, calcule: dom´ınio,
a 1a e 2a derivada, intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de inflexa˜o (se houver), limites
de x→ ±∞. Utilize estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico.
Soluc¸a˜o: (Crite´rio de pontuac¸a˜o: 0, 1pt se calcular o dom´ınio; 0, 1pt para 0 limite x→ +∞; 0, 1pt
para 0 limite x → −∞; 0, 3pt se calcular f ′ e 0, 3pt se calcular os intervalos de de/crescimento;
0, 2pt se calcular f ′′ e 0, 3pt se calcular os intervalos cujo a boca e´ voltada para cima e para baixo
assim como o ponto de inflexa˜o; 0, 6pt se fizer o esboc¸o do gra´fico corretamente.)
f e´ uma func¸a˜o polinomial, por isso, Df = R. Calculando as derivadas
f ′(x) = −15 + 18x− 3x2 e f ′′(x) = 18− 6x.
Procurando os pontos onde a derivada se anula obtemos x = 1 e x = 5, como f ′ e´ um polinoˆmio
de grau dois cujo o coeficiente que acompanha o termo x2 e´ negativo, segue que para x entre
(−∞, 1) ∪ (5,+∞) f ′(x) < 0. f ′(x) > 0 se x ∈ (1, 5). Ja´ f ′′ e´ uma func¸a˜o linear tal que para
x = 3 se anula. Observe que para x < 3 f ′′(x) > 0 e para x ≤ 3, f ′′(x) ≤ 0.
Como e´ um polinoˆmio de grau 3 cujo o coeficiente que acompanha x3 e´ negativo, enta˜o
lim
x→+∞
f(x) = −∞ e lim
x→−∞
f(x) = +∞.
Portanto, f(x) na˜o tem reta ass´ıntota nem horizontal nem vertical.
Com as informac¸o˜es que ja´ extra´ımos vamos proceder ao esboc¸o do gra´fico.
O gra´fico da func¸a˜o vem de +∞ e quando x → +∞ o gra´fico vai para −∞. Vamos analisar o
gra´fico da esquerda para a direita. O gra´fico deve ser decrescente ate´ 1, e com a boca voltada para
cima ate´ x = 3. Para fixar vamos calcular f(1) = −5 e f(3) = 11. Vemos ainda que entre 1 e 3 ha´
uma raiz. O gra´fico e´ crescente entre 1 e 5 e volta a ficar decrescente depois de 5. O ponto x = 3 e´
um ponto de inflexa˜o, pois a partir de 3 a boca fica voltada para baixo. Com isso temos condic¸o˜es
de fazer o esboc¸o do gra´fico.
Figura 1: Gra´fico de f(x) = 2− 15x+ 9x2 − x3
Questa˜o 2 [2,0 pts] Um administrador de um complexo de 100 apartamentos sabe por experieˆncia
que todas as unidades sera˜o ocupadas se ele cobrar R$400, 00 por meˆs. Uma pesquisa de mercado
Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2
sugere que, em me´dia, uma unidade adicional ficara´ desocupada para cada aumento de R$5, 00 no
aluguel. Que aluguel deve cobrar o administrador para maximizar o lucro?
Soluc¸a˜o: (Crite´rio de pontuac¸a˜o: 1,0pt se modelar corretamente; 1, 0pt se encontrar o valor que
maximiza) Inicialmente, vemos que a receita R depende da quantidade de apartamentos alugados x
e do valor cobrado por cada apartamento y. Agora sabemos que se y = 400 enta˜o x = 100 e se
y = 405 enta˜o x sera´ 99. Claramente esta relac¸a˜o e´ linear. Portanto, basta determinar a reta que
passa pelos pontos (100, 400) e (405, 99).
y − 400 = 405− 400
99− 100 (x− 100) =⇒ y = −5x+ 900.
Portanto, R(x) = x(−5x + 900), estamos expressando a receita em termos da quantidade de
apartamentos alugados. Queremos maximizar a receita. Observe que a expressa˜o da R(x) e´ um
polinoˆmio de segundo grau em que o coeficiente que acompanha o termo x2 e´ negativo. Portanto,
o ponto cr´ıtico sera´ o ponto de ma´ximo.
Derivando, R′(x) = −10x+ 900 e igualando a zero, temos x = 90. Portanto, o administrador deve
fixar o valor de R$450, 00 se ele quer maximizar o lucro.
Questa˜o 3 [2,0 pts] Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = (x2 + x+ 1)(x−2 + 2x−3)
b) g(u) = u
2−u−2
u+1
Soluc¸a˜o: a) (1, 0pt) Aplicando a regra do produto obtemos
f ′(x) =
(
2
x3
+
1
x2
)
(2x+ 1) +
(
− 6
x4
− 2
x3
)(
x2 + x+ 1
)
= − 6
x4
− 6
x3
− 3
x2
b) (1, 0pt) Aplicando a regra do quociente obtemos
g′(u) =
(2u− 1)(u+ 1)− (u2 − u− 2)
(u+ 1)2
=
2u2 + 2u− u− 1− u2 + u+ 2
(u+ 1)2
= 1.
Questa˜o 4 [2,0 pts] Calcule as integrais abaixo:
a)
∫
x(1 + 2x4) dx
b)
∫ 2
1
x2+1√
x
dx
Soluc¸a˜o: (Cada integral vale 1, 0pt) a) Multiplicando e integrando obtemos∫
x(1 + 2x4) dx =
∫
x+ 2x5 dx
=
x2
2
+
2x6
6
+K
=
x6
3
+
x2
2
+K.
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3
b) Integrando temos ∫ 2
1
x2 + 1√
x
dx =
∫ 2
1
x2 + 1
x1/2
dx
=
∫ 2
1
x3/2 + x−1/2 dx =
[
x5/2
2
5
+
x1/2
1
2
]2
1
=
[
2
5
√
x
(
x2 + 5
)]2
1
=
2
5
√
2 (9)− 2
5
√
1 (6)
=
6
5
(
3
√
2− 2
)
.
Questa˜o 5 [2,0 pts] Considere a regia˜o delimitada pelas para´bolas y = x2+1 e y = 3− x2. Fac¸a
um esboc¸o da regia˜o e calcule a a´rea dessa regia˜o.
Soluc¸a˜o: (0, 6pt se encontrar os pontos que as curvas se interceptam; 0, 4pt se fizer um esboc¸o
satisfato´rio da regia˜o que pretende encontrar a a´rea; 0, 6pt se montar a integral corretamente; 0, 4pt
se calcular o valor da a´rea)
Vamos encontrar os pontos em que as curvas se interceptam. Igualando temos
x2 + 1 = 3− x2 ⇒ 2(x2 − 1) = 0.
Portanto, o curvas se encontram nos pontos (−1, 2) e (1, 2). Segue na˜o so´ disso, que no intervalo
−1 ≤ x ≤ 1 temos 3− x2 ≥ x2 + 1. Veja o esboc¸o do gra´fico
Figura 2: Regia˜o entre as para´bolas
A =
∫ 1
−1
(3− x2)− (x2 + 1) dx
=
[
2x− 2x
3
3
]1
−1
=
8
3
.
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