AP2 MD2 2013.2 GABARITO

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II – 17/11/2013
Questa˜o 1: (4,0pts) Para a func¸a˜o f(x) = x
3
x2−1 fac¸a o seguinte:
a) Calcule o dom´ınio de f(x);
b) Calcule as ass´ıntotas de f(x);
c) Calcule f ′(x) e f ′′(x);
d) Fac¸a o estudo do sinal de f ′(x) e de f ′′(x) e diga o que isso significa em termos de f(x);
e) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f(x);
Soluc¸a˜o: a) (Vale 0, 5pt) O dom´ınio de f(x) sera´ todos os x ∈ R tais que o denominador seja
diferente de zero, isto e´, x ∈ R tais que x2 − 1 6= 0 que e´ equivalente a` x 6= ±1.
D(f) = {x ∈ R : x 6= ±1} .
b) (vale 1, 0pt sendo 0, 5pt para a ass´ıntota x = −1 e 0, 5pt para a ass´ıntota x = 1) Para determinar
as ass´ıntotas precisamos calcular os seguintes limites: x → −1, x → 1, x → +∞ e x → −∞.
Para calcular os limites precisamos fazer uma ana´lise semelhante a seguinte: para calcular o limite
x → −1 precisamos calcular: x → −1− e x → −1+. Ao calcularmos x → −1−, isto e´, o limite de
x3
x2−1 quando x se aproxima de −1 com valores inferiores a −1. Vemos que o numerador se aproxima
de −1 e o denominador x2− 1 se aproxima de 0 com valores > 0. Portanto, limx→−1− x3x2−1 = −∞.
Os outros limites seguem por fazer uma ana´lise semelhante.
lim
x→−1+
x3
x2 − 1 = +∞, limx→1−
x3
x2 − 1 = −∞ e limx→1+
x3
x2 − 1 = +∞.
Para verificar que se existem ass´ıntotas horizontais precisamos calcular x→ +∞ e x→ −∞, mas
lim
x→−∞
x3
x2 − 1 = limx→−∞
x3
x2
1
1− 1/x2 = +∞ e limx→−∞
x3
x2 − 1 = limx→−∞
x3
x2
1
1− 1/x2 = −∞.
Portanto, existem duas ass´ıntotas verticais x = −1 e x = 1; na˜o existem ass´ıntotas horizontais.
c) (Vale 1, 0pt, 0, 5pt para cada uma das derivadas) Calculando
f ′(x) =
3x2(x2 − 1)− x3(2x)
(x2 − 1)2 =
3x4 − 3x2 − 2x4
(x2 − 1)2 =
x2(x2 − 3)
(x2 − 1)2 ,
f ′′(x) =
[2x(x2 − 3) + x2(2x)] (x2 − 1)2 − [x2(x2 − 3)] [2x× 2(x2 − 1)]
(x2 − 1)4
=
2x (x2 + 3)
(x2 − 1)3 .
d) (Vale 1, 0pt. Sendo 0, 5pt para a ana´lise da 1a derivada e 0, 5pt para a 2a derivada) Quem controla
o sinal de f ′(x) e´ x2 − 3 que e´ uma para´bola com ra´ızes em −√3 e √3 e boca voltada para cima.
Enta˜o podemos dizer que f(x) e´ decrescente se −√3 < x < √3 e crescente nos outros valores. Ja´
para a ana´lise do sinal da 2a derivada no´s devemos observar que x2 +3 > 0 para todo x ∈ R. Segue
que
Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2
Portanto, a concavidade de f(x) e´ voltada para baixo se x < 1 ou se 0 < x < 1 e e´ voltada para
cima se −1 < x ≤ 0 ou se x > 1.
e) (0, 5pt se o esboc¸o esta correto) Iniciamos marcando as retas ass´ıntotas x = −1 e x = 1
Questa˜o 2: (2,0pts) Seja g(x) =
{
x2 + 2 se x < 1
2x+ 1 se x ≥ 1 . Mostre que g e´ deriva´vel em x0 = 1 e
calcule g′(1).
Soluc¸a˜o: (Se lembrar que precisamos calcular os limites laterais para cada uma das regras de g(x)
vale 1, 0pt. Calcular corretamente os limites vale 0, 5pt e concluir que g(x) e´ deriva´vel 0, 5pt.) Para
que g(x) seja deriva´vel em x0 = 1 basta que o limite limx→1
g(x)−g(1)
x−1 exista e como a func¸a˜o g
depende de duas regras para pontos pro´ximos ao ponto x = 1, precimos verificar que os limites
laterais existam e coincidem.
lim
x→1+
g(x)− g(1)
x− 1 = limx→1+
2x+ 1− 3
x− 1 = limx→1+
2(x− 1)
x− 1 = 2,
e,
lim
x→1−
g(x)− g(1)
x− 1 = limx→1−
x2 + 2− 3
x− 1 = limx→1−
(x− 1)(x+ 1)
x− 1 = 2.
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 3
Portanto, os limites laterais existem e coincidem enta˜o o limx→1
g(x)−g(1)
x−1 = 2, portanto, esta func¸a˜o
e´ deriva´vel em x = 1 e g′(1) = 2.
Questa˜o 3: (2,0pts) Calcule as seguintes integrais.
a)
∫ (
6x+ 6
√
x+
5
x6
)
dx
b)
∫
et + e−t
2
dt
c)
∫
x
√
x+ 5 dx
d)
∫ 2
1
8y3 + 3y2 dy
Soluc¸a˜o: (vale 0, 5pt cada uma das integrais quando calculadas corretamente) a)
∫ (
6x+ 6
√
x+
5
x6
)
dx =
∫ (
6x+ 6x
1
2 + 5x−6
)
dx = 4x3/2 − 1
x5
+ 3x2 +K.
b) ∫
et + e−t
2
dt =
1
2
∫
et + e−t dt =
1
2
(et − e−t) +K = e
t − e−t
2
+K.
c) Vamos fazer essa integral por mudanc¸a de varia´vel. Se chamarmos u = x + 5 ⇒ du = dx e
tambe´m que u− 5 = x enta˜o ∫ x√x+ 5 dx e´ substituida por∫
(u− 5)√u du =
∫
(u− 5)u 12 du
=
∫
(u
3
2 − 5u 12 ) du
=
2u5/2
5
− 10u
3/2
3
+K =
2(x+ 5)5/2
5
− 10(x+ 5)
3/2
3
+K.
d) ∫ 2
1
8y3 + 3y2 dy =
[
2y4 + y3
]2
1
= 37.
Questa˜o 4 (2,0pts) Calcule a a´rea da figura compreendida entre a para´bola y = x2 + 2x + 3 e a
reta y = 2x+ 4.
Soluc¸a˜o: (Vale 0, 5pt encontrar os pontos em que a reta e a para´bola se encontram +0, 5pt fazer um
esboc¸o do gra´fico +0, 5pt montar as integrais corretamente e 0, 5pt calcular corretamente a integral)
igualando a para´bola com a reta obtemos os valores de x em que as duas se interceptam, da´ı
x2 + 2x+ 3 = 2x+ 4⇔ x2 − 1 = 0⇔ x = −1 ou x = 1.
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 4
Fazendo um esboc¸o do gra´fico obtemos
Portanto, a a´rea e´ obtida por fazer∫ 1
−1
1− x2 dx = [x− x
3
3
]1−1 =
4
3
.
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