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Notas de Aula de Física 1182
S. R. DAHMEN
INSTITUTO DE FÍSICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
91501�970 PORTO ALEGRE RS
Versão 01/2017
2
Conteúdo
1 A Lei da Indução de Faraday 1
1.1 A Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Efeitos práticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Exemplo resolvido de cálculo de voltagem e corrente induzidas: Capítulo
30, problema 33 do Tipler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 A Indutância 7
2.1 A Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Auto-indutância e indutância mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Exemplo resolvido de cálculo da indutância: duas bobinas de diferentes
raios, concêntricas, uma dentro da outra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Efeitos práticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Circuitos AC: corrente alternada 15
3.1 Circuitos LRC (Indutor, Resistor, Capacitor) de corrente alternada. . . . . . . . 15
3.2 Reatâncias: resistências em um circuito CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Exemplos resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Circuito RLC em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Correntes e Voltagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6 Potência Dissipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.7 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.8 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
Capítulo 1
Geração de uma Voltagem pela
Variação de Campo Magnético
Objetivo: Discutir a Lei de Faraday e suas consequências.
1.1 A Lei de Faraday
Uma das leis mais importantes do eletromagnetismo é a Lei da Indução de Faraday. Ela
basicamente nos diz que é possível gerar uma voltagem no circuito sem a necessidade de uma
fonte de tensão (baterias, etc.). Basta mover um imã nas proximidades do circuito. Não importa
quem se move: podemos mover um circuito e deixar um imã parado ou vice-versa. Fisicamente
podemos entender isto de maneira simples: há elétrons livres no circuito. Sabemos que desde
que haja entre um elétron e um campo magnético
~B uma velocidade relativa, o elétron sofre a
ação de uma força:
~F = e~v × ~B (1.1.1)
A chave é a velocidade relativa: não importa se é o elétron que se move em relação à fonte de
campo magnético ou este último varia enquanto o elétron está, no nosso referencial, parado.
Em qualquer um dos casos surge uma força e os elétrons se move no fio. Em outras palavras
temos uma corrente. Obviamente poderíamos sair calculando as forças, as velocidades relativas
e determinar as correntes. Mas em se tratando do número gigantesco de elétrons livres num fio,
este cálculo não é factível. Devemos também lembrar que quando este fenômeno foi descoberto,
não havia ainda o conhecimento da estrutura atômica da matéria. Assim, Faraday, na sua
genialidade (ele é considerado por muitos o maior físico experimental que já viveu, face àquilo
que conseguiu com o material disponível na época) conseguiu relacionar a corrente que surge
num fio em termos da variação do fluxo magnético pela área do circuito. Ou seja, essa nossa
discussão pode ser formulada matematicamente como:
dΦB
dt
= −Vinduzida = −RIinduzida (1.1.2)
Traduzindo: a variação do número de linhas de campo magnético que atravessam a área que
o circuito define (se for uma espira circular, por exemplo, esta área vale piR2) induz uma
diferença de potencial na circuito � daí o nome Vinduzida. Como uma voltagem em um circuito
1
2 A Lei da Indução de Faraday
de resistência R vale V = RI, temos que a voltagem induzida provoca uma corrente circuito.
O nome induzida vem do fato que quem as induz (voltagem e corrente) é um campo magnético
variando no tempo. No texto de Dahmen e Gallas há uma ilustração de como calcular esta
corrente. É importante entender melhor esta expressão: não importa quão grande o campo
seja, ou quão grande a área da espira (ou seja, quão grande é o fluxo), pois a corrente que surgir
depende da variação temporal do fluxo. Em outras palavras, da derivada. A derivada pode
ser muito grande mesmo que a função a ser derivada tenha valores pequenos pois a derivada é
a declinação da curva e uma função pode mudar tão abruptamente que a derivada pode chegar
próximo de infinito (pensem na função escada, que tem uma derivada infinita onde a função
dá um salto). Fisicamente nunca haverá uma corrente infinita pois o número de elétrons é
limitado, mas o que quero chamar a atenção é que pode-se gerar altas voltagens, desde que o
campo
~B e consequentemente seu fluxo variem bruscamente. Por tradição histórica, quando
se fala em voltagem induzida, costuma-se escrever no lugar de V a letra grega ε pois esta
voltagem foi originalmente (e ainda hoje é) chamada de força εletromotriz. Normalmente os
físicos reservam a letra V para designar uma voltagem gerada por baterias, distribuições de
cargas, etc. e ε para se referir exclusivamente a uma voltagem obtida através da variação de
um campo magnético. A grandeza ΦB é o chamado fluxo magnético, e definido por∫
~B · d ~A (1.1.3)
sobre a superfície da espira. No caso simples em que
~B é um campo uniforme (a maioria das
situações que trataremos) e o campo faz um ângulo θ com a vertical à superfície, a expressão
acima se reduz à
BA cos θ (1.1.4)
Esta grandeza tem unidade de (Tesla x metro quadrado) mas por conveniência ela é chamada
também de Weber (Wb). Outro detalhe importante é o sinal de − na Lei de Faraday. Ela
significa o seguinte: um fluxo variando produz uma corrente numa espira. Agora, esta corrente
induzida por sua vez produz também um campo magnético. Teremos assim 2 campos mag-
néticos: um que provoca a corrente induzida (campo original) e outro que a própria corrente
induzida produz (campo secundário). O sinal negativo da equação significa: a corrente indu-
zida será sempre de tal maneira a gerar um campo secundário que se opõe à variação do campo
original. Por exemplo, se o campo original está com um fluxo que diminui, a corrente induzida
vai ser tal a criar um campo que tenta aumentar este fluxo. Em resumo, se o fluxo original
cai, a corrente induzida produz um fluxo que se adiciona para ele não cair. Se o fluxo original
aumenta, a corrente induzida produz um fluxo que seja contrário ao fluxo original, pois não
quer que ele cresça.
1.1.1 Efeitos práticos
1) Um dos efeitos mais importantes deste fenômeno é que ele é usado para gerar corrente em
usinas hidro ou termoelétricas (ou mesmo nos geradores de prédios, a diesel, ou no alternador
do carro, que fornece eletricidade quando o motor do veículo está ligado). O processo é simples
(não nos referimos aqui à complexidade dos equipamentos, mas ao princípio fisico em si). Um
imã é fixado a um eixo móvel que permita que ele gire em torno do mesmo, como na roda de
um veículo. No entorno deste imã há bobinas, fixas. Ao girarmos o eixo, o imã nele preso
1.1 A Lei de Faraday 3
gira junto e há um fluxo variável de campo magnético pelas bobinas. Surge uma voltagem
induzida nas bobinas e consequentemente uma corrente. É esta voltagem que recebemos em
nossos lares. O que diferencia uma usina de outra é o tipo de energia mecânica usada para
mover o imã. Usinas hidroelétricas acoplam o eixo a uma turbina, movida pela queda da água
do reservatório. Nasusinas termoelétricas usa-se vapor a alta pressão para mover a turbina
(o combustível queimado por ser qualquer combustível fóssil). A usina nuclear também usa a
fissão do U235, que é uma reação nuclear exotérmica, para gerar vapor e mover turbinas. Usinas
eólicas usam a força dos ventos, bem como usinas baseadas em marés. Os painéis solares usam
outro fenômeno físico e não a lei de Faraday.
2) Um efeito deletério é o das correntes parasitas, que os físicos chamam de correntes de Fou-
cault. Qualquer fiação de um aparelho eletrodoméstico pelo qual passa uma corrente gera um
campo magnético (a fonte de campos magnéticos são correntes). Porém há partes metálicas de
aparelhos que se movem (pensem em qualquer aparelho tipo uma batedeira, um liquidificador,
por exemplo). Surgirão nestas partes metálicas móveis correntes induzidas pois elas se mo-
vem em relação a campos magnéticos gerados por determinados fios do aparelho. Os elé trons
nestas partes móveis do aparelho sofreram forças de Lorentz e se moverão, gerando correntes.
Como metal tem resistência, qualquer peça metálica onde apareçam correntes parasitas haverá
dissipação de energia na forma de calor. O objetivo de um liquidificador, por exemplo, não
é esquentar o alimento mas sim triturá-lo. Em outras palavras, estas correntes 'sugam' parte
da energia útil fornecida ao sistema dissipando-a numa forma de energia não desejável, daí
o nome de correntes parasitas. Para combater isto o que normalmente se faz é, na medida
do possível, substituir partes metálicas por materiais não condutores ou na impossibilidade
disto ser feito, aumentar a resistência destas partes móveis de tal maneira a corrente induzida
ser bem pequena. Não é necessário usar nenhuma liga metálica especial: se você pegar uma
chapa metálica, por exemplo, e fizer nela vários furos, sua resistência aumenta e as correntes
de Foucault diminuem significativamente.
1.1.2 Exemplo resolvido de cálculo de voltagem e corrente induzidas: Ca-
pítulo 30, problema 33 do Tipler
Enunciado: uma espira retangular de 10 cm por 5 cm, representada na Figura (1.1), tem uma
resistência de 2,5 Ω atravessa uma região onde existe um campo magnético uniforme de valor
B = 1, 7 T, com uma velocidade de v = 2, 4 cm/s (ver figura). A extremidade dianteira da
espira entra na região onde existe este campo magnético no instante t = 0 s. (a) Determine
o valor do fluxo através da espira em função do tempo (equação e gráfico). (b) Determine
os valores da tensão e corrente induzidas em função do tempo (equações e gráficos). Faça os
gráficos de t = 0 até t = 16 s.
Resolução O enunciado do problema ja é feito de modo a nos indicar o caminho de resolução.
Primeiro temos que calcular o fluxo magnético. Como o plano da espira e o campo B são
perpendiculares, o fluxo é simplesmente
Φ = B ×Área (1.1.5)
4 A Lei da Indução de Faraday
x
v
B
5 cm
20 cm
10 cm
Figura 1.1: Uma espira retangular de 10 cm x 5 cm e resistência de 2,5 Ohms entra numa região onde
há um campo magnético B constante de 1,7 Tesla, apontando para fora da página. Esta espira tem
velocidade v igual a 2,4 cm/s e a variável x = x0 +vt mede o quanto dela já entrou na região do campo.
onde a área é a parte da área total da espira que se encontra dentro da região onde há campo
magnético. Veja a Figura (1.1). Supondo que a espira tenha uma altura y e a parte dentro
da região de campo um comprimento x, esta área é simplesmente y × x. A única coisa que
devemos notar é que o valor de x aumenta segundo a relação
x = x0 + vt (1.1.6)
pois a espira está se movendo com velocidade v = 2, 4 cm/sr . Podemos tomax0 = 0 pois no
instante t = 0, quando começamos a contar a entrada da espira na região de campo, ela não
entrou ainda. Logo podemos calcular o fluxo como sendo
Φ = Byx = Byvt (1.1.7)
(a) Para agora determinarmos valores numéricos, é preciso levar em conta o seguinte. Enquanto
a espira está entrando na região de campo, há um aumento do fluxo pois a área da espira dentro
da região está aumentando. Como ela tem 10 cm de comprimento, passado um tempo
∆t =
10 cm
2, 4 cm/s
= 4, 16 s (1.1.8)
ela estará completamente dentro da região onde há um campo. Daí, enquanto ela está to-
talmente dentro, não há variação do fluxo por ela e portanto não haverá corrente induzida.
Podemos entender isto imaginando que o mesmo número de linhas de campo que entram pela
face dianteira da espira saem pela face traseira, de modo que o número de linhas de campo
é constante. Quanto ela entrou completamente, a extremidade da frente está a 10 cm do fim
da região de campo, ou seja, ela leva mais 4, 16 s para começar a sair. Durante este tempo
o fluxo não muda. Em resumo, teremos 4, 16 s de aumento de fluxo, 4, 16 s de fluxo cons-
tante e, sendo a velocidade constante, 4, 16 s para que ela saia completamente da região onde
existe campo magnético. Até que saia completamente, o fluxo estará diminuindo e a corrente
1.1 A Lei de Faraday 5
fluxo aumenta fluxo diminuifluxo constante
t (s)
0 4,16 8,32 12,48
Figura 1.2: Desenho qualitativo do gráfico da variação do fluxo.
t (s)
0 4,16 8,32 12,48
(Wb)Φ
8,32
Figura 1.3: Gráfico do fluxo magnético do problema da espira retangular. O eixo vertical está em
escala de 10−3 Wb.
induzida será o contrário de quando a bobina estava entrando, pois a lei de Faraday diz que
a corrente induzida é contrária à variação do fluxo (o sinal negativo da equação). Aumentar
significa derivada positiva (e portanto corrente negativa). Diminuir significa derivada negativa
(e portanto corrente positiva). Podemos entender isto na figura (1.2).
O valor do fluxo é (figura 1.3)
Φ = (1, 7T )× (0.05m)× (0, 024t) = 2, 04× 10−3 Wb (1.1.9)
(b) A voltagem e corrente induzidas valem (figura 1.4):
|ε| = dΦ
dt
= 2× 10−3 V olts (1.1.10)
I =
ε
R
=
2× 10−3V
2, 5Ω
= 8× 10−4 Amp (1.1.11)
Notem nestas expressões que calculamos os valores da voltagem induzida ε e corrente induzida
I sem levarmos em conta seus sinais, apenas seus módulos. No primeiro intervalo de tempo
(até 4,16 segundos) o fluxo aumenta (derivada positiva), logo a voltagem será negativa. No
intervalo intermediário não há variação de fluxo e a voltagem cai pra zero. No último intervalo
o fluxo diminui (derivada negativa), logo a voltagem será positiva. O mesmo ocorre com a
corrente, como podem ser vistas na figura 1.4.
6 A Lei da Indução de Faraday
V
I
2
− 2
8
− 8
t (s)
t (s)
4,16
4,16
8,32
8,32
12,48
12,48
Figura 1.4: Gráfico da voltagem e corrente induzidas na espira retangular. A escala de voltagem é de
10−3 Volts e a de corrente é 10−4 Amp
1.2 Problemas propostos
1.) Considere a mesma espira entrando na mesma região onde todos os valores são mantidos
iguais. Só que agora, a velocidade v, ao invés de ser uma velocidade constante, é a velocidade
da espira em queda livre, partindo do repouso (ou seja, pense no desenho virado onde v agora
aponta na direção do centro da Terra. Então, soltamos a espira e a deixamos cair dentro da
região do campo). Considere queda no instante inicial t = 0 a base da espira está começando a
entrar na região de campo e ela parte do repouso, ou seja, com v0 = 0. Considere a aceleração
da gravidade como sendo g = 10 m/s2. Determine a voltagem induzida e a corrente induzida.
Dica de resolução: como no exemplo anterior resolvido, você tem 3 intervalos. Determine
quanto tempo a espira demora para entrar completamente na região do campo, quanto tempo
ela passa inteiramente dentro da região e depois quanto tempo ela leva para sair. Como ela
está acelerada, diferente do problema anterior, ela gasta tempos diferentes para entrar, ficar
dentro e sair. Achados estes intervalos, use a fórmula do fluxo para determiná-lo e a Lei de
Faraday para achar as correntes e voltagens induzidas. Um ponto a notar e pensar: quandoa
espira está totalmente dentro do campo e acelerando, o fluxo aumenta ou não há diferença do
caso onde a velocidade é constante?
Capítulo 2
Substituindo fluxos pelas correntes que
geram os fluxos: a indutância
Objetivo: O objetivo deste capítulo é um que encontramos constantemente em teorias físicas,
a saber, reescrever uma lei da natureza em termos de grandezas mais acessíveis à medidas, para
que assim possamos utilizá-la na prática (num laboratório ou no projeto de um equipamento
de uso cotidiano). Vamos entender como é possível na prática obter voltagens induzidas com
valores por nós especificados (por exemplo, uma voltagem que possamos usar em nossos lares).
Para isto introduziremos o conceito de indutância.
2.1 A Indutância
A Lei de Faraday sem dúvida é das mais importantes e úteis da Física, mas ela tem num pro-
blema prático: normalmente não conhecemos os campos magnéticos (seus valores) e portanto
não temos como calcular o fluxo, apenas em casos muito particulares de campos constantes,
como vimos no capítulo anterior. Neste caso o cálculo do fluxo se torna trivial. Porém, no
dia-a-dia, campos magnéticos são gerados por correntes (que aprendemos a calcular usando a
Lei de Biot-Savart) e raramente utilizamos imãs. Isto nos leva a concluir que podemos tentar
reescrever a lei de Faraday não em função do campo magnético que induz uma voltagem mas da
corrente que está produzindo o campo magnético. Em outras palavras, é possível reformular a
Lei de Faraday, escrevendo-a não em termos da variação do fluxo magnético mas da corrente
que gera aquele fluxo.
A definição é simples: como um fluxo é proporcional ao campo magnético que o gera e o
campo magnético proporcional à corrente que o gera, então podemos simplesmente escrever:
sendo ΦB ∝ B e B ∝ I, concluimos que ΦB ∝ I (2.1.1)
em outras palavras
ΦB = LI (2.1.2)
onde L é a constante de proporcionalidade entre o fluxo e a corrente que, em última instân-
cia, é o agente gerador do fluxo. Esta grandeza L é chamada de indutância. Há casos que
7
8 A Indutância
conseguimos calcular a indutância explicitamente (vamos ver alguns exemplos) mas há outros
que simplesmente conseguimos medí-la ao comparar a corrente que gera o campo e a corrente
induzida. Como assim?
Bem, partindo da lei de Faraday apresentada no capítulo anterior
dΦB
dt
= −Vinduzida = −RIinduzida (2.1.3)
podemos simplesmente escrever, já que estamos afirmando que o fluxo é Φ = LI, que
dΦB
dt
=
d
dt
(LI) = −Vinduzida = −RIinduzida (2.1.4)
É muito importante notar nesta expressão que temos duas correntes diferentes: uma corrente I
num circuito que gera o B (por isso chamamos este circuito de circuito primário) e a Iinduzida
numa espira pela variação de B (por isso chamada de circuito secundário). Agora, experi-
mentalmente é possível mostrar que a indutância L é uma grandeza que depende apenas da
forma geométrica do circuito e de constantes universais, e portanto pode ser tirado pra fora da
integral:
dΦB
dt
= L
dI
dt
= −Vinduzida = −RIinduzida (2.1.5)
Isto é a Lei de Faraday escrita numa forma mais prática, pois se usamos uma corrente primária
para induzir uma corrente secundária em outro circuito, basta medirmos as duas correntes e
teremos o valor da indutância, cuja unidade é denominada Henry.
Antes de vermos um exemplo de como calcular a indutância, façamos ainda uma breve
discussão de um detalhe bastante sutil desta definição.
2.1.1 Auto-indutância e indutância mútua
A definição de indutância, como vimos, é simplesmente
ΦB = LI (2.1.6)
A indutância basicamente nos diz o quanto um circuito influencia magneticamente o outro. A
sutileza desta fórmula vem do fato que normalmente conhecemos I (em princípio basta medí-la
com um amperímetro) e em alguns casos interessantes temos como calcular L. Mas a quem
a quem se refere o fluxo? Em outras palavras, fluxo sobre quem? Na seção anterior, falamos
de um circuito primário, cuja corrente gera um campo, e um circuito secundário, que sente
o campo do outro circuito. Neste caso o fluxo magnético é aquele sentido pelo secundário.
Porém, pensemos num exemplo simples: uma espira gera um campo B quando nela passa
uma corrente I. Mas este campo atravessa não apenas qualquer circuito que estiver próximo
(qualquer circuito secundário), mas também a própria espira que gera o campo. Em outras
palavras: uma circuito gera um fluxo magnético sobre si mesmo. Portanto, quando definimos o
fluxo ΦB acima, devemos deixar claro sobre qual ΦB estamos falando: o fluxo sobre o circuito
gerador do campo, quer dizer, o fluxo sobre si próprio ou o fluxo que ele faz sobre terceiros.
2.1 A Indutância 9
Para diferenciar então o �auto-fluxo� do fluxo sobre terceiros, usamos a expressão auto-
indutância para nos referirmos ao fluxo que o circuito faz sobre sua própria área � e usamos
a letra L para esta grandeza � e a expressão indutância mútua quando estamos falando do
fluxo que um circuito faz sobre outro � e para esta grandeza usamos a letra M , para ficar claro
nas fórmulas sobre quem está influenciando quem. Basicamente escrevemos assim
ΦB = LI (2.1.7)
ΦB = MI (2.1.8)
Quando vemos a primeira equação imediatamente sabemos que estamos falando do fluxo de
um espira sobre si própria. Quando vemos a segunda, sabemos que o ΦB não se refere à
mesma espira por onde passa I. Vamos imaginar então o caso geral em que temos 2 circuitos,
atuando mutuamente um sobre o outro. Imaginemos que no primeiro passe uma corrente I1 e
no segundo passe uma corrente I2, e que eles estejam próximos o suficiente para que um sinta
a ação do outro. Se perguntarmo-nos qual o fluxo Φ1 que o primeiro circuito sente, podemos
escrever
Φ1 = L1I1 +M1,2I2 (2.1.9)
O que esta expressão nos diz é simples: o fluxo que uma espira sente tem duas contribuições:
a de seu próprio campo B1, que é proporcional a sua própria corrente I1, intermediada pela
sua auto-indutância L1. Mas também ele sente o campo da outra espira, B2, pela qual passa
uma corrente I2, e esta influência é medida pela indutância-mútua M1,2. Analogamente, para
o fluxo que a bobina 2 sente, teremos
Φ2 = L2I2 +M2,1I1 (2.1.10)
O que mostraremos nas próximas linhas é que M1,2 = M2,1, quer dizer, a 'influência' de 1
sobre 2 é exatamente igual a de 2 sobre 1. Embora mostraremos isto num exemplo simples, o
resultado é geral, motivo pelo qual normalmente se deixa os índices 1 e 2 de lado e só se usa a
letra M .
2.1.2 Exemplo resolvido de cálculo da indutância: duas bobinas de diferen-
tes raios, concêntricas, uma dentro da outra.
Olhemos para o exemplo ilustrativo de uma bobina dentro da outra. O desenho 2.1 é uma re-
presentação esquemática de uma bobina cilíndrica (solenóide reto) de raio R1 e comprimento l1
circundando outra bobina de raio menor R2 e comprimento l2. Cada uma tem respectivamente
N1 e N2 voltas de fios. Vamos calcular a indutância mútua e a auto indutância de uma delas.
1) Como proceder: pela definição, calcular a indutância é o equivalente a calcular o fluxo.
Para sabermos o fluxo, basta supormos que passa uma corrente I em um dos solenóides. Pre-
cisamos calcular então a) o campo B, para um dado I e b) o fluxo, que é o produto de B pela
área onde passa o campo.
Para um solenóide reto de comprimento l e N voltas, pelo qual passa uma corrente I,
o campo magnético em seu interior é uniforme (estamos supondo que o solenóide possa ser
10 A Indutância
aproximado de um solenóide ideal) e não há campo do lado de fora. Neste caso
B =
µ0 N I
l
= µ0nI (2.1.11)
onde pode-se usar o número de voltas de fio por unidade de comprimento da bobina, n. Vamos
olhar os 2 casos possíveis, quando passa corrente na bobina maior e quando passa corrente na
bobina menor, ilustradas no lado esquerdo e direito da figura 2.2.
Caso 1: corrente I1 na bobina maior.
Quando passa corrente na maior, égerado um campo B1 de acordo com a equação acima.
Este campo vai produzir um fluxo na bobina menor. Toda a bobina menor, isto é, toda sua
área, vai ser perspassada por um campo B1, logo concluiríamos que o fluxo seria
φ2 = B1 × pi R22 = µ0 N1 I1
l1
× pi R22 (2.1.12)
Porém não podemos nos esquecer que cada uma das N2 voltas da bobina 2 tem uma área
pi R2
2
e cada uma destas voltas é atravessada por um fluxo devido ao campo uniforme B1.
Logo, devemos multiplicar o resultado acima por N2 para finalmente obtermos
Φ2 = N2 × φ2 = N2 × µ0 N1 I1
l1
× pi R22 = µ0 N1 N2 pi R2
2
l1
× I1 = M2,1I1 (2.1.13)
Tudo na expressão acima que multiplica I1 é, por consequência, a indutância mútua.
Caso 2: corrente I2 na bobina menor.
Neste caso, devemos tomar um pequeno cuidado. O cálculo de B2 é trivial (só usar a
fórmula). Devemos multiplicar o fluxo em cada volta da bobina maior por N1, pois há N1
voltas. O cuidado diz respeito a área usada: embora a bobina maior tenha uma área (seção
reta) igual a pi R1
2
, apenas uma fração desta área é atravessada por um campo magnético B2.
Isto ocorre pois estamos considerando uma bobina ideal, para qual não existe campo fora dela.
Assim o campo B2 só existe dentro da bobina menor, numa área igual à pi R2
2
. Assim no caso
2 o fluxo Φ1 na bobina 1 devido a uma corrente I2 na bobina 2 vale
Φ1 = N1 × φ1 = N1 × µ0 N2 I2
l2
× pi R22 = µ0 N1 N2 pi R2
2
l2
× I2 = M1,2I1 (2.1.14)
Vamos discutir este resultado.
i. Primeiramente, há uma diferença no denominador das duas expressões que obtivemos
para M1,2 e M2,1, pois um denominador é l1 e outro l2. Assim parece que a afirmação
anterior queM1,2 eM2,1 sejam iguais parece estar errada. Na verdade não. O ponto é que
imaginamos 2 solenóides de tamanhos diferentes e usamos resultados de bobinas ideais.
Este resultado que obtivemos só faz sentido se os solenóides forem infinitamente longos,
em cujo caso l1 e l2 tendem a infinito e portanto não há diferença em seus comprimentos.
Assim podemos usar sempre este resultado usando um só valor numérico de l, ou seja,
l = l1 = l2. É possível provar, rigorosamente, usando alguns cálculos mais avançados,
que a indutância mútua é sempre igual.
2.1 A Indutância 11
ii. Foi dito no início deste capítulo que a idéia de se introduzir a indutância era estudar uma
lei da natureza (neste caso a Lei de Faraday) em termos de grandezas mais acessíveis de
mensuração (pois não sabemos medir fluxo magnético). Porém, para calcular a indutância
no exemplo acima tivemos que calcular o fluxo, o que justamente estávamos tentando
evitar. Qual a vantagem então em introduzir mais uma grandeza se no final acabamos
tendo que usar um fluxo magnético para calculá-la? A resposta é uma questão prática:
o exemplo acima é um dos raros exemplos em que conseguimos calcular a indutância
exatamente, de forma analítica. Ela serve apenas como ilustração para mostrar que a
indutância mútua é igual (quer 1 sofra influência de 2 ou 2 de 1) e também para ilustrar
que a indutância só depende da geometria. No dia-a-dia a indutância facilita nossa vida:
como uma corrente induzida é proporcional, pela Lei de Faraday, à variação temporal de
uma corrente primária, sendo que a constante de proporcionalidade é a indutância, então
basta medir correntes para assim termos acesso direto ao valor da indutância. Olhem
para a expressão
L
dI
dt
= −Vinduzida = −RIinduzida. (2.1.15)
Se tivermos um osciloscópio para medir a Vinduzida num canal e a V associada à corrente
I no outro canal, podemos achar um valor numérico para a indutância.
Caso 3: auto-indutância
Este caso é simples. Basta substituir na expressão os valores relativos a uma única bobina
(tomemos a bobina 1). Neste caso temos
Φ1 = N1 × φ1 = N1 × µ0 N1 I1
l1
× pi R12 = µ0 N1
2pi R1
2
l1
× I1 = L I1 (2.1.16)
2.1.3 Efeitos práticos
A indutância e auto-indutância (particularmente esta) se mostra presente no dia-a-dia em
nossos lares, em nossos aparelhos eletro-eletrônicos. Mesmo que desprezemos esta questão
do efeito que um circuito pode ter sobre outro, um circuito sempre tem um efeito (via auto-
indutância) sobre si mesmo. Há um detalhe muito importante a notar: a Lei de Faraday só
se aplica a correntes que variam no tempo. A indutância não faz sentido para circuitos de
corrente contínua, pois embora uma corrente SEMPRE gere um campo magnético e este um
fluxo, só vai haver variação de fluxo � e portanto corrente induzida � se o campo magnético
variar, o que é o mesmo que dizer que a corrente que o gera está variando no tempo.
Como podemos ver isto no dia-a-dia? Bem, qualquer aparelho que trabalha sobre uma
tensão 110 V (ou 220 V) alternada vai ter circulando por si uma corrente alternada. Como
todo circuito tem auto-indutância, isso significa que durante o funcionamento normal de um
eletrodoméstico, haverá sempre dentro dele, além da corrente produzida por esta tensão, uma
corrente induzida segundo a lei de Faraday. Ou seja, a corrente efetiva no circuito é uma
combinação de 2 correntes: a corrente direta, produzida pela tensão alternada, e a corrente
induzida, produzida pela mudança da primeira corrente. Aparelhos são projetados para isto.
12 A Indutância
R1
1
2
N2 Voltas
N1 Voltas
R2
l
l
Figura 2.1: Desenho esquemático de uma bobina reta ideal (solenóide) de raio maior R1 que tem,
dentro de si, uma bobina menor, de raio R2. Elas têm N1 (N2) voltas e comprimentos l1 (l2).
Campo B1
R2R1
Campo B2
Campo B1
Caso 1 Caso 2
Figura 2.2: Desenho esquemático de duas situações para o cálculo da indutância, olhando ao longo
do eixo das bobinas. A bobina maior é desenhada em preto, a menor em azul. No primeiro caso, uma
corrente I1 gera um campo B1 na bobina maior (hachurado cinza dentro da bobina maior) e este fluxo
atravessa a bobina menor, que se encontra dentro dela. Note que sendo ideal, só há campo DENTRO
da bobina. No segundo caso, a bobina menor é percorrida por uma corrente I2, o que provoca um
campo B2 (hachurado azul) no seu interior. Isto provoca também um fluxo na bobina maior, mas note
que só uma fração de pi R2
2
da área total pi R1
2
da bobina maior sente a presença de um fluxo. O resto
da área não conta para o cálculo do fluxo na bobina 1.
2.2 Problemas propostos 13
Um problema pode surgir ao conectar um aparelho ligado na tomada. Vocês já devem ter
notado o surgimento de uma faísca. Um eletricista diria que isso ocorre pois há carga na linha.
Mas exatamente o que está ocorrendo e o que isto tem a ver com a Lei de Faraday?
Basicamente o que ocorre é o seguinte: se o aparelho está com o botão de liga-desliga no
ON, ao colocá-lo na tomada ele imediatamente fechará um circuito com a rede elétrica da casa
e quase que instantaneamente surgirá uma corrente que o faz funcionar. O problema é que essa
variação de corrente é muito brusca (muito mais rápida que o período de oscilação normal da
rede, que é de 0.016 s, tempo correspondente a uma frequência de 60 Hz). Como a corrente
induzida (ou voltagem induzida) é proporcional à taxa de variação da corrente direta, se a
corrente sai do zero e vai muito rapidamente para um valor diferente de zero, a corrente e
voltagem induzidas pode ser muito altas, tão altas que elas provocam uma faísca no ponto de
fechamento do circuito (a tomada). Portanto a regra é a seguinte: nunca coloque um aparelho
com o botão em LIGADO (ou ON) na tomada. Certifique-se que ele está desligado e só o
ligue depois, quando já estiver na tomada. Isso também pode provocar a queima de aparelhos
quando existe uma �power surge� na rede, tipo um raio ou mesmo a volta da energia elétrica
depois que nossa rua ficou algum tempo sem energia. Quando a energia volta, ocorre a mesma
coisa. Num átimo, a voltagem de nossa rede elétrica vai de zero para um valor diferente de zero
(maisrápido do que o tempo para o qual ela é projetada, que é o tempo relativo à frequência de
60 Hz, como dito acima). Quando a rede elétrica volta, se houver algum aparelho ligado, pode
haver uma corrente induzida muito alta que leva à queima do mesmo. Assim, depois de uma
parada de luz, é bom desligar alguns aparelhos. Evidentemente há aparelhos que não podem
ser desligados (como geladeiras, etc.) mas estes normalmente tem dispositivos de segurança
para evitar este tipo de problema.
2.2 Problemas propostos
Os seguintes problemas são os problemas 49, 50 e 51 do Tipler, 4a. edição.
1.) Uma bobina tem auto-indutância de 8, 0 H e é percorrida por uma corrente de 3, 0 A
que está variando a uma razão de 200 A/s. Determine (a) o fluxo magnético através da bobina;
(b) a tensão induzida na bobina.
2.) Uma bobina de auto-indutância L é percorrida por uma corrente dada por I =
I0 sin(2pift). Faça um gráfico do fluxo φ e da tensão induzida V como função do tempo
(o desenho pode ser esquemático, feito à mão, mas não se esqueça de colocar grandezas nos
eixos, com amplitudes máximas em função dos dados da questão).
3.) Um solenóide tem 25 cm de comprimento, 1 cm de raio, 400 espiras e é percorrido por
uma corrente de 3 A. Determine (a) o campo B dentro do solenóide, supondo-o ideal; (b) o
fluxo magnético dentro do solenóide (se ele é ideal, B é uniforme); (c) a auto-indutância do
solenóide; (d) a tensão induzida no solenóide quando a corrente varia à razão de 150 A/s.
14 A Indutância
Capítulo 3
Circuitos AC: Corrente Alternada
Objetivos: Entender as peculiaridades de um circuito de corrente alternada, contendo resis-
tores, capacitores e indutores (bobinas).
3.1 Circuitos LRC (Indutor, Resistor, Capacitor) de corrente
alternada.
Poderíamos imaginar que a teoria de circuito que aprendemos poderia ser usada também
quando colocamos estes sob a ação de uma voltagem alternada (como a tomada em nossos
lares). Ela pode mas há certos limites na sua aplicabilidade, pois se a voltagem varia no
tempo, surgem efeitos interessantes que estão ausentes em circuitos submetidos a uma tensão
contínua.
A principal característica é o tempo de resposta dos elementos de um circuito sujeitos a uma
voltagem alternada. O que quero dizer com isso? É bem simples: sem entrarmos em muitos
detalhes matemáticos, o que faremos oportunamente, a questão toda se reduz a três pontos.
i. Resistores: não há nada de especial em relação ao resistor e ao fato dele ser submetido
a uma tensão contínua ou alternada. Imaginem a Lei de Ohm aplicada a um circuito
com uma fonte de tensão e uma resistência. Sabemos que vale a regra
V = RI (3.1.1)
Se a voltagem for do tipo
V (t) = Vmax sin(ωt) = Vmax sin(2pift) (3.1.2)
concluímos que, se vale a lei de Ohm (e ela vale!) e sendo a resistência R algo que não
depende do tempo, teremos
I(t) =
V (t)
R
=
Vmax
R
sin(ωt) = Imax sin(2pift) (3.1.3)
Ou seja, temos a mesma função para as duas variáveis, apenas com amplitudes diferentes.
Dizemos que em um resistor a corrente e a voltagem sempre estão em fase. Isto
está ilustrado na parte A da Figura 3.1. As duas andam juntas o tempo todo.
15
16 Circuitos AC: corrente alternada
Figura 3.1: Uma ilustração da voltagem e da corrente em um resistor submetido a uma tensão alter-
nada.
Vale lembrar que a voltagem em nossas redes é de 110 (ou 220) Volts. Como já pude
explicar anteriormente, quando nos referimos a estes valores estamos falando daquilo que
aparece na leitura de um multímetro, e este mostra sempre o valor quadrático médio. O
valor quadrático médio de uma função é sempre usado para calcular a média de funções
periódicas, particularmente aqueles que tem porções positivas e negativas: no caso do
seno ou cosseno, a função é metade do período positiva, metade negativa. Isso significa
se fôssemos ler exatamente a média da função, teríamos como resultado sempre 0. Usamos
então um truque: tomamos o quadrado da função, que por definição é sempre positivo,
e fazemos a média deste quadrado. Daí tiramos a raiz quadrada. O que sobra é a
raiz quadrática média, e este valor que os aparelhos nos mostram. Por isso se fala no
valor rms de uma grandeza, a sigla em inglês para 'root mean square' (se vocês já se
perguntaram o que é aquele rms que aparece em muitos aparelhos, aí está a explicação).
Vamos recalcular a Vrms no caso de voltagens que são funções senoidas ou cossenoidais
(chamadas normalmente de funções harmônicas). A média f¯ de qualquer função temporal
f(t), independente de ser harmônica ou não, é sempre definida via
f(t) =
1
T
∫ T
0
f(t′)dt′ (3.1.4)
No caso de funções periódicas, T é o período da função. Já para funções não periódicas
mas que variam no tempo, T representa um intervalo de tempo que escolhemos livremente.
Calculando então a média do quadrado da voltagem temos:
V 2(t) =
1
T
∫ T
0
V 2max sin
2(2pift′) dt′ (3.1.5)
=
1
T
∫ T
0
V 2max sin
2(2pit′/T ) dt′ (3.1.6)
=
1
T
V 2max
∫ T
0
sin2(2pit′/T ) dt′ (3.1.7)
=
V 2max
2
. (3.1.8)
3.1 Circuitos LRC (Indutor, Resistor, Capacitor) de corrente alternada. 17
pois a integral dá simplemesmente T/2. Como a definição da raiz quadrática média é
frms =
√
f2(t) −→ Vrms =
√
V 2(t) (3.1.9)
obtemos finalmente
Vrms (ou Irms) =
Vmax√
2
(ou =
Imax√
2
) (3.1.10)
Assim, se quisermos representar a voltagem de nossos lares (digamos 110 Volts) pela
fórmula devemos escrever
V (t) = Vmax sin(2pift) (V olts) (3.1.11)
= 155 sin(2pi × 60× t) (V olts) (3.1.12)
= 155 sin(377t) (V olts) (3.1.13)
Esta é a equação matemática que representa a voltagem numa tomada 110. O valor da
voltagem máxima é
√
2Vrms =
√
2 × 110 = 155. Do mesmo modo temos ω = 2pif =
2pi × 60 = 377.
Um outro detalhe muito importante. As pessoas muitas vezes se confundem, quando
olham para uma função harmônica, com o que realmente representa o período, a frequên-
cia e a fase da função. A figura abaixo tenta ilustrar isso.
Figura 3.2: Uma função harmônica. O fato de ela ser um seno ou cosseno puro depende da fase ∆ϕ.
A figura ilustra a função x(t) = xmax sin(t+ ∆ϕ). Se ∆ϕ = 0 temos a função seno pura. Se ∆ϕ = 90
◦
a função é um cosseno puro. Isto explica graficamente o resultado sin(t + 90◦) = cos t. Observe que
uma fase positiva é o mesmo que deslocar a função para a esquerda � na direção do eixo x negativo.
Uma fase negativa corresponde a deslocamento da função na direção oposta.
Basicamente podemos entender a fase assim: se ela for positiva, ela 'joga' a função para
trás (esquerda) ou, o que é a mesma coisa, faz um shift do eixo y para frente. Se voce
tem uma fase negativa, é como se movesse a função para frente (direita) ou, o que é
18 Circuitos AC: corrente alternada
equivalmente, arrastasse o eixo y para trás. Assim a função sin(t + 90◦) nada mais é
que uma função seno deslocada de 90◦ para a esquerda (y para a direita) , em cujo caso
a figura fica idêntica ao gráfico de um cosseno. Por isso temos o resultado conhecido
que sin(t + 90◦) = cos t. O período é o tempo, em segundos, necessário para a função
executar um ciclo completo, ou seja, sair de um dado valor e retornar ao mesmo valor
depois de passar por um máximo e um mínimo. A frequência, que matematicamente é o
inverso do período, pode ser interpretada como o número de ciclos que cabem dentro de
1 segundo. Assim, por exemplo, uma onda de 2 Hz de frequência tem 2 ciclos completos
em 1 segundo. Portanto seu período é de 0,5 segundos. Da mesma maneira uma onde
de frequência 0,5 Hz realiza metade de um ciclo em 1 segundo e portanto necessita de 2
segundos para um período completo. Existe uma definição análoga para comprimento de
onda e seu inverso, o número de onda. Este é definido como o inverso do comprimento
de onda e representa o número de ondas que �cabem�em uma unidade de comprimento.
3.1 Circuitos LRC (Indutor, Resistor, Capacitor) de corrente alternada. 19
ii. Capacitores: lembrem-se que vimos em um laboratório que o capacitor leva um certo
tempo para carregar e descarregar. Isso é simples de entender se ele estiver ligado a uma
bateria. Se esperarmos um tempo suficiente, e tivermos uma resistência para limitar a
corrente, ele eventualmente carregará e daí pra frente não acontece mais nada no sistema.
A corrente cessa. Porém, ao colocarmos uma voltagem alternada, de frequência 60 Hz
por exemplo, pode ser que quando a voltagem mudar de polaridade (sendo uma senóide,
passar pro lado negativo do eixo), o capacitor não conseguiu carregar-se por completo.
Isso acontece se ele for um capacitor que leva um tempo maior que ∆t = 1/120 = 0.008
segundos para carregar. Este tempo é calculado assim: numa frequência de 60 Hz a
fonte faz um ciclo completo em t = 1/60 = 0.016 segundos. Ou seja, ela leva metade
deste tempo para mudar de polaridade pois uma função seno fica metade do período
positiva e metade negativa. Assim metade do período é 0.008 segundos. Inciando com
uma voltagem zero, ela atinge seu máximo em 1/4 de período e em 1/2 de um período
vai novamente a zero. Durante todo este tempo o capacitor carrega. Dependendo do
capacitor, se ele leva mais tempo para carregar que isso, ele não atinge sua capacidade
plena, mas carrega até um certo valor de carga máximo naquela circunstância. No mo-
mento que a voltagem vai a zero, não há mais voltagem no capacitor e ele começa a
descarregar. É o instante em que ele começa a devolver à carga ao sistema e faz isso com
força máxima, pois ele com o valor máximo possível de carga para aquela situação. Daí
a carga vai caindo até ele descarregar e portanto o ciclo se repete. Resumo: a corrente
no capacitor está defasada em relação à voltagem aplicada. Podemos ver isso na equação
de Ohm para um capacitor sob ação de uma voltagem.
V (t) =
Q(t)
C
. (3.1.14)
Se nós derivarmos ambos os lados, lembrarmo-nos que dQ/dt = I e a capacitância não
varia no tempo, temos
dV (t)
dt
=
I(t)
C
. (3.1.15)
Derivando a função seno da Voltagem obtemos
I(t) = ωCVmax cos(ωt). (3.1.16)
Observem que se a Voltagem é um seno, a corrente é um cosseno, e vice versa. Ou seja,
a voltagem e a corrente estão defasadas. Quando uma é máxima, a outra é mínima, e
vice-versa. Esta é a formulação matemática daquilo que foi explicado no parágrafo acima.
Como a função cosseno (a contar de t = 0) é maxima e a função seno só atinge o máximo
depois, num capacitor a corrente estára sempre na frente da voltagem. Em linguajar
técnico se diz que num capacitor a corrente está sempre adiantada em relação
à voltagem. Isto pode ser visto na figura 3.3.
20 Circuitos AC: corrente alternada
Figura 3.3: Uma ilustração da voltagem e da corrente em um capacitor submetido a uma tensão
alternada. Note a diferença de fase entre voltagem e corrente.
Do ponto de vista matemático podemos ver isto também escrevendo o seguinte:
cos(ωt) = sin(ωt+ 90◦) (3.1.17)
Ou seja, a função cosseno é a função seno adiantada de 90 graus.
Do ponto de vista prático, temos o seguinte: se ligamos um capacitor numa fonte de
tensão contínua ele carrega e, quando isso acontece, não há mais corrente no circuito.
Nesta situação só faz sentido pensarmos num capacitor como um armazenador de energia
elétrica (tipo um flash de máquina fotográfica, teclado de laptops, etc.). Já numa fonte de
tensão alternada, ele está constantemente carregando e descarregando, e se a frequência
da fonte for alta o suficiente, sempre haverá uma corrente no circuito onde o capacitor se
encontra. Agora, atenção: mesmo que a fonte seja alternada, se sua frequência for muito
baixa em relação ao tempo de carregamento do capacitor, pode ocorrer do capacitor car-
regar antes da mudança de polaridade da fonte. Neste caso o capacitor também cortará a
corrente no circuito. Assim, normalmente, em circuitos CA o capacitor é usado não como
armazenador de energia mas como filtro de frequência. Como assim? Bem, pensemos
numa caixa acústica: o sinal que vem dos fios do nosso CD-Player ou amplificador são
pequenas correntes elétricas de diferentes frequências, cada uma específica de um som
(agudo, grave, etc.). Ao chegar na caixa acústica há atrás do Tweeter (sons agudos)
um pequeno capacitor que deixa passar apenas altas frequências. Assim, o Tweeter só
reproduz sons agudos, ao passo que o Woofer é usado para sons mais graves. Para que
cheguem só sons graves no Woofer, que é aquele alto-falante maior, veremos que quem
faz o papel de filtro é uma bobina. Em todo caso, este é o motivo que o capacitor é
conhecido no meio técnico como um high-pass filter, ou filtro passa-alta.
iii. Bobinas (Indutores): o papel da bobina é de certo modo análogo ao do capacitor.
Para o capacitor, quando menor a frequência da fonte, mais ele bloqueia a corrente do
sistema pois se carrega antes que a fonte tenha chance de mudar de polaridade. Já para a
bobina, o contrário acontece. Sabemos que ao passar uma corrente por uma bobina, surge
dentro dela um campo magnético. Porém, se a voltagem é alternada, essa corrente varia
e consequentemente o campo magnético varia. Mas a bobina tem uma auto-indutância,
ou seja, este campo magnético produz um fluxo dentro de si própria que varia no tempo.
Consequência: pela lei da indução de Faraday, surge uma corrente induzida na própria
bobina que se opõe à variação do fluxo. O fenômeno é interessante. Se passarmos uma
corrente contínua por uma bobina, há evidentemente um fluxo mas ele nao varia (pois
a corrente é constante). Não há lei de Faraday e concluímos assim que, num circuito de
3.1 Circuitos LRC (Indutor, Resistor, Capacitor) de corrente alternada. 21
corrente contínua, a bobina nada mais é que um fio enrolado, sem muita função. Já com
corrente alternada, quando mais rápida a variação da voltagem da fonte, maior vai ser a
corrente induzida na bobina pois pela lei de Faraday ele é proporcional não ao fluxo mas
à variação temporal do fluxo, quer dizer
Vind = L
dI
dt
(3.1.18)
Mas pela lei Ohm, tudo aquilo que ganhamos de voltagem na fonte, perdemos nos ele-
mentos do circuito, logo
V (t) = L
dI
dt
. (3.1.19)
Se integrarmos dos dois lados temos
I(t) =
1
L
∫
V (t′)dt′ =
1
L
∫
Vmax sin(ωt
′) dt′
=
Vmax
ωL
(− cos(ωt))
=
Vmax
ωL
sin(ωt− 90◦) (3.1.20)
Diferentemente do capacitor, obtemos agora uma corrente no indutor que está atrasada
em relação à voltagem. Observem o valor de −90◦ dentro do seno. Enquanto a voltagem
é representada por uma função sin(ωt), a corrente produzida varia como a função sin(ωt−
90◦). Isto pode ser visto na figura 3.4.
Figura 3.4: Uma ilustração da voltagem e da corrente em um indutor submetido a uma tensão alter-
nada. Note a diferença de fase entre voltagem e corrente.
Notem que quanto maior a frequência da fonte, menor a corrente produzida (notem que o
I da expressão acima é inversamente proporcional a ω), pois fisicamente quanto maior a
variação do fluxo, mais forte é a reação contrária da bobina. Por isso a bobina é usada em
circuitos como um low-pass filter, ou filtro passa-baixa. Ele deixa frequências baixas (ω
pequeno) produzirem correntes altas no circuito, mas a medida que a frequência aumenta,
ele faz com que a corrente que passe por ela seja cada vez menor.
Essa observação nos leva a uma conclusão interessante: um resistor dificulta a passagem
da corrente. Num circuito CA, o capacitor e o indutor tem o mesmo papel, com a
22 Circuitos AC: corrente alternada
diferença que o resistor atua sempre igual, independentemente da voltagem ser contínua
ou alternada. Já o capacitor dificulta a circulação de corrente pelo sistema se a frequência
da voltagem for baixa. O indutor é ocontrário: ele dificulta a circulação da corrente se a
frequência da voltagem for alta. Podemos então interpretar o capacitor e o indutor como
uma espécie de �resistor� mas cuja �resistência� depende da frequência da fonte. Isto nos
dá a idéia de definir um novo conceito, a reatância.
Observem que nas figura que representam a relação entre voltagem e corrente nos elementos do
circuito, para efeito de comparação, manteve-se sempre um I na forma de uma função cosseno
e desenhou-se o V correspondente, que mostra que no caso do resistor não há diferença alguma
de fase entre as duas funções; no indutor há uma diferença de fase de modo que podemos ver
que a voltagem (sempre tomamos t = 0 para efeito de comparação) representada pela linha
verde já passou pelo máximo antes de chegar em t = 0, quando então a corrente chega (corrente
atrasada). Para o capacitor, a voltagem (linha laranja) vai atingir o máximo (de novo, a partir
do instante inicial) só depois da corrente já ter tido o máximo (corrente adiantada)
3.2 Reatâncias: resistências em um circuito CA
Vamos olhar apenas para as correntes máximas (ou valor de pico) nos três elementos de circuito.
Imax =
Vmax
R
no resistor (3.2.1)
Imax = ω C Vmax no capacitor (3.2.2)
Imax =
Vmax
ω L
no indutor (3.2.3)
Observem que por análise dimensional, tanto 1/ωC quando ωL tem dimensão de resistência,
ou seja, são medidos em Ohms. Costuma-se renomear estes dois termos como
1
ω C
= XC (3.2.4)
ω L = XL (3.2.5)
E as equações acima podem ser reescritas como
Imax =
Vmax
R
(3.2.6)
Imax =
Vmax
XC
(3.2.7)
Imax =
Vmax
XL
(3.2.8)
onde agora fica mais evidente que as grandezas XC e XL representam o papel de �resistências�
do capacitor e indutor, respectivamente. Para diferenciá-las da resistência R de um resistor, elas
são chamadas de reatância capacitiva e reatância indutiva. A diferenciação não é só uma
mera questão de nome, pois fisicamente elas tem origens diferentes, embora do ponto de vista
do circuito, funcionam como se fossem resistências. A resistência R vem da colisão dos elétrons
livres com os átomos do metal. Já a reatância capacitiva e indutiva vêm, respectivamente, da
3.3 Exemplos resolvidos 23
rapidez de um capacitor no processo carga-descarga frente à frequência da fonte de tensão e
da lei da indução de Faraday. Convém lembrar que resistores dissipam calor. Capacitores e
Indutores não. Eles servem todos como limitadores de corrente, mas apenas resistores jogam
energia para fora do circuito. Em outras palavras: o capacitor e indutor não limitam a corrente
por oferecer resistência à passagem de elétrons. Eles o fazem pois o capacitor carrega e nao
permite mais a circulação de carga pelo circuito. O indutor, pois criam uma corrente induzida
contrária que podem �anular� a corrente direta que a fonte gera.
Estes sao os principais resultados sobre circuitos de corrente alternada. Ainda falta um
conceito importante, o de fasores, mas antes de entrarmos nesta questão, é interessante discu-
tir uma questão de cunho prático: embora a grande maioria dos aparelhos que usamos sejam
circuitos de corrente alternada, quando fazemos medidas com multímetros estamos apenas inte-
ressados nos valores RMS das grandezas. Assim, muitas questões a serem resolvidas requerem
apenas o conhecimento das equações acima: se calcularmos valores médios, sem nos preocupar-
mos com os senos e cossenos, poderemos obter um grande número de informações pertinentes
de nossos sistemas. Vamos olhar alguns exemplos resolvidos para entender um pouco como
isto funciona, bem como para que possamos ter uma idéia dos valores numéricos e como as
reatâncias mudam drasticamente com a frequência.
3.3 Exemplos resolvidos
Problema 1: Reatância de uma bobina. Considere uma bobina que tem uma resistência
de 1.00Ω e uma indutância de 0.300 H. Se ligarmos esta bobina numa fonte de tensão, determine
a corrente se esta fonte for (a) uma tensão contínua de 120 Volts ou (b) uma tensão alternada
de 120 V e frequência de 60.0 Hz. (Detalhe: em todos os problemas, sem exceção, normalmente
se indicam sempre os valores de corrente ou voltagem RMS e nunca os valores de pico. Além
disso sempre se dá o valor da frequência f . É IMPORTANTE SEMPRE SE LEMBRAR DE
MULTIPLICAR f POR 2pi POIS NAS FÓRMULAS USA-SE SEMPRE ω!).
Solução: (a) Com voltagem contínua não há reatância indutiva pois XL = 0 se f = 0. Logo,
a bobina se comporta simplesmente como um fio de resistência 1 Ohm. Assim
I =
V
R
=
120 V olts
1.00 Ω
= 120A (3.3.1)
(b) Já no segundo caso, onde existe uma frequência de 60.0 Hertz, ou seja, um ω de 377 rad/s,
a bobina apresentará uma reatância indutiva igual à
XL = 2pifL = (6.28)× (60.0 s−1)× (0.300 H) = 113 Ω (3.3.2)
Logo a corrente pelo circuito será
Irms =
Vrms
XL
=
120 V
113 Ω
= 1.06 A (3.3.3)
Estas expressões nos deixam muito claro o quão �resistente� à passagem de corrente uma
bobina pode ser, desde que a frequência da fonte seja grande o suficiente. Neste caso temos
uma corrente pouco mais de 100 vezes menor do que no caso onde a tensão da fonte é contínua.
24 Circuitos AC: corrente alternada
Problema 1: Reatância de um capacitor. Considere uma capacitor de capacitância de
1.0µ F e uma fonte de tensão alternada de 120 Volts. Calcule a corrente no circuito quando (a)
f = 60 Hz e (b) f = 6.0× 105 Hz. (Detalhe: notem que, em problemas envolvendo capacitor,
nem se cogita discutir casos de tensão contínua, pois o capacitor vai eventualmente carregar e
não vai mais ter corrente no circuito).
Solução: (a) Com voltagem em 60 Hertz a reatância capacitiva vale
XC =
1
2pi f C
=
1
(6.28)(60s−1)(1.0× 10−6F ) = 2.7kΩ (3.3.4)
Portanto a corrente rms vai ser
Irms =
120 V
2.7× 103 Ω = 44 mA (3.3.5)
(b) Já no segundo caso, onde existe uma frequência de 600 mil Hertz, ou 0.6 MHz, a reatância
capacitiva vale
XC =
1
2pi f C
=
1
(6.28)(60× 105s−1)(1.0× 10−6F ) = 0.27Ω (3.3.6)
Isso implica numa corrente rms
Irms =
Vrms
XC
=
120 V
0.27 Ω
= 440 A (3.3.7)
Notem a enorme diferença entre as duas correntes: existe 5 ordens de grandeza separando-as,
quer dizer, uma é 100 mil vezes maior que a outra.
Resumo: em um circuito de corrente alternada, capacitores e indutores passam a ter um
papel ativo, limitando a corrente para fontes de baixa (capacitores) e alta-frequência (induto-
res), funcionando assim como filtros de frequência. Isso se dá através da sua reatância, que é
análogo a uma resistência, embora convém lembrar que esta resistência tem uma origem física
diferente daquela de um resistor. Um outro detalhe importante é o fato que existe uma de-
fasagem, no caso do capacitor e resistor, entre a voltagem aplicada e a corrente que ela gera.
Se estamos trabalhando com valores rms, este fato não é tão relevante. Porém, se estivermos
olhando para as funções matemáticas que representam correntes e voltagens, veremos que elas
são funções harmônicas deslocadas uma em relação à outra.
3.4 Circuito RLC em série
O que acontece quando colocamos agora um resistor, um capacitor e um indutor em série em
um circuito alimentado por uma fonte de tensão alternada? Se formos olhar para os resultados
anteriores, fica a dúvida: no capacitor a corrente está adiantada em relação à voltagem. No
indutor, atrasada. No resistor, em fase. Então, onde está a corrente? Atrasada, adiantada ou
em fase? Quem ganha, o resistor, o indutor ou o capacitor?
Esta dúvida surge pois a maneira como coloquei a pergunta está equivocada, ou seja, ela
induz ao erro (isso se chama um sofisma: você introduz um erro na lógica de modo que as
3.4 Circuito RLC em série 25
pessoas chegem a uma conclusão errada). O erro está em eu afirmar que a corrente pode estar
atrasada, adiantada ou em fase. A corrente nunca está adiantada, atrasada ou em fasepois a
característica PRINCIPAL de um circuito em série é que a CORRENTE é sempre a mesma em
qualquer parte do circuito, pois todos os elementos estão no mesmo fio. Não importa em que
parte do circuito você coloque um amperímetro, a corrente medida será sempre a mesma, em
qualquer ponto. Logo, quando dizemos �a corrente está adiantada, etc. em relação à voltagem�,
pode parecer que no fundo quem dita a regra é a voltagem e não a corrente. Na verdade seria
mais correto dizer �a voltagem está adiantada,etc. em relação à corrente� pois é a corrente que
devemos tomar por base! Pense em um circuito submetido a uma tensão contínua. Quando
resolvemos o circuito usando a lei de Ohm, usamos o mesmo I para um circuito de uma malha
mas a VOLTAGEM é diferente em cada resistor, etc.. Sabemos apenas que a soma das voltagens
em cada elemento é igual à voltagem da fonte. Assim, num circuito de voltagem alternada, a
corrente é igual e daí podemos dizer que no capacitor a voltagem vai estar ATRASADA (que é
o mesmo que dizer que a corrente está adiantada); no indutor a voltagem está ADIANTADA
(ou a corrente atrasada). E no resistor, a voltagem está em fase. Resumindo: a corrente é
nosso fundamento e uma vez tendo uma corrente, que é a mesma para todos (como no circuito
de corrente contínua), as voltagens são diferentes (como no circuito de corrente contínua). Só
vale lembrar que isto significa, já que estas voltagens estão todas defasadas, que as voltagens
também atingem seus picos em tempos diferentes. A todo instante a soma das voltagens é
igual a voltagem da fonte, como no caso de corrente contínua, mas temos que lembrar que
em sistemas de corrente alternada estamos somando senóides. Isto implica que pode haver
instantes de tempo em que a voltagem no indutor, por exemplo, seja maior que a voltagem na
fonte (!), mas daí haverá uma senóide, digamos do resistor ou do capacitor, que estará do lado
negativo do eixo, fazendo que a voltagem total, que é a soma de todas as voltagens, seja igual
a voltagem da fonte. Isso normalmente causa surpresa quando vamos ao laboratório e vemos
por exemplo que para uma voltagem de pico da fonte de 10 Volts chegamos a medir em certos
momentos uma voltagem no indutor (ou capacitor) de 12 Volts, apenas para dar um exemplo.
Mas quando isso ocorre, haverá nos outros elementos do circuito uma voltagem negativa que
somada à voltagem de 12 Volts levam a uma voltagem total MENOR.
A lei de Ohm não perde sua validade: as voltagens nos elementos se somam para dar a voltagem
na fonte. Só devemos nos lembrar que estamos somando 3 funções que variam no tempo.
Consequentemente a sua soma também variará no tempo.
No entanto, somar funções senoidais é uma tarefa um tanto complicada. Vamos imaginar que
temos uma voltagem máxima Vmax
L
no indutor e uma voltagem máxima Vmax
C
no capacitor.
Sendo assim, a soma das duas voltagens para uns instante de tempo t arbitrário seria
Vmax
L sin(ωt+ α) + Vmax
C sin(ωt+ β) (3.4.1)
que pela lei de Ohm deve ser igual a voltagem da fonte naquele mesmo instante de tempo t
Vmax
L sin(ωt+ α) + Vmax
C sin(ωt+ β) = Vmax sin(ωt+ δ) (3.4.2)
A tarefa matemática é a seguinte: partindo do lado esquerdo, chegar ao lado direito, ou seja,
escrever a soma de 2 senóides arbitrárias como sendo também uma senóide. Note que mantemos
o mesmo ω nas diferentes funções pois estamos pensando sempre que a frequência da tensão da
26 Circuitos AC: corrente alternada
fonte é só uma, e portanto esta mesma frequência estará sendo aplicada em qualquer elemento
do circuito.
Há porém uma maneira geométrica bastante interessante de fazer isso. O segredo está em
representar uma função senoidal como sendo a projeção no eixo y de um vetor que gira com
velocidade angular ω em torno de um ponto fixo. Isto está ilustrado na Figura 3.5.
Figura 3.5: A relação entre o movimento de um vetor que gira em torno de um ponto fixo e uma função
senoidal. Observem o vetor em diferentes instantes de tempo e vejam que a curva senoidal representa
a altura de sua ponta até o eixo x, ou seja, o valor da componente y do vetor. Matematicamente, o
movimento circular é o mesmo que um movimento senoidal, mas visto de um referencial diferente.
Prestem bastante atenção a esta figura. Se imaginarmos o vetor girando, a 'sombra' de sua
ponta descreverá, no eixo y, uma senóide. Isso equivale a dizer que um movimento circular e
um movimento senoidal são matematicamente equivalentes. Na verdade são iguais! A diferença
está no referencial. Tente imaginar um ponto fixo no perímetro de um círculo que gira. Se o
centro do círculo, à medida que ele gira, se deslocar também com uma velocidade constante
para a direita, quem estiver parado vai ver este ponto descrever uma senoidal. Se a pessoa se
move com o círculo, com a mesma velocidade para a direita, ela verá apenas o ponto girando
em torno do centro do círculo.
3.4 Circuito RLC em série 27
Se pegarmos agora duas funções senoidais, podemos representá-las juntas como na Figura
3.6. O que é importante notar nesta figura é que estamos trabalhando com 2 vetores que giram
Figura 3.6: Duas funções senoidais representadas conjuntamente como vetores girando num círculo.
Se a velocidade angular dos dois é a mesma, eles mantém o mesmo ângulo ϕ entre si o tempo todo.
com a mesma velocidade angular ω. Isto significa que eles mantém sempre a mesma distância
entre si (distância medida em ângulo, obviamente). Se quisermos então somar duas funções
senoidais, já que elas podem ser representadas por vetores, basta fazer a soma de dois vetores,
como na figura 3.7! Tentem entender bem esta figura. Ela é mais simples do que parece.
Transcrevo abaixo o texto do meu livro (e da Profa. Gallas) onde mostro como calcular isto.
Isto serve apenas de ilustração, pois no caso dos circuitos RLC que estamos interessados, todas
os vetores fazem 90 graus entre si e daí aplicamos diretamente Pitágoras (lembrem-se: se a
corrente no circuito é uma, a voltagem no resistor está em fase, no capacitor atrasada de 90
graus e no indutor adiantada de 90 graus. Logo os três vetores de voltagem são perpendiculares
entre si). No caso ilustrado abaixo, usamos a Lei dos Cossenos, que recai em Pitágoras quando
γ é 90 graus.
28 Circuitos AC: corrente alternada
Figura 3.7: A soma de duas senoidais como se fossem vetores. A primeira função (azul) é I1M sin(ωt+
β). A segunda (verde) é I2M sin(ωt+ α). A soma resultante é representada pelo vetor em preto.
3.5 Correntes e Voltagens
A regra então é bem simples. Se submetermos um circuito a corrente alternada (estamos
pensando em capacitores, indutores e resistores em série), a voltagem em cada elemento vai ser
sempre representada pela figura 3.9. Isto se chama representação de FASORES da voltagem.
A voltagem, sabemos, é um escalar, mas podemos representá-la como se fosse um vetor: trata-
se apenas de uma representação matemática, desprovida de conteúdo físico. Por isso, para
evitar que se confunda escalar com vetor, achando que a voltagem é um vetor, quando na
realidade ela não é, dá-se o nome de fasor para este �vetor� (nome inspirado, obviamente, no
fato que voltagens tem diferentes fases em diferentes pontos do circuito). Olhemos a figura
3.9 detalhadamente. Um primeiro detalhe importante: no resistor, a corrente e a voltagem
estão sempre em fase. Como a corrente é a mesma para todo o circuito, isto significa que
a representação da corrente em termos de fasores é um vetor na mesma direção e sentido
que VR. Na figura não foi desenhado este fasor para não sobrecarregar o desenho, mas este
resultado é sempre válido. Se quisermos saber onde está I, basta imaginarmos um �vetor�
junto com VR. Segundo detalhe importante: o que os aparelhos de medida realmente mostram
e o que realmente está presente no circuito: são os valores destes fasoresprojetados no eixo
y. As projeções no eixo x são desprovidas de sentido físico. Lembrem-se novamente que
estamos representando uma função seno pela projeção de um vetor que gira em torno da
origem. Terceiro detalhe: como todo o circuito está submetido a uma tensão de frequência f
(ou frequência angular ω = 2pif , que é o mesmo), todos os vetores rodam juntos e mantém a
mesma posição relativa entre si.
(a) Nesta parte da figura está representado um instante de tempo em que uma medição
instantânea das voltagens nos daria VR = 0 (a projeção do fasor no eixo y é zero), VL
estaria no seu valor de pico positivo V maxL e a voltagem VC no seu valor de pico, mas
negativa V maxC . A voltagem na fonte seria o vetor verde, cujo valor calcularemos abaixo.
Notem uma coisa importantíssima, que não deve nos causar surpresa: o fasor azul é o
3.5 Correntes e Voltagens 29
Figura 3.8: O cálculo matemático da soma de duas funções senoidas, usando vetores.
maior de todos e ultrapassa o limite da circunferência verde, cujo raio é o módulo da
voltagem de pico da fonte. Isto significa que podemos, em instantes de tempo, ter um
valor de VL projetado no eixo y maior que o valor máximo de V . Isso não representa
nenhum problema pois neste instante, em que a voltagem na resistência é nula, a voltagem
no capacitor é negativa e V = VL − VC .
(b) Um certo instante de tempo depois, todos os fasores giraram, mantendo entre si sempre os
mesmos ângulos. Se fizéssemos uma leitura instantânea das voltagens em cada elementos
do circuito, todos eles nos dariam uma voltagem positiva, com exceção do capacitor, cuja
voltagem é negativa. Neste instante a voltagem no indutor ainda é maior que a da fonte.
(c) Passado mais algum tempo, a voltagem na fonte está quase chegando ao seu valor de
pico, as voltagens do indutor e resistor ainda são positiva e a do capacitor negativa.
Neste instante, nenhuma voltagem medida de qualquer elementos é maior, por si só, da
voltagem da fonte.
(d) Neste instante posterior, chegamos a uma situação onde a voltagem no resistor é máxima,
30 Circuitos AC: corrente alternada
VL
VL
VL
VC
VL
VC
(a)
(d)(c)
(b)
V
VR
V
VR
VC
VR
VVR
V
VC
Figura 3.9: A representação de fasores para as voltagens nos diferentes elementos do circuito em
sucessivos instantes de tempo, de (a) → (b) → (c) → (d). Em preto representamos a voltagem no
resistor. Em vermelho no capacitor e em azul no indutor. A soma dos três vetores é a voltagem na
fonte, em verde. Notem que a medida que o tempo passa, os vetores rodam no sentido anti-horário em
relação à origem. A todo instante, eles não mudam de posição relativa entre si, estão sempre defasados
pelo mesmo ângulo um em relação ao outro. As linhas pontilhadas servem apenas para ilustrar os
paralelogramos usados para somar vetores. A circunferência verde mostra o traçado da ponta do fasor
de voltagem da fonte. No corpo do texto, uma explicação mais detalhada do que cada figura representa.
3.5 Correntes e Voltagens 31
a voltagem na fonte é positiva mas já começou a cair e tanto o indutor como o capacitor
tem uma voltagem nula.
Como calcular agora a corrente, que é nosso objetivo? Basta fazermos a soma de 3 �vetores�
VR, VC e VL e impor que a soma destes três vetores seja igual ao vetor que representa a voltagem
na fonte. Na verdade só devemos tomar um cuidado. Reservamos os nomes VR, VC e VL para
os valores realmente medidos nos multímetros. Quanto aos fasores, para que façamos uma
distinção entre sua projeção no eixo y e os fasores em si, chamaremos eles de VˆL e VˆC e VˆR. Já
que os dois primeiros são sempre colineares e de sentidos opostos podemos somá-los diretamente
VˆL+C = VˆL + VˆC (3.5.1)
cujo módulo ‖VˆL + VˆC‖ será{
V maxL − V maxC se V maxL for maior que V maxC
V maxC − V maxL se V maxC for maior que V maxL
(3.5.2)
Agora, basta somar o termo com VˆR. Como ele faz 90 graus com a resultante de VˆL + VˆC ,
podemos escrever direto o módulo do vetor total (que tem que ser igual ao valor do Vmax da
fonte) usando Pitágoras
‖VˆL + VˆC + VˆR‖ =
√
(V maxR )
2 + (V maxL − V maxC )2 (3.5.3)
Agora, lembremos que o que aparece na expressão acima são os módulos (tamanhos) dos vetores
e não suas projeções, ou seja, seus valores máximos. Como o módulo do vetor acima tem que
ser o módulo do fasor que representa a voltagem na fonte Vmax, temos que
Vmax =
√
(V maxR )
2 + (V maxL − V maxC )2 (3.5.4)
Agora, sabemos que
V maxR = R Imax (3.5.5)
V maxL =
Imax
ωL
(3.5.6)
V maxC = ω C Imax (3.5.7)
Substituindo estes valores na expressão para Vmax obtemos
Vmax =
√
Imax
2 R2 +
(
ωL Imax − Imax
ωC
)2
=
√R2 + (ωL− 1
ωC
)2 Imax (3.5.8)
Resumindo
Imax =
Vmax√
R2 +
(
ωL− 1ωC
)2 = Vmax√R2 + (XL −XC)2 = VmaxZ (3.5.9)
Ou seja, num circuito RLC em série, esta é o valor máximo de corrente que medimos.
Notem que ela é dada pela voltagem máxima da fonte dividida por uma grandeza Z (que tem
32 Circuitos AC: corrente alternada
VC
VL
V
φ
ω t
ω t − φVL − VC
VR
Figura 3.10: A relação entre os ângulos ωt e φ
dimensão de OHM) e pode ser interpretada como uma �resistência� generalizada do circuito.
Esta grandeza recebe o nome de IMPEDÂNCIA.
Resta responder uma pergunta: esta corrente na verdade é o valor de pico, o valor máximo
de I que podemos medir. Agora, ele é um fasor colinear com o fasor verde da figura 3.9 e gira
junto. O valor que observaríamos num instante de tempo qualquer seria a projeção deste fasor
de corrente no eixo y, ou seja
I(t) = Imax sin(ωt− φ) (3.5.10)
onde φ é ângulo entre o fasor verde (que representa a voltagem na fonte) e o fasor preto (pois
o fasor que representa I é colinear com o fasor que representa a voltagem no resistor). Isto está
representado na figura 3.10. Achar φ é simplesmente uma questão geométrica pois o ângulo φ
é o ângulo cuja tangente vale
φ = arctan
VL − VC
VR
= arctan
ω L− 1/ω C
R
(3.5.11)
Uma outra expressão bastante prática é
cosφ =
R
Z
(3.5.12)
Com isso resolvemos o problema de um circuito RLC em série. A corrente é representada pela
função (3.5.10).
Na verdade o que acabamos de fazer pode parecer complicado, quando na realidade não é. O
que fizemos pode, basicamente, ser resumido a três passos:
(1) Queremos aplicar a lei de Ohm a três voltagens que variam no tempo e são representadas
por funções seno de diferentes fases. O problema é que somar diferentes senóides pode
ser algo muito trabalhoso. Buscamos assim representar o seno de uma forma que torne a
3.6 Potência Dissipada 33
x
y
ω t
A
ω
tω
tA sin ( )
A cos ( )
Figura 3.11: A representação na forma de fasor de uma grandeza arbitrária que varia no tempo segundo
a equação A sin(ωt). Nos interessa apenas a projeção (em azul) no eixo y, pois esta é a grandeza física
que medimos em laboratório (no caso de uma voltagem ou corrente). Devemos lembrar que o ângulo
θ = ωt aumenta com o passar do tempo.
operação de soma mais fácil. Por isso representamos a função do tipo A sin(ωt) como um
vetor de módulo A girando em torno da sua base com velocidade (ou frequência) angular
ω. Estes vetor tem duas projeções: no eixo y e no eixo x. Só nos interessa a projeção no
eixo y, pois esta é dada pelo seno. Tecnicamente, por se tratar de voltagens ou correntes,
que não são vetores mas escalares, chamamos esta representação de �representação de
fasores�, embora trabalhemos como se fossem vetores. A distinção se faz necessária para
que não passemos a imaginar que voltagem e corrente sejam vetores!
(2) Somar diferentes senóides passa a ser então um problema equivalente à soma de diferentes
fasores. Transformamos um problema ALGÉBRICO num problema GEOMÉTRICO.
(3) No caso particular de um circuito RLC, sabemos que os fasoresque representam as
voltagens fazem SEMPRE um ângulo de 90◦ entre si. Assim, ao invés de usarmos a
lei dos cossenos para soma de vetores com ângulos arbitrários, usamos simplesmente
Pitágoras. Assim que se chega à equação para a corrente.
3.6 Potência Dissipada
Quando discutimos há pouco sobre a IMPEDÂNCIA, que é a �resistência� generalizada de um
circuito, lembramos que cada elemento exerce, a seu modo, uma resistência à passagem de
corrente. Isso ocorre por fenômenos físicos diferentes: o resistência pura surge da colisão dos
elétrons com os átomos da rede, que absorvem parte do momento dos elétrons e a rede se torna
mais agitada. Consequementente o material esquenta, e energia é dissipada na forma de calor.
O capacitor corta a corrente se a voltagem tiver frequência muito baixa: o capacitor carrega
antes e não deixa mais passar corrente no sistema. O indutor limita a corrente criando uma
corrente contrária, ou seja, quanto maior a frequência da voltagem, maior vai ser a variação
da corrente direta e o campo magnético dentro da bobina gera um fluxo que varia muito
34 Circuitos AC: corrente alternada
rapidamente. Surge uma corrente induzida contrária que em certos casos leva a uma corrente
total próxima de zero. Nestes dois últimos casos, não há perda de energia, pois não há dissipação
de forma alguma
1
. Por isso se quisermos saber quanto da potência P = V I que colocamos
no sistema é perdida, basta ver qual a resistência e multiplicar pela corrente. Como a corrente
varia no tempo, define-se a potência média P através de
P = R Irms
2
(3.6.1)
Ou seja, lembrando que R = Z cosφ podemos também escrever
P = R Irms
2 = Z cosφIrms
2 = Irms(Irms × Z) cosφ = IrmsVrms cosφ (3.6.2)
Que é uma maneira prática de escrevemos a potência numa forma tipo P = V I. O termo
cosφ é o que os engenheiros chamam de fator de potência de um circuito. Se o sistema for
puramente resistivo (não há capacitor nem indutor, só resistência), Z = R e cosφ = 1. Logo,
como a energia fornecida pela fonte é Pfonte = IrmsVrms e a potência dissipada P = IrmsVrms
isto significa que toda energia fornecida ao sistema é dissipada no resistor. No caso de sistemas
puramente indutivos ou capacitivos (só L ou só C), cosφ = 0 pois φ = −90◦ (capacitor) ou
φ = 90◦ (indutor). Se houver uma combinação de capacitores e indutores não importa, pois
cosφ nestes casos ainda é zero.
Lembrando um ponto importante: assim como potencial, que não tem um valor absoluto,
pois só faz sentido falarmos em diferença entre potenciais de diferentes pontos, a escolha da
corrente como sendo algo do tipo I(t) = Imax sin(ωt) ou I(t) = Imax sin(ωt + α) não tem a
menor relevância. Fases numa função não são relevantes. Elas indicam apenas uma escolha
arbitrária do tempo inicial, quando começamos a medir a função. No caso aqui mostrado, a
função é a mesma, a única diferença é que se podemos escolher nosso tempo inicial como sendo
aquele quando I(0) = 0 ou aquele quando I(t) = Imax sinα. Você sempre tem a liberdade de
começar a medir algo quando ela sai de um valor zero ou de um valor qualquer, diferente de zero.
Isto não altera o comportamento da função. O que é realmente relevante é a DIFERENÇA
DE FASE entre a corrente e a voltagem na fonte, o φ que foi por nós calculado. Esta grandeza
não tem nada de arbitrária, como sua definição mostra.
3.7 Exemplos de aplicação
Exemplo 1: Circuito RLC. Um circuito tem uma resistência de R = 25.0Ω , uma indutância
L = 30.0 mH e uma capacitância de C = 12.0µF. Todos estão conectados em série a uma fonte
de 90.0 V ac (rms) de frequência 500Hz. Calcule (a) a corrente rms no circuito; (b) a leitura
do voltímetro (rms) em cada elemento; (c) o ângulo de fase φ e (d) a potência dissipada no
circuito.
Solução: (a) primeiro temos que achar as reatânciasXL eXC de cada parte do circuito quando
1
É claro que na vida real uma bobina e um capacitor são feitos de metais que também esquentam e dissipam
calor, mas o que estamos dizendo aqui é que, desprezada esta resistência natural do metal do qual a bobina e
o capacitor são feitos, eles não dissipam energia pela simples razão de que sua �resistência� não é baseada em
efeitos dissipativos.
3.8 Problemas propostos 35
f = 500 Hz e a impedância Z.
XL = 2pifL = 94.2Ω
XC =
1
2pifC
= 26.5Ω
Z =
√
R2 + (XL −XC)2 =
√
(25.0Ω)2 + (94.2Ω− 26.5Ω)2 = 72.2Ω (3.7.1)
Disto segue que
Irms =
Vrms
Z
=
90.0 V
72.2Ω
= 1.25 A (3.7.2)
(b) As voltagens rms são
(VR)rms = IrmsR = (1.25 A)(25.0 Ω) = 31.2 V
(VL)rms = IrmsXL = (1.25 A)(94.2 Ω) = 118 V
(VC)rms = IrmsXC = (1.25 A)(26.5 Ω) = 33.1 V
(3.7.3)
Observe aqui que se fôssemos simplesmente adicionar as voltagens, a soma seria bem maior que
os 90.0 V da fonte. De novo, vale lembrar: estes valores são os valores máximos das voltagens
em cada elemento divididos por
√
2. As voltagens rms são por definição sempre positivas mas
a voltagem real em cada elemento é uma senóide que horas é positiva, horas negativa, e todas
elas estão defasadas entre si. Isso quer dizer que para qualquer instante de t que escolhermos,
estas senoidais se somam para dar o valor da voltagem na fonte naquele t particular.
(c) O ângulo de fase vale
cosφ =
R
Z
=
25.0 Ω
72.2 Ω
= 0.346 (3.7.4)
o que implica em φ = 69.7◦. Notem que φ é positivo pois XL > XC . Finalmente
(d) P = IrmsVrms cosφ = (1.25 A)(90.0 V )(0.346) = 39.0 W .
3.8 Problemas propostos
1.) Desenhe um diagrama de fasores para um circuito RLC em série indicando: (a) A voltagem
Vfonte da fonte; (b) Os fasores correspondentes a VR, VL e VC , que representam as quedas de
voltagens no resistor, indutor e capacitor respectivamente; (c) a fase, no caso em que a queda
voltagem no indutor é menor que no capacitor, ou seja, VL < VC (d) o valor da fase em termos
das grandezas acima.
2.) Uma bobina com resistência r diferente de zero e indutância L é ligada numa fonte de
tensão (rms) de 120 Volts e frequência f = 60 Hz. A potência média fornecida a bobina é de
60 W e a corrente (rms) vale I = 1, 5 Ampère. Determine:
36 Circuitos AC: corrente alternada
(a) o fator de potência;
(b) a resistência da bobina;
(c) a indutância da bobina.
Notem que neste problema a bobina, como acontece em situações reais, tem uma resistência
não nula, embora normalmente pequena comparada àquelas de resistores. Isso não nos deve
preocupar pois podemos simplesmente modelar uma bobina com resistência como se fosse uma
bobina ideal acoplada em série com um resistor.
3.) Mostre que num transformador a relação entre a voltagem VP de entrada na bobina do
primário e a voltagem de saída VS na bobina do secundário vale
VS =
NS
NP
VP (3.8.1)
onde NP e NS representam o número de voltas da bobina do primário e do secundário,
respectivamente. É possível ter um transformador com mais de um secundário, ou seja, um
transformador que tenha duas saídas com 2 voltagens diferentes?
A idéia deste problema é vocês pesquisarem um pouco sobre transformadores, um assunto rela-
tivamente simples e fácil de entender. Qualquer livro de física básica discute transformadores.
Mas convém estabelecer uma certa terminologia. Um transformador é, no caso mais simples,
compostos sempre de 2 bobinas conectadas por um núcleo de ferro - pensem nestes transfor-
madores 110 - 220 que temos muitas vezes em casa. Digamos que voce tenha uma tomada 110
e um aparelho 220. Daí você liga o lado marcado 110 na tomada, que é tensão de entrada
ou primário do transformador. Do outro lado surgirá uma tensão 220, a tensão de saída ou
secundário do transformador. O primeiro ponto importante: transformadores são sempre bi-
volts, quer dizer, você ligar o mesmo transformador na tomada 220 e obter uma tensão 110
do outro lado. Assim, o primário ou secundário é simplesmente uma questão de quem voce
coloca na