PROPRIEDADE DAS ÁREAS

Prévia do material em texto

1
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
O momento estático será usado mais adiante quando estudarmos CISALHAMENTO NA FLEXÃO, 
usaremos este conceito para a determinação do Centro de Gravidade de superfícies planas.
2
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Determinação do Baricentro
Antes vamos apresentar o conceito de Centroide de uma Area.
3
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
4
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
5
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Determinação do Baricentro
A seção transversal dos elementos estruturais são superficies planas e se o material do
elemento estrutural e homogêneo, então, o Baricentro ou Centro de Gravidade (Centro de
Massa) coincide com o CENTROÍDE (Centro Geometrico).
Exemplo 1
Determine a posição do CG de uma seção transversal retangular:
6
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Por analogia determinamos a posição de 
7
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Determinação do Baricentro
Exemplo 2
Determine a posição do CG de uma seção transversal triangular:
8
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Exemplo 2
Determine a posição do CG de uma seção transversal triangular:
9
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Determinação do Baricentro
A seção transversal dos elementos estruturais são superficies planas e se o material do
elemento estrutural e homogêneo, então, o Baricentro ou Centro de Gravidade (Centro de
Massa) coincide com o CENTROÍDE (Centro Geometrico).
Exemplo 2
Determine a posição do CG de uma seção transversal triangular:
10
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
➢ Posição do Centroide das Principais Figuras.
11
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
➢ Posição do Centroide das Principais Figuras.
12
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
13
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
14
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
15
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
DETERMINE A LOCALIZAÇÃO DO CENTROIDE DA FIGURA A SEGUIR
Cotas em centimetros..
16
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Momento de Inercia (Momento de 2ª Ordem)
O momento de Inercia de uma Área e dado pelas integrais a seguir
17
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Momento Polar de Inercia
18
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢Teorema dos Eixos Paralelos, também 
chamando Teorema de Steiner.
19
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Exemplo: Determine o momento de inercia para uma seção retangular:
a) em relação ao eixo x que passa pelo centroide.
b) Em relação ao eixo Xb, que passa pela base.
Por analogia,
temos:
20
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
b) Em relação ao eixo Xb, que passa pela base.
Temos que usar o Teorema dos Eixos Paralelos
21
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Momento de Inercia das Demais Figuras Planas
Ver TABELA DE CARACTERISTICAS GEOMETRICAS
22
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Retornar os exemplos A.2 e A.3 apresentados 
anteriormente e determiner os momentos de 
inercia.
23
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Produto de Inercia
➢ O produto de inercia sera NULO se X ou Y for um eixo 
de simetria.
24
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Aplicação do Teorema dos Eixos Paralelos para a 
determinação do Produto de Inercia
25
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Termo 1 – Representa o produto de inercia da area em relação ao 
eixo Centroide.
Termo 2 e 3 – Equivalem a zero, já que os momentos de área são 
considerados em torno do eixo Centroíde.
Termo 4 – Representa a área da figura multiplicada pelas 
distâncias (dx e dy).
26
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Exemplo: Determine o produto de inercia em relação aos eixos x e
y da seção transversal abaixo.
27
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Momento de Inercia em torno de eixos inclinados
Em projetos estruturais, em algumas situações precisamos determinar os
momentos e produto de inercia em relação a um Sistema de eixos
rotacioandos (X’ e Y’ ), desde que conheçamos o ângulo de rotação (θ) e os
momentos de Inercia e Produto de Inercia em relação ao Sistema de
coordenadsa X e Y em torno de eixos inclinados
28
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Momento de Inercia em torno de eixos inclinados
Livro: Res. Mat- R. C. Hibbeler- 7a Ed.
29
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Momento de Inercia em torno de eixos inclinados
Livro: Res. Mat- R. C. Hibbeler- 7a Ed.
30
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Momento de Inercia em torno de eixos inclinados
Livro: Res. Mat- R. C. Hibbeler- 7a Ed.
31
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Momento de Inercia em torno de eixos inclinados
Livro: Res. Mat- R. C. Hibbeler- 7a Ed.
32
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
➢ Momentos Principais de Inercia
Pode ser observado nas equações apresentadas anteriormente,
haverá um ângulo (θ) de inclinação dos eixos em que os
momentos de inercia serão máximo e mínimo, respectivamente.
Para isso vamos derivar a 1ª equação do grupo I, apresentada
anteriormente e igualar a zero.
Igualando θ = θP, temos:
33
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
A equação II tem duas raízes possíveis, como pode ser visto na 
figura a seguir:
34
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Da figura anterior temos:
35
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Substituindo os valores dos senos e cossenos de 2θP1 e 2θP2 nas 
equações I apresentadas anteriormente, temos:
36
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Exemplo: Determine os momentos principais de inercia para a 
seção transversal da viga mostrada a seguir:
37
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
USO DO CIRCULO DE MOHR PARA OBTER OS MOMENTOS 
DE INERCIA MAXIMO E MINIMO.
Elevando ao quadrado a primeira e a terceira das equações a
seguir e somando obtemos a equação II:
38
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
USO DO CIRCULO DE MOHR PARA OBTER OS MOMENTOS 
DE INERCIA MAXIMO E MINIMO.
Na equação II conhecemos Ix e Iy e precisamos determinar Ix’
e Ix’y’. Portanto, podemos reescreve-la, como:
A representação gráfica da equação acima e um circulo de raio
igual a:
Cujo centro esta localizado no ponto (a,0), onde a e igual a (Ix +
Iy)/2.
O circulo construído dessa maneira é denominado de circulo de
MOHR.
39
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
CONSTRUÇÃO DO CIRCULO DE MOHR
1) Calcule Ix, Iy e Ixy
➢ Determine os eixos x, y para a área, com a origem
localizada no ponto P de interesse, normalmente o centroíde, e
determine Ix, Iy e Ixy (ver figura a seguir).
40
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
CONSTRUÇÃO DO CIRCULO DE MOHR2) Determine um sistema de coordenadas
retangulares tal que o eixo da abscissa
representa o momento de inércia I e a
ordenada represente o produto de inércia
Ixy.
3) Determine o centro do circulo C, que está
localizado a uma distância (Ix + Iy)/2 da
origem e marque o ponto de referência A,
cujas coordenadas são ( Ix, Ixy). Por
definição Ix é sempre positivo ao passo que
Ixy será positivo ou negativo.
3) Ligue o ponto de referência A ao centro do
círculo e determine a distância CA por
trigonometria. Essa distância representa o
raio do circulo.
4) Por fim trace o círculo.
41
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Indicação dos Momentos Principais de Inércia no Circulo de Mohr
Os pontos onde o círculo de Mohr intercepta o
eixo das abcissa dão os valores dos momentos
principais de inércia IMAX e IMIN. Observe que o
produto de inércia é nulo nestes pontos.
A direção do eixo principal maior (IMAX) será
obtida por trigonometria, isto é, o ângulo 2θP1 ,
medido entre o raio CA e o eixo I positivo. Esse
ângulo representa duas vezes o ângulo entre o
eixo X e o eixo de momento de inercia máximo
(IMAX) (ver figura a seguir).
O ângulo no circulo 2θP1 e o ângulo na área θP1
devem ser medidos no mesmo sentido, como
mostrado na Figura a seguir. O eixo principal
menor (IMIN), que é perpendicular ao eixo
maior que define IMAX.
42
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Exemplo: Usando o Circulo de Mohr, determine o momento de inercia
maximo e minimo para a seção transversal mostrado no exemplo A.6
43
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Solução
44
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Solução
45
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Solução
46
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Solução
47
DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Resolver os problemas propostos A.1 a A,20 do livro do Hibbeler.