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EC702 – CONCRETO ARMADO I FLEXÃO SIMPLES - DIMENSIONAMENTO EXERCÍCIOS Professores : ARMANDO LOPES MORENO JR. MARIA CECILIA AMORIM TEIXEIRA DA SILVA Monitoras PED: SUSANA DE LIMA PIRES - 2005 MARCELLE ANDRADE COSTA - 2004 Monitor PAD: RODOLFO GONÇALVES FURTADO LIMA - 2006 2006 1- Calcular e detalhar a armadura longitudinal para a viga de concreto armado abaixo, na seção de maior momento, dimensionando-a como peça sub-armada. 2 s KN/cm 21000E = MPa 30fck = 50-CA cm 3c = 1,4γ f = 1,4γ c = 1,15γ s = Estribo 5.0mmφ RESOLUÇÃO a) Cálculo do momento: 8 4.50.4,1 8 q.l1,4M 22 d == KN.cm14000KN.m140Md == b) Características da seção: Seção retangular Æ 0,8.x.bwAc = Adotando ⎩⎨ ⎧ = = 5cmd' 35cmd c) Características dos materiais: Concreto: MPa 30fck = 2 c ck cd KN/cm14,2MPa 43,121,4 30 γ f f ==== Armadura: CA-50 2yk KN/cm05MPa 005f == 2 s yk yd KN/cm 5,431,15 50 γ f f === 0,207%0,00207 21000 43,5 E f ε s yd yd ==== 2,3 2,3 xd x 1,0 0,35 −= 3,4 3,4 xd x 0,207 0,35 −= 2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,207x −= 0,259dx 2,3 = d628,0x3,4 = 9,1cmx 2,3 = 21,98cmx3,4 = d) Cálculo da armadura: 50KN/m 400 cm 435 0,207 1 sσ (Mpa) sε (%) 2 3 4 x2,3 x3,4 0,35% 0,207% 1% 20cm 40cm 1a Tentativa: • Armadura simples • Peça sub-armada Æ ¾ Domínio 2 ou 3 ¾ Armadura escoando yds fσ = Equação de equilíbrio para o momento: (2ª equação) 0,4x)(dσA.zRM ccccd −== 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd −= 0,4.x).(df0,68.x.bw.M cdd −= d x β x = )0,4.β(1.β.d0,68.bw.fM xx 2 cdd −= )0,4.β(1.β0,68.f 1k xxcd c −= c 2 d k bw.dM = 75,1 14000 20.35 M bw.dk 2 d 2 c === Pela tabela 1 temos: 49,0β x = Æ ⎩⎨ ⎧ = = cm15,17x .dβx x Domínio 3!! . 029,0ks = Equação de equilíbrio para a força normal: (1ª equação) sc RR0 −= sscc .σA.σA0 −= sscd .σA,85.f0,8.x.bw.00 −= ssxcd .σA.d.β0,68.bw.f0 −= ss x d .σA )0,4βd.(1 M 0 −−= )0,4β.d.(1σ M A xs d s −= Æ tabela 1 Æ )0,4.β.(1σ 1k xs s −= 2dss 11,6cm35 140000,029 d M kA === Portanto: 2s cm6,11A = Æ 4φ 20mm(3,15 cm²/barra) e) Verificação do d e detalhamento: cm33 2 320,5340dreal =−−−−= adotadoreal dd < REDIMENSIONAR f) Redimensionando para 33cmd = : 3 40cm 20cm 4φ 20mm • Armadura simples • Peça sub-armada ¾ Domínio 2 ou 3 ¾ Armadura tracionada escoando Æ yds fσ = 0,259dx 2,3 = d628,0x3,4 = cm55,8x 2,3 = cm72,20x3,4 = Equação de equilíbrio para o momento: (2ª equação) 0,4x)(dσA.zRM ccccd −== c 2 d k bw.dM = 56,1 14000 20.33 M bw.dk 2 d 2 c === Pela tabela 1 temos: 57,0β x = Æ Como βx =0,57>0,5 →βx=0,5 ⎩⎨ ⎧ = = cm5,16x .dβx x Domínio 3!! ---- Armadura dupla. Md = Rczc+Rs(d-d´) Md = Md1+ΔMd Md1 = Rczc = 0,8.x.bw.0,85.fcd.(d-0,4.x) = 0,8.16,5.20.0,85.2,14.(33-0,4.16,5) = 12694,62KN/cm2 Ou pela tabela 1 para βx = 0,5 → Kc = 1,716 → Ks = 0,029 31,12692 716,1 33.20 k bw.dM 2 1 c 2 d1 ==→= dM KN/cm2 Equação de equilíbrio para a força normal: (1ª equação) s1c1 RR0 −= ss1c1c1 .σA.σA0 −= ss1cd .σA,85.f0,8.x.bw.00 −= ss1xcd .σA.d.β0,68.bw.f0 −= ss1 x d1 .σA )0,4βd.(1 M 0 −−= )0,4β.d.(1σ M A xs d1 s1 −= )0,4.β.(1σ 1k xs s −= 33 12692,31029,0 d M kA d1ss1 == 2s1 cm15,11A = dd1d MMM Δ+= dM62,1269414000 Δ+= KN.cm38,1305ΔMd = )d'(dRΔM s2d −= )d'(d'RΔM sd −= )d'(d.σAΔM ss2d −= s s2 σ 1k = )d'(d''.σAΔM ssd −= 'σ 1'k s s = )d'(d ΔM A d2s2 −= sk )d'(d ΔM ''A ds −= sk Pela tabela 2 temos: 023,0k s2 = Pela tabela 3 – para βx=0,5 e η=0,15 023,0'k s = 5)(33 1305,38023,0As2 −= 5)(33 1305,38023,0'As −= 2 s2 cm07,1A = 2s cm07,1'A = 2 s2s1s cm22,1207,115,11AAA =+=+= Portanto: 2s cm22,12A = Æ 4φ 20mm 2s cm07,1'A = Æ 2φ 10mm g) Verificação do d e detalhamento: cm332/320,5340d real =−−−−= adotadoreal dd = OK! Verificação do ah ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ === == = ≥ cmmmmmmáxagreg cmmmbarra cmmm ah 33025.2,1..2,1 220 220 φ ah = (20-2.3-2.0,5-2.2) = 9 cm → OK! 3 40cm 20cm 4φ 20mm o o 2- Para a viga contínua da figura, admitida como seção constante, determinar as armaduras para o apoio central: MPa 20fck = 40-CA cm 3c = 1,4γ f = 1,4γ c = 1,15γ s = Estribo 5.0mmφ RESOLUÇÃO Cálculo do momento: 270KN.m 8 60.6 8 q.lM 22 apoio === KN.cm37800KN.m378M.4,1M apoiod === Características da seção: ⎭⎬ ⎫ << << 12,5cmx0 10cmy0 Æ 0,8.x.bwAc = ⎭⎬ ⎫ << << cm5,73xcm5,21 cm03y10cm Æ 32x60010)4.10.(y100.10Ac +=−+= ⎭⎬ ⎫ << << cm04xcm5,73 40cmycm03 Æ 120080x30)100.(y4.10.20100.10Ac −=−++= Adotando ⎩⎨ ⎧ = = 5cmd' 35cmd Características dos materiais: Concreto: MPa 20fck = 2 c ck cd KN/cm43,1MPa 3,141,4 20 γ f f ==== 6 m 6 m 60KN/m 40cm 10cm 20cm 10cm 20cm 10cm 20cm 10cm 10cm 20cm 10cm 100cm Armadura: 40-CA 2yk KN/cm04MPa 004f == 2 s yk yd KN/cm 78,341,15 40 γ f f === %166,0 21000 34,78 E f ε s yd yd === 2,3 2,3 xd x 1,0 0,35 −= 3,4 3,4 xd x 0,166 0,35 −= 2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,166x −= 0,259dx 2,3 = d678,0x 3,4 = 9,1cmx 2,3 = 23,73cmx 3,4 = Cálculo da armadura: 1a Tentativa: • Armadura simples • 12,5cmx0 << Æ Seção retangular Armadura escoando yds fσ = Equação de equilíbrio para o momento: 0,4x)(dσA.zRM ccccd −== 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd −= 0,4.x).(df0,68.x.bw.M cdd −= d x β x = )0,4.β(1.β.d0,68.bw.fM xx 2 cdd −= )0,4.β(1.β0,68.f 1k xxcd c −= c 2 d k bw.dM = )0,4.β(1β0,68.1,43. 13,24 xx − = 24,3 27000 100.35 M bw.dk 2 d 2 c === 12,2β x1 = Falso!! 0,1β x1 < 372,0β x2 = 372,0β x = Æ ⎩⎨ ⎧ = = cm05,13x .dβx x Domínio 3 – Hipótese falsa! 2a Tentativa: • Armadura simples • 23,73cmx12,5 << • Armadura escoando yds fσ = Observação : xdzc 4,01 −= e 52 −= dzc Equação de equilíbrio para o momento: ccc zAzA σ)(.zRM 2211ccd +== 43,1.85,0)]5.(20.10.3).4,0.(.8,0.10.4[Md −+−= dxdx 347,8 0,166 1 sσ (Mpa) sε (%) 2 3 4 x2,3 x3,4 0,35% 0,166% 1% 22,1]18000.1120.8,12[37800 2 −+−= xx d x β x = 013983,6-.x120112,8x- 2 =+ x1= 13,75 cm→ 4,0β x1 = Æ Dentro do intervalo Æ OK!! x2= 73,74 cm → 10,2β x1 = Æ Fora! Equação de equilíbrio para a força normal: sc R -R0 = sscc .σA-.σA0 = 78,34.78,34.35,2043,1.85,0)].20.10.3(0 sA−+= 85,0.43,1].6009,13.32[78,34. +=sA 2s 51,36A cm= Portanto: 2s 51,36A cm= Æ 14φ 20mm – parte superior da viga Verificação do de detalhamento: cm50,35 2 2,00,5340d real =−−−= adotadoreal dd > OK!!! Verificação do ah ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ === == = ≥ cmmmmmmáxagreg cmmmbarra cmmm ah 33025.2,1..2,1 0,220 220 φ ah = (100-2.3,0-2.0,5-14.2,0)/13 = 5 cm → OK! 3- Dada a viga, dimensioná-la, com armadura simples e detalhá-la na seção do apoio de tal maneira que no E.L.U tenhamos: I) tensão na armadura de tração de 40KN/cm2 II) encurtamento do concreto de 0,32% Qual o melhor dimensionamento para a viga (I ou II)? Justifique sua resposta. Aço CA-50 25MPafck = 2 s 21000KN/cmE = 3cmc = Estribo φ 6,3mm 1,4γc = 1,4γ f = 1,15γ s = RESOLUÇÃO a) Cálculo do momento: KN.cm 4000KN.m 4020.2M === KN.cm 56001,4.MMd == b) Características da seção: Seção retangular Æ 0,8.x.bwAc = c) Característica dos materiais: Concreto: 25MPafck = 2cd 1,79KN/cmMPa9,17f == Armadura: Aço CA-50 2yk 50KN/cmMPa500f == 2yd 43,5KN/cmf = 0,207%ε yd = 2,3 2,3 xd x 1,0 0,35 −= 3,4 3,4 xd x 0,207 0,35 −= 2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,207x −= 0,259dx2,3 = d628,0x 3,4 = I) Adotando tensão na armadura de tração igual à 40KN/cm2 d) Cálculo da armadura: 15cm h =? 43,5 0,207 10 sσ (KN/cm ) 2 sε (%) 2 3 4 x2,3 x3,4 0,35% 0,207% 1% 20KN 2 m 4 m 2 m 20KN • Armadura Simples • yd2s f40KN/cmσ <= (Domínio 4) sss .Eεσ = xd 0,19 x 0,35 −= .21000ε40 s= 0,35x0,35d0,19x −= 0,19%ε s = 0,647dx = 0,647 d x β x == Equação de equilíbrio para o momento: 0,4x)(dσA.zRM ccccd −== 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd −= 0,4.x).(df0,68.x.bw.M cdd −= d x β x = )0,4.β(1.β.d0,68.bw.fM xx 2 cdd −= 0,4.0,647).0,647(179.d0,68.15.1,6005 2 −= 25,29cmd = Equação de equilíbrio para a força normal: sc RR0 −= sscd .σA.x0,68.bw.f0 −= ssxcd .σA.d.β0,68.bw.f0 −= .d.β0,68.bw.f.σA xcdss = )0,4.βd.(1 M .σA x d ss −= )0,4.β(1σ 1k xs s −= d M kA dss = 034,00,4.0,647)40(1 1k s =−= 29,25 5600034,0As = 2s cm53,7A = Portanto: 2s cm53,7A = Æ 4φ 16mm e) Detalhamento: 32cm 2 36,10,633dh =++++= II) Adotando o encurtamento do concreto igual à 0,32%. f) Cálculo da armadura: • Armadura Simples x d 0,35% 0,191% 32cm 15cm 4 16mmφ3 • 0,32%ε c = (Domínio 2) 2 yds 43,5KN/cmfσ == xd 1% x 0,32% −= x32,0d23,01,0x −= d24,0x = 0,24 d x β x == )0,4.β.(1.β.d0,68.bw.fM xx 2 cdd −= 0,4.0,24).0,24.(179.d0,68.15,1,5600 2 −= cm6,37d = )0,4.βd.(1 M .σA x d ss −= 0,4.0,24)37,6.(1 5600.43,5As −= 2s cm79,3A = Portanto: 2s cm79,3A = Æ 2φ 16mm g) Detalhamento: 42cm 2 1,60,634dh =+++= De acordo com a NBR 6118/2003 o dimensionamento deve ser realizado com x/d≤ 0,5 para fck≤ 35 MPa. Na primeira situação o dimensionamento foi efetuado com x/d>0,5, desta forma está não pode ser considerada uma situação aceitável de dimensionamento. d’ d x 1% 0,32% 42cm 15cm 2 16mmφ 4- Dimensionar a viga de concreto armado abaixo supondo armadura de compressão no início do patamar de escoamento. CA-50 20MPafck = Estribo φ 6,3 mm 3cmc = 2 s 21000KN/cmE = 1,4γ c = 1,4γ f = 1,15γ s = RESOLUÇÃO a) Cálculo do momento: KN.m94,75 8 30.(4,5) 8 q.lM 22 === 7594.4,1Md = KN.cm7594M = KN.cm60,10631Md = b) Características da seção: ⎭⎬ ⎫ << << cm5,73x0 30cmy0 Æ 0,8.x.bwAc = ⎭⎬ ⎫ << << cm40x7,5cm3 cm04y30cm Æ 600-x2830)(y.3515.30Ac =−+= Adotando ⎩⎨ ⎧ = = 5cmd' 35cmd c) Características dos materiais: Concreto: 20MPafck = 2cd KN/cm43,1MPa29,41f == Armadura: Aço CA-50 2yk 50KN/cmMPa500f == 2yd 43,5KN/cmf = 0,207%ε yd = 2,3 2,3 xd x 1,0 0,35 −= 3,4 3,4 xd x 0,207 0,35 −= 2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,207x −= 0,259dx2,3 = d628,0x 3,4 = 2 3 4 x2,3 x3,4 0,35% 0,207% 1% 435 0,207 1 Sσ Sε (%) (Mpa) 30cm 10cm 35cm 10cm10cm 15cm 9,1cmx 2,3 = 21,98cmx 3,4 = d) Cálculo da armadura: 1a Tentativa: • Armadura simples • cm5,73x0 << Æ 0,8.x.bwAc = Armadura escoando yds fσ = Equação de equilíbrio para o momento: 0,4x)(dσA.zRM ccccd −== 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd −= 0,4.x).(df0,68.x.bw.M cdd −= d x β x = )0,4.β(1.β.d0,68.bw.fM xx 2 cdd −= ).4,01(35.43,1.15.68,025,10631 2 xx ββ −= Então βx =1,54 (domínio 5 – incompatível) Ou βx =0,96 (domínio 4). Mas βx =0,96 ≥ 0,5, portanto deve-se REDIMENSIONAR! 2a Tentativa: • Armadura dupla • Domínio 3 Æ cm98,21x,10cm9 << Armadura tracionada escoando Æ yds fσ = Supondo início de escoamento da armadura de compressão no domínio 2: x'd d'- x' 1,0 'ε s −= 'x-d d'- 'x 'ε yd = 'x-35 5- 'x 0,207 = 10,15cm x' = Falso! Pois domínio 2 Æ cm10,9x < Supondo início de escoamento da armadura de compressão no domínio 3: d’ d x’ 1% ‘ Sε x' d'- x' 0,35 'ε s = x' 5- x' 0,35 'ε yd = x' 5- x' 0,35 0,207 = cm 24,21 x' = OK! Escoamento inicia no domínio 3! Armadura comprimida escoando Æ 'f'σ yds = Adotando cm24,12x = Equação de equilíbrio para o momento: )d'-d(R.zRM sccd += dd1d MMM Δ+= c1c1d1 .zRM = 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd1 −= )0,4.β(1.β.d0,68.bw.fM xx 2 cdd1 −= c 2 d1 k bw.dM = 35,0 35 12,24 d x β x === Pela tabela 1 temos: 027,0k 42,3k s c = = 2 2 c 2 d1 KN/cm81,53723,42 15.35 k bw.dM === Equação de equilíbrio para a força normal: s1c1 RR0 −= ss1c1c1 .σA.σA0 −= ss1cd .σA,85.f0,8.x.bw.00 −= ss1xcd .σA.d.β0,68.bw.f0 −= ss1 x d1 .σA )0,4βd.(1 M 0 −−= )0,4β.d.(1σ M A xs d1 s1 −= )0,4.β.(1σ 1k xs s −= 35 5372,81027,0 d M kA d1ss1 == 2s1 cm15,4A = dd1d MMM Δ+= dM81,53728400 Δ+= x’ 0,35 Sε d’ ‘ KN.cm19,3027ΔMd = )d'(dRΔM s2d −= )d'(d'RΔM sd −= )d'(d.σAΔM ss2d −= s s2 σ 1k = )d'(d''.σAΔM ssd −= 'σ 1'k s s = )d'(d ΔM A d2s2 −= sk )d'(d ΔM ''A ds −= sk Pela tabela 2 temos: 023,0k s2 = Pela tabela 3 temos: 024,0'k s = 5)(35 3027,19023,0As2 −= 5)(35 3027,19024,0'As −= 2 s2 cm32,2A = 2s cm42,2'A = 2 s2s1s cm47,632,215,4AAA =+=+= Portanto: 2s cm47,6A = Æ 6φ 12,5mm 2s cm42,2'A = Æ 2φ 12,5mm h) Verificação do d e detalhamento: cm75,35 2 1,250,63340d real =−−−= adotadoreal dd > OK! cm26,4 2 1,250,633d'real =++= cm5d'd' adotadoreal =< OK! φ6 12.5mm φ2 12.5mm 5- Dimensionar a armadura para a seção dada, sujeita a um momento fletor em serviço de 60 KN.m: CA-50 20MPafck = Estribo φ 5.0 mm 2,5cmc = 2 s 21000KN/cmE = 1,4γ c = 1,4γ f = 1,15γ s = RESOLUÇÃO i) Cálculo do momento: 8400KN.cm84KN.m60KN.m.4,11,4.MM Kd ==== j) Características da seção: ⎭⎬ ⎫ << << cm25,6x0 5cmy0 Æ Seção retangular ⎭⎬ ⎫ << << cm5,12x,25cm6 cm10y5cm Æ Seção vazada ⎭⎬ ⎫ << << cm25x2,5cm1 cm20y10cmÆ Seção vazada ⎭⎬ ⎫ << << cm5,37x5cm2 cm30y20cm Æ Seção vazada ⎭⎬ ⎫ << << cm50x7,5cm3 cm50y30cm Æ Seção vazada Adotando ⎩⎨ ⎧ = = 5cmd' 45cmd k) Características dos materiais: Concreto: MPa 20fck = 2 c ck cd KN/cm43,1MPa 3,141,4 20 γ f f ==== M 20cm 5cm 5cm 5cm 5cm 10cm 50cm 10cm 10cm 20cm Armadura: CA-50 2yk KN/cm05MPa 005f == 2 s yk yd KN/cm 5,431,15 50 γ f f === 0,207%0,00207 21000 43,5 E f ε s yd yd ==== 2,3 2,3 xd x 1,0 0,35 −= 3,4 3,4 xd x 0,207 0,35 −= 2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,207x −= 0,259dx 2,3 = d628,0x 3,4 = cm66,11x 2,3 = cm26,82x 3,4 = l) Cálculo da armadura: 1a Tentativa: • Armadura simples • cm25x2,5cm1 << Æ c3c2c1c AAA.2A ++= 50-x1610)0.(y15.10.y5.2Ac =−++= 0,8.x.5.20,8.x.bw.2Ac1 == Æ .x8Ac1 = 0,4.x-540,4.x-dz1 == 5.10Ac2 = Æ 50KNAc2 = 42,5cm2,5452,5dz2 =−=−= ( )10-y10.Ac3 = Æ 100-.x8Ac3 = 0,4x50 2 10-0,8x-45 2 10-y-dz3 −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= Armadura escoando yds fσ = Equação de equilíbrio para o momento: c3c3c2c2c1c1ccd .zR.zR.zR.zRM ++== 0,4x)(50σA(42,5)σA0,4x)(45σAM c3c3c2c2c1c1d −++−= 0,4x)(50f100).0,85.-x8((42,5)50.0,85.f0,4x)(458.x.0,85.fM cdcdcdd −++−= 100)-x8(0,4x)..(50f.85,0.f25,18060,4x)(45.x.f8,6M cdcdcdd −++−= 100)-8x(0,4x)..(5043,1.85,0.1,4325,18060,4x)x.1,43(45.8,64008 −++−= 1,35cm11x1 = Falso ! cm76,13x 2 = OK! Domínio 3! Equação de equilíbrio para a força normal: sc RR0 −= 435 0,207 1 sσ (Mpa) sε (%) 2 3 4 x2,3 x3,4 0,35% 0,207% 1% 1 1 2 3 sc3c2c1 RRRR0 −++= ssc3c3c2c2c1c1 .σA.σA.σA.σA0 −++= sscdcdcd .σAf100).0,85.-8x(50.0,85.f8.x.0,85.f0 −++= cdcdcdss f100).0,85.-8x(.f5,24.x.f8,6.σA ++= s cdcdcd s σ f100).0,85.-8x(.f5,24.x.f8,6 A ++= 43,5 1,43100).0,85.-.13,768(.1,435,243.13,76.1,48,6As ++= 2 s 4,75cmA = Portanto: 2s cm75,4A = Æ 4φ 12,5mm m) Verificação do d e detalhamento: cm38,46 2 1,250,52,550d real =−−−= 45dd adotadoreal => OK! φ4 12.5mm
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