Solucionário Estatística Geral e Aplicada

Prévia do material em texto

Gilberto de Andrade Martins
Estatística Geral
e Aplicada
Solução dos Exercícios
2a Edição
SÃO PAULO
EDITORA ATLAS S.A. – 2002
Soluções e Respostas
Capítulo 2 – Estatística Descritiva
SÉRIE I
2.1
Oceano Antártico Ártico Atlântico Índico Pacífico
Área (milhões
km2) 36,8 23,2 199,4 137,9 342,7
Área dos Oceanos (em colunas)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Antártico Ártico Atlântico Índico Pacífico
Oceano
Ár
ea
 (m
ilh
õe
s k
m2
)
Área dos Oceanos (em barras)
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Antártico
Ártico
Atlântico
Índico
Pacífico
O
ce
an
os
Área (milhões km2)
Área dos Oceanos (em pizza)
3%
27%
19%
46%
5%
Antártico
Ártico
Atlântico
Índico
Pacífico
2.2
Natureza Valor
Dívida externa líquida 111631
Governo federal e Bacen 248292
Governos estaduais e municipais 167850
Empresas estatais 13324
Dívida líquida total do setor público de maio de 2000 (em colunas)
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
Dívida externa
líquida
Governo federal e
Bacen
Governos estaduais
e municipais
Empresas estatais
Natureza
Va
lo
r
Dívida líquida total do setor público de maio de 2000 (em barras)
0 50000 100000 150000 200000 250000 300000
Dívida externa líquida
Governo federal e
Bacen
Governos estaduais e
municipais
Empresas estatais
N
at
ur
ez
a
Valor
Dívida líquida total do setor público de maio de 2000 (em pizza)
21%
46%
31%
2%
Dívida externa líquida
Governo federal e Bacen
Governos estaduais e
municipais
Empresas estatais
2.3
a) Amplitude: r = 97 – 33 = 64
Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log50 • 7
Tamanho do intervalo: h • 64 / 7 • 10
Classe Intervalos Fi fi % Fac fac %ac xi
1 30 • 40 4 0,08 8 4 0,,08 8 35
2 40 • 50 6 0,12 12 10 0,20 20 45
3 50 • 60 8 0,16 16 18 0,36 36 55
4 60 • 70 13 0,26 26 31 0,62 62 65
5 70 • 80 9 0,18 18 40 0,80 80 75
6 80 • 90 7 0,14 14 47 0,94 94 85
7 90 • 100 3 0,06 6 50 1,00 100 95
Somas 50 1 100
b) 
His tograma de Freqüênc ia A bs oluta
0
2
4
6
8
10
12
14
30 • 40 40 • 50 50 • 60 60 • 70 70 • 80 80 • 90 90 • 100
Interv alos de Clas s es
F
i
His tograma de Freqüênc ia Relativ a
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
30 • 40 40 • 50 50 • 60 60 • 70 70 • 80 80 • 90 90 • 100
Interv alos de Clas s es
fi
c) 60 • 70.
d) 19 alunos.
e) x1 = 35.
2.4
a) Amplitude: r = 190 – 151 = 39.
b) Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log100 • 8.
c) Tamanho do intervalo: h • 39 / 8 • 5.
d) e e)
Classe Intervalos Fi fi % Fac fac %ac xi
1 151 • 156 4 0,04 4 4 0,04 4 153,5
2 156 • 161 4 0,04 4 8 0,08 8 158,5
3 161 • 166 11 0,11 11 19 0,19 19 163,5
4 166 • 171 33 0,33 33 52 0,52 52 168,5
5 171 • 176 17 0,17 17 69 0,69 69 173,5
6 176 • 181 17 0,17 17 86 0,86 86 178,5
7 181 • 186 9 0,09 9 95 0,95 95 183,5
8 186 • 191 5 0,05 5 100 1,00 100 188,5
Ó 100 1 100
f)
His tograma de Freqüênc ia A bs oluta
0
5
10
15
20
25
30
35
151 •
156
156 •
161
161 •
166
166 •
171
171 •
176
176 •
181
181 •
186
186 •
191
Interv alos de Clas s es
F
i
His tograma de Freqüênc ia Relativ a
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
151 •
156
156 •
161
161 •
166
166 •
171
171 •
176
176 •
181
181 •
186
186 •
191
Interv alos de Clas s es
fi
g) A menor altura é 1,51 m, enquanto a maior altura atinge 1,90m. Entre 1,66 e 1,70m,
encontram-se 33% do total. A quantidade de pessoas altas é maior do que a proporção de
pessoas com estaturas mais baixas – 48% = 17% + 17% + 9% + 5% têm alturas superiores a
1,70 m, enquanto 19% = 11% + 4% + 4% possuem alturas inferiores a 1,65m.
2.5
-
SÉRIE II
2.6
xmedia = Ó notas / nº de notas = 35,5 / 7 = 5,07 ou seja, aluno APROVADO.
2.7
xmedia = Ó defeitos / nº de computadores = (15 * 0 + ... + 6 * 6) / 100 = 2,21.
2.8
a) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (3 * 2 + ...+ 12 * 3) / 22 = 6,82.
b) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (10 * 5 + ... + 13 * 6) / 29 = 11,59.
c) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (2 * 3 + ... + 6 * 3) / 28 = 4.
d) xmedia = (Ó xi * fi) = (7 * 1/16 + ... + 11 * 5/16) = 9,03.
e) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (85 * 5 + ... + 90 * 5) / 24 = 87,88.
f) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (5 * 18 + ... + 17 * 12) / 175 = $ 1061,00.
2.9
Média aritmética dos dados não agrupados = Ó observações / n = 3230 / 50 = 64,60.
Média aritmética dos dados agrupados= (Ó xi * Fi) / n = (4 * 35 + ... + 3 * 95) / 50 = 65.
Diferença: 64,60 – 65 = – 0,4.
2.10
Média aritmética dos dados não agrupados = Ó observações / n = 17138 / 100 = 171,38.
Média aritmética dos dados agrupados= (Ó xi * Fi) / n = (4 *153,5 + ... + 5 * 188,5) / 100 =
171,85.
Diferença: 171,38 – 171,85 = – 0,47 m.
2.11
-
SÉRIE III
2.12
 I) xmediana (n ímpar ) = 4.
 II) xmediana (n par) = 5.
 III) xmediana (n ímpar) = 8.
 IV) xmediana (n par) = 87.
2.13
 I) xmediana (n par ) = 4.
 II) xmediana (n ímpar) = 77.
 III) xmediana (n par) = 13.
 IV) xmediana (n ímpar) = 235.
2.14
 I) n / 2 = 29 / 2 = 14,5
xmediana = lMd + [(n / 2 – Óf) * h] / FMd = 5 + [(14,5 – 8) * 2] / 8 = 6,63.
 II) n / 2 = 93 / 2 = 46,5
xmediana = lMd + [(n / 2 – Óf) * h] / FMd = 28 + [(46,5 – 43) * 3] / 30 = 28,35.
2.15
 I) Maior número de observações iguais, Mo = 7.
 II) Maior número de observações iguais, Mo = 43.
2.16
 I) Maior número de observações iguais, Mo = 80.
 II) Maior número de observações iguais, Mo = 3,5.
2.17
 I) Maior número de observações iguais 13 • 16
Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 13 + [5 / (5 + 5)] * 3 = 14,5.
 II) Maior número de observações iguais 20 • 30
Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 20 + [5 / (5 + 3)] * 10 = 26,25.
2.18
 I) i * n / 10 = 6 * 35 / 10 = 21
Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 8 + [(21 – 15) * 2] / 15 = 8,08, ou seja, 60% dos valores
da amostra estão abaixo do valor 8,08.
i * n / 100 = 65 * 35 / 100 = 22,75
Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 8 + [(22,75 – 15) * 2] / 15 = 9,03, ou seja, 65% dos
valores da amostra estão abaixo do valor 9,03.
i * n / 4 = 35 / 4 = 8,70
Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 6 + [(8,70 – 4) * 2] / 11 = 6,86, ou seja, 25% dos valores
da amostra estão abaixo do valor 6,86.
 II) i * n / 10 = 2 * 24 / 10 = 4,8
Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 30 + [(4,8 – 3) * 10] / 5 = 33,60, ou seja, 20% dos
valores da amostra estão abaixo do valor 33,60.
i * n / 100 = 43 * 24 / 100 = 10,32
Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 40 + [(10,32 – 8) * 10] / 10 = 42,32, ou seja, 43% dos
valores da amostra estão abaixo do valor 42,32.
i * n / 4 = 3 * 24 / 4 = 18
Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 40 + [(18 – 8) * 10] / 10 = 50,00, ou seja, 75% dos valores
da amostra estão abaixo do valor 50,00.
2.19
a) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (0 * 20 + ...+ 4 * 3) / 53 = 1,17 acidentes por dia.
b) xmediana (n ímpar ) = 1.
c) Maior número de observações iguais, Mo = 0.
d) P% = (10 + 5 + 3) / 53 = 34%.
2.20
a) 
Xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fi 1 1 5 6 3 2 3 2 0 1
b) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (1 * 1 + ...+ 10 * 1) / 24 = 4,83.
xmediana (n par ) = 4.
Maior número de observações iguais, Mo = 4.
2.21
a) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (12 * 15 + ...+ 40 * 5) / 163 = 22,99 anos.
b) n / 2 = 163 / 2 = 81,50, ou seja, no intervalo 18 • 22
Xmediana = lXmed + [(n / 2 – Óf) * h] / FXmrd = 18 + [(81,50 – 43) * 4] / 40 = 21,85 anos.
c) Maior número de observações iguais 18 • 22
Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 18 + [12 / (12 + 10)] * 4 = 20,18 anos é a idade mais
freqüente da amostra.
d) i * n / 10 = 3 * 163 / 10 = 48,90
Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 18 + [(48,90 – 43) * 4] / 40 = 18,59, ou seja, 30% das
pessoas deste grupo têm idade inferior a 18,59.
e) i * n/ 4 = 163 / 4 = 40,75
Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 14 + [(40,75 – 15) * 4] / 28 = 17,58.
f) i * n / 100 = 80 * 163 / 100 = 130,40
Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 26 + [(130,40 – 113) * 4] / 20 = 29,48, ou seja, 20% das
pessoas deste grupo têm idade superior a 29,48.
2.22
a) Amplitude: r = 98 – 33 = 65.
b) Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log50 • 7.
c) Tamanho do intervalo: h • 65 / 7 • 10.
d) e) f) g) e h)
Classe Intervalos Fi fi XI Fac
1 30 • 40 4 0,08 35 4
2 40 • 50 6 0,12 45 10
3 50 • 60 8 0,16 55 18
4 60 • 70 12 0,24 65 30
5 70 • 80 9 0,18 75 39
6 80 • 90 7 0,14 85 46
7 90 • 100 4 0,08 95 50
Ó 50 1
i) 
His tograma de Freqüênc ia A bs o luta
0
2
4
6
8
10
12
14
30 • 40 40 • 50 50 • 60 60 • 70 70 • 80 80 • 90 90 • 100
In terv a los de Clas s es
Fi
j) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (35 * 4 + ...+ 95 * 4) / 50 = 65,60.
l) Maior número de observações iguais 60 • 70
Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 60 + [4 / (4 + 3)] * 10 = 65,71.
m) n / 2 = 50 / 2 = 25, ou seja, no intervalo 60 • 70
Xmediana = lXmed + [(n / 2 – Óf) * h] / FXmrd = 60 + [(25 – 18) * 10] / 12 = 65,38, ou seja, 50%
das notas deste grupo estão abaixo de 65,38.
n) i * n / 4 = 50 / 4 = 12,50
Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 50 + [(12,50 – 10) * 10] / 8 = 53,125, ou seja, 25% dos
alunos deste grupo tiraram notas inferiores a 53,125.
o) i * n / 100 = 55 * 50 / 100 = 27,50
Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 60 + [(27,50 – 18) * 10] / 12 = 67,92, ou seja, 45% dos
alunos deste grupo tiraram notas superiores a 53,125.
SÉRIE IV
2.23
a) Amplitude: r = 12 – 2 = 10.
b) S2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2 – (Óxi)2 / n] = 1 / (7 – 1) * [347 – (1849) / 7] = 13,81.
c) S = (S2)1/2 = (13,81)1/2 = 3,72.
2.24
Intervalos Fi xi xi * Fi xi2 * Fi
2 • 4 3 3 9 27
4 • 6 5 5 25 125
6 • 8 8 7 56 392
8 • 10 6 9 54 486
10 • 12 3 11 33 363
Ó 25 177 1393
S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (25 – 1) * [1393 – (177)2 / 25] = 5,83.
2.25
Intervalos Fi xi xi * Fi xi2 * Fi
40 • 45 4 42,5 170 7225
45 • 50 10 47,5 475 22562,5
50 • 55 15 52,5 787,5 41343,75
55 • 60 8 57,5 460 26450
60 • 65 5 62,5 312,5 19531,25
65 • 70 3 67,5 202,5 13668,75
Ó 45 2407,5 130781,25
a) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = 2407,5 / 45 = 53,5 kg.
b) S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (45 – 1) * [130781,25 – (2407,5)2 / 45] = 45
kg.
c) CV = (S / xmedia) * 100 = (6,71 / 53,5) * 100 = 12,54%.
d) Maior número de observações iguais 50 • 55
Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 50 + [5 / (5 + 7)] * 5 = 52,08 kg
AS = (xmedia – Mo) / S = (53,5 – 52,08) / 6,71 = 0,21, portanto, a distribuição não é simétrica.
2.26
xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (2 * 2 + ... + 10 * 2) / 7 = 6.
CV = (S / xmedia) * 100 = (3,02 / 6) * 100 = 50,33%, portanto, a amostra tem elevada dispersão.
2.27
CVA = (SA / xmediaA) * 100 = (40 / 150) * 100 = 26,67%
CVB = (SB / xmediaB) * 100 = (50 / 200) * 100 = 25,00%
CVC = (SC / xmediaC) * 100 = (60 / 300) * 100 = 20,00%
a) A tem desvio padrão de 40, portanto, é a caixa com menor variação absoluta na pressão
de ruptura.
b) A tem o coeficiente de variação de 26,67%, portanto, é a caixa com maior variação relativa
na pressão de ruptura.
2.28
a) Amplitude: r = 44 – 14 = 30
Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log30 • 6
Tamanho do intervalo: h • 30 / 6 • 5
Classe Intervalos Fi
1 14 • 19 4
2 19 • 24 6
3 24 • 29 5
4 29 • 34 4
5 34 • 39 2
6 39 • 44 9
Ó 30
b) 
His tograma de Freqüênc ia A bs o luta
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14 • 19 19 • 24 24 • 29 29 • 34 34 • 39 39 • 44
In terv a los das Clas s es
F
i
c) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (16,5 * 4 + .. + 41,5 * 9) / 30 = 900 / 30 = 30 anos.
S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (30 – 1) * [29507,5 – (900)2 / 30] = 86,47
S = (S2)1/2 = (86,47)1/2 = 9,30.
2.29
a) xmedia = 45 s
S = (S2)1/2 = (400)1/2 = 20 s
CV1 = (S / xmedia) * 100 = (20 / 45) * 100 = 44,50%.
b) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (20 * 10 + ... + 80 * 5) / 60 = 2700 / 60 = 45 s.
c) S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (60 – 1) * [135000 – (2700)2 / 60] = 228,81s2
S = (S2)1/2 = (228,81)1/2 = 15,13 s.
d) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (40 * 45 + 60 * 45) / 100 = 45 s.
e) CV2 = (S / xmedia) * 100 = (15,13 / 45) * 100 = 34,00%, portanto, a equipe 2 apresentou
resultados mais homogêneos, uma vez que tem CV (34%) menor que a equipe 1 (44%) .
f) Equipe 2.
2.30
a) Amplitude: r = 16 – 1 = 15
Nº de intervalos: k • 6
Tamanho do intervalo: h • 3
Classe Intervalos Fi
1 1 • 4 14
2 4 • 7 14
3 7 • 10 11
4 10 • 13 8
5 13 • 16 11
6 16 • 19 2
Ó 60
b) 
His tograma de Freqüênc ia A bs o luta
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1 • 4 4 • 7 7 • 10 10 • 13 13 • 16 16 • 19
In terv a los de Clas s es
Fi
c) xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (14 * 2,5 + ... + 2 * 17,5) / 60 = 8,20.
d) n / 2 = 60 / 2 = 30, ou seja, no intervalo 7 • 10
Xmediana = lXmed + [(n / 2 – Óf) * h] / FX = 7 + [(30 – 28) * 3] / 11 = 7,55, ou seja, metade das
rendas estão abaixo de $ 7550.
e) i * n / 4 = 3 * 60 / 4 = 45
Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 10 + [(45 – 39) * 3] / 8 = 12,25, ou seja, 75% das rendas
estão abaixo de $ 12250.
f) i * n / 10 = 4 * 60 / 10 = 24
Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 4 + [(24 – 14) * 3] / 14 = 6,14, ou seja, 40% das rendas
estão abaixo de $ 6140.
g) i * n / 100 = 47 * 60 / 100 = 28,20
Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 7 + [(28,20 – 28) * 3] / 11 = 7,05, ou seja, 47% das
rendas estão abaixo de $ 7055.
h) i * n / 4 = 60 / 4 = 15
Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 4 + [(15 – 14) * 3] / 14 = 4,21.
i) S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (60 – 1) * [5289 – (492)2 / 60] = 21,26.
j) S = (S2)1/2 = (21,26)1/2 = 4,61.
l) CV = (S / xmedia) * 100 = (4,61 / 8,20) * 100 = 56,00%.
m) Maior número de observações iguais 1 • 4
Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 1 + [14 / (14 + 0)] * 3 = 4
AS = (xmedia – Mo) / S = (8,20 – 4) / 4,61 = 0,91, portanto, a distribuição não é simétrica.
n) O intervalo xmedia – S a xmedia + S, ou seja, $ 3590 e $ 12810 contém aproximadamente 60%
das rendas.
2.31
-
SÉRIE IV
2.32
1. b, por definição de média.
2. b, uma vez que o maior número de observações iguais é 60.
3. c, por definição de mediana.
4. d, uma vez que a média leva em conta todos estes desvios, a soma deles deve ser zero.
5. b, uma vez que 70 é a média das observações além de separar em dois grupos com a
mesma quantidade.
6. a, por definição de moda.
7. d, uma vez que n = 100, a mediana será 50 (10 + 25 + 15), ou seja, 7.
8. b, uma vez que numa amostra de n = 5, a mediana é o 3º item, deixando dois de cada lado.
9. d, por definição de medidas de assimetria.
10. a, por definição de coeficiente de variância.
11. a, por definição de variância.
12. d, por definição de desvio padrão.
13. d, uma vez que n = 6, a mediana será [(n / 2) + (n / 2 +1)] / 2, ou seja, 45.
14. a, uma vez que a curva a é mais alargada horizontalmente, tem desvio padrão maior.
15. d, uma vez que apesar de A ter maior dispersão absoluta, ao se calcularem os coeficientes
de variância de ambas as turmas, chega-se ao mesmo valor: 50%.
16. d, uma vez que a variância é o quadrado do desvio padrão.
17. b, por definição de mediana.
18. a, uma vez que n = 20, o 1º quartil será a média entre o 5º e o 6º item, ou seja, 5.
19. b, uma vez que CV = (S / Xmedia) * 100, Estatística é 20% e História é 25%.
20. b, por definição.
21. d, uma vez que Xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (2 * 2500 + ... + 3 * 22000) / 10 = 10500.
22. c, por definição.
23. d, uma vez que Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 50 + [15 / (15 + 10)] * 10 = 56.
24. b, uma vez que Xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (5 * 175 +... + 3 * 475) / 10 = 3130 / 10 = 313.
25. c, uma vez que P45 = 40 + [(409,50 – 210) * 10] / 250 = 47,98.
26. c, uma vez que D5 = 6 + [(15 – 12) * 2] / 10 = 6,60.
27. a, uma vez que Xmedia = (Ó xi . Fi) / n = (3 * 1 + ... + 15 * 5) / 8 = 96 / 8 = 12.
28. d, uma vez que S2 = 1 / (5 – 1) * [73600
 
– (600)2 / 5] = 400, ou seja, S = 20.
29. a, uma vez que S2 = (1 / 5) * [108
 
– (22)2 / 5] = 2,24.
30. b, por definição de média.
Soluções e Respostas
Capítulo 3 – Probabilidades
SÉRIE I
3.1
e) S = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1K, 2K, 3K, 4K, 5K, 6K}, onde C = cara e K = coroa.
f) A = {K2, K4, K6}
B = {C1, C3, C5}
C = {3C, 6C, 3K, 6K}.
g) 
a. Bcompl. = S – B = {C2, C4, C6, K1, K2, K3, K4, K5, K6}
b. A U B = A + B = {K2, K4, K6, C1, C3, C5}
c. B • C = {3C}
d. (A U B)compl. = (Acompl • Bcompl) = {K1, K3, K5, C2, C4, C6}.
h) Apenas A e B são mutuamente exclusivos uma vez que A • B = Ø.
3.2
a) P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – ½ = ½.
b) P(Bcompl) = 1 – P(B) = 1 – ¼ = ¾.
c) P(A • B) = 0, uma vez que A e B s ão mutuamente exclusivos.
d) P(A U B) = P(A) + P(B) = ½ + ¼ = ¾.
e) P(Acompl • B compl) = 1 – [P(A • B)] = 1.
3.3
a) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = ½ + 1/3 – ¼ = 7/12.
b) P(Acompl U Bcompl) = P(A • B) compl = 1 – P(A • B) = 1 – ¼ = ¾.
c) P(Acompl • B compl) = P(A U B) compl = 1 – P(A U B) = 1 – 7/12 = 5/12.
3.4
a) Seja A = {(x1)/ x1 = par}, P(A) = 3/6 = ½.
b) Seja A = {(x1)/ x1 = rei}, P(A) = 4/52 = 1/13.
c) Seja A = {(x1, x2, x3)/ x1 = x2 = x3 = K}, P(Acompl) = 1 – A = 1 – (½ . ½ . ½) = 7/8.
d) Seja A = {(x1, ..., xn)/ x1 = ... = xn = K}, P(Acompl) = 1 – A = 1 – (½)n = (2n – 1)/2n.
e) P(ambas copas, sem reposição) = P(1ª copas) * P(2ª copas) = 13/52 * 12/51 = 1/17.
f) P(1 copas e 1 ouros sem reposição) = P(copas) * P(ouros) + P(ouros) * P(copas) =
13/52 * 13/51 + 13/52 + 13/51 = 13/102 ou,
 13 13 52
P(F) = 1 * 1 2 = (13/1 * 13/1) / (52 * 51/ 2 * 1) = 13/102.
3.5
a) Seja A = {(x1)/ x1 / 5}, P(A) = 10/50 = 1/5.
b) Seja A = {(x1)/ x1 = _3}, P(A) = 5/50 = 1/10.
c) Seja A = {(x1)/ x1 = primo}, P(A) = 15/50 = 3/10.
d) Seja A = {(x1)/ x1 / 6} = 8 e B = {(x1)/ x1 / 8} = 6,
P(A U B) = P(A) + P(A) – P(A • B) = 8/50 + 6/50 – 2/50 = 12/50 = 6/25.
3.6
Seja A = {(x1)/ x1 = rei} = 4 e B = {(x1)/ x1 = 1 carta de copas} = 13
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13.
3.7
a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 < 4}, P(A) = 3/36 = 1/12.
b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 9}, P(A) = 4/36 = 1/9.
c) Seja A = {(x1, x2)/ x1 > x2}, P(A) = 15/36 = 5/12.
3.8
Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 10}, P(A) = 8/90 = 4/45.
3.9
a) Seja A = {(x1)/ x1 = defeitos graves}, P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – 1/8 = 7/8.
b) Seja A = {(x1)/ x1 = boas}, P(A) = 10/16 = 5/8.
c) Seja A = {(x1)/ x1 = com defeitos}, P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – ¼ = ¾.
3.10
a) P(ambas perfeitas, sem reposição) = P(1ª perfeita) * P(2ª perfeita) = 10/16 * 9/15 = 3/8.
b) P(ao menos uma é perfeita) = P[(P1 • P 2) U (P1 • D 2) U (D1 • P 2)] = P(P1) * P(P2/P1) +
P(P1) * P(D2/P1) + P(D1) * P(P2/D1) = 10/16 * 9/15 + 10/16 * 6/15 + 6/16 * 10/15 = 7/8.
c) P(nenhuma com defeito grave) = P(sem d.g.) * P(sem d.g.) = 14/16 * 13/15 = 91/120.
d) P(nenhuma perfeita) = P(imperfeitas) * P(imperfeitas) = 6/16 * 5/15 = 1/8.
3.11
a) P(pretas) = P(1ª preta) * P(2ª preta) * P(3ª preta) = 6/11 * 5/10 * 4/9 = 4/33.
b) P(uma branca) = P(B1) * P(P2) * P(P3) + P(P1) * P(B2) * P(P3) + P(P1) * P(P2) * P(B3) ou
3 * P(B1, P2, P3) = 5/11 * 6/10 * 5/9 + 6/11 * 5/10 * 5/9 + 6/11 * 5/10 * 5/9 = 5/11.
c) P(ao menos uma é preta) = 1 – P(brancas) = 1 – P(B1) * P(B2/B1) * P(B3/B2/B1) = 1 –
5/11 * 4/10 * 3/9 = 1 – 2/33 = 31/33.
3.12
O número total de resultados possíveis = C12,7
O número de resultados favoráveis: C5,3 (3 do 4º ano) * C4,2 (2 do 2º ano) * C3,2 (2 do 3º ano)
P(A) = (C5,3 * C4,2 * C3,2) / C12,7 = (5/3 * ... * 3/1) * (4/2 * 3/1) * (3/2 * 2/1) / (12/7 * ... * 6/1) = 5/22.
3.13
O número total de resultados possíveis = CN,n
O número de resultados favoráveis: CNv,nv (nv de vermelhas) * CNa,na (na de azuis) * CNp,np (np de
pretas)
P(A) = (CNv,nv * CNa,na * CNp,np) / CN,n
 Nv Na Np N
P(A) = nv * na * np n .
3.14
a) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = ½ + 1/3 – ¼ = 7/12.
b) P(A/B) = P(A • B) / P(B) = ¼ / 1/3 = ¾.
c) P(B/A) = P(A • B) / P(A) = ¼ / ½ = ½.
d) P[(A U B)/B] = P[(A U B) • B] / P(B) = P(B) / P(B) = 1.
3.15
P(Acompl/Bcompl) = P(Acompl • B compl) / P(Bcompl) = [P(A U B) compl] / [1 – P(B)] = 5/12 / 2/3 = 5/8.
P(Bcompl/Acompl) = P(Bcompl • A compl) / P(Acompl) = [P(B U A) compl] / [1 – P(A)] = 5/12 / ½ = 5/6.
3.16
Seja A = {(x1)/ x1}, P(A) = 365/365
Seja B = {(x1, x2)/ x1 • x 2}, P(B) = 365/365 * (365 – 1)/365 = 365* (365 – 1)/3652
Assim, de maneira geral o item xn terá probabilidade de [(365 – n + 1)/365],
Portanto, seja R = {(x1, x2, ..., xr )/ x1 • x 2 • ... • x r},
P(R) = 365/365 * [(365 – 1)/365] * ... * [(365 – r +1)/365] = 365 * 364 * ... * (365 – r + 1)/365r.
3.17
a) P(acertarem) = P(1º acertar) * P(2º acertar) * P(3º acertar) = 2/3 * 4/5 * 7/10 = 28/75.
b) P(apenas um acertar) = P(A1, E2, E3) + P(E1, A2, E3) + P(E1, E2, A3) = 2/3 * 1/5 * 3/10 +
1/3 * 4/5 * 3/10 + 1/3 * 1/5 * 7/10 = 25/150 = 1/6.
c) P(errarem) = P(1ª errar) * P(2ª errar) * P(3ª errar) = 1/3 * 1/5 * 3/10 = 1/50.
3.18
Seja P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = p,
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) : P(Corrente LR) = P(F 1, F2) + P(F3, F4) – P(F1, F2 • F 3, F4)
P(F1, F2) = P(F3, F4) = p * p = p2 e P(F1, F2 • F 3, F4) = p * p * p * p = p4
P(Corrente LR) = 2 * p2 – p4 = 2p2 – p4.
3.19
P(duas da mesma cor) = P(B1, B2) + P(V1, V2) + P(P1, P2) = 5/12 * 5/18 + 4/12 * 6/18 + 3/12 *
7/18 = 35/108.
3.20
Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = R$ 1,50},
P(A) = P(U1, C2) + P(C1, U2) = 5/9 * 4/8 + 4/9 * 5/8 = 5/9.
3.21
Seja A = {(x1, x2, x3)/ x1, x2, x3 = 2 pretas e 1 vermelha} com reposição,
P(A) = P(P1, P2, V3) + P(P1, V2, P3) + P(V1, P2, P3) = 3 * 5/10 * 5/10 * 3/10 = 9/40.
3.22
Seja A = {(x1)/ x1 = 1 branca}, P(A) = 2/3.
Seja B = {(x2)/ x2 = 1 branca}, P(B) = P(Brancanova) / P(Totalnova) = (1 + 2/3)/4 = 5/12.
3.23
Seja T = {(s1)/ s1 = 1 branca}, P(T) = x / (x + y).
Seja U1 = {(s2)/ s2 = 1 branca}, P(U1) = P(Brancanova) / P(Totalnova) = {z + [x / (x + y)]} / (z + v + 1)
P(U2) = P(B1, B2) + P(V1, B2) = [x / (x + y)] * [(z + 1) / (z + v + 1)] + [y / (x + y)] * [z / (z + v + 1)].
3.24
Seja A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = P, x2 = P, x3 = V, x4 = V} com reposição + 5 bolas da cor,
P(A) = P(P1, P2, V3, V4) = 10/15 * (10 + 5)/(15 + 5) * 5/(15 + 10) * (5 + 5)/(15 + 15) = 1/30
Seja A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = P, x2 = V, x3 = P, x4 = V} com reposição + 5 bolas da cor,
P(A) = P(P1, V2, P3, V4) = 10/15 * 5/(15 + 5) * (10 + 5)/(15 + 10) * (5 + 5)/(15 + 15) = 1/30
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = P, x2 = P} com reposição + 5 bolas da cor,
P(A) = P(P1, P2) = 1 * (10 + 5)/(15 + 5) = ¾.
3.25
a) P(duas perfeitas) = P(P1, P2) = 5/8 * 3/5 = 3/8.
b) P(uma defeituosa) = P(D1, P2) + P(P1, D2) = 3/8 * 3/5 + 5/8 * 2/5 = 19/40.
c) P(defeituosa vir de A) = P(D1, P2) / P(uma defeituosa) = (3/8 * 3/5) / (19/40) = 9/19.
3.26
a) P(só H viver) = P(M vivercompl) * P(H viver) = ¼ * 3/5 = 3/20.
b) P(só M viver) = P(H vivercompl) * P(M viver) = 2/5 * ¾ = 3/10.
c) P(ambos viverem) = P(H viver) * P(M viver) = 3/5 * ¾ = 9/20.
3.27
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = B},
P(A) = P(B1, B2) / [P(B1, B2) + P(P1, B2)] = (½ * 2/3) / [(½ * 2/3) + (½ * ½)] = (1/3) / (1/3 * ½) =
4/7.
3.28
a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = mesma cor},
P(A) = P(P1, P2) + P(V1, V2) = ½ * 3/6 + ½ * 4/6 = 1/4 + 1/3 = 7/12.
b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = V sabendo que x2 = P},
P(A) = P(V1, P2) / [P(V1, P2) + P(P1, P2)] = (½ * 2/6) / (½ * 2/6 + ½ * 3/6) = (1/6)/ (5/12) =
2/5.
3.29
a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B ou V, x2 = V},
P(A) = P(B1, V2) + P(V1, V2) = 3/8 * (5 + 2)/(8 + 2 – 1) + 5/8 * (5 – 1)/(8 + 2 – 1) = 41/72.
b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = B ou V},
P(A) = P(B1, B2) + P(V1, V2) = 3/8 * (3 – 1)/(8 + 2 – 1) + 5/8 * (5 – 1)/(8 + 2 – 1) = 13/36.
3.30
a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = V sabendo que x2 = V},
P(A) = P(V1, V2) / [P(B1, V2) + P(V1, V2)] = (20/72) / (41/72) = 20/41.
b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x1 = x2 = mesma cor},
P(A) = P(B1, B2) / [P(B1, B2) + P(V1, V2)] = (6/72) / (13/36) = 3/13.
3.31
a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = urna 1 ou 2, x2 = V},
P(A) = P(U11, V2) + P(U21, V2) = [(½) * x/(x + y)] + [(½) * z/(z + v)] = ½ * x/(x + y) + z/(z + v).
b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B ou V, x2 = V},
P(A) = P(B1, V2) + P(V1, V2) = y/(x + y) * z/(z + v + 1) + x/(x +y) * (z + 1)/(z + v + 1) =
(y * z)/(x + y)(z + v + 1) + [(x * z) + (x)]/(x + y)(z + v + 1) = (yz + xz + x)/(x + y)(z + v + 1).
3.32
Seja A = {(s1, ..., sx + y) / s1, ..., sx = B, sx + 1, ..., sx + y = P},
P(A) = P(X1, ..., Xx, Yx + 1, …, Yx + y) = x/(x + y) * (x – 1)/(x + y – 1) * … * y/y * (y – 1)/ (y – 1)/ =
(x! y!) / (x + y)!
3.33
Seja,
A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}
B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
C = {(4,6), (5,5), (6,4)}
D = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3), (5,4), (6,4), (6,5)}
E = {(2,1), (4,2), (6,3)}
a) P(A/B) = P(A • B) / P(B) = 1/6.
b) P(C/D) = P(C • D) / P(D) = 1/15.
c) P(D/E) = P(D • E ) / P(E) = 3/3 = 1.
d) P(A/C) = P(A • C) / P(C) = 0.
e) P(C/E) = P(C • E ) / P(E) = 0.
f) P(C/A) = P(C • A) / P(A) = 0.
g) P(A/D) = P(A • D) / P(D) = 2/15.
h) P(B/C) = P(B • C) / P(C) = 1/3.
i) P(A/E) = P(A • E ) / P(E) = 0.
j) P(B/E) = P(B • E ) / P(E) = 0.
l) P(A/B • C) = [P(A • B) / P(B)] • P(C) = 0.
m) P[(A • B) / (C • D)] = [P(A • B) • P(C • D)] / [P(C • D)] = 0.
3.34
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = caixa 1 ou 2 sabendo que x2 = P},
P(A) = P(C11, P2) / [P(C11, P2) + P(C21, P2)] = (1/2 * 7/10) / [(1/2 * 7/10) + (1/2 * 5/6)] = (7/20) /
(46/60) = 21/46
P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – 21/46 = 25/46.
3.35
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = D},
P(A) = P(B/D) = [P(B • D) / P(D)] = {[P(B) * P(D/B)] / [P(A) * P(D/A) + P(B) * P(D/B) + P(C) *
P(D/C)]} = (1/6 * 3/5) / [(3/4 * 1/20) + (1/6 * 3/5) + (1/10 * 3/10)] = (1/10) / (67/400) = 40/67.
3.36
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = M sabendo que x2 = 1,80},
P(A) = P(M1, A2) / [P(M1, A2) + P(H1, A2)] = (4/10 * 2/100) / [(4/10 * 2/100) + (6/10 * 5/100)] =
(1/125) / (19/500) = 4/19.
3.37
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = D},
P(A) = P(B1, D2) / [P(A1, D2) + P(B1, D2) + P(C1, D2)] = (5/10 * 5/100) / [(4/10 * 3/100) + (5/10 *
5/100) + (1/10 * 2/100)] = (1/40) / (39/1000) = 25/39.
3.38
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = T sabendo que x2 = Y positivo},
P(A) = P(T1, Y2) / [P(T1, Y2) + P(NT1, Y2)] = (1/10 * 80/100) / [(1/10 * 80/100) + (9/10 * 30/100)] =
(2/25) / (7/20) = 8/35.
3.39
a) P(só caras) = P(C1, C2, C3) = ½ * ½ * ½ = 1/8.
b) P(2 C, 1 K) = 3 * P(C1, C2, K3) = 3 * ½ * ½ * ½ = 3/8.
c) P(1 C) = 3 * P(C1, K2, K3) = 3 * ½ * ½ * ½ = 3/8.
d) P(ao menos 1 K) = 3 * P(K1, C2, C3) + 3 * P(K1, K2, C3) + P(K1, K2, K3) = 7 * ½ * ½ * ½ =
7/8.
e) P(só coroa) = P(K1, K2, K3) = ½ * ½ * ½ = 1/8.
3.40
a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2}, P(A) = 6/36 = 1/6.
b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2}, P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – 1/6 = 5/6.
c) Seja A = {(x1, x2)/ x1 < x2}, P(A) = 15/36 = 5/12.
d) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = par}, P(A) = 18/36 = ½.
e) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 7, sabendo que x1 • x 2}, P(A) = 6/(36 – 6) = 1/5.
f) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 6, sabendo que x1 = x2}, P(A) = (5 – 4)/(36 – 30) = 1/6.
g) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 14}, P(A) = 0.
3.41
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = Errar}, P(Acompl) = 1 – P(E1, E2) = 1 – (2/5 * 3/7) = 29/35.
3.42
Seja A = {(x1)/ x1 = 5 ou par}, P(A) = P(5) + P(par) = 1/6 + 3/6 = 4/6 = 2/3.
3.43
a) Seja A = {(x1)/ x1 = H}, P(A) = 10/15 = 2/3.
b) Seja A = {(x1)/ x1 = A}, P(A) = 7/15.
c) Seja A = {(x1)/ x1 = M} ou B = {(x1)/ x1 = Me}, P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = 8/15 +
5/15 – 3/15 = 2/3.
d) Seja A = {(x1)/ x1 = H, sabendo que x1 = A}, P(A) = 5/(15 – 8) = 5/7.
e) Seja A = {(x1)/ x1 = Me, sabendo que x1 = Mu}, P(A) = 3/(15 – 10) = 3/5.
3.44
a) Seja X = {3, 6, 9, 12, 15, 18} e Y = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20},
X e Y serão independentes se e somente se P(X • Y) = P(X) * P(Y)
P(X • Y) = 3/20, P(X) = 6/20, P(Y) = 10/20
P(X) * P(Y) = 6/20 * 10/20 = 3/20 = P(X • Y), portanto, X e Y s ão independentes.
b) Seja M = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} e N = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19},
M e N serão independentes se e somente se P(M • N) = P(M) * P(N)
P(M • N) = 7/20, P(M) = 9/20, P(N) = 10/20
P(M) * P(N) = 9/20 * 10/20 = 9/40 • P(M • N), portanto, M e N n ão são independentes.
3.45
a) Seja A = {(x1)/ x1 = H}, P(A) = 60/100 = 60%.
b) Seja A = {(x1)/ x1 = M e Y}, P(A) = 26/100 = 26%.
c) Seja A = {(x1)/ x1 = Y}, P(A) = 65/100 = 65%.
d) Seja A = {(x1)/ x1 = H e X}, P(A) = 21/100 = 21%.
e) Seja A = {(x1)/ x1 = M, sabendo que x1 = X}, P(A) = 14/(100 – 65) = 40%.
f) Seja A = {(x1)/ x1 = Y, sabendo que x1 = H}, P(A) = 39/(100 – 40) = 65%.
3.46
Sendo A e B independentes, temos que P(A • B) = P(A) * P(B)
A e B também são mutuamente exclusivos, ou seja, P(A • B) = Ø
Como P(Ø) = 0, então P(A • B) = 0
Voltando para a primeira igualdade, teremos que P(A) * P(B) = 0
Para que a igualdade seja verdadeira P(A) = 0 ou P(B) = 0.
3.47
Sendo A e B independentes, temos que P(A • B) = P(A) * P(B)
Como P(A) • 0 e P(B) • 0, ent ão P(A) * P(B) • 0 e conseqüentemente P(A • B) • 0
Portanto, P(A • B) • Ø, acarretando na não exclusividade dos eventos.
3.48
Sendo A e S independentes, temos que P(A • S ) = P(A) * P(S )
Como S é o espaço amostral, temos que P(S) = 1
Como A está contido em S, temos que P(A • S ) = P(A)
Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que P(A) = P(A) * 1
Portanto, conclui-se que A e S são independentes.
3.49
Sendo A e Ø independentes, temos que P(A • Ø) = P(A) * P(Ø)
Como P(Ø) = 0, temos que P(A • Ø) = P(Ø) = 0
Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que 0 = P(A) * 0
Portanto, conclui-se que A e Ø são independentes.
3.50
Sendo S e Ø independentes, temos que P(S • Ø) = P(S) * P(Ø)
Como P(Ø) = 0, temos que P(S • Ø) = P(Ø) = 0
Como S é o espaço amostral, temos que P(S) = 1
Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que 0 = 1 * 0
Portanto, conclui-se que S e Ø são independentes.
Soluções e Respostas
Capítulo 4 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas
SÉRIE I
4.1
S = {cc, ck, kc, kk}
X = número de coroas (k) = 0, 1, 2
Xi 0 1 2
P(Xi) 1/4 1/2 1/4
Dis tr ibuiç ão de Probab ilidade
0
1/4
1 /2
3 /4
1
0 1 2
Xi
P
(X
i)
4.2
i) S = {(1,1), (1,2), ..., (6,5), (6,6)} = 36 casos
X = soma dos pontos = 2, 3, ..., 12
Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
j) P(3 • X • 10) = 1 – [P(2) + P(11) + P(12)] = 1 – 4/36 = 32/36 = 8/9.
k) P(X > 7) = P(8) + ... + P(12) = 5/36 + ... + 1/36 = 15/36 = 5/12.
l) P(X • 5) = P(2) + ... + P(5) = 1/36 + ... + 4/36 = 10/36 = 5/18.
m) P(X • 6) = P(X • 5) + P(6) = 10/36 + 5/36 = 15/36 = 5/12.
n) P(X • 3) = 1 – P(2) = 1 – 1/36 = 35/36.
o) F(4) = P(2) + ... + P(4) = 1/36 + ... + 3/36 = 6/36 = 1/6.
p) F(8) = P(2) + ... + P(8) = 1/36 + ... + 5/36 = 26/36 = 13/18.
q) F(15) = 1.
r) F(1) = 0.
l) F(5,5) = P(X • 5) = 5/18.
m) F(12) = 1.
4.3
a) Ó P(X i) = 1
P(1) + P(3) + P (5) + P (7) = 1
k + k/3 + k/5 + k/7 = 176k/105 = 1, portanto, k = 105/176.
b) P(2 • X • 6) = P(3) + P(5) = 105/176 * 1/3 + 105/176 * 1/5= 56/176 = 7/22.
c) F(5)= 1 – P(7) = 1 – 105/176 * 1/7 = 161/176.
4.4
S = {vv, vn, nv, nn}, com v = vende e n = não vende
Y = número de clientes que assinam venda (v) = 0, 1, 2
P(0) = P(N,N) = 80/100 * 80/100 = 64/100 = 0,64
P(1) = P(V,N) + P(N, V) = 20/100 * 80/100 + 80/100 * 20/100 = 32/100 = 0,32
P(2) = P(V,V) = 4/100 = 0,04.
Yi 0 1 2
P(Yi) 0,64 0,32 0,04
SÉRIE II
4.5
a) Ó P(X i) = 1
P(3) = 1 – [P(1) + P (2) + P (5) + P (8)] = 1 – [0,20 + 0,25 + 0,30 + 0,10] = 0,15.
b) F(5) = 1 – P(8) = 1 – 0,10 = 0,90.
c) ì (x) = Ó xi * P(x i) = 1 * 0,20 + … + 8 * 0,10 = 3,45.
d) ó(x)2 = Ó xi2 * P(x i) – ì (x)2 = (1 * 0,20 + ... + 64 * 0,10) – (3,45)2= 16,45 – 11,9025 =
4,5475
ó(x) = (ó(x)2)1/2 = (4,5475)1/2 = 2,1325.
4.6
a) P(1) = (0,8) * (0,2)1 – 1 = 0,8
P(2) = (0,8) * (0,2)2 – 1 = 0,16
P(3) = (0,8) * (0,2)3 – 1 = 0,032
P(4) = (0,8) * (0,2)4 – 1 = 0,0064
P(5) = (0,8) * (0,2)5 – 1 = 0,00128.
b) F(X • 5) = P(1) + ... + P(5) = 0,8 + ... + 0,00128 = 0,99968, ou seja, a soma das
probabilidades atinge 0,99968, logo, as probabilidades para valores maiores do que 5 são
próximas a zero (ou mais exatamente 0,00032).
4.7
a) F(2) = P(0) + …+ P(2) = 0,55 + … + 0,10 = 0,90.
b) P(1 • X • 4) = 1 – [P(0) + P (5)] = 1 – (0,55 + 0,02) = 1 – 0,57 = 0,43
P(X > 1) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – (0,55 + 0,25) = 1 – 0,80 = 0,20.
c) ì (x) = Ó xi * P(x i) = 0 * 0,55 + … + 5 * 0,02 = 0,83 chamadas por minuto.
d) ó(x)2 = Ó xi2 * P(x i) – ì (x)2 = (0 * 0,55 + … + 25 * 0,02) – (0,83)2= 2,15 – 0,6889 = 1,4611
ó(x) = (ó(x)2)1/2 = (1,4611)1/2 = 1,20876
CV = ì (x)/ó(x) = 1,20876/0,83 = 1,456337 = 145,6%.
4.8
a) S = {(0-0), (0-1), ..., (5-6), (6,6)} = 28 casos
Z = pontos numa peça de dominó = 0, 1, ..., 12.
Zi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(Zi) 1/28 1/28 2/28 2/28 3/28 3/28 4/28 3/28 3/28 2/28 2/28 1/28 1/28
Dis tr ibu iç ão de Probab ilidade
0
1 /20
1 /10
3 /20
1 /5
1 /4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Z i
P
(Z
i)
b) P(2 • Z • 6) = P(2) + ... + P(6) = 2/28 + … + 4/28 = 14/28 = ½.
c) F(8) = 1 – [P(9) + ... + P(12)] = 1 – (2/28 + … + 1/28 = 1 – 6/28 = 22/28 = 11/14.
d) ì (x) = Ó xi * P(x i) = 0 * 1/28 + … + 12 * 1/28 = 6.
4.9
a) S = {(R, R, R), (R, R, M), ..., (M, M, R), (M, M, M)} = 8 casos
X = número de rapazes = 0, 1, 2, 3
P(0) = P(M, M, M) = 4/9 * 3/8 * 2/7 = 1/21
P(1) = P(R, M, M) = 3 * 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/14
P(2) = P(R, R, M) = 3 * 5/9 * 4/8 * 4/7 = 10/21
P(3) = P(R, M, M) = 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/42.
Xi 0 1 2 3
P(Xi) 1/21 5/14 10/21 5/42
b) 
I. P(X • 2) = 1 – P(3) = 1 – 5/42 = 37/42
II. P(X • 0) = P(0) = 1/21
III. P(1 < X • 3) = P(2) + P(3) = 10/21 + 5/42 = 25/42
IV. P(2 < X < 3) = 0
V. P(X > 2) = P(3) = 5/42
VI. P(X > – 1) = 1
VII. P(X < 5) = 1.
c) F(2,5) = 1 – P(3) = 1 – 5/42 = 37/42
F(3) = 1
F(0,5) = P(0) = 1/21
F(3,5) = 1
F(2) = F(2,5) = 37/42
F(1) = P(0) + P(1) = 1/21 + 5/14 = 17/42
F(6) = 1
F(– 0,5 ) = 0.
4.10
S = {(I, I), (I, N), (N, I), (N, N)} = 4 casos, com I = IBM e N = não IBM
X = é IBM = 0, 1, 2
P(0) = P(N, N) = 30/100 * 30/100 = 9/100
P(1) = P(I, N) + P(N, I) = 2 * 70/100 * 30/100 = 21/50
P(2) = P(I, I) = 70/100 * 70/100 = 49/100
Xi 0 1 2
P(Xi) 0,09 0,42 0,49
ì (x) = Ó xi * P(x i) = 0 * 0,09 + … + 2 * 0,49 = 1,4
ó(x)
2 = Ó xi
2
 * P(x
 i) – ì (x)
2
 = (0 * 0,09 + … + 4 * 0,49) – (1,4)2= 2,38 – 1,96 = 0,42
ó(x) = (ó(x)
2)1/2 = (0,42)1/2 = 0,65.
SÉRIE III
4.11
P(X = x) = 10 * (½)x * (½)10 – x = 10 * (½)10, com x = ser cara
 x x
a) P(x = 6) = [(10 * ... * 5)/(6 * ... *1)] * (½)10 = 105/512.
b) P(x • 2) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – [(½)10 + 10 * (½)10] = 1 – 11/1024 = 1013/1024.
c) P(x = 10) = (½)10 = 1/1024.
d) P(x • 1) = 1 – P(0) = 1 – 1/1024 = 1023/1024.
e) P(x • 5) = 1 – P(5) = 1 – [(10 * ... * 6)/(5 * ... *1)] * (½)10 = 1 – 63/256 = 193/256.
4.12
P(X = x) = 6 * (½)x * (½)6 – x = 6 * (½)6, com x = filhos homens
 x 
 
 x
P(x = 4) = [(6 * ... * 3)/(4 * ... * 1)] * (½)6 = 15/64.
4.13
P(X = x) = 4 * (½)x * (½)4 – x = 6 * (½)4, com x = ter menino
 x 
 
 x
a) P(x = 4) = (½)4 = 1/16, famílias com nenhuma menina = 1/16 * 320 = 20.
b) P(x = 3) = [(4 * ... * 2)/(3 * ... *1)] * (½)4 = 1/4, famílias com 3 meninos = 1/4 * 320 = 80.
c) P(x = 4) = (½)4 = 1/16, famílias com 4 meninos = 1/16 * 320 = 20.
4.14
P(X = x) = n * (1/6)x * (5/6)n – x , com x = ser face 3 do dado.
 x
 
 
P(x • 1) = 1 – P(0) = 1 – (5/6)n.
4.15
P(X = x) = 5 * (2/3)x * (1/3)5 – x , com x = vitória
 x
a) P(x = 3) = [(5 * ... * 3)/(3 * ... *1)] * (2/3)3 * (1/3)2 = 80/243.
b) P(x • 1) = 1 – P(0) = (1/3) 5 = 1 – 1/243 = 242/243.
c) P(x • 3) = (3) + P(4) + P(5) = 80/243 + [(5 * ... * 2)/(4 * ... *1)] * (2/3) 4 * (1/3)1 + (2/3)5 =
80/243 + 80/243 + 32/243 = 192/243 = 64/81.
4.16
P(X = x) = 6 * (1/3)x * (2/3)6 – x , com x = acertar o alvo
 x
a) P(x = 2) = [(6 * 5)/(2 * 1)] * (1/3)2 * (2/3)4 = 80/243.
b) P(x = 0) = (2/3)6 = 64/729.
4.17
P(X = x) = 100 * (1/2)x * (1/2)100 – x = 100 * (1/2)100, com x = acertar o teste
 x x
P(x = 70) = 100 * (½)100.
 70
4.18
a) Se F(5) = P(0) + ... + P(5) = 1, portanto, n = 5.
b) P(y = 0) = p0 * q(n – 0) = q(n – 0), portanto, q5 = 1/243, q = (1/243)1/5 = 1/3
Se p + q = 1, p = 2/3.
c) ì (y) = n * p = 5 * 2/3 = 10/3.
d) ó(y)2 = n * p * q = 5 * 2/3 * 1/3 = 10/9.
e) P(y • 1) = 1 – P(0) = 1 – 1/243 = 242/243.
f) P(2 • y • 4) = F (4) – F (1) = 211/243 – 11/243 = 200/243.
4.19
P(X = x) = 100 * (0,05)x * (0,95)100 – x, com x = ser defeituosa
 x
a) P(0) = (0,95)100 – x = (0,95)100.
b) P(3) = 100 * (0,05)3 * (0,95)97
 3
c) P(x < 99) = 1 – [P(100) + P(99)] = 1 – (0,05)100 – 100 * (0,05)99 * (0,95).
SÉRIE IV
4.20
a) P(x = 5) = [(ì x
 * e- ì ) / x!] = [(35 * e-3) / 5!] = [(243 * 0,0498) / 120] = 0,1008.
b) P(x • 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e -5,5 + (5,51 * e-5,5) + [(5,52 * e-5,5) / 2!]} = 0,0041 +
0,0225 + 0,1240 = 0,0886.
c) P(x • 4) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – {e-7,5 + (7,51 * e-7,5) + [(7,52 * e-7,5) / 2!] +
[(7,53 * e-7,5) / 3!]} = 1 – (0,00055 + ... + 0,0387) = 1 – 0,0588 = 0,9412.
d) P(x = 8) = [(ì x
 * e- ì ) / x!] = [(48 * e-4) / 8!] = [(65536 * 0,0183) / 40320] = 0,0297.
4.21
ì = λ
 * t = 0,02 * 100 = 2
a) P(x • 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 – {e-2 + (21 * e-2) + [(22 * e-2) / 2!]} = 1 – (0,1353 +
0,2707 + 0,2707) = 1 – 0,6767 = 0,3233.
b) P(x = 5) = [(ì x
 * e- ì ) / x!] = [(25 * e-2) / 5!] = 0,0361.
c) P(x = 5) = e-2 = 0,1353.
d) P(x < 2) = [P(0) + P(1)] = e-2 + (21 * e-2) = 0,1353 + 0,2707 = 0,4060.
4.22
ì = λ
 * t = 0,03 * 230 = 6,9
P(x = 10) = [(6,910 * e-6,9) / 10!] = 0,0679.
4.23
a) Para 5000 km, ì = n * p, 1 = 5000 * p, p = 0,0002,
Para 3000 km, ì = n * p = 3000 * 0,0002 = 0,6
P(x • 1) = P(0) + P(1) = e -0,6 + (0,6 * e-0,6) = 0,5488 + 0,3293 = 0,8781.
b) Para 5000 km, ì = n * p, 1 = 5000 * p, p = 0,0002,
Para 8000 km, ì = n * p = 8000 * 0,0002 = 1,6
P(x = 0) = e-1,6 = 0,2019.
4.24
a) P(x = 4) = [(ì x
 * e- ì ) / x!] = [(34 * e-3) / 4!] = 0,1681.
b) P(x • 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 – {e-3 + (31 * e-3) + [(32 * e-3) / 2!]} = 1 – (0,0498 +
0,1494 + 0,2241) = 1 – 0,4233 = 0,5767.
4.25
a) P(x = 3) = [(ì x
 * e- ì ) / x!] = [(33 * e-3) / 3!] = 0,2241.
b) Para 1 hora, ì = λ * t, 3 = λ * 1, λ = 3,
Para 1,5 hora, ì = λ * t = 3 * 1,5 = 4,5
P(x • 4) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – {e-4,5 + ... + [(4,53 * e-4,5) / 3!]} = 1 – (0,0111+
... + 0,1687) = 1 – 0,3423 = 0,6577.
4.26
Para 1 cm2, ì = λ * t, 1 = λ * 1, λ = 1,
Para 4 cm2, ì = λ * t = 1 * 4 = 4
P(x = 3) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(43 * e-4) / 3!] = 0,1954.
4.27
a) P(x = 2) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(22 * e-2) / 2!] = 0,2707.
P(x = 3) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(23 * e-2) / 3!] = 0,1804.
4.28
Para 50000, ì = n * p, 2 = 50000 * p, p = 0,00004,
Para 100000, ì = n * p = 100000 * 0,00004 = 4
a) P(x = 0) = e- ì = e-4 = 0,01832.
b) P(x = 1) = ì * e- ì = 4 * e-4 = 0,0733.
c) P(x = 2) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(42 * e-4) / 2!] = 0,14656.
d) P(x • 2) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – (0,01832 + 0,07328) = 1 – 0,9160 = 0,9084.
4.29
ì = 400/500 = 0,8
a) P(x = 0) = e- ì = e-0,8 = 0,4493.
b) P(x = 2) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(0,82 * e-0,8) / 2!] = 0,1438.
4.30
a) Para 1 hora, ì = λ * t, 5 = λ * 1, λ = 5,
Para 24 minutos , ì = λ * t = 5 * 0,4 = 2
P(x = 2) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(22 * e-2) / 2!] = 0,2707.
b) Para 1 hora, ì = n * p, 5 = 1 * p, p = 5,
Para 18 minutos , ì = n * p = 0,3 * 5 = 1,5
P(x • 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 – {e-1,5 + (1,51 * e-1,5) + [(1,52 * e-1,5) / 2!]} = 1 –
(0,2231 + 0,3347 + 0,2510) = 1 – 0,8088 = 0,1912.
4.31
a) Para 1 hora, ì = λ * t, 3 = λ * 1, λ = 3,
Para 20 minutos , ì = λ * t = 3 * 0,333 = 1
P(x = 3) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(13 * e-1) / 3!] = 0,0613.
b) Para 1 hora, ì = λ * t, 3 = λ * 1, λ = 3,
Para 30 minutos , ì = λ * t = 3 * 0,5 = 1,5
P(x • 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e -1,5 + (1,51 * e-1,5) + [(1,52 * e-1,5) / 2!]} = 0,2231 + 0,3347 +
0,2510 = 0,8088.
4.32
Para 100000, ì = n * p, 3 = 100000 * p, p = 0,00003,
Para 200000, ì = n * p = 200000 * 0,00003 = 6
P(x • 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e -6 + (61 * e-6) + [(62 * e-6) / 2!]} = 0,0025 + 0,0149 + 0,0446 =
0,0620.
4.33
Para 1 minuto, ì = λ * t, 40 = λ * 1, λ = 40,
Para 6 segundos, ì = λ * t = 40 * 0,1 = 4
P(x = 2) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(42 * e-4) / 2!] = 0,14656.
4.34
Para 1 minuto, ì = λ * t, 1,7 = λ * 1, λ = 1,7,
Para 2 minutos , ì = λ * t = 1,7 * 2 = 3,4
P(x = 2) = [(ì x * e- ì ) / x!] = [(3,42 * e-3,4) / 2!] = 0,1929.
4.35
P(x > 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – {e-2 + ... + [(23 * e-2) / 3!]} = 1 – (0,1353 + ... +
0,1804) = 1 – 0,8571 = 0,1429.
4.36
Para 1 peça, ì = λ * t, 2,2 = λ * 1, λ = 2,2,
Para 2 peças, ì = λ * t = 2,2 * 2 = 4,4
P(x • 2) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – [e-4,4 + (4,4 * e-4,4)] = 1 – (0,0123 + 0,0540) = 1 – 0,0663 =
0,9337.
Soluções e Respostas
Capítulo 5 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Contínuas
SÉRIE I
5.1
d) P(0 • z • 1,44) = 0,4251 ou 42,51%.
e) P(–0,85 < z < 0) = P(0 < z < 0,85) = 0,3023.
f) P(–1,48 < z < 2,05) = P(z < 1,48) + P(z < 2,05) = 0,4306 + 0,4798 = 0,9104.
g) P(0,72 < z < 1,89) = P(z < 1,89) – P(z < 0,72) = 0,4706 – 0,2642 = 0,2064.
h) P(z • 1,08) = 0,5 – P(z < 1,08) = 0,5 – 0,3599 = 0,1401.
i) P(z • –0,66) = 0,5 + P(z < 0,66) = 0,5 + 0,2454 = 0,7454.
j) P(|z| • 0,5) = 2 * P(z < 0,5) = 2 * 0,1915 = 0,3830.
5.2
a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(700 – 850)/45 < z < (1000 – 850)/45]
P(700 < x < 1000) = P(–3,33 < z < 3,33) = 2 * P(z < 3,33) = 0,9991, ou seja, 1.
b) [z > (a – ì )/ó] = [z > (800 – 850)/45]
P(x > 800) = P(z > –1,11) = 0,5 + P(z < 1,11) = 0,5 + 0,3665 = 0,8665.
c) [z < (a – ì )/ó] = [z < (750 – 850)/45]
P(x < 750) = P(z < –2,22) = 0,5 – P(z < 2,22) = 0,5 – 0,4868 = 0,0132.
d) [z = (a – ì )/ó] = [z = (1000 – 850)/45]
P(x = 1000) = P(z = 3,33) = 0,5 – P(z = 3,33) = 0,5 – 0,49957 = 0,0004, ou seja, 0.
5.3
a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(60 – 65,3)/5,5 < z < (70 – 65,3)/5,5]
P(60 < x < 70) = P(–0,96 < z < 0,85) = P(z < 0,96) + P(z < 0,85) = 0,3315 + 0,3023 =
0,6338 ou 380 estudantes.
b) [z > (a – ì )/ó] = [z > (63,2 – 65,3)/5,5]
P(x > 63,2) = P(z > –0,38) = 0,5 + P(z < 0,38) = 0,5 + 0,1480 = 0,6480 ou 389 estudantes.
5.4
P(z > ?) = 0,1500, P(z < ?) = 0,5 – 0,1500 = 0,3500, portanto, z = 1,04
z = (a – ì )/ó, 1,04 = [(a – 73)/15], a = 88,5
P(z < – ?) = P(z > ?) = 0,1200, P(z < ?) = 0,5 – 0,1200 = 0,3800, portanto, z = –1,175
z = (b – ì )/ó, –1,175 = [(b – 73)/15], b = 55.
5.5
a) [z > (a – ì )/ó] = [z > (46 – 48)/2]
P(x > 46000) = P(z > –1,00) = 0,5 + P(z < 1,00) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413.
b) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(45 – 48)/2 < z < (50 – 48)/2]
P(45000 < x < 50000) = P(–1,5 < z < 1,00) = P(z < 1,5) + P(z < 1,00) = 0,4332 + 0,3413 =
0,7745.
5.6
a) [z < (a – ì )/ó] = [z < (–3 – 12)/5]
P(x < –3) = P(z < –3,00) = 0,5 – P(z < 3,00) = 0,5 – 0,49865 = 0,00135.
b) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(–1 – 12)/5 < z < (15 – 12)/5]
P(–1 < x < 15) = P(–2,60 < z < 0,60) = P(z < 2,60) + P(z < 0,60) = 0,4953 + 0,2257 =
0,7210.
5.7
a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(150 – 180)/25 < z < (178 – 180)/25]
P(150 < x < 178) = P(–1,20 < z < –0,08) = P(z < 1,20) – P(z < 0,08) = 0,3849 – 0,0319 =
0,3530.
b) P(z < ?) = 0,48, portanto, z = 2,05
z = (a – ì )/ó, 2,05 = [(a – 180)/25], a = 231,25
z = (b – ì )/ó, –2,05 = [(b – 180)/25], b = 128,75, portanto, 96% dos salários estão entre $
128, 75 e 231,25.
5.8
X1 • N (10 g; 0,25 g 2) e X2 • N (150 g; 64 g 2)
120 * X1 + X2 = T ou N (1200 g; 30 g2) + N (150 g; 64 g2) = N (1350 g; 94 g2)
[z > (a – ì )/ó] = [z > (1370 – 1350)/(94)0,5]
P(t > 1370) = P(z > 2,06) = 0,5 – P(z < 2,06) = 0,5 – 0,4803 = 0,0197.
5.9
a) X1 • N (70 kg; 400 kg 2) e X2 • N (12 kg; 25 kg 2)
4 * X1 + 4 * X2 = T ou N (280 kg; 1600 kg2) + N (48 kg; 100 kg2) = N (328 kg; 1700 kg2)
[z > (a – ì )/ó] = [z > (350 – 328)/(1700)0,5] = 0,53
P(t > 350) = P(z > 0,53) = 0,5 – P(z < 0,53) = 0,5 – 0,2019 = 0,2981.
b) z > (b – ì )/ó = [(400 – 328)/(1700)0,5, z > (400 – 328)/(1700)0,5 = 1,74
P(t > 400) = P(z > 1,74) = 0,5 – P(z < 1,74) = 0,5 – 0,4591 = 0,0409.
5.10
P(z < –?) = P(z < ?) = 0,5 – 0,12 = 0,38, portanto, z = –1,18 ... z = (a – ì )/ó, –1,18 = (19 – ì )/ó,
ó = (19 – ì )/1,18
P(z < ?) = 0,5 – 0,28 = 0,22, portanto, z = 0,58 ... z = (b – ì )/ó, 0,58 = (34 – ì )/ó, ó = (34 –
ì )/0,58
–(19 – ì )/1,18 = (34 – ì )/0,58 ... –11,02 + 0,58ì = 40,12 – 1,18ì ... 1,76ì = 51,14 ... ì = 29,06
e 0,58 = (34 – ì )/ó ... 0,58 = (34 – 29,06)/ó ... ó = 8,52, ó2 = 72,64.
5.11
X1 • N (10; 9), X 2 • N (–2; 4) e X 3 • N (5; 25)
X1 + X2 + X3 = T ou N (10; 9) + N (–2; 4) + N (5; 25)= N (13; 38).
5.12
a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(0,20 – 0,25)/0,02 < z < (0,28 – 0,25)0,02]
P(0,20 < x < 0,28) = P(–2,5 < z < 1,5) = P(z < 2,5) + P(z < 1,5) = 0,4938 + 0,4332 = 0,9270,
portanto, 1 – 0,9270 = 0,0730 é a porcentagem de defeituosos.
b) P(z < –?) = 0,5 – 0,12 = 0,38, portanto, z = –1,17 ... z = (a – ì )/ó ... –1,17 = (? –
0,25)/0,02 ... ? = 0,2266 polegadas.
5.13
z > (a – ì )/ó = z > (45 – 45)/3, P(x > 45) = P(z > 0) = 0,5
z > (b – ì )/ó = z > (45 – 40)/6, P(x > 45) = P(z > 0,83) = 0,5 – 0,2967 = 0,2033
Deve ser preferido o equipamento 1, uma vez que sua probabilidade de funcionar por mais de
45 horas é maior que a probabilidade do equipamento 2.
5.14
P(z < –?) = 0,10 ... P(z < ?) = 0,40, portanto, z = –1,28
z = (a – ì )/ó ... –1,28 = [(400 – ì )/20] ... ì = 425,6 g.
5.15
a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – ó) – ì ]/ó < z < [(ì + ó) – ì ]/ó} = [–ó/ó < z < ó/ó]
P(ì – ó < X < ì + ó) = P(–1 < z < 1) = 2 * P(z < 1) = 2 * 0,3413 = 0,6826.
b) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 2ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 2ó) – ì ]/ó} = [–2ó/ó < z < 2ó/ó]
P(ì – 2ó < X < ì + 2ó) = P(–2 < z < 2) = 2 * P(z < 2) = 2 * 0,4772 = 0,9544.
c) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 3ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 3ó) – ì ]/ó} = [–3ó/ó < z < 3ó/ó]
P(ì – 3ó < X < ì + 3ó) = P(–3 < z < 3) = 2 * P(z < 3) = 2 * 0,49865 = 0,9973.
d) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 1,5ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 1,5ó) – ì ]/ó} = [–1,5ó/ó < z <
1,5ó/ó]
P(ì – ó < X < ì + ó) = P(–1,5 < z < 1,5) = 2 * P(z < 1,5) = 2 * 0,4332 = 0,8664.
e) [(a– ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 3,5ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 3,5ó) – ì ]/ó} = [–3,5ó/ó < z <
3,5ó/ó]
P(ì – 3,5ó < X < ì + 3,5ó) = P(–3,5 < z < 3,5) = 2 * P(z < 3,5) = 2 * 0,49977 = 0,999.
5.16
b) O intervalo compreendido entre o valor da média menos dois desvios padrão e o valor
da média mais dois desvios padrão contém aproximadamente 95% das observações.
c) O intervalo compreendido entre o valor da média menos três desvios padrão e o valor
da média mais três desvios padrão contém aproximadamente 99,7% das observações.
d) O intervalo compreendido entre o valor da média menos um e meio desvios padrão e o
valor da média mais um e meio desvios padrão contém aproximadamente 87% das
observações.
e) O intervalo compreendido entre o valor da média menos três e meio desvios padrão e o
valor da média mais três e meio desvios padrão contém aproximadamente 100% das
observações.
5.17
a) P(x < –?) = 0,05, P(x < ?) = 0,5 – 0,05 = 0,45
P(z < ?) = 0,45, portanto, z = –1,645 ... z = (a – ì )/ó ... –1,64 = (? – 18)/8 ... ? = 4,88.
b) P(x > ?) = 0,15, P(x < ?) = 0,5 – 0,15 = 0,35
P(z < ?) = 0,35, portanto, z = 1,04 ... z = (a – ì )/ó ... 1,04 = (? – 20)/10 ... ? = 30,4.
c) P(x < –?) = 0,10, P(x < ?) = 0,5 – 0,10 = 0,40
P(z < ?) = 0,40, portanto, z = –1,28 ... z = (a – ì )/ó ... –1,28 = (? – 30)/7 ... ? = 21,04.
d) P(x > ?) = 0,30, P(x < ?) = 0,5 – 0,30 = 0,20
P(z < ?) = 0,20, portanto, z = 0,52 ... z = (a – ì )/ó ... 0,52 = (? – 120)/9 ... ? = 124,68.
e) P(x < –?) = 0,25, P(x < ?) = 0,5 – 0,25 = 0,25
P(z < ?) = 0,25, portanto, z = –0,67 ... z = (a – ì )/ó ... –0,67 = (? – 5)/3 ... ? = 2,99.
f) P(x > ?) = 0,25, P(x < ?) = 0,5 – 0,25 = 0,25
P(z < ?) = 0,25, portanto, z = 0,67 ... z = (a – ì )/ó ... 0,67 = (? – 78)/11 ... ? = 85,37.
g) P(x < ?) = 0,5
P(z < ?) = 0,5, portanto, z = 0 ... ? = ì = 30.
5.18
a) P(Z < –Zo) = 0,05, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,05 = 0,45, portanto, z = –1,64.
b) P(Z < –Zo) = 0,12, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,12 = 0,38, portanto, z = –1,17.
c) P(Z < –Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = –0,39.
d) P(Z < Zo) = 0,50, portanto, z = 0.
e) P(Z < Zo) = 0,60, P(Z < Zo) = 0,60 – 0,5 = 0,10, portanto, z = 0,25.
f) P(Z < Zo) = 0,75, P(Z < Zo) = 0,75 – 0,5 = 0,25, portanto, z = 0,67.
g) P(Z < Zo) = 0,90, P(Z < Zo) = 0,90 – 0,5 = 0,40, portanto, z = 1,28.
h) P(Z > Zo) = 0,72, P(Z < –Zo) = 0,28, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,28 = 0,22, portanto, z = –0,58.
i) P(Z > Zo) = 0,65, P(Z < –Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = –0,39.
j) P(Z > Zo) = 0,38, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,38 = 0,12, portanto, z = 0,31.
l) P(Z > Zo) = 0,08, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,08 = 0,42, portanto, z = 1,41.
5.19
X • N (65; 100)
P(z > a) = 0,15, P(z < a) = 0,5 – 0,15 = 0,35, portanto, z = 1,04,
z = (a – ì )/ó ... 1,04 = (a – 65)/10 ... a = 75,4;
P(z > b) = 0,15 + 0,20, P(z < b) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39,
z = (b – ì )/ó ... 0,39 = (b – 65)/10 ... b = 68,9;
P(z > –c) = 0,65, P(z < c) = 0,65 – 0,5 = 0,15, portanto, z = –0,39,
z = (c – ì )/ó ... –0,39 = (c – 65)/10 ... c = 61,10;
P(z > –d) = 0,90, P(z < c) = 0,90 – 0,5 = 0,40, portanto, z = –1,28,
z = (d – ì )/ó ... –1,28 = (d – 65)/10 ... d = 52,20;
Portanto,
E D C B A
 0 52,20 61,10 68,90 75,40 100
5.20
X • N (50 ohms; 40 ohms 2), P(a < x < b) = 0,99 e |a| = |b|
P(z < b) = 0,99/2 = 0,4950, portanto z = 2,575
z = (b – ì )/ó ... 2,575 = (b – 50)/6,32 ... 16,27 = (b – 50) ... b = 16,27 + 50 (limite superior) e
–z = (a – ì )/ó ... –2,575 = (a – 50)/6,32 ... –16,27 = (a – 50) ... a = 16,27 – 50 (limite inferior).
5.21
X • N (70; 100)
P(z > a) = 0,15, P(z < a) = 0,5 – 0,15 = 0,35, portanto, z = 1,04,
z = (a – ì )/ó ... 1,04 = (a – 70)/10 ... a = 80,4;
P(z > b) = 0,15 + 0,20, P(z < b) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39,
z = (b – ì )/ó ... 0,39 = (b – 70)/10 ... b = 73,9;
P(z > –c) = 0,65, P(z < c) = 0,65 – 0,5 = 0,15, portanto, z = –0,39,
z = (c – ì )/ó ... –0,39 = (c – 70)/10 ... c = 66,10;
P(z > –d) = 0,90, P(z < c) = 0,90 – 0,5 = 0,40, portanto, z = –1,28,
z = (d – ì )/ó ... –1,28 = (d – 70)/10 ... d = 57,20;
Portanto,
E D C B A
 0 57,20 66,10 73,90 80,40 100
5.22
X • N (1,5 ano; 0,09 ano 2)
z < (a – ì )/ó = z < (1 – 1,5)/0,3 = z < –1,67,
P(x < 1 ano) = P(z < –1,67) = 0,5 – P(z < 1,67) = 0,5 – 0,4525 = 0,0475, ou, 570 máquinas..
5.23
P(x < 20), z < (a – ì )/ó = z < (20 – 18)/5, P(z < 0,40) = 0,5 + 0,1554 = 0,6554
P(x < 20), z < (b – ì )/ó = z < (20 – 20)/2, P(z < 0) = 0,50
Deve ser escolhido o trajeto A, uma vez que sua probabilidade é maior que a probabilidade do
trajeto B.
5.24
X • N (104 ano; 225 ano 2)
P(x < 98), z < (a – ì )/ó = z < (98 – 104)/15, P(z < –0,4) = 0,5 – P(z < 0,4) = 0,5 – 0,1554 =
0,3446, ou 1378,5 empregados tem QI abaixo de 98
P(x > 110), z > (b – ì )/ó = z < (110 – 104)/15, P(z > 0,4) = 0,5 – P(z < 0,4) = 0,5 – 0,1554 =
0,3446, ou 1378,5 empregados tem QI acima de 110, assim,
Total de adaptados = Total de empregados – Total de não capacitados – Total de
supercapacitados = 4000 – 1378,5 – 1378,5 = 1243.
5.25
a) P(x > 200), z > (a – ì )/ó = z > (200 – 250)/20, P(z > –2,5) = 0,5 + P(z < 2,5) = 0,5 +
0,4938 = 0,9938.
b) X = N(250, 20), portanto, Y = N(1000, 80)
P(y > 1150), z > (a – ì )/ó = z > (1150 – 1000)/80, P(z > 1,875) = 0,5 – P(z < 1,875) = 0,5 –
0,4672 = 0,0328.
5.26
X • N (2; 0,0001), P(2,03 < x < 2,03) = ?
[(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 3ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 3ó) – ì ]/ó} = [–3ó/ó < z < 3ó/ó]
P(ì – 3ó < X < ì + 3ó) = P(–3 < z < 3) = 2 * P(z < 3) = 2 * 0,49865 = 0,9973 de não
defeituosos, portanto, apenas 26 seriam defeituosos.
5.27
a) P(x > 50), z > (a – ì )/ó = z > (50 – 45)/8, P(z > 0,63) = 0,5 – P(z < 0,63) = 0,5 – 0,2357
= 0,2643.
b) P(z < ?) = 0,40, portanto, z = 1,28
z = (a – ì )/ó, 1,28 = [(a – 45)/8], a = 55 min e 15 segundos.
5.28
X1 • N (94; 2,98) * 22 = N (2068; 65,56)
X2 • N (42; 1,21) * 14 = N (588; 16,94)
e X3 • N (3,35; 0,04) * 120 = N (402,0; 4,8)
22 * X1 + 14 * X2 + 120 * X3 = T = N (3058; 87,3).
Peso Total = Caminhão Vazio + Motorista + Produtos, Produtos = 3040
P(x < 3040) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (3040 – 3058)/(87,3)0,5, P(z < –1,92) = 0,5 – P(z < 1,92) =
0,5 – 0,4726 = 0,0274
Probabilidade de ser multado = 1,00 – 0,0274 = 0,9726 = 97%.
5.29
a) P(x < 80) = 0,5.
b) P(x > 120) = ?, z > (a – ì )/ó = z > (120 – 80)/20, P(z > 2) = 0,5 – P(z < 2) = 0,5 –
0,4772 = 0,0228.
c) P(x < 60) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (60 – 80)/20, P(z < –1) = 0,5 – P(z < 1) = 0,5 – 0,3413
= 0,1587 ou 32 candidatos.
5.30
P(y > 22) = ?, z > (a – ì )/ó = z > (22 – 16)/4, P(z > 1,5) = 0,5 – P(z < 1,5) = 0,5 – 0,4332 =
0,0668.
P(y < 15) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (15 – 16)/4, P(z < –0,25) = 0,5 – P(z < 0,25) = 0,5 – 0,0987 =
0,4013.
5.31
a) P(x < 700) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (700 – 800)/90, P(z < –1,11) = 0,5 – P(z < 1,11) = 0,5
– 0,3665 = 0,1335.
b) P(780 < x < 820) = ?, [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = (780 – 800)/90 < z < (820 – 800)/90 =
–0,22 < z < 0,22, P(–0,22 < z < 0,22) = 2 * P(z < 0,22) = 2 * 0,0871 = 0,1742.
c) P(Peixe acima, Peixe abaixo) + P(Peixe abaixo, Peixe acima) = 0,5.
5.32
X1 • N (2; 0,01), X 2 • N (1; 0,00600625), X 3 • N (0,5; 0,00399424) e X 4 • N (1,5; 0,01100401)
X1 + X2 + X3 + X4 = N (5; 0,0310045)
P(4,9 < x < 5,1) = ?, [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = (4,9 – 5)/ 0,18 < z < (5,1 – 5)/ 0,18 = –0,56 < z
< 0,56, P(–0,56 < z < 0,56) = 2 * P(z < 0,56) = 2 * 0,2123 = 0,4246.
SÉRIE II
5.33
a) P(t < 1000) = 1 – e – t / 1000 = 1 – e –1 = 1 – 0,3679 = 0,6321.
b) ì = 1/ë, ì = 1/ (1/1000), portanto, ì = 1000
P(t > 1000) = e – t / 1000 = e–1 = 0,3679.
c) ó = 1/ë, ó = 1/ (1/1000), ó = 1000 horas .
5.34
a) ì = ët, 0,25 = ë * 1, ë = 0,25
P(t <1) = 1 – e –ë t = 1 – e –0,25 * (1) = 1 – e –0,25 = 1 – 0,7788 = 0,2212.
b) P(10 < t < 12) = e –ë t1 – e –ë t2 = e –0,25 * 10 – e –0,25 * 12 = e –2,5 – e –3 = 0,0821 – 0,0498 =
0,0323.
c) P(t = 4) = 0, uma vez que a área de um ponto é igual a zero.
d) P(t > 3) = e –ë t = e –0,25 * (3) = e –0,75 = 0,4724.
5.35
a) ì = 1 / ë, 4 = 1 / ë, ë = 0,25
P(t > 4) = e –ë t = e –0,25 * (4) = e –1 = 0,3679.
b) P(t < 5) = 1 – e –ë t = 1 – e –0,25 * (5) = 1 – e –1,25 = 1 – 0,2865 = 0,7135.
c) P(t = 4) = 0, uma vez que a área de um ponto é igual a zero.
5.36
ì = 1 / ë, 100 = 1 / ë, ë = 0,01, portanto, P(t > 200) = e –0,01 * 200 = e –2 = 0,1353.
SÉRIE III
5.37
ö = 23, portanto,
Média: ì (x223) = 23,
Variância: ó2(x223) = 2 * 23 = 46 e Desvio padrão: ó (x223) = (46)0,5 = 6,78,
3º Quartil: ö = 23 e á = 0,25, Q3 = 27,141.
5.38
ö = 8 e á = 0,10, ass im, X2sup = 13,36 e ö = 8 e á = 0,90, ass im, X
2
inf = 3,49.
5.39
ö = 23, portanto,
Média: ì (t23) = 0 e Moda: Mo = 0,
Variância: ó2(t23) = 23 / (23 – 2) = 1,095 e Desvio padrão: ó (t23) = (1,095)0,5 = 1,0465,
3º Quartil: ö = 23 e á = 0,25, Q3 = 0,6853 e, por simetria, 1º Quartil: Q1 = – 0,6853.
5.40
a: ö = 20 e á = 0,10, a = – 1,3253 e b: ö = 20 e á = 0,025, b = 2,0860.
5.41
ö1 = 8 e ö2 = 10, portanto,
Média: ì = ö2 /(ö2 – 2), ì = 10 / 8 = 1,25
Variância: ó2 = [2 * ö22 * (ö1 + ö2 – 2)] / [ö1 * (ö2 – 4) * (ö2 – 2)2] = (2 * 100 * 16)/(8 * 6 * 64) =
1,042 e Desvio padrão: ó = (1,042)0,5 = 1,021
P95 = F5% (8, 10) = 3,07, logo, P95 = 3,07 e
P5 = F95% (8, 10) = 1 / [F5% (10, 8)] = 1 / 3,35 = 0,2985, logo, P5 = 0,2985.
5.42
a) P(Z < –Zo) = 0,25, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,25 = 0,25, portanto, z = –0,67,
z = (a – ì )/ó, –0,67 = [(a – 100)/7], a = 95,31.
b) P(Z > Zo) = 0,65, P(Z < –Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = –0,39.
c) P(Z < Zo) = 0,80, P(Z < Zo) = 0,80 – 0,5 = 0,30, portanto, z = 0,84.
d) P(–1,57 • z • 2,42) = P(z < 1,57) + P(z < 2,42) = 0,4418 + 0,4922 = 0,9340.
e) P(Z < Zo) = 0,40, portanto, z = 1,28, z = (a – ì )/ó, 1,28 = [(a – 2000)/45], a = $ 2057,60.
f) 1º Quartil: ö = 30 e á = 0,75, Q1 = 24,478.
g) X2: ö = 15 e á = 0,90, X2 = 8,55.
h) X2: ö = 15 e á = 0,10, X2 = 22,31.
i) ó2(x223) = 50, portanto, ö = 25, D9: ö = 25 e á = 0,10, D9 = 34,381.
j) áinf: x2inf = 13,8 e ö = 26, áinf = 0,975 e ásup: x2sup = 38,9 e ö = 26, ásup = 0,05, portanto
P(13,8 • x 226 • 38,9) = P(x 226 • 13,8) – P(x 226 • 38,9) = 0,975 – 0,05 = 0,925.
l) 3º Quartil: ö = 5 e á = 0,25, Q3 = 0,7267.
m) á: ö = 8 e t = 2,3060, á = 0,025.
n) á: ö = 14 e t = 2,9768, á = 0,005, portanto, ácompl = 1 – 0,005 = 0,995.
o) á1: ö = 22 e t = - 1,3212, á1 = 0,10 e á2: ö = 22 e t = 2,8188, á2 = 0,005,
P(-1,3212 • t 22 • 2,8188) = P(t 22 • –1,3212) – P(t22 • 2,8188) = 0,90 – 0,005 = 0,895.
p) 95º Percentil: ö = 27 e á = 0,05, P95 = 1,7033.
q) á1: ö = 30 e t = 0,68276, á1 = 0,25 e á2: ö = 30 e t = 2,7500, á2 = 0,005,
P(–0,68276 • t 30 • 2,7500) = P(t 22 • –0,68276) – P(t22 • 2,7500) = 0,75 – 0,005 = 0,745.
r) P5 = F95% (8, 7) = 1 / [F5% (7, 8)] = 1 / 3,50 = 0,2857, logo, P5 = 0,2857.
s) P95 = F5% (7, 8) = 3,50, logo, P95 = 3,50.
t) Psup = Fsup (1, 8) = 5,32, logo, Sup = 0,05 e Pinf = 1 / Finf (8, 1) = 0,00418, logo, Inf = 0,95
P(0,00418 • F (1, 8) • 5,32) = P(F (1, 8) • 0,00418) – P(F (1, 8) • 5,32) = 0,95 – 0,05 = 0,90.
u) Pinf = 1 / Finf (4, 6) = 0,22075, Finf (4, 6) = 0,05, logo, Inf = 0,05.
Soluções e Respostas
Capítulo 6 – Distribuições Amostrais
SÉRIE I
6.1
k) Média da População: ì = Óxi / N = 14 / 4 = 3,5.
l) Desvio Padrão da População: ó2 = [Ó(xi – ì )2] / N = 5 / 4 = 1,25 e ó = 1,1180.
m) Amostras = {(2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5);
(5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5)}
Média da distribuição amostral das médias: ì (xmedia) = (xmedia da amostra 1 + ... + xmedia mostra n) /
Nº de amostras = (2 + 2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3 + 3,5 + 4 + 3 + 3,5 + 4 + 4,5 + 3,5 + 4 + 4,5 +
5) / 16 = 56 / 16 = 3,5.
n) Desvio Padrão da distribuição amostral das médias: ó2(xmedia) = [Ó(xmedia de cada amostra –
ì (xmedia)2] / Nº de amostras = [(– 1,5)2 + (– 1)2 + (– 0,5)2 + (0)2 + (– 1)2 + (– 0,5)2 + (0)2 +
(0,5)2 + (– 0,5)2 + (0)2 + (0,5)2 + (1)2 + (0)2 + (0,5)2 + (1)2 + (1,5)2] / 16 = 10 / 16 = 0,625 e
ó(xmedia) = 0,7906.
Fica constatado que:
ì (xmedia) = ì , uma vez que 3,5 = 3,5 e
ó(xmedia) = ó / (n)
0,5
, uma vez que 0,7906 = 1,1180 / (2)0,5.
6.2
a) Média da População: ì = Óxi / N = 14 / 4 = 3,5.
b) Desvio Padrão da População: ó2 = [Ó(xi – ì )2] / N = 5 / 4 = 1,25 e ó = 1,1180.
c) Amostras = {(2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 4); (3, 5); (4, 2); (4, 3); (4, 5); (5, 2); (5, 3); (5,
4)}
Média da distribuição amostral das médias: ì (xmedia) = (xmedia da amostra 1 + ... + xmedia mostra n) /
Nº de amostras = (2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3,5 + 4 + 3 + 3,5 + 4,5 + 3,5 + 4 + 4,5) / 12 = 42 /
12 = 3,5.
d) Desvio Padrão da distribuição amostral das médias: ó2(xmedia) = [Ó(xmedia de cada amostra –
ì (xmedia)2] / Nº de amostras = [(– 1)2 + (– 0,5)2 + (0)2 + (– 1)2 + (0)2 + (0,5)2 + (– 0,5)2 + (0)2 +
(1)2 + (0)2 + (0,5)2 + (1)2] / 12 = 10 / 12 = 0,4167 e ó(xmedia) = 0,6455.
Fica constatado que:
ì (xmedia) = ì , uma vez que 3,5 = 3,5 e
ó(xmedia) = [ó(x) / (n)
0,5] * [(N – n)/(N – 1)]0,5, uma vez que 0,6455 = [1,1180 / (2)0,5] * (2/3)0,5.
6.3
Média Amostral: xmedia; Variância Amostral: S2; Freqüência Relativa: f; Diferença entre duas
Médias: (xmedia1 – xmedia2); Diferença entre duas Freqüência Relativas: (f1 – f2).
6.4
a) p = probabilidade de uma peça boa = 2/4 = ½
Como neste primeiro caso temos reposição das peças, o número de amostras é igual a Nn
= 42 = 16 amostras: {(B1, B1); (B1, B2); (B1, D1); (B1, D2); (B2, B1); (B2, B2); (B2, D1);
(B2, D2); (D1, B1); (D1, B2); (D1, D1); (D1, D2); (D2, B1); (D2, B2); (D2, D1); (D2, D2)}
Para cada uma das amostras, devemos calcular o f, ou seja, o número de casos favoráveis
ao evento retirar pelo menos uma peça boa sobre o número total de casos da amostra.
Multiplicando cada um destes f pela probabilidade da amostra ocorrer (1/16), teremos ì (f).
Portanto,
ì (f) = 1/16 * 2/2 + 1/16 * 2/2 + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * 2/2 + 1/16 * 2/2 + 1/16 * ½ +
1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * 0/2 + 1/16 * 0/2 + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * 0/2 +
1/16 * 0/2 = 4 * (1/16 * 2/2) + 8 * (1/16 * ½) + 4 * (1/16 * 0) = ½
Como p = ½ e as amostras são de tamanho 2 e com reposição, temos:
[(p * q) / n] = [(½ * ½) / 2] = 1/8
Para encontrar ó2(f), devemos encontrar a E[f2] e subtrair ì (f)2.
E[f2] = Ó f2 * p(f) = (2/2)2 * 1/16 + (2/2)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (2/2)2 * 1/16 +
(2/2)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 + (0/2)2 *
1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 = 4 * [(2/2)2 * 1/16] + 8 * [(½)2 *
1/16] + 4 * [0 * 1/16] = 3/8
ó2(f) = E[f2] – ì (f)2 = 3/8 – (1/2)2 = 1/8
Portanto, fica constatado que:
ì (f) = p, uma vez que 0,5 = 0,5 e
ó2(f) = [(p * q) / n], uma vez que 0,125 = 0,125.
b) p = probabilidade de uma peça boa = 2/4 = ½
Como neste segundo caso não temos reposição das peças, o número de amostras é igual
a = N = 4 = 6 amostras: {(B1, B2); (B1, D1); (B1, D2); (B2, D1); (B2, D2); (D1, D2)}
 n 2
Novamente, para cada uma das amostras, devemos calcular o f, ou seja, o número de
casos favoráveis ao evento retirar pelo menos uma peça boa sobre o número total de
casos da amostra. Multiplicando cada um destes f pela probabilidade da amostra ocorrer
(1/6), teremos ì (f).
Portanto,
ì (f) = 1/6 * 2/2 + 1/6 * ½ + 1/6 * ½ + 1/6 * ½ + 1/6 * ½ + 1/6 * 0/2 = (1/6 * 2/2) + 4 * (1/6 * ½)
+ (1/16 * 0) = ½
Como p = ½ e as amostras são de tamanho 2 e sem reposição, temos:
[(p * q) / n] * [(N – n) / (N – 1)] = [(½ * ½) / 2] * [(4 – 2) / (4 – 1)] = 1/8 * 2/3 = 1/12
Novamente, para encontrar ó2(f), devemosencontrar E[f2] e subtrair ì (f)2.
E[f2] = Ó f2 * p(f) = (2/2)2 * 1/6 + (½)2 * 1/6 + (½)2 * 1/6 + (½)2 * 1/6 + (½)2 * 1/6 + (0/2)2 * 1/6
= [(2/2)2 * 1/6] + 4 * [(½)2 * 1/6] + [0 * 1/6] = 1/3
ó2(f) = E[f2] – ì (f)2 = 1/3 – (1/2)2 = 1/12
Portanto, fica constatado que:
ì (f) = p, uma vez que 0,5 = 0,5 e
ó2(f) = [(p * q) / n], uma vez que 1/12 = 1/12.
6.5
xmedia = Óxi / n = (5 + 6 + ... + 4) / 30 = 104 / 30 = 3,48,
utilizando o estimador, x* = N * xmedia , x = 15000 * 104 /30 = 52000.
6.6
xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (42 * 23 + ... + 3 * 1) / 50 = 1471 / 50 = 29,42,
utilizando o estimador, x* = N * xmedia , x = 676 * 29,42 = 19888 assinaturas.
6.7
-
Soluções e Respostas
Capítulo 7 – Inferência Estatística: Estimativas por Ponto e Intervalos de Confiança
SÉRIE I
7.1
n = 25, xmedia = 5,2 mm, ó = 1,2 mm
Para (1 – á) * 100 = 90%, á/2 = 5%, portanto z = 1,64; aplicando a fórmula:
P {xmedia – [z * ó/(n)0,5] • ì • x media + [z * ó/(n)0,5]} temos,
P [5,2 – (1,64 * 1,2 / 5) • ì • 5,2 + (1,64 * 1,2 / 5)] = P (4,81 • ì • 5,59), portanto, o intervalo
[4,81; 5,59] contém a média populacional com 90% de confiança.
Para (1 – á) * 100 = 95%, á/2 = 2,5%, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula:
P {xmedia – [z * ó/(n)0,5] • ì • x media + [z * ó/(n)0,5]} temos,
P [5,2 – (1,96 * 1,2 / 5) • ì • 5,2 + (1,96 * 1,2 / 5)] = P (4,73 • ì • 5,67), portanto, o intervalo
[4,73; 5,67] contém a média populacional com 95% de confiança.
Para (1 – á) * 100 = 99%, á/2 = 0,5%, portanto z = 2,56, que aplicando a fórmula:
P {xmedia – [z * ó/(n)0,5] • ì • x media + [z * ó/(n)0,5]} temos,
P [5,2 – (2,56 * 1,2 / 5) • ì • 5,2 + (2,56 * 1,2 / 5)] = P (4,58 • ì • 5,82), portanto, o intervalo
[4,58; 5,82] contém a média populacional com 99% de confiança.
7.2
n = 6, xmedia = 26,883, ó = 1,4
Para (1 – á) * 100 = 95%, á/2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula:
P {xmedia – [z * ó/(n)0,5] • ì • x media + [z * ó/(n)0,5]} temos,
P [26,88 – (1,96 * 1,4 / 2,45) • ì • 26,88 + (1,96 * 1,4 / 2,45)] = P (25,76 • ì • 28,00), portanto,
o intervalo [25,76; 28,00] contém a média populacional com 95% de confiança.
Para (1 – á) * 100 = 90%, á/2 = 0,05, portanto z = 1,64, que aplicando a fórmula:
P {xmedia – [z * ó/(n)0,5] • ì • x media + [z * ó/(n)0,5]} temos,
P [26,88 – (1,64 * 1,4 / 2,45) • ì • 26,88 + (1,64 * 1,4 / 2,45)] = P (25,94 • ì • 27,82), portanto,
o intervalo [25,94; 27,82] contém a média populacional com 90% de confiança.
7.3
n = 100, xmedia = 175 cm, ó = 15 cm
Para (1 – á) * 100 = 95%, á/2 = 2,5%, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula:
P {xmedia – [z * ó/(n)0,5] • ì • x media + [z * ó/(n)0,5]} temos,
P [175 – (1,96 * 15 / 10) • ì • 175 + (1,96 * 15 / 10)] = P (172,06 • ì • 177,94), portanto, o
intervalo [172,06 cm; 177,94 cm] contém a verdadeira altura média dos alunos com 95% de
confiança.
7.4
n = 10, xmedia = 110, S = 10
Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 9, portanto t = 1,83, que aplicando a fórmula:
P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,
P [110 – (1,83 * 10 / 3,16) • ì • 110 + (1,83 * 10 / 3,16)] = P (104,21 • ì • 115,79), portanto, o
intervalo [104,21; 115,79] contém a média populacional com 90% de confiança.
Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 9, portanto t = 2,26, que aplicando a fórmula:
P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,
P [110 – (2,26 * 10 / 3,16) • ì • 110 + (2,26 * 10 / 3,16)] = P (102,85 • ì • 117,15), portanto, o
intervalo [102,85; 117,15] contém a média populacional com 95% de confiança.
Admite-se a hipótese de que a distribuição de probabilidade da população é normal.
7.5
n = 16, xmedia = 10,875, S = 2,63
Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 15, portanto t = 2,1315, que aplicando a
fórmula:
P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,
P [10,875 – (2,1315 * 2,63 / 4) • ì • 10,875 + (2,1315 * 2,63 / 4)] = P (9,474 • ì • 12,276),
portanto, o intervalo [9,474; 12,276] contém a média populacional com 95% de confiança.
Para (1 – á) * 100 = 80% e graus de liberdade = 15, portanto t = 1,3406, que aplicando a
fórmula:
P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,
P [10,875 – (1,3406 * 2,63 / 4) • ì • 10,875 + (1,3406 * 2,63 / 4)] = P (9,994 • ì • 11,756),
portanto, o intervalo [9,994; 11,756] contém a média populacional com 80% de confiança.
A amplitude do primeiro intervalo é de 2,80, enquanto a amplitude do segundo é de 1,77. A
preferência poderia ser pelo segundo intervalo, mas sua probabilidade de erro é de 20%,
enquanto que a probabilidade do primeiro é de apenas 5%. Logo, a opção de escolha pelo
primeiro é a mais indicada.
7.6
n = 30, xmedia = 296,63 kg, S = 22,23 kg
Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 29, portanto t = 2,05, que aplicando a fórmula:
P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,
P [296,63 – (2,05 * 22,23 / 5,48) • ì • 296,63 + (2,05 * 22,23 / 5,48)] = P (287,31 • ì • 305,95),
portanto, a amostra satisfaz a especificação pois o intervalo [287,31 kg; 305,95 kg] contém o
peso médio da população (300 kg) com 95% de confiança.
7.7
o) xmedia = Óxi / n = 394 / 30 = 13,13 e S2 = [Ó(xi – xmedia)2] / (n – 1) = 2,05.
p) Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 29, portanto t = 2,05, que aplicando a
fórmula: P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,
P [13,13 – (2,05 * 1,43 / 5,48) • ì • 13,13 + (2,05 * 1,43 / 5,48)] = P (12,60 • ì • 13,66),
portanto, o intervalo [12,60; 13,66] contém a média populacional com 94,5% de confiança.
7.8
n = 4, xmedia = 29,2 s, S2 = 5,76 s2, S = 2,4
Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 3, portanto t = 2,35, que aplicando a fórmula:
P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,
P [29,2 – (2,35 * 2,4 / 2) • ì • 29,2 + (2,35 * 2,4 / 2)] = P (26,38 • ì • 32,02), portanto, o
intervalo [26,38 s; 32,02 s] contém a média populacional com 90% de confiança.
7.9
a) n = 12, xmedia = 10,42 e S = 4,98
Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 11, portanto t = 2,2, que aplicando a
fórmula: P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,
P [10,42 – (2,2 * 4,98 / 3,46) • ì • 10,42 + (2,2 * 4,98 / 3,46)] = P (7,25 • ì • 13,59),
portanto, o intervalo [7,25; 13,59] contém a média populacional com 95% de confiança.
b) n = 55, xmedia = 23,37 e S = 4,38
Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 54, portanto t = 2,0049, que aplicando a
fórmula: P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,
P [23,37 – (2 * 4,38 / 7,42) • ì • 23,37 + (2 * 4,38 / 7,42)] = P (22,19 • ì • 24,55), portanto,
o intervalo [22,19 • ì • 24,55] cont ém a média populacional com 95% de confiança.
c) n = 15, xmedia = 10,33 e S = 4,24.
Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 14, portanto t = 2,1448, que aplicando a
fórmula: P {xmedia – [t * S/(n)0,5] • ì • x media + [t * S/(n)0,5]} temos,
P [10,33 – (2,15 * 4,24 / 3,87) • ì • 10,33 + (2,15 * 4,24 / 3,87)] = P (7,97 • ì • 12,69),
portanto, o intervalo [7,97; 12,69] contém a média populacional com 95% de confiança.
7.10
a) n = 6, S2 = 0,72
Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 5, portanto x2inf = 1,145 e x2sup = 11,071,
que aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S2] / x2sup • ó2 • [(n – 1) * S 2] / x2inf} temos,
P [(5 * 0,72) / 11,1 • ó2 • (5 * 0,72) / 1,15] = P (0,32 • ó2 • 3,13), portanto, o intervalo [0,32;
3,13] contém a variância populacional com 90% de confiança.
b) n = 15, S2 = 3,81
Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 14, portanto x2inf = 6,571 e x2sup = 23,685,
que aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S2] / x2sup • ó2 • [(n – 1) * S 2] / x2inf} temos,
P [(14 * 3,81) / 23,685 • ó2 • (14 * 3,81) / 6,57] = P (2,25 •ó2 • 8,12), portanto, o intervalo
[2,25; 8,12] contém a variância populacional com 90% de confiança.
7.11
n = 10, S2 = 2,25
Para (1 – á) * 100 = 80% e graus de liberdade = 9, portanto x2inf = 4,168 e x2sup = 14,684, que
aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S2] / x2sup • ó2 • [(n – 1) * S 2] / x2inf} temos,
P [(9 * 2,25) / 14,684 • ó2 • (9 * 2,25) / 4,168] = P (1,38 • ó2 • 4,86), portanto, o intervalo [1,38;
4,86] contém a variância populacional com 80% de confiança.
Admite-se a hipótese de que a distribuição de probabilidade da população é normal.
7.12
Relembrando a fórmula de variância e aplicando os valores, temos
S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2) – (Óxi)2 / n] = 1 / (15 – 1) * [27,3 – (8,7)2 / 15] = 1,59 e n = 15,
Para (1 – á) * 100 = 95% e graus de liberdade = 14, portanto x2inf = 5,629 e x2sup = 26,12, que
aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S2] / x2sup • ó2 • [(n – 1) * S 2] / x2inf} temos,
P [(14 * 1,59) / 26,12 • ó2 • (14 * 1,59) / 5,629] = P (0,85 • ó2 • 3,95), portanto, o intervalo
[0,85; 3,95] contém a variância populacional com 95% de confiança.
7.13
n = 30, S2 = 494,17
Para (1 – á) * 100 = 99% e graus de liberdade = 29, portanto x2inf = 13,121 e x2sup = 52,336, que
aplicando a fórmula: P {([(n – 1) * S2] / x2sup)0,5 • ó2 • ([(n – 1) * S 2] / x2inf)0,5} temos,
P {[(29 * 494,17) / 52,336]0,5 • ó • [(29 * 494,17) / 13,121] 0,5} = P (16,55 • ó • 33,05), portanto,
o intervalo [16,55; 33,05] contém o desvio-padrão populacional com 99% de confiança.
7.14
Relembrando a fórmula de variância e aplicando os valores, temos
S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2) – (Óxi)2 / n] = 1 / (30 – 1) * [23436,80 – (700,8)2 / 30] = 243,66 e n = 30,
Para (1 – á) * 100 = 90% e graus de liberdade = 29, portanto x2inf = 17,708 e x2sup = 42,557, que
aplicando a fórmula: P {[(n – 1) * S2] / x2sup • ó2 • [(n – 1) * S 2] / x2inf} temos,
P [(29 * 243,66) / 42,557 • ó2 • (29 * 243,66) / 17,708] = P (166,04 • ó2 • 399,04), portanto, o
intervalo [166,04; 399,04] contém a variância populacional com 90% de confiança.
7.15
n = 100, f = 0,93
Para (1 – á) * 100 = 95%, á/2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula:
P {f – [z * (f * (1 – f) / n)0,5] • p • f + [z * (f(1 – f) / n)0,5]} temos,
P {0,93 – [1,96 * (0,93 * 0,07 / 100)0,5] • p • 0,93 + [1,96 * (0,93 * 0,07 / 100) 0,5]} = P (0,88 • p •
0,98), portanto, o intervalo [16,55; 33,05] contém a proporção populacional com 95% de
confiança.
7.16
n = 400, f = 0,25
Para (1 – á) * 100 = 98%, á/2 = 0,01, portanto z = 2,33, que aplicando a fórmula:
P {f – [z * (f * (1 – f) / n)0,5] • p • f + [z * (f(1 – f) / n)0,5]} temos,
P {0,25 – [2,33 * (0,25 * 0,75 / 400)0,5] • p • 0,25 + [2,33 * (0,25 * 0,75 / 400) 0,5]} = P (0,20 • p •
0,30), portanto, o intervalo [0,20; 0,30] contém a proporção populacional com 98% de
confiança.
7.17
n = 50, f = 0,60
Para (1 – á) * 100 = 96%, á/2 = 0,02, portanto z = 2,05, que aplicando a fórmula:
P {f – [z * (f * (1 – f) / n)0,5] • p • f + [z * (f(1 – f) / n)0,5]} temos,
P {0,60 – [2,05 * (0,60 * 0,40 / 50)0,5] • p • 0,60 + [2,05 * (0,60 * 0,40 / 50) 0,5]} = P (0,46 • p •
0,74), portanto, pode-se dizer, ao nível de 96%, que a moeda é honesta, pois o intervalo de
confiança para a proporção de caras [0,46; 0,74] contém p = 50%.
7.18
n = 120, f = 0,2083
Para (1 – á) * 100 = 99%, á/2 = 0,005, portanto z = 2,575, que aplicando a fórmula:
P {f – [z * (f * (1 – f) / n)0,5] • p • f + [z * (f(1 – f) / n)0,5]} temos,
P {0,2083 – [2,575 * (0,2083 * 0,7917 / 120)0,5] • p • 0,2083 – [2,575 * (0,2083 * 0,7917 /
120)0,5]} = P (0,1128 • p • 0,3038), portanto, pode-se dizer, ao nível de 99%, que o dado é
honesto, pois o intervalo de confiança para a proporção de cincos [0,11; 0,30] contém p = 17%.
7.19
n = 300, f = 0,60
Para (1 – á) * 100 = 90%, á/2 = 0,05, portanto z = 1,645, que aplicando a fórmula:
P {f – [z * (f * (1 – f) / n)0,5] • p • f + [z * (f(1 – f) / n)0,5]} temos,
P {0,60 – [1,645 * (0,60 * 0,40 / 300)0,5] • p • 0,60 – [1,645 * (0,60 * 0,40 / 300) 0,5]} = P (0,553 •
p • 0,647), portanto, o intervalo [0,553; 0,647] contém a proporç ão populacional de favoráveis à
fluoração com 90% de confiança.
Para (1 – á) * 100 = 95%, á/2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a fórmula:
P {f – [z * (f * (1 – f) / n)0,5] • p • f + [z * (f(1 – f) / n)0,5]} temos,
P {0,60 – [1,96 * (0,60 * 0,40 / 300)0,5] • p • 0,60 – [1,96 * (0,60 * 0,40 / 300) 0,5]} = P (0,545 • p
• 0,655), portanto, o intervalo [0,545; 0,655] contém a proporç ão populacional de favoráveis à
fluoração com 95% de confiança.
Soluções e Respostas
Capítulo 8 – Amostragem
SÉRIE I
8.1
c) ó = 7000, d = 2000, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a fórmula:
n = {(z2 * ó2 * N) / [d2 * (N – 1) + z2 * ó2]} = [4 * 49000000 * 100 / (4000000 * 99 + 4 * 49000000)]
= 196 * 108 / 592 * 106 = 33.
d) n = 33 e N = 100, portanto, a = 100 / 33 = 3 e a amostra será composta pelos
elementos correspondentes a: 1, 4, 7,10, ..., 100, ou seja, a amostra será:
29, 12, 34, 30, 24, 31, 20, 4, 14, 18, 31, 18, 26, 5, 30, 29, 32, 21, 16, 22, 32, 13, 23, 21, 32,
30, 14, 22, 19, 7, 26, 30, 17, 9.
e) Amplitude: r = 34 – 4 = 30
Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log34 • 1 + 3,22 * 1,53 • 6
Tamanho do intervalo: h • 30 / 6 • 5
Classe Intervalos Fi
1 4 • 9 3
2 9 • 14 3
3 14 • 19 6
4 19 • 24 7
5 24 • 29 3
6 29 • 34 12
Somas 34
f) xmedia = (Ó xi * Fi) / n = (6,5 * 3 + ...+ 31,5 * 12) / 34 = 22,38, ou seja, $ 2238.
g) S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi) – (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (34 – 1) * [19406,5 – (761)2 / 34] =
71,93, portanto S = 8,48, ou seja, $ 848.
h) ì = Ó xi / n = (29 + ...+ 9) / 100 = 19,62, ou seja, $ 1962,
| ì – xmedia | = | 1962 – 2238 | = $ 276 que é menor que $ 2000, portanto, | ì – xmedia | • d foi
verificado.
8.2
-
8.3
-
8.4
pest = qest = 0,5, d = 0,05, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a fórmula:
n = z2 * pest * qest / d2 = 4 * 0,25 / 0,0025 = 400.
8.5
pest = qest = 0,5, d = 0,05, N = 200000, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a
fórmula: n = {(z2 * pest * qest * N) / [d2 * (N – 1) + z2 * pest * qest]} , temos,
[4 * 0,25 * 200000 / 0,0025 * (199999) + 4 * 0,25)] = 200000 / 499,9975 = 399. Comparando-se
os resultados de 8.4 e 8.5, verifica-se que o cálculo do tamanho amostral para uma população
de 200000 dá, aproximadamente, o mesmo resultado, se considerarmos a população infinita.
8.6
-
8.7
pest = qest = 0,5, d = 0,03, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a fórmula:
n = z2 * pest * qest / d2 = 4 * 0,25 / 0,0009 = 1111, ou seja, uma amostra de 1111 semáforos.
8.8
ó = 10, d = 3, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a fórmula:
n = (z * ó / d)2 = (2 * 10 / 3)2 = 44.
8.9
a) O fato de cada criança receber um questionário não garante aleatoriedade ao processo
uma vez que famílias que não tem filhos ou crianças que faltaram, por exemplo, não
participam da amostra.
b) Apesar de o centro da cidade grande apresentar grande número de pessoas ao meio
dia, o processo não pode ser considerado aleatório, pois não garante que todas as
pessoas participem da amostra.
c) Apesar da escolha ser aleatória, os 10 membros não representam todos os 26 estados.
8.10
ó = 3, d = 1, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando a fórmula:
n = (z * ó / d)2 = (2 * 3 / 1)2 = 36.
8.11
pest = qest = 0,5, d = 0,03, N = 10000, (1 – á) * 100 = 99%, ou seja: z = 2,57, aplicando a
fórmula: n = {(z2 * pest * qest * N) / [d2 * (N – 1) + z2 * pest * qest]} , temos,
[6,60 * 0,25 * 10000 / 0,0009 * (9999) + 6,60 * 0,25)] = 16500 / 10,65 = 1550.
8.12
pest = 0,4, qest = 0,6, d = 0,025, N = 5000, (1 – á) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2,, aplicando a
fórmula: n = {(z2 * pest * qest * N) / [d2 * (N – 1) + z2 * pest * qest]} , temos,
[4 * 0,24 * 5000 / 0,000625 * (4999) + 4 * 0,24)] = 4800 / 4,08 = 1175.
8.13