RESUMO VETORES

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
CAPÍTULO 1 
 
VETORES 
 
A noção de vetor, que muitos matemáticos e físicos, já discutiam há muito tempo atrás, sua 
formalização com a Teoria do Cálculo Vetorial, é algo recente datado próximo ao final do século XIV e 
início do século XX. Seu desenvolvimento da álgebra vetorial e da análise vetorial como conhecemos 
hoje foi revelado primeiramente em um conjunto de notas de aula feitos por J. Willard Gibbs (1839--
1903) feito para seus alunos na Universidade de Yale. Gibbs nasceu em New Haven, Connecticut (seu pai 
também foi professor em Yale) e suas conquistas científicas principais foram em física, termodinâmica 
propriamente dita. Maxwell apoiava o trabalho de Gibbs em termodinâmica, especialmente as 
apresentações geométricas dos resultados de Gibbs e concluiu que vetores forneceriam uma ferramenta 
mais eficiente para seu trabalho em física. Assim, começando em 1881, Gibbs imprimiu por conta 
própria notas de aulas sobre análise vetorial para seus alunos, as quais foram amplamente distribuídas 
para estudiosos nos Estados Unidos, na Inglaterra e na Europa. Ao introduzir as teorias de Maxwell 
sobre eletricidade e magnetismo na Alemanha (1894), os métodos vetoriais foram defendidos e vários 
livros sobre análise vetorial em alemão se seguiram. Os métodos vetoriais foram introduzidos na Itália 
(1887, 1888, 1897), na Rússia (1907) e na Holanda (1903). Vetores agora são a linguagem moderna de 
grande parte da física e da matemática aplicada e continuam tendo seu próprio interesse matemático 
intrínseco. 
 
1 Grandeza Escalar e Grandeza Vetorial 
 
Na natureza encontramos dois tipos de grandezas (físicas): as grandezas 
escalares e as grandezas vetoriais. Para se operar com as grandezas escalares 
são utilizadas as mesmas operações definidas no conjunto dos números reais. Para 
operar com grandezas vetoriais são necessárias outras operações e outras 
definições, também chamado de Cálculo Vetorial. 
 
Grandeza Escalar: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário 
caracterizar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida. 
 
Exemplos de grandezas escalares: 
1) Massa: Se estamos interessados em dizer qual é a massa de um determinado 
corpo, basta dizer, por exemplo: um corpo com massa de 75 kg, onde, 75 é o 
módulo da grandeza e kg (quilograma) é a unidade de medida. 
2) Temperatura: Para você informar sobre a temperatura de um determinado 
ambiente, basta dizer, por exemplo: a temperatura do ambiente é de 36 oC, 
onde, 36 é o módulo da grandeza e oC (grau Celsius) a unidade de medida. 
 
Grandeza Vetorial: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário 
caracterizar seu módulo e uma unidade de medida, direção e sentido. 
 
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Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Exemplos de grandezas vetoriais: 
1) Força: Quando uma força é aplicada em um corpo, ela é aplicada com certa 
intensidade (seu módulo), numa determinada direção e num determinado sentido. 
Por exemplo: uma força de intensidade 20 N (Newtons), na direção horizontal com 
sentido para direita. 
 
 
 
 
2) Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpo 
possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se deslocando com certa 
velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo: 
uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), numa direção vertical com sentido 
para cima. 
 
 
 
 
 
 
2 Vetor 
Definição: Um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos do 
espaço e representado pela "flecha" com abaixo. O ponto A (início da flecha) é a 
origem e B (a "ponta" ou "seta" da flecha) é a extremidade. Um segmento 
orientado do tipo (A,A) é chamado segmento orientado nulo. 
 
 
Observe que, se A≠B, então (A,B) é diferente de (B,A). No caso do segmento 
orientado (B,A), B passa ser a origem e A a extremidade. 
 
 
Dado um segmento orientado (A,B), vamos definir os seus três elementos básicos: 
módulo, direção e sentido. 
20N 
12 m/s 
 
B 
A 
B 
A 
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(a) módulo: representa o tamanho ou comprimento do segmento orientado (A,B) 
que é definido como sendo do tamanho do segmento geométrico AB . 
(b) direção: é a reta suporte que sustenta o segmento orientado (A,B), ou seja, se 
prolongarmos o segmento orientado além da sua origem e da sua extremidade 
através de uma reta tracejada, a reta obtida indica sua direção. 
(c) sentido: o sentido do segmento orientado (A,B) é indicado pela "seta" da 
flecha que o representa. 
 
 
 
 
Definição: 
(a) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são de mesmo comprimento se os 
segmentos geométricos AB e CD têm comprimentos iguais. 
(b) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D), não nulos, são paralelos se eles tem 
a mesma direção, ou seja, se as retas suportes de ambos são paralelas. 
Considere os vetores abaixo e note que, conforme as definições acima temos: 
 
 
 
- Os segmentos orientados (A,B) e (E,F) têm o mesmo módulo, mesma direção 
(são paralelos) e o mesmo sentido; 
- Os segmentos orientados (A,B) e (G,H) têm módulos diferentes, direções 
diferentes (não são paralelos) e sentidos diferentes; 
- Os segmentos orientados (E,F) e (D,C) tem módulos diferentes, mesma direção 
(são paralelos) e sentidos opostos. 
"seta": sentido de (A,B) 
reta suporte: 
direção de 
(A,B) 
módulo:AB 
B 
A 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
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Definição: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se forem de 
mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Indica-se a equipolência entre 
(A,B) e (C,D) por: (A,B)~(C,D). 
OBS: Decorre da definição que: 
(a) se ambos os segmentos forem nulos então eles são equipolentes; 
(b) equipolente a um segmento orientado nulo, somente outro segmento orientado 
nulo. 
Proposição: A relação de equipolência é uma relação de equivalência, ou seja, 
quaisquer que sejam os segmentos orientados (A,B), (C,D) e (E,F): 
(a) (A,B)~(A,B) (Propriedade Reflexiva) 
(b) (A,B)~(C,D)⇒(C,D)~(A,B) (Propriedade Simétrica) 
(c) (A,B)~(C,D) e (C,D)~(E,F)⇒(A,B)~(E,F) (Propriedade Transitiva) 
Proposição: Considere os segmentos orientados (A,B) e (C,D). Se 
(A,B)~(C,D)⇒(A,C)~(B,D). 
 
 
Definição: Dado o segmento orientado (A,B), a classe de equipolência de (A,B) 
é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (A,B). O segmento 
orientado (A,B) é o representante da classe. 
OBS: Decorre da definição de classe de equipolência o que segue: 
(a) Todos os segmentos orientados pertencentes a uma classe de equipolência são 
equipolentes entre si. O próprio (A,B) é um deles, pela propriedade reflexiva; 
(b) Se (C,D) pertence à classe de equipolência de (A,B), então (A,B) pertence à 
classe de equipolência de (C,D), devido a propriedade simétrica. Na verdade, essa 
duas classes coincidem, pois quem for equipolente a (C,D) será equipolente a 
(A,B), e vice-versa, pela propriedade transitiva; 
A 
B D 
C 
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(c) Qualquer segmento pertencente a uma classe de equipolência pode ser o seu 
representante. 
Definição: Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se 
(A,B) é um segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representanteserá 
indicado por AB ou simplesmente por uma letra minúscula, por exemplo v
r
. Logo, 
vAB
r
= . 
OBS: Deve estar claro que, se os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são 
equipolentes, então os vetores AB e CD são iguais. Cuidado para não usar a 
expressão "vetores equipolentes", pois a equipolência é uma relação entre 
segmentos orientados, não entre vetores; 
Portanto, o vetor vAB
r
= , com um significado geométrico, nada mais é que 
um objeto matemático representado por um segmento orientado. 
 
 
 
Assim, o vetor v
r
, tem o ponto A como origem e B é sua extremidade. Outras 
notações são usadas para denotar o vetor v
r
, como: AB (sempre a origem primeiro 
e depois a extremidade) ou a notação: AB − (a extremidade menos a origem). 
Logo, podermos escrever: ABABv −==
r
. O vetor representado pelo segmento 
orientado (A,A) será chamado de vetor nulo e denotado por 0 . 
Para definirmos bem o vetor é necessário caracterizar seu módulo, direção e 
sentido. Como estamos representando o vetor por um segmento orientado, essas 
noções já foram introduzidas. Então: 
 
Módulo: é o tamanho do vetor, ou seja, o comprimento do segmento orientado 
(A,B), e será denotado por |AB|v|v| ==
r
. 
 
Direção: é a reta suporte que sustenta o vetor. 
 
 
 
Sentido: é indicado pela seta do segmento orientado. 
 
reta suporte que indica a 
direção do vetor v
r
 
v
r
 
sentido 
do vetor 
a
r
 
B 
A 
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Uma particularidade entre os vetores, e muito importante, é que vetores 
paralelos têm a mesma direção, assim como os segmentos orientados que os 
representam. Na figura abaixo, os vetores têm a mesma direção (são paralelos), 
têm módulos (tamanhos) diferentes, a
r
 e c
r
 têm o mesmo sentido e b
r
 tem sentido 
oposto dos vetores a
r
 e c
r
. 
 
Vetores que têm o mesmo módulo, a mesma direção (paralelos) e o mesmo 
sentido são chamados de vetores iguais. Na figura abaixo os vetores são iguais. 
 
 
OBS: Existe uma definição muito mais ampla do conceito de vetor (não 
necessariamente geométrica) que envolve uma gama bastante variada de objetos 
matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações 
diferenciais, etc. Inicialmente, trabalharemos apenas com o vetor como definido 
acima. 
 
3 Operações com vetores 
 
3.1 Adição: Considere os vetores u
r
 e v
r
, cuja soma vu
rr
+ , é determinada da 
seguinte forma: Adotar um ponto A qualquer e, com origem nele, traçar o 
segmento orientado (A,B) que representa o vetor ABu =
r
. Utilizar a extremidade B 
para traçar o segmento orientado (B,C) que representa o vetor BCv =
r
. O vetor 
representado pelo segmento orientado (A,C) é, por definição, o vetor soma de u
r
 
com v
r
, isto é, ACvu =+
rr
, ou seja, ACBCAB =+ . 
 
 
 
 
 
 
Note que, a ordem em que se somam os vetores não altera o resultado, pois: 
 
c
r
 b
r
 a
r
 
d
r
c
r
 
 
b
r
a
r
 
 
u
r
 
v
r
 
ACvu =+
rr
 
v
r
 u
r
 
C 
B 
A 
ACuv =+
rr
 
A 
v
r
 
u
r
 
C 
B 
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Este método para somar dois vetores é conhecido como "método da poligonal", 
o qual pode ser aplicado para a soma de mais de dois vetores. Veja o exemplo a 
seguir. 
 
Exemplo (1): Considere os vetores wev,u
rrr
 dados abaixo. Determinar wvu
rrr
++ e 
uwv
rrr
++ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Uma variação do método da poligonal e o que chamamos de "método do 
paralelogramo" (muito usado na soma de dois vetores). O método do 
paralelogramo consiste em: dados dois vetores veu
rr
, adotamos um ponto O 
qualquer, transportamos as origens dos dois vetores para este ponto O. Pela 
extremidade do vetor u
r
 traçamos uma reta paralela ao vetor v
r
 e, pela 
extremidade do vetor v
r
 traçamos uma reta paralela ao vetor u
r
. Estas duas retas 
se interceptam num ponto O'. A figura obtida é um paralelogramo, cuja diagonal 
determinada pelos pontos OO' é o vetor soma 'OOvu =+
rr
. 
 
 
 
 
 
Propriedades da Adição. 
1) Comutativa: uvvu
rrrr
+=+ 
 
 
 
 
2) Associativa: w)vu()wv(u
rrrrrr
++=++ 
 
 
u
r
 v
r
 
w
r
 
ADwvu =++
rrr
 D 
C 
B A 
w
r
v
r
 
u
r
 
ADuwv =++
rrr
 
B 
C D 
A w
r
 
u
r
 
v
r
 
u
r
 v
r
 
'OOvu =+
rr
 
O' 
O 
u
r
 
v
r
 
O' 
uv
rr
+ vu
rr
+ 
v
r
 
u
r
 
O 
u
r
 
v
r
 
w)vu()wv(u
rrrrrr
++=++ 
wv
rr
+ 
vu
rr
+ 
w
r
 
v
r
 
u
r
 
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3) Elemento Neutro: 0,u ∃∀
r
(o vetor nulo) tal que uu00u
rrr
=+=+ . 
4) Elemento Oposto (ou simétrico): u
r
∀ , com ABu =
r
, u
r
−∃ (o vetor oposto do vetor 
u
r
), com BAu =−
r
 tal que 0u)u()u(u
rrrrr
=+−=−+ . 
 
3.2 Subtração: Considere os vetores veu
rr
. O vetor diferença entre veu
rr
, 
indicado por vu
rr
− , é a soma do vetor u
r
com o oposto do vetor v
r
, ou seja, 
)v(uvu
rrrr
−+=− . 
 
Cuidado! Não vale a propriedade comutativa, isto é, uvvu
rrrr
−≠− . Note que, 
)uv(vu
rrrr
−−=− . Esta propriedade é chamada de anti-comutativa. Considerando que 
sempre se interpreta a subtração )v(uvu
rrrr
−+=− , neste caso as propriedades são as 
mesmas da adição. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo (2): Considere os vetores veu
rr
, como abaixo, determinar vu
rr
− . 
 
 
 
 
 
OBS: Dados dois vetores veu
rr
, vamos determinar adição vu
rr
+ e a subtração 
vu
rr
− , usando o método do paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
uv
rr
− 
u
r
− 
vu
rr
+ 
vu
rr
− 
u
r
 
v
r
− 
v
r
 
u
r
 
ACvu =−
rr
 
C 
B A 
v
r
− 
u
r
 
v
r
 v
r
− 
u
r
 
v
r
 vu
rr
− 
vu
rr
− 
u
r
 
v
r
− 
v
r
 vu
rr
+ 
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Assim, dados dois vetores quaisquer, não paralelos, eles determinam um 
paralelogramo onde uma diagonal é vu
rr
+ e a outra vu
rr
− . Isso é muito útil na 
resolução de problemas. 
 
3.3 Multiplicação por Escalar: Sejam qualquer vetor ℜ∈α∀ev
r
. Então a 
multiplicação do número real α pelo vetor v
r
, denotado por v
r
⋅α , ou simplesmente 
por v
r
α , é um vetor que satisfaz: 
a) Se 0ventão,0vou0
rrrr
=α==α 
b) Se vvetoro,0ve0
rrr
α≠≠α caracteriza-se por: 
• v
r
α é paralelo a v
r
; 
• vev
rr
α são de mesmo sentido se 0>α , e de sentidos contrários se 0<α ; 
• |v||||v|
rr
⋅α=α . 
 
Exemplo (3): Seja v
r
 um vetor qualquer. Note que os vetores v
2
1
ev2,v2
rrr
− , 
representados abaixo, são todos paralelos, ou seja, têm a mesma direção. 
 
 
 
 
 
Propriedades da Multiplicação por escalar: 
1) ℜ∈β∀ℜ∈α∀βα=αβ e,v)()v(
rr
 3) ℜ∈β∀ℜ∈α∀β±α=β±α e,vvv)(
rrr
 
2) ℜ∈α∀α±α=±α ,uv)uv(
rrrr
 4) vv1
rr
=⋅ 
 
3.4 Soma de um ponto com um vetor: Dados um ponto P e um vetor u
r
, o ponto 
Q tal que o segmento orientado (P,Q) é representante de u
r
 é chamado soma de P 
com u
r
 e indicadopor uP
r
+ (figura abaixo). Em símbolos: 
PQuPQuQuP =⇔−=⇔=+
rrr
 
 
 
 
 
Decorre da definição que, quaisquer que sejam os pontos P e Q, QPQP =+ . 
Intuitivamente, podemos entender uP
r
+ como o resultado do deslocamento de um 
u
r
 
P 
uPQ
r
+= 
v
2
1 r 
v2
r
− v2
r
 
v
r
 
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ponto material, inicialmente na origem do vetor, até sua extremidade. Usaremos a 
notação uP
r
− para indicar a soma do ponto P com o oposto de u
r
, ou seja, 
)u(PuP
rr
−+=− . 
 
Propriedades: Quaisquer que sejam os pontos A e B e os vetores veu
rr
, valem: 
1) )vu(Av)uA(
rrrr
++=++ 
2) vuvAuA
rrrr
=⇔+=+ (lei do cancelamento de pontos) 
3) BAuBuA =⇔+=+
rr
 (lei do cancelamento de vetores) 
4) Au)uA( =+−
rr
 
 
Definição: O versor de um vetor v
r
, diferente do vetor nulo, denotado por ov
r
, é 
um vetor unitário, ou seja, 1|v| o =
r
, como mesma direção e sentido do vetor v
r
, 
definido por 
|v|
v
vo r
r
r
= . 
Por exemplo: se o vetor v
r
 tem módulo 3|v| =
r
 e o vetor u
r
 tem módulo 
2
1
|u| =
r
, 
então seus versores são, respectivamente, v
3
1
vo
rr
= e u2uo
rr
= . Assim: 
 
 
 
 
 
4 Ângulo entre dois vetores 
O ângulo entre dois vetores veu
rr
, não nulos, denotado por 
CAˆB)v,u(ang ==θ
rr
, é o ângulo entre os segmentos orientados que representam os 
vetores, com a restrição oo 1800 ≤θ≤ , quando as origens dos vetores são 
transportadas para um mesmo ponto A. 
 
 
 
 
Da geometria plana sabemos que α−+= cosuv2vuw 222 , chamada de Lei 
dos cossenos, onde u, v e w são os lados de um triângulo qualquer e α é um 
ângulo interno ao triângulo, oposto ao lado w. 
 
u
r
 
ov
r
 
v
r
 
ou
r
 
α v 
w 
u 
u
r
 
v
r
 
C 
B 
v
r
 
u
r
 
A 
θ 
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Vetorialmente vuw
rrr
+= . 
 
 
 
 
 
 
Note que o ângulo entre os vetores veu
rr
 é θ e não o α . Temos que 
o180=θ+α e θ−=α coscos . Logo, de α−+= cosuv2vuw 222 vem que: 
θ++=+= cosuv2vu|vu|w 2222
rr
. Quando o ângulo entre dois vetores é 900, 
dizemos que eles são ortogonais. 
 
Exemplo (4): Dois vetores bea
rr
, onde 6b|b|e2a|a| ====
rr
 formam entre si 
um ângulo de 120o. Determine o módulo da soma de ba
rr
+ e da diferença de ab
rr
− . 
Solução: 
 
 
 
 
Aplicando a lei dos co-senos temos: 
28
2
1
62262)120cos(ab2ba|ba| 22o222 =





−⋅⋅⋅++=++=+
rr
 ⇒ 
7228|ba| ==+
rr
 
52
2
1
62262)60cos(ab2ba|ab| 22o222 =





⋅⋅⋅++=++=−
rr
 ⇒ 13252|ab| ==−
rr
 
 
Exemplo (5): Seja um triângulo ABC. Mostre, vetorialmente, que o segmento que 
une os pontos médios M e N de dois lados do triângulo é paralelo ao terceiro lado e 
metade do comprimento deste. O segmento MN é chamado de base média do 
triângulo. 
Solução: Basta mostrar que: AC
2
1
MN = . A operação produto por escalar 
conserva a direção, logo, os vetores ACeMN são paralelos. 
 
 
 
α 
θ 
u
r 
v
r 
w
r 
u
r 
ab
rr
− 
ba
rr
+ 
b
r
 
a
r
− 
a
r
 120
o 
60o 
N M 
B 
C A 
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Como M é ponto médio de AB , então AM2AB = e N sendo ponto médio de BC , 
então NC2BC = . Pela figura acima temos: 




=+
=++
ACBCAB
ACNCMNAM)I( . Em (I) 
multiplicando a primeira equação por 2 e na segunda equação substituindo 
AM2AB = e NC2BC = , obtém-se: 




=+
=++
ACNC2AM2
AC2NC2MN2AM2 . Subtraindo a segunda 
da primeira equação: AC
2
1
MNACMN2 =⇒= . 
 
Exemplo (6): Três forças de mesmo módulo F e aplicadas no mesmo ponto P 
podem equilibrar-se? 
Solução: Sim, desde que elas estejam defasadas de um ângulo de α=120o. 
Aplicando a lei dos cossenos para duas forças de mesmo módulo F, cujo ângulo 
entre elas é 120o, a resultante terá a direção da bissetriz do ângulo entre elas e 
módulo igual a F, pois: 
F|FF|FFF2
2
1
F2F2)120cos(FF2FF|FF| 22222o222 =+⇒=−=





−⋅+=++=+ 
Portanto, a resultante é zero e as três forças estão em equilíbrio. 
 
 
 
 
 
OBS: Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano, ou seja, existe 
um plano que os contém. A Figura (a) ilustra a situações em que os vetores são 
coplanares e a Figura (b) quando eles não são coplanares. 
 
 
 
 
 
 
Figura (a): Vetores coplanares. Figura (b): Vetores não 
coplanares. 
 
Operando-se geometricamente com vetores, obtém-se como resultado, vetores que 
são coplanares com os vetores operados, ou seja, os vetores operados e os vetores 
resultantes estão no mesmo plano (são coplanares). 
u
r
v
r
 
w
r
 
u
r
 
v
r
 
w
r
 
α α 
α F
F
F 
F 
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Exemplo (7): Provar que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. 
Solução: Suponhamos que M e N sejam os pontos médios de BDeAC , 
respectivamente, como na figura abaixo. Basta provar que NM = . 
 
 
 
 
Temos que: AM2AC = e ND2BD = . Por construção temos: NDANAD += e 




=−
=+
BDABAD
ACABAD . Somando as equações vem que: ND2AM2BDACAD2 +=+= ⇒ 
( ) ND2AM2NDAN2 +=+ ⇒ AMAN = ⇒ AMAN −=− ⇒ MN = 
 
Exercícios Propostos: 
1) Sejam os vetores ceb,a
rrr
, de módulos 3, 5 e 7, respectivamente, e coplanares. 
Sabendo que o30)b,a(ang =
rr
 e o30)c,b(ang =
rr
, determine 22 |ba||cb|R
rrrr
−−+= . 
Resp: 35040R += 
2) Na figura abaixo AD2DC = . Vetorialmente, exprimir BD em função de BA e BC . 
Resp: 
3
AB2BC
BD
−
= 
 
3) Demonstrar, vetorialmente, que o segmento que une os pontos médios dos 
lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual a sua semi-soma. 
4) Demonstrar que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um 
trapézio é paralelo às bases e igual à semi-diferença das referidas bases. 
5) As forças 521 f,...,f,f
rrr
 dispostas como mostra a figura, determinam um hexágono 
regular. Determine o módulo da resultante dessas forças em função do módulo da 
1f
r
. 
Resp: 1R f6F = 
 
 
6) Sejam os vetores bea
rr
, de módulos 1e3 , e ortogonais entre si. Sendo 
bam
rrr
+= , determine o módulo do vetor bmR
rr
+= . Resp: 
7|R| = 
M N 
D 
C B 
A 
C 
B 
A D 
5f
r
 
4f
r
 
3f
r
 
2f
r
 1f
r
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
7) Sabendo que 2|vu|e4|vu| =−=+
rrrr
, determine 22 |v||u|R
rr
+= . Resp: 
10R = 
8) Determine BA em função de u
r
, sabendo que uBuA
rr
+=− . Resp: 
u2BA
r
= 
9) Determine a relação entre u
r
 e v
r
, sabendo que, para um dado ponto A, temos: 
Av)uA( =++
rr
. Resp: 
vu
rr
−= 
10) Dizer se é falsa ou verdadeira cada uma das afirmações: 
a) Se vu
rr
= , então |v||u|
rr
= 
b) Se |v||u|
rr
= , então vu
rr
= 
c) Se v//u
rr
, então vu
rr
= 
d) Se vu
rr
= , então v//urr
 
e) Se vuw
rrr
+= , então |v||u||w|
rrr
+= 
f) |v||u||w|
rrr
+= , então wev,u
rrr
 são paralelos 
g) Se CDAB = , então ABCD (vértices nesta ordem) é um paralelogramo 
h) |v|5|v5||v5|
rrr
=−= 
i) Os vetores v4ev3
rr
− são paralelos e de mesmo sentido 
j) Se v//u
rr
, 4|v|e2|u| ==
rr
, então u2vouu2v
rrrr
−== 
k) Se 3|v| =
r
, o versor de 
3
v
év10
r
r
−− 
Resp: a) V b) F c) F d) V e) F f) V g) F h) V i) F j) V k) V 
 
 
COMENTÁRIOS IMPORTANTES: 
• Não existe interseção de vetores. Os vetores não são constituídos de pontos 
como uma reta, apenas são representados pelos segmentos orientados, para 
caracterizar uma grandeza vetorial que deve ter seu módulo, direção e sentido 
bem definidos. 
• Como não há interseção entre vetores, não é conveniente chamá-los de vetores 
perpendiculares, ou seja, quando o ângulo entre dois vetores for de 90o é mais 
conveniente chamá-los de ortogonais. 
• As operações elementares com vetores são apenas três: adição, subtração e 
produto por escalar. Não existe multiplicação e nem divisão entre vetores. Logo, 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
escrever, por exemplo: 2u
r
 ou 
u
v
r
r
, é um erro comum. No entanto, podemos 
calcular 2|u|
r
 ou 
|u|
|v|
r
r
, que ambos são números reais, com 0|u| ≠
r
. 
• Todas as operações elementares obedecem à propriedade do fechamento, ou 
seja, qualquer operação elementar realizada entre vetores o resultado será um 
vetor. Em particular, observe que 0vv
rrr
=− (0
r
 é o vetor nulo) e não 0vv =−
rr
 
(0 é o escalar zero). Correto seria 0|v||v| =−
rr
.