capacitancia

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IBM1018 – Física Básica II – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 9 
 
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Capacitores e Dielétricos 
 
Um capacitor é um sistema elétrico formado por dois condutores 
separados por um material isolante, ou pelo vácuo. 
 
Imaginemos uma configuração como a de um capacitor em que os 
dois condutores estejam inicialmente descarregados (com carga 
líquida nula). O processo chamado de carregamento de um capacitor 
consiste em transferir elétrons de um dos condutores para o outro de 
maneira que, no fim do processo, um dos condutores esteja com 
carga líquida positiva +Q e o outro condutor esteja com carga 
líquida negativa −Q. Note que a carga líquida total do sistema 
formado pelos dois condutores continua nula. 
 
Após o carregamento de um capacitor, dizemos que ele armazena ou 
possui carga Q. 
 
Note que entre os dois condutores de um capacitor carregado existe 
um campo elétrico ��� que aponta do condutor com carga +Q para o 
condutor com carga −Q. Consequentemente, o condutor com carga 
+Q está a um potencial maior que o condutor com carga −Q. 
 
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Nos diagramas de circuitos elétricos, representa-se um capacitor 
pelo símbolo abaixo: 
. 
 
Uma maneira de carregar um capacitor é ligar fios metálicos aos 
condutores e conectá-los aos terminais opostos de uma bateria. 
Espera-se até que as cargas +Q e −Q se estabeleçam nos dois 
condutores e depois desconectam-se os fios da bateria. Como as 
cargas não podem passar de um condutor para outro, a carga 
armazenada no capacitor permanece constante. A voltagem Vab entre 
os condutores (Va − Vb) permanece constante e é igual à voltagem da 
bateria. 
 
Capacitor de placas planas e paralelas 
 
Consideremos um capacitor cujos condutores sejam placas metálicas 
planas e paralelas carregadas com cargas +Q e −Q. Vamos supor que 
as placas têm área A e estejam separadas por uma distância d. 
 
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Se a distância d for muito menor que a área das placas, podemos 
tratá-las, aproximadamente e longe das bordas, como se fossem 
planos infinitos. Neste caso, como visto em aulas anteriores, o 
campo elétrico entre as placas é uniforme, aponta da placa carregada 
positivamente para a carregada negativamente e seu módulo vale 
� = ����� = ��� , (1) 
onde σ é a densidade superficial de carga nas placas do capacitor, 
� = �� . (2) 
A diferença de potencial entre as duas placas é 
� = �� − �� = � ��� ∙ �ℓ��
�
�
= ��, (3) 
o que implica que, substituindo (1) em (3): 
� = ���� =
��
���. (4) 
A diferença de potencial entre as placas é proporcional à carga Q 
armazenada. 
 
Este resultado vale para qualquer capacitor: a diferença de potencial 
V entre dois condutores, de qualquer forma, carregados com carga Q 
é proporcional a Q. 
 
Invertendo a equação (4), podemos escrever Q em função de V: 
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� = ���� �. (5) 
Define-se 
� ≡ ���� (6) 
como a capacitância do capacitor (como vimos, esta relação vale 
para qualquer capacitor). Portanto, a relação entre a carga 
armazenada num capacitor e a diferença de potencial entre os 
condutores é 
� = ��. (7) 
A unidade de capacitância é o farad (F), em homenagem a Michael 
Faraday (veja a aula 3). 
1 farad = 1 F = 1 !" = 1 
#$%&$'(
)$&* . 
Quanto maior for a capacitância de um capacitor, maior a carga Q 
armazenada no capacitor para uma mesma diferença de potencial. 
 
A equação (6) nos permite escrever as unidades da constante ε0 em 
termos do farad: 
+��, = +�, +�,+�, =
F
m, 
ou 
ε0 = 8,85 × 10−12 F/m. 
 
 
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Capacitor esférico 
 
Um capacitor esférico é formado por uma esfera condutora interna 
de raio ra e uma casca esférica condutora concêntrica de raio rb. As 
duas estão separadas pelo vácuo. A esfera interna tem carga +Q 
distribuída por sua superfície externa e a casca esférica externa tem 
carga −Q distribuída por sua superfície interna (figura abaixo). 
 
Para calcular a capacitância desse capacitor, vamos usar a relação 
(7), que é válida para qualquer capacitor: 
� = �� . (8) 
Para determinar V, precisamos determinar o campo elétrico ��� entre a 
esfera e a casca esférica. 
 
Tomemos uma superfície gaussiana de raio r entre a esfera e a casca 
esférica. O fluxo elétrico por essa superfície vale Q/ε0: 
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Φ1 = 2 ��� ∙ ��� = ���. 
Por simetria, ��� é constante em módulo ao longo dessa superfície 
gaussiana. Ele também aponta na direção radial, que coincide com a 
direção de ���. Logo 
Φ1 = �� = �4345 = ���. 
Então, 
� = 143��
�
45. 
O campo elétrico entre a esfera e a casca esférica é igual ao de uma 
carga puntiforme +Q colocada no centro delas. Como o campo 
elétrico é o mesmo de uma carga puntiforme no centro, o potencial 
elétrico também o será: 
� = 143��
�
4 . 
Portanto, a diferença de potencial entre a esfera de raio ra e a casca 
esférica de raio rb é 
�67 = �6 − �7 = �43��46 −
�
43��47 =
�
43�� 8
1
46 −
1
479
= �43��
47 − 46
4647 . 
A capacitância do capacitor esférico é então 
� = ��67 = 43��
4647
47 − 46 . (9) 
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Um caso particular da equação (9) ocorre para o caso em que a casca 
esférica de raio rb está muito longe da esfera de raio ra. Se a 
distância entre elas for tão grande que se possa aproximar rb → ∞, a 
capacitância do sistema torna-se 
� = 43�� 464747 = 43��46, (10) 
ou seja, a capacitância depende apenas do raio da esfera interna. 
 
Podemos então definir a capacitância de uma esfera condutora de 
raio R como: 
� = 43��<. (11) 
As linhas de força entre a esfera de raio R e a casca esférica de raio 
“infinito” se estendem até o “infinito”. 
 
Por exemplo, se pudermos tratar a Terra como uma esfera condutora 
esférica, sua capacitância vale (o raio da Terra é R ≅ 6,37 × 103 km) 
CTerra ≅ 7,1 × 10−4 F = 710 µF. 
Este é um valor bastante grande. Tão grande que podemos supor, em 
geral, que quando se escoa uma quantidade de carga ∆Q para a Terra 
a alteração no seu potencial é desprezível (veja abaixo) 
� = �� . 
É por isso que a Terra é um bom “terra”. 
 
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Capacitor cilíndrico 
 
Um capacitor cilíndrico é formado por um cilindro condutor de raio 
ra e densidade linear de carga λ1 circundado por uma casca cilíndrica 
condutora coaxial de raio interno rb e densidade linear de carga −λ 
(veja a figura abaixo). 
 
Para calcular a diferença de potencial entre os cilindros, lembremos 
que p potencial em um ponto externo a um cilindro carregado a uma 
distância r do centro vale 
� = >23�� ln
4�
4 , 
onde r0 é uma distância arbitrária onde V = 0. Podemos usar esta 
expressão aqui porque a carga elétrica sobre a casca cilíndrica 
externa não contribui para o potencial no interior do cabo coaxial. 
 
 
1
 Para relacionar a densidade linear de carga λ com a densidadesuperficial de carga σ, mais usual quando se 
trata de superfícies, basta lembrar que a carga total em um comprimento L do cilindro é Q = λ L = σA = 
2piraLσ. Isto nos dá: λ = 2piraσ. 
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Vamos escolher r0 = rb, o raio da parte de dentro da casca cilíndrica 
externa. Então, o potencial em ra será 
�67 = �(A) − �(B) = >23�� ln
47
46 − 0 =
>
23�� ln
47
46 . (12) 
Essa diferença é positiva, pois V(a) > V(b). 
 
Para calcular a capacitância, vamos usar a fórmula C = Q/Vab. A 
carga Q é dada por Q = λL, de maneira que 
� = 23��Cln D4746E
. (13) 
A capacitância por unidade de comprimento é, então 
�
C =
23��
ln D4746E
. (14) 
Note que, assim como nos casos dos capacitores de placas planas 
paralelas e esférico, a capacitância do capacitor cilíndrico depende 
apenas das dimensões do capacitor. 
 
Substituindo ε0 = 8,85 × 10−12 F/m = 8,85 pF/m em (14), obtemos 
uma expressão útil para a capacitância por unidade de comprimento: 
�
C =
55,6 pF/m
ln D4746E
. (15) 
 
 
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Capacitores em série e em paralelo 
 
A figura (a) abaixo mostra o diagrama de circuitos para um arranjo 
de capacitores denominado de arranjo em série. Em um arranjo 
desse tipo, dois ou mais capacitores são conectados um após o outro 
(em série) por fios condutores. Os terminais do circuito estão ligados 
aos polos de uma bateria, de maneira que a diferença de potencial 
entre eles é V. 
 
 
A placa superior do capacitor de capacitância C1 acumula carga +Q. 
Portanto, a placa inferior desse capacitor possui carga −Q. Os 
elétrons que se acumulam nessa placa vieram da placa superior do 
segundo capacitor (com capacitância C2). Desta forma, a placa 
superior desse segundo capacitor também tem carga +Q e a placa 
inferior tem carga −Q. 
 
Quando capacitores são conectados em série, cada um deles possui a 
mesma carga. 
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A partir deste resultado, podemos escrever que as diferenças de 
potencial entre os pontos a e c e c e b na figura são: 
�6H = �I = ��I e �H7 = �5 =
�
�5. 
Isto implica que 
�67 = � = �I + �5 = � 8 1�I +
1
�59. 
Isto sugere que podemos substituir os dois capacitores em série no 
circuito acima por um único capacitor equivalente com capacitância 
�LM = 1�I +
1
�5. 
A figura (b) acima mostra o capacitor equivalente. 
 
Generalizando, se tivermos N capacitores em série em um circuito 
eles podem ser substituídos por um capacitor equivalente com 
capacitância 
�LM = 1�I +
1
�5 + ⋯ +
1
�O . (16) 
 
A figura abaixo mostra um arranjo de capacitores em um circuito 
denominado de arranjo em paralelo. 
 
 
 
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Note que os terminais dos capacitores estão ligados aos mesmos 
polos da bateria, de maneira que as diferenças de potenciais entre 
eles são todas iguais a V. 
 
Vamos supor que a carga total presente no circuito vale Q e ela se 
encontra distribuída pelos capacitores de maneira que o primeiro 
possui carga Q1 e o segundo possui carga Q2: 
Q = Q1 + Q2. (17) 
Temos, então 
� = �I� + �5� = (�I + �5)�. 
Isto sugere que podemos substituir os dois capacitores em paralelo 
no circuito acima por um único capacitor equivalente com 
capacitância 
�LM = �I + �5. 
O capacitor equivalente está mostrado na figura (b) acima. 
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Generalizando, se tivermos N capacitores em paralelo em um 
circuito eles podem ser substituídos por um capacitor equivalente 
com capacitância 
�LM = �I + �5 ⋯ �O . (18)