exercicios semana6

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Lista de exercícios
Semana 6
Exercícios para o portfólio: 7 e 15
Parte 1: Sistemas de partículas
Exercício 1
	Calcule a coordenada do centro de massa do sistema de duas partículas, A e B, sabendo que as massas delas são mA = 1 kg e mB = 2 kg e que a as posições de cada uma delas é xA = 3 cm e xB = 9 cm.
Exercício 2
	Considere novamente as mesmas duas partículas do exercício anterior, mas agora as posições variam com o tempo, assim: xA(t) = 3 + v t e xB(t) = 9 – v t, onde v = 3 cm/s é o módulo da velocidade delas.
Calcule a posição do centro de massa, que agora também depende do tempo.
Qual é a posição do centro de massa em t = 0 s? E em t = 7 s?
Qual é a unidade de xA e de xB?
O que representa o número 3 na expressão de xA(t)? E o 9 na de xB(t)?
Faça um esboço desse cenário para valores diferentes de t, indicando as posições de A, B e do centro de massa. Ou seja, analise a evolução temporal desse sistema.
Qual é a velocidade do centro de massa? Multiplique-o pela massa total do sistema para obter o momento linear do sistema, isto é, o momento linear associado ao centro de massa.
Calcule a soma dos momentos lineares das partículas A e B (atenção para o sinal) e compare com o resultado do item anterior.
Exercício 3
	Considere agora três objetos, de massas mA = 1 kg, mB = 2 kg e mC = 3 kg, cujas posições no plano são: rA = (0,0) m, rB = (2,0) m e rC = (0,-2) m.
Calcule a posição do centro de massa (note que esses objetos estão dispostos num plano, de modo que é necessário calcular as coordenadas x e y do centro de massa).
Faça um esboço desse cenário, indicando as posições dos objetos e do centro de massa, bem como o sistema de referência/coordenadas utilizado.
Agora, coloque a origem do sistema de referência no objeto B. (I) Determine as novas coordenadas de A, B e C e (II) calcule a posição do centro de massa. (III) Faça um novo esboço e compare-o com o do item anterior.
Parte 2: Colisões
Exercício 4
	O objeto A, de massa mA = 1 kg, encontra-se parado. Dele aproxima-se o objeto B, de massa mB = 3 kg, com velocidade vB = 2 m/s, quando então ocorre a colisão elástica entre eles.
Calcule o momento linear de A e de B antes da colisão.
Calcule o momento linear total do sistema (ie, a soma dos momentos lineares de A e de B) antes da colisão.
Calcule a energia cinética total do sistema (ie, a soma das energias cinéticas de A e de B) antes da colisão.
Para determinar as velocidades vA' e vB' após a colisão, temos de utilizar o princípio da conservação do momento linear. Ele diz que o momento linear do sistema (isto é, de A e B vistos como se fossem “uma coisa só”) sempre se conserva. Ou seja, ainda que os detalhes das interações entre A e B durante a colisão sejam desconhecidos, podemos afirmar que momento linear total antes e depois é o mesmo. Sabendo disso, escreva uma equação que relacione vA' e vB' com a situação anterior à colisão (você deve obter uma equação linear em vA' e vB').
Embora a equação obtida no item anterior forneça alguma informação sobre a configuração posterior à colisão, ela não é suficiente para determinar as velocidades individuais das partículas. Para fazer isso, apelamos para a característica “elástica” da colisão (que nem sempre é verdadeira): isso significa que também a energia cinética total do sistema é conservada durante a colisão. Sabendo disso, escreva uma outra equação que relacione vA' e vB' com a situação anterior à colisão (desta vez você obterá uma equação quadrática em vA' e vB').
Agora você tem duas equações com duas incógnitas: vA' e vB'. Resolva-as para determinar as velocidades individuais das partículas A e B.
Exercício 5
	Um mosca paira no ar e dela se aproxima um elefante enraivecido, que corre a 2,1 m/s. Qual é a velocidade da mosca caso o elefante colida elasticamente com ela?
Exercício 6
	Um vagão de carga de 35 toneladas choca-se com outro vagão que está parado. Eles engatam e 27% da energia cinética inicial é dissipada na forma de calor, som, vibrações etc. Determine o peso do segundo vagão.
obs.: note que a energia cinética não é conservada. Entretanto, o exercício fornece alguma informação sobre como ela varia durante a colisão.
Exercício 7 → Portfólio
	Tome novamente o problema do exercício 4. Mas agora, ao invés de uma colisão elástica, considere que durante a colisão os objetos A e B fundam-se num só, de massa mA + mB, que então passa a mover-se com velocidade v (esta é uma colisão totalmete inelástica). Determine essa velocidade (perceba que, neste caso, o princípio da conservação do momento linear é suficiente para isso).
Parte 3: Energia, trabalho e potência
Exercício 8
Uma esfera de massa m = 0,20 kg é solta do ponto A de uma rampa fixa em cima do tampo horizontal de uma mesa; ela emerge do ponto B (0; 1,25 m) e atinge o piso no ponto C(1,5 m; 0).
Adotar g = 10 N/kg e inexistência de atritos.
Determine:
A energia cinética da esfera no momento do impacto com o piso.
A ordenada do ponto A.
Exercício 9
Um carrinho com massa m = 200 kg é solto da posição A de uma “montanha russa” conforme o esquema.
Considere = 12,25 m; = 9,25 m e = 1,0 m. Adotar g = 10 N/kg e inexistência de atritos.
Determine a velocidade do corpo ao passar pelo ponto C.
Se R = 25 mfor o raio de curvatura da trajetória no ponto B, determine a força de reação normal da pista sobre o carrinho.
Exercício 10
Um trem de massa global m = 250x kg é tracionado por uma locomotiva diesel. O trem parte do repouso e atinge a velocidade de cruzeiro de 12 m/s em 200 s, conforme esquematizado.
No deslocamento na velocidade de cruzeiro, desenvolve-se uma potência de Pot = 72 kW.
Determine:
A potência média desenvolvida durante a aceleração.
Supondo-a constante, determinar a força de resistência que dificulta o movimento do trem.
Exercício 11
Num parque de diversões, uma criança de massa m = 40 kg desce por um plano inclinado conforme o esquema.
Ela parte do repouso em A. Adotar g = 10 N/kg.
Com que velocidade ela chega em B, se desprezarmos qualquer tipo de resistência ao movimento?
Se, durante a descida, 40% de sua energia mecânica for transformada em energia térmica, com que velocidade atingiria o ponto B?
Exercício 12
Um pêndulo tem massa m; o fio que une a massa ao ponto A tem comprimento L e é inextensível.
A massa pendular é soltado ponto C e passa pelo ponto B com velocidade . Determine, adotando como desprezíveis as forças de resistência ao movimento:
A velocidade .
A tração no fio ao passar por B.
Exercício 13
	Uma mola, ao ser esticada ou comprimida, acumula energia potencial devido à interação entre os átomos que a compõe. Essa energia é dada por k(x-x0)²/2, onde k é a “constante elástica” da mola, x é o comprimento da mola e x0 é o “comprimento natural”, para o qual a mola não exerce força alguma.
	Sabendo disso, considere o seguinte problema: um cursor de massa m = 1,0 kg é transpassado por uma barra vertical que serve como guia. Uma mola helicoidal de comprimento natural =0,20 m e constante elástica k = 2.000 N/m é articulada, pelas suas extremidades, em C e no cursor.
	O cursor é solto na posição A (onde a mola tem comprimento = 0,50 cm e passa pela posição B com velocidade = 20 m/s onde o comprimento da mola é = 0,30 m. O percurso AB = d = 0,40 m. 
	Despreze atritos na barra e nas articulações. Considere a barra vertical como o eixo 0x. Determine a velocidade do cursor ao passar por B.
Exercício 14
Um bloco de massa m = 10 kg, solto do ponto A (= 0), desliza rampa abaixo conforme o esquema.
O bloco passa pelo ponto B com velocidade e percorre um trecho horizontal BC = 2,0 m antes de parar no ponto C.A força de atrito que atua no bloco tem módulo = 40 N.Despreze atrito no trecho AB da rampa e considerar g = 10 N/kg. Determine a altura do ponto A.
Exercício 15 → Portfólio
Uma esfera de massa m é solta do ponto A e percorre ao longo de um trilho que obriga a esfera a realizar um “looping” ao passar pela parte circularde raio de curvatura R.
De qual altura a esfera deve ser solta para que passe por B, próximo do trilho, mas sem nele encostar? Considere a esfera como partícula e nula a força de atrito.
RESPOSTAS
Exercício 1: 7 cm
Exercício 2: (a) X(t) = 7 – t; (b) X(0) = 7 cm e X(7) = 0 cm; (c) [xA] = [xB] = cm; (d) Representam a posição inicial de A e B, isto é, em t = 0; (e) Discuta com seus colegas; (f) V(t) = -1 cm/s; (g) P = -3 kg cm/s (ou, no SI, -3 x 10-2 kg m/s).
Exercício 3: (a) R = (2/3, -1) m; (b-I) rA = (-2,0) m, rB = (0, 0) m, rC = (-2, -2) m; (b-II) R = (-4/3, -1) m; (b-III) Discuta com seus colegas.
Exercício 4: (a) pA = 0 e pB = 6 kg m/s; (b) P = 6 kg m/s; (c) 6 J; (d) vA' + 3vB' = 6; (e) vA'² + 3vB'² = 12; (f) vA' = 3 m/s e vB' = 1 m/s.
Exercício 5: 4,2 m/s.
Exercício 6: 12,9 toneladas.
Exercício 7: resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
Exercício 8: (a) 3,4 N m = 3,4 J; (b) 1,7 m.
Exercício 9: (a) 7,7 m/s; (b) 3800 N.
Exercício 10: (a) 90 kW; (b) 6 kN.
Exercício 11: (a) 6,0 m/s; (b) 4,7 m/s.
Exercício 12: (a) ; (b) 3mg.
Exercício 13: 12,3 m/s.
Exercício 14: 0,8 m.
Exercício 15: resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.