exercicios semana 3 resolucao para alunos

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Diagrama de corpo livre e equilíbrio estático Física 1, semana 3
Lista de exercícios (RESOLVIDA)
Diagrama de corpo livre (DCL) e equilíbrio estático
EXERCÍCIOS PARA O PORTFÓLIO: 2 E 12.
Em todas as situações abaixo, o(s) corpo(s) ilustrado(s) está(ão) em equilíbrio estático, tanto de
translação como de rotação. Para cada uma delas,
(a) Faça o diagrama de corpo livre (note que em algumas situações há mais de um corpo presente).
(b) Identifique as forças presentes e esboce-as.
(c) Escolha um sistema de referência.
(d) Decomponha as forças nesse sistema de referência.
(e) Escreva as condições do equilíbrio de translação.
(f) Apenas para os exercícios 10 e 11, escreva também as condições de equilíbrio de rotação.
Atenção: ao escrever as expressões das forças, limite-se a atribuir um rótulo a cada uma delas. Por
exemplo, no caso das forças-peso, basta escrever ~P ; não é necessário escrever m ~g . Outro exemplo:
no caso da força elástica, basta escrever Fe ou algo assim; não é necessário escrever Fe =−k x . Con-
sulte a resposta do exercício 1 para ter uma ideia melhor sobre como resolver os demais exercícios.
O ponto branco no centro de cada objeto representa seu centro de massa (CM).
Exercício 1 Caixa de massa m sobre uma superfície plana horizon-
tal.
Exercício 2 Caixa de massa m sobre uma superfície plana horizon-
tal. Ela está sendo empurrada, mas não se move devido ao atrito.
Exercício 3 Caixa de massam sobre uma superfície plana inclinada
(ou “plano inclinado”). Ela não escorrega devido ao atrito.
Exercício 4 Caixa de massa m suspensa por um cabo.
Diagrama de corpo livre e equilíbrio estático Física 1, semana 3
Exercício 5 Caixa de massa m suspensa por uma mola.
Exercício 6 Caixa de massa m suspensa por uma mola, sobre uma
superfície plana inclinada sem atrito.
Exercício 7 Objeto circular de massa m preso entre dois planos in-
clinados.
Exercício 8 Dois objetos, de massas m1 e m2, que balanceiam-se
mutuamente. Ignore a polia na sua análise, exceto pelo fato de que
ela transmite a tração de um lado para o outro.
Exercício 9 Um objeto, quando imerso num fluido (como a água),
sofre a ação da chamada força de empuxo, que aponta para cima. Na
situação abaixo, o empuxo balanceia a força-peso.
Exercício 10 Um objeto de massa m1 é colocado so-
bre uma barra rígida de massa m2, que por sua vez está
apoiada em duas cunhas, nos pontos A e B .
Diagrama de corpo livre e equilíbrio estático Física 1, semana 3
Exercício 11 Dois objetos, de massa m1 e m2, estão
sobre uma barra rígida de massa m3, que por sua vez
está apoiada numa cunha, no ponto A.
Exercício 12 Um objeto de massa m1 sobre uma superfície plana
horizontal com atrito suspende o objeto de massa m2.
Diagrama de corpo livre e equilíbrio estático Física 1, semana 3
Resolução
Atenção: as respostas abaixo são válidas para o sistema de referência indicado em vermelho nas
respectivas ilustrações. Outras respostas (equivalentes) podem ser obtidas para escolhas diferen-
tes.
Atenção: no caso das forças-peso, é correto trocar P por mg em qualquer resposta abaixo. Por
exemplo, o peso P1 do corpo 1 pode ser escrito também comom1g , ondem1 é sua massa e g é a
aceleração da gravidade. Vetorialmente, podemos escrever ~P1 =−m1g jˆ ou ~P1 =−P1 jˆ .
Em todas as situações apresentadas, como cada um dos corpos está em equilíbrio de translação,
a soma das forças ~Fi que agem sobre ele deve ser nula:
∑
~Fi = ~0. Essa condição é independente da
escolha do sistema de referência inercial.
Exercício 1 As forças presentes são a força-peso ~P e a força-normal ~N , conforme ilustrado abaixo.
Escolhendo o sistema de referência ilustrado em vermelho, podemos escrever a condição de equilí-
brio de translação assim:
• Translação em x : 0−0 = 0 (as componentes de ~P e ~N são nulas).
• Translação em y : N −P = 0,
onde P é o módulo de ~P , ou seja, P = | ~P |. Analogamente, N = | ~N |.
Alternativamente, podemos escrever a expressão vetorial dessas forças no sistema de referência
escolhido: ~P = −P jˆ e ~N =N jˆ , onde jˆ é o versor da base retangular associado ao eixo y . Com isso,
a condição de equilíbrio de translação pode ser escrita de forma compacta, assim: N jˆ −P jˆ = ~0.
Exercício 2 Resolução não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
Exercício 3 As forças presentes são a força-peso ~P , a força-normal ~N e a força de atrito ~Fat, con-
forme ilustrado abaixo. Escolhendo o sistema de referência ilustrado em vermelho, podemos escre-
ver a condição de equilíbrio de translação assim:
• Translação em x : P senθ − Fat = 0.• Translação em y : N −P cosθ = 0.
Diagrama de corpo livre e equilíbrio estático Física 1, semana 3
Alternativamente, ~P = P senθ iˆ −P cosθ jˆ , ~N =N jˆ e Fat =−Fat iˆ . Com isso, a condição de equilí-
brio de translação pode ser escrita assim: P senθ iˆ −P cosθ jˆ +N jˆ − Fat iˆ = ~0.
Exercício 4 As forças presentes são a força-peso ~P e a tração ~T no cabo, conforme ilustrado abaixo.
Escolhendo o sistema de referência ilustrado em vermelho, podemos escrever a condição de equilí-
brio de translação assim:
• Translação em x : 0−0 = 0 (as componentes de ~P e ~T são nulas).
• Translação em y : T −P = 0,
onde T = | ~T |.
Alternativamente, ~P = −P jˆ e ~T = T jˆ , com o que a condição de equilíbrio de translação fica:
−P jˆ +T jˆ = ~0.
Exercício 5 As forças presentes são a força-peso ~P e a força-elástica ~Fe , conforme ilustrado abaixo.
Escolhendo o sistema de referência ilustrado em vermelho, podemos escrever a condição de equilí-
brio de translação assim:
• Translação em x : 0−0 = 0 (as componentes de ~P e ~Fe são nulas).• Translação em y : Fe −P = 0,
onde Fe = | ~Fe |.
Diagrama de corpo livre e equilíbrio estático Física 1, semana 3
Alternativamente, ~P = −P jˆ e ~Fe = Fe jˆ , com o que a condição de equilíbrio de translação fica:−P jˆ + Fe jˆ = ~0.
Exercício 6 As forças presentes são a força-peso ~P , a força-normal ~N e a força-elástica ~Fe , con-
forme ilustrado abaixo. Escolhendo o sistema de referência ilustrado em vermelho, podemos escre-
ver a condição de equilíbrio de translação assim:
• Translação em x : P senθ − Fe = 0.• Translação em y : N −P cosθ = 0.
Alternativamente, ~P = P senθ iˆ −P cosθ jˆ , ~Fe =−Fe iˆ , ~N =N jˆ e a condição de equilíbrio de trans-
lação pode ser escrita na forma compacta P senθ iˆ −P cosθ jˆ − Fe iˆ +N jˆ = ~0.
Exercício 7 As forças presentes são a força-peso ~P e as forças-normais ~N1 e ~N2, devidas ao contato
do objeto com o plano inclinado em A e em B . Escolhendo o sistema de referência ilustrado em
vermelho, podemos escrever a condição de equilíbrio de translação assim:
• Translação em x : N1−P cos(45◦) = 0.• Translação em y : N2−P cos(45◦) = 0,
onde N1 = | ~N1| e N2 = | ~N2|.
Diagrama de corpo livre e equilíbrio estático Física 1, semana 3
Alternativamente, ~N1 = N1 iˆ , ~N2 = N2 jˆ e ~P = −P cos(45◦)iˆ −P cos(45◦) jˆ . A condição de equilíbrio
de translação fica: N1 iˆ +N2 jˆ −P cos(45◦)iˆ −P cos(45◦) jˆ = ~0.
Exercício 8 No corpo 1 as forças presentes são a força-peso ~P1 e a tração ~T1; no corpo 2, ~P2 e ~T2
(veja a figura abaixo). Escolhendo o sistema de referência ilustrado em vermelho, podemos escrever
a condição de equilíbrio de translação assim:
• Corpo 1:
– Translação em x : 0−0 = 0 (as componentes de ~P1 e ~T1 são nulas).
– Translação em y : T1−P1 = 0.• Corpo 2:
– Translação em x : 0−0 = 0 (as componentes de ~P2 e ~T2 são nulas).
– Translação em y : T2−P2 = 0.
Alternativamente, ~P1 =−P1 jˆ , ~T1 = T1 jˆ , ~P2 =−P2 jˆ e ~T2 = T2 jˆ . Com isso, a condição de equilíbrio de
translação do corpo 1 é −P1 jˆ +T1 jˆ = ~0; a do corpo 2 é −P2 jˆ +T2 jˆ = ~0
obs.: é válido considerar ~T1 = ~T2.
Exercício 9 As forças presentes são a força-peso ~P e o empuxo ~E , conforme ilustrado abaixo. Es-
colhendo o sistema de referência ilustrado em vermelho, podemos escrever a condiçãode equilíbrio
de translação assim:
• Translação em x : 0−0 = 0 (as componentes de ~P e ~E são nulas).
• Translação em y : E −P = 0,
onde E = | ~E |.
Diagrama de corpo livre e equilíbrio estático Física 1, semana 3
Alternativamente, ~P = −P jˆ e ~E = E jˆ , de modo que a condição de equilíbrio de translação fica
assim: −P jˆ +E jˆ = ~0.
Exercício 10 No corpo 1, as forças presentes são a força-peso ~P1 e a força-normal ~N1; no corpo 2
(barra), as forças presentes são a força-peso ~P2, as forças ~FA e ~FB (devidas ao contato entre a barra e as
cunhas, em A e B ) e a reação− ~N1 da força-normal ~N1 (veja a figura abaixo). Escolhendo o sistema de
referência ilustrado em vermelho, podemos escrever a condição de equilíbrio de translação assim:
• Corpo 1:
– Translação em x : 0−0 = 0 (as componentes de ~P1 e ~N1 são nulas).
– Translação em y : N1−P1 = 0.• Corpo 2:
– Translação em x : 0−0 = 0 (as componentes de ~P2, ~FA , ~FB e − ~N1 são nulas).
– Translação em y : FA + FB −P2−N1 = 0.
Quanto à condição de equilíbrio de rotação, a soma dos torques também deve ser nula:
∑
~τi = ~0.
Contudo, aqui cabe uma observação: em geral o torque ~τi depende da escolha do ponto a partir
do qual ele é calculado. Mas quando a soma de forças sobre um corpo é nula, a soma dos torques
devido a essas forças é independente da escolha desse ponto. Ou seja, embora ~τi varie conforme a
escolha desse ponto,
∑
~τi é sempre o mesmo (igual a zero no caso do equilíbrio de rotação). Por isso,
Diagrama de corpo livre e equilíbrio estático Física 1, semana 3
nos exercícios abaixo podemos calcular os torques com relação a qualquer ponto. Particularmente,
podemos escolher a origem do sistema de referência.
Primeiramente o corpo 1: utilizando o sistema de referência ilustrado em vermelho, o torque de-
vido à força-peso ~P1 é dado por ~τP1 = ~rP1 × ~P1, onde ~rP1 é o vetor da posição na qual ~P1 é aplicado, isto
é, o centro de massa do corpo 1. Mas ao invés de escrever uma expressão vetorial de ~rP1 , podemos
notar que o braço de alavanca de ~P1 é igual à distância horizontal entre os pontos A eD , isto é,
L
2 +l1.
Assim, o módulo de ~τP1 é
�
L
2 + l1
�
P1. A direção é para dentro do plano da tela (ou da folha), segundo
a regra da mão direita (digamos que esta é a direção “negativa”, pois é oposta à direção do eixo z , que
sai da tela). Ou seja, o torque devido a ~P1 é − � L2 + l1�P1. Similarmente, o módulo do torque devido
a ~N1 é
�
L
2 + l1
�
N1, mas agora a direção é oposta, também com base na regra da mão direita (direção
“positiva”). Ou seja, o torque devido a ~N1 é +
�
L
2 + l1
�
N1. Esses são todos os torques sobre o corpo 1.
Então, a condição de equilíbrio de rotação do corpo 1 é:
−

L
2
+ l1
‹
P1 +

L
2
+ l1
‹
N1 = 0.
Agora o corpo 2: o torque devido à força ~FA é nulo, pois ela é aplicada na origem do sistema de
referência escolhido. O torque de ~FB é+LFB (note que, pela regra da mão direita, a direção do torque
é para fora da folha; direção “positiva”). O torque de ~P2 é− L2 P2 (direção “negativa”, daí o sinal menos).
O torque de − ~N1 é − � L2 + l1�N1. Esses são todos os torques sobre o corpo 2. Então, a condição de
equilíbrio de rotação do corpo 2 é:
LFB − L2 P2−

L
2
+ l1
‹
N1 = 0.
Note que uma escolha diferente de sistema de referência levará a expressões diferentes. Por exem-
plo, se colocarmos a origem do sistema de referência no ponto C , as condições de equilíbrio de
rotação serão:
• Corpo 1: +l1N1− l1P1 = 0.• Corpo 2: − L2 FA − l1N1 + L2 FB = 0.
Atenção: a forma vetorial de escrever as condições de equilíbrio (de translação e de rotação) foi
intencionalmente evitada neste exercício, para evitar complexidades desnecessárias neste mo-
mento.
Exercício 11 No corpo 1, as forças presentes são a força-peso ~P1 e a força-normal ~N1. No corpo
2, as forças presentes são a força-peso ~P2 e a força-normal ~N2. No corpo 3, as forças presentes são a
força-peso ~P3, a reação − ~N1 da força-normal ~N1, a reação − ~N2 da força-normal ~N2 e a força de con-
tato ~FA (veja a figura abaixo). Escolhendo o sistema de referência ilustrado em vermelho, podemos
escrever as condições de equilíbrio de translação assim:
Diagrama de corpo livre e equilíbrio estático Física 1, semana 3
• Corpo 1:
– Translação em x : 0−0 = 0 (as componentes de ~P1 e ~N1 são nulas).
– Translação em y : N1−P1 = 0.• Corpo 2:
– Translação em x : 0−0 = 0 (as componentes de ~P2 e ~N2 são nulas).
– Translação em y : N2−P2 = 0.• Corpo 3:
– Translação em x : 0−0 = 0 (as componentes de ~P3, − ~N1, − ~N2 e ~FA são nulas).
– Translação em y : FA −N1−N2−P3 = 0.
Quanto ao equilíbrio de rotação do corpo 1, temos: o torque devido a ~N1 é −l1N1 (aponta para
dentro da tela). O torque devido a ~P1 é +l1P1 (aponta para fora da tela). Portanto, a condição de
equilíbrio de rotação do corpo 1 é: −l1N1 + l1P1 = 0.
Quanto ao equilíbrio de rotação do corpo 2, temos: o torque devido a ~N2 é +l2N2 (aponta para fora
da tela). O torque devido a ~P2 é−l2P2 (aponta para dentro da tela). Portanto, a condição de equilíbrio
de rotação do corpo 2 é: +l2N2− l2P2 = 0.
Quanto ao equilíbrio de rotação do corpo 3, temos: o torque devido a − ~N1 é +l1N1 (aponta para
fora da tela). O torque devido a − ~N2 é −l2N2 (aponta para dentro da tela). O torque devido a ~P3 é
+l3P3 (aponta para fora da tela). O torque devido a ~FA é nulo, pois é aplicada na origem do sistema de
referência escolhido. Portanto, a condição de equilíbrio de rotação do corpo 3 é: +l1N1−l2N2+l3P3 =
0.
Atenção: a forma vetorial de escrever as condições de equilíbrio (de translação e de rotação) foi
intencionalmente evitada neste exercício, para evitar complexidades desnecessárias neste mo-
mento.
Exercício 12 Resolução não disponível: este exercício faz parte do portfólio.