Calculo Diferencial e Integral - Derivadas

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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral 1 
 
RESUMO DA AULA TEÓRICA 14 
Livro do Stewart: Seções 3.7 e 4.5. 
 
ESBOÇO DE GRÁFICOS 
 
 
 Relembrar o Teste da Derivada Primeira: (aula teórica 12) 
(1) Se 0)(  x para todo f x num intervalo, então f é crescente neste intervalo; 
(2) Se 0)(  x para todo f x num intervalo, então f é decrescente neste 
intervalo; 
 
 Exibir gráficos de funções crescentes com diferentes concavidades e motivar a 
necessidade de distinguir esses dois casos. Aproveitar estes exemplos para definir 
gráfico côncavo para cima e gráfico côncavo para baixo: o gráfico de uma função 
( )y f x é côncavo para cima (resp. côncavo para baixo) em um intervalo I se ele 
estiver acima (resp. abaixo) de suas retas tangentes em todos os pontos desse 
intervalo. 
 
 
 Derivadas sucessivas: introduzir esse conceito através de exemplos. 
 
 Apresentar o Teste da Derivada Segunda: 
 
(1) Se 0)(  x para todo f x num intervalo I, então o gráfico de f é côncavo para 
cima em I; 
(2) Se 0)(  x para todo f x num intervalo I, então o gráfico de f é côncavo para 
baixo em I; 
 
 Definição: um ponto ))(, do gráfico de uma função f é um ponto de 
inflexão se f é contínua nesse ponto e se existe 0
( afaP 
  tal que o gráfico de f tem 
uma concavidade no intervalo ( , )a a e concavidade oposta no intervalo ( , )a a  . 
 
 A partir de figuras, apresentar exemplos de gráficos côncavos para cima, gráficos 
côncavos para baixo e de pontos de inflexão. Observar que pontos de inflexão 
aparecem quando a derivada segunda muda de sinal. Para isso, em geral, num ponto 
de inflexão devemos ter 0)(  a ou a não existência de )(aff  . 
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Exemplo 1: Estudar intervalos de crescimento, decrescimento e a concavidade do gráfico 
de . xxxy 96 23 
 
 
 
 Na discussão desse exemplo chamar a atenção para a conveniência de se seguir o 
seguinte roteiro quando se deseja esboçar o gráfico de uma função )(xfy  . 
 
 
Roteiro para esboço de gráficos: 
 
(a) Determinar o domínio da função. 
(b) Calcular a interseção do gráfico com o eixo y e, se possível, calcular a interseção 
do gráfico com o eixo x resolvendo a equação 0)( xf . 
(c) Fazer o estudo de sinal da função f . 
(d) Verificar se o gráfico possui alguma simétrica: se a função é par o gráfico é 
simétrico em relação ao eixo y, e se a função é ímpar seu gráfico é simétrico em 
relação à origem. Também é conveniente analisar se a função é periódica. 
(e) Calcular as retas assíntotas verticais e horizontais do gráfico de f . Para as 
assíntotas verticais, determinar limites infinitos de f . Para as assíntotas 
horizontais, calcular os limites no infinito de f e verificar se o limite é finito. 
(f) Calcular f  e determinar todos os pontos críticos de f . 
(g) Através do estudo do sinal de f  , determinar os intervalos onde a função é 
crescente e os intervalos onde ela é decrescente. 
(h) Calcular f  e determinar todos os intervalos onde o gráfico de f é côncavo 
para cima e côncavo para baixo. 
(i) Reunir todas essas informações e fazer o esboço do gráfico. 
 
 
Exemplo 2: Fazer o esboço do gráfico de 2
1
x
xy  . 
 
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Exemplo 3: Fazer o esboço do gráfico de 
1
2
2
2
 x
xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Fazer o esboço do gráfico de . 3/13/2 )6( xxy 
 
 
 
 
	RESUMO DA AULA TEÓRICA 14