ESTRUTURAS DE CONCRETO - SOLICITAÇÕES NORMAIS - FUSCO

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ESTRUTURAS 
DE CONCRETO 
Solicitações Normais 
Estados Limites Últimos 
Teoria e Aplicações 
PÉRICLES BRASILIENSE FUSCO 
Professor Adjunto da Escola Politécnica 
da Universidade de São Paulo 
CUANABARA 
DOIS 
Direitos exclusivos para a língua portuguesa 
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EDITORA GUANABARA DOIS S.A. 
Rio de Janeiro - RJ 
Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação 
ou reprodução deste volume, ou de partes do mesmo, 
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sem permissão expressa da Editora. 
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- 
O presente volume cuida do dimensionamento das peças de concreto armado 
submetidas a solicitações normais, tendo-se em vista a segurança contra os possíveis 
estados limites últimos. 
Entendem-se por solicitações normais os esforços solicitantes que produzem 
tensões normais no plano das seções transversais das peças da estrutura. As solicita- 
ções normais englobam, portanto, os momentos fletores e as forças normais. 
As peças de concreto protendido submetidas a solicitações normais serão estu- 
dadas em volume a parte. 
O desenvolvimento dos temas aqui considerados foi orientado pela experiência 
didática acumulada nas disciplinas de graduação e de pós-graduação do Departa- 
mento de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da Universidade de 
São Paulo, e pela experiência profissional associada a elaboração e a aplicação da 
NB- 1/78. 
O volume foi dividido em três partes. 
Na primeira parte é considerado o estado limite último de ruptura ou de alonga- 
mento plástico excessivo, na flexão simples ou composta, normal ou oblíqua. A 
experiência já acumulada neste campo mostrou que sempre devem ser empregados 
ábacos e tabelas organizados exclusivamente em função dos valores de cálculo, 
evitando-se qualquer tipo de dimensionamento feito diretamente em função dos 
valores característicos. 
A segunda parte trata do estado limite último de instabilidade naflexão composta, 
normal ou obl(qua. 
Na terceira parte é considerado o dimensionamento dos pilares, das paredes e das 
estruturas de contraventamento, procurando-se esclarecer e comentar as prescrições 
da NB-1/78 pertinentes a estes temas. 
Nestes comentários são feitas algumas sugestões para eventuais modificações a 
serem introduzidas em futuras versões da NB-I, tendo-se em vista a necessidade de 
calibragem do novo modelo de segurança incluído na NB-1/78. Esta calibragem é 
parte essencial dos trabalhos de implantação de um novo modelo de segurança. 
Em anexo é apresentado um conjunto de tabelas e de gráficos de dimensiona- 
mento. 
Tendo em vista a atual legislação metrológica brasileira, nos exemplos e tabelas 
foi empregado o Sistema Internacional de Unidades, tomando-se o cuidado de facili- 
tar, em cada caso particular, a imediata transformação dos valores para unidades 
técnicas ainda transitoriamente em uso. 
PARTE I ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RUPTURA OU DE ALONGAMENTO 
PLÁSTICO EXCESSIVO 
1 FLEXAO SIhlPLES E FLEX.iO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 
1.1 DEFINIÇOES 
1 .I .1 Solicitações normais, 2 
1.1.2 Estados últimos, 2 
1.1.3 Estado limite último, 3 
7 HIP~TESES BÁSICAS 
1.2.1 Manutençáo da seçáo plana, 4 
1.2.2 Solidariedade dos materiais, 5 
1.2.3 Encurtamentos últimos do concreto, 5 
1.2.4 Alongamentos últimos das armaduras, 5 
1.2.5 Diagrama de tensões parábola-retângulo, 5 
1.2.6 Diagrama retangular de tensões, 6 
1.3 CASOS DE SOLICITAÇAO 
1.3.1 Domínios de deformação, 6 
1.3.2 Domínio 1, 7 
1.3.3 Domínio 2, 8 
1.3.4 Domínio 3, 9 
1.3.5 Domínio 4, 10 
1.3.6 Domínio 4a, 10 
1.3.7 Dominio 5, 10 
1.4 DIAGRAMAS DE CALCULO DOS AÇOS 
1.4.1 Propriedades gerais, 10 
1.4.2 Aços Classe A, 11 
1.4.3 Aços Classe B, 11 
1.5 VALORES DE CÁLCULO 
1.5.1 Aços Classe A, 13 
1.5.2 Aços Classe B, 14 
1.5.3 Valores limites, 15 
1.6 EXERCÍCIOS 
2 SEÇÕES RETANGULARES 
2.1 TRAÇAO SIMPLES E TRAÇAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DO. 
M ~ N I O i) 
2.1.1 Condições de equilíbrio, 17 
2.1.2 Cálculo de verificação. Exemplo, 19 
2.1.3 Cálculo de dimensionamento. Exemplo, 20 
2.2 FLEXÃO SIMPLES. CÁLCULO PRÁTICO 
2.2.1 Variáveis adimensionais. Armadura simples, 22 
2.2.2 Tabelas adimensionais, 24 
2.2.3 Variáveis adimensionais. Armadura dupla, 24 
2.2.4 Exemplos, 26 
2.2.5 Variáveis dimensionais. Tabelas tipo k, 28 
2.2.6 Organização das tabelas dimensionais. Formulário, 31 
2.2.7 Exemplos de dimensionamento, 36 
2.2.8 Exemplos de verificação, 39 
2.2.9 Seção submetida a momentos de sentidos contrários. Exemplo, 42 
2.3 FLEXÃO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICI- 
DADE (DOMNIOS 2-3-4-4a) 
2.3.1 Condições de equilíbrio, 45 
2.3.2 Propriedades básicas das seções retangulares, 46 
2.3.3 Equações adimensionais de equilíbrio, 49 
2.3.4 Equações adimensionais de compatibilidade, 51 
2.3.5 Resolução dos problemas de flexão simples e de flexão composta, 53 
2.4 FLEXAO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE. CÁLCULO 
~ ~ Á n c o 
2.4.1 Variáveis adimensionais. Emprego de tabelas universais, 55 
2.4.2 Exemplos, 57 
2.4.3 Variáveis dimensionais. Emprego de tabelas tipo k, 60 
2.4.4 Exemplos, 62 
2.4.5 Diagrama retangular de tensões, 63 
2.5 FLEXO-COMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DoM~NIO 5) 
2.5.1 Condições de equilíbrio, 64 
2.5.2 Condições de compatibilidade de deformações, 65 , 
2.5.3 Propriedades básicas das seções retangulares, 66 
2.5.4 Equações adimensionais de equilíbrio, 67 
2.5.5 Resolução geral dos problemas de flexo-compressão com pequena ex- 
centricidade, 68 
2.6 FLEXO-COMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE. CÁLCULO 
~ ~ Á n c o 
2.6.1 Momento limite de separação entre os dois casos básicos, 69 
2.6.2 Armadura unilateral, 70 
2.6.3 Armadura unilateral. Exemplos, 72 
2.6.4 Compressão uniforme, 75 
2.6.5 Compressão uniforme. Exemplos, 77 
2.6.6 Diagrama retangular de tensões, 79 
2.7 EXERC~CIOS 
3 SEÇÓES T 
3.1 FLEXÃO SIMPLES E FLEXÁO COMPOSTA 
3.1.1 As vigas de seção T das estnituras de concreto, 82 
3.1.2 A largura da mesa de compressão de acordo com a NB-1,85 
3.1.3 O processo de dimensionamento das seções T, 86 
3.2 CALCULO PRÁTICO DAS SEÇÓES T 
3.2.1 Variáveis adimensionais. Emprego de tabelas universais, 89 
3.2.2 Exemplos, 90 
3.2.3 Variáveis dimensionais. Emprego de tabelas tipo k , 95 
3.2.4 Exemplos, 96 
3.3 EXERCICIOS, 100 
4 FLEXÁO OBLÍQUA 
4.1 MÉTODOS GERAIS DE CÁLCUW 
4.1.1 Cálculo exato, 101 
4.1.2 Superfícies de interação e diagramas de interação, 104 
4.1.3 Exemplo, 108 
4.1.4 Cálculo por tentativas, 110 
4.1.5 Excentricidades acidentais, 11 1 
4.2 MÉTODOS SIMPLIFICADOSDE CÁLCULO 
4.2.1 Linearização dos diagramas de interação, 112 
4.2.2 Exemplo, 114 
4.2.3 Um processo empirico tradicional, 116 
4.3 MÉTODO DA TRANSFORMAÇAO AFIM DAS SEÇÓES 
4.3.1 Transformação afim das seções retangulares, 117 
4.3.2 Fundamentos do método de cálculo, 121 
4.3.3 Roteiro de cálculo, 126 
4.3.4 Flexão diagonal da seção quadrada. Grande excentricidade, 129 
4.3.5 Exemplo, 131 
4.3.6 Flexão diagonal da seção quadrada. Pequena excentricidade, 136 
4.3.7 Exemplo e advertência, 140 
4.3.8 Outras formas de seção transversal, 146 
4.3.9 Exemplo, 146 
4.4 EXERCÍCIOS, 152 
PARTE 11 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE INSTABILIDADE 
5 INSTABILIDADE 
5.1 FUNDAME&TOS 
5.1.1 Instabilidade na compressão axial. Flambagem, 154 
5.1.2 Estabilidade da configuração fletida de equilíbrio, 158 
5.1.3 Flexáo c9mposta de barras esbeltas no regime elástico, 161 
5.1.4 Instabilidade na flexão composta, 163 
5.2 DEFORMAÇÕES NA FLEXO-COMPRESSÁO 
5.2.1 Diagrama momento fletor - curvatura (M, 1/r), 167 
5.2.2 Cálculo de flechas com não-linearidade física, 168 
5.2.3 Diagrama momento fletor-força normal- curvatura (M, N, l/r), 170 
5.2.4 Cargas de longa duração, 172 
5.3 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO &TODOGERAL 
5.3.1 Fundamentos do método geral, 177 
5.3.2 Processo do carregamento progressivo proporcional, 178 
5.3.3 Processo das excentricidades progressivas, 179 
5.3.4 Pilar padrão, 181 
5.3.5 Processo do pilar padrão (com o método geral), 182 
5.3.6 Exemplos, 188 
5.4 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO &TODO DO EQUILIBRIO 
5.4.1 O método do equilíbrio, 189 
5.4.2 Método do equilíbrio. Processo do deslocamento de referéncia, 190 
5.4.3 Método do equilíbrio. Processo do pilar padrão, 192 
5.4.4 Processo simplificado do equilíbrio, 195 
5.4.5 Processo simplificado da NB-1, 197 
5.4.6 Exemplo, 198 
5.5 EXERCICIOS 
6 INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 
6.1 DEFORMAÇOES NA FLEXÃO COMPOSTA OBLIQUA 
6.1.1 Deformações do eixo da barra, 200 
6.1.2 Curvaturas, 202 
6.1.3 Cálculo das curvaturas, 204 
6.2 CÁLCULO DA CARGA CR~TICA PELO MÉTODO GERAL 
6.2.1 Processos exatos de cálculo, 207 
6.2.2 Pilar padrão, 210 
6.3 CALCULO DA CARGA CR~TICA POR PROCESSOS SIMPLIFICADOS 
6.3.1 Linearização dos diagramas de interação, 215 
6.3.2 Processo simplificado do equilíbrio. Diagrama linearizado, 216 
6.3.3 Redução da flexão oblíqua a duas flexões normais, 218 
6.4 EXERCÍCIOS 
PARTE n I PILARES, PAREDES E ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 
7 PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIF~cIOS 
7.1 VERIFICAÇAO DA SEGURANÇA DAS PEÇAS ESTRUTURAIS 
7.1.1 Condiçoes gerais, 222 
7.1.2 Tração simples. Tirantes, 222 
7.1.3 Flexão simples. Vigas, 223 
7.1.4 Peças comprimidas, 223 
7.1.5 Flexão composta, 224 
7.2 COMPRESSAO SIMPLES DE PILARES 
7.2.1 Pilares não-cintados, 225 
7.2.2 índice de esbeltez, 228 
7.2.3 Pilares cintados, 230 
7.3 PILARES DE EDIF~CIOS 
7.3.1 Ação do vento, 233 
7.3.2 Contraventamento das estruturas, 235 
7.3.3 Situações básicas de projeto, 236 
7.3.4 Solicitações iniciais dos pilares intermediários, 238 
7.3.5 Solicitações iniciais dos pilares de extremidade, 239 
7.3.6 Solicitações iniciais dos pilares de canto, 240 
7.4 PILARES CURTOS 
~7.4.1 Situações de projeto e situações de cálculo, 241 
7.4.2 Caso particular de simplificação das situações de cálculo, 242 
7.4.3 Exemplos, 244 
7.4.4 Processos simplificados de cálculo de flexão composta oblíqua, 245 
7.4.5 Caso particular de simplificação, 248 
7.4.6 Exemplo, 250 
7.5 PILARES ESBELTOS 
7.5.1 Consideração dos efeitos de 2.= ordem, 251 
7.5.2 Consideração da fluência, 252 
7.5.3 Situações de projeto e situações de cálculo, 253 
7.5.4 Superposição dos momentos fletores de I.= e de 2.a ordem, 256 
7.6 PROCESSOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO 
7.6.1 Critério básico de simplificação, 258 
7.6.2 Pilares curtos sob carga centrada, 259 
7.6.3 Exemplos, 260 
7.6.4 Pilares medianamente esbeltos sob carga centrada, 261 
7.6.5 Processo aproximado de pré-dimensionamento e de dimensionamento 
expedito, 262 
7.7 PAREDES ESTRUTURAIS 
7.7.1 Conceitos básicos, 263 
7.7.2 Excentricidade do carregamento, 264 
7.7.3 Momentos fletores de 2.a ordem, 265 
7.8 DISPOSIÇ~ES CONSTRUTIVAS 
7.8.1 Resistência ao fogo, 266 
7.8.2 Dimensões externas mínimas, 267 
7.8.3 Cobrimentos mínimos, 268 
7.8.4 Armaduras longitudinais, 268 
7.8.5 Espaçamento das barras longitudinais, 269 
7.8.6 Armaduras transversais, 269 
7.9 EXERC~CIOS, 271 
8 PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 
8.1 DADOS BÁSICOS DE PROJETO 
8.1.1 Cargas de projeto, 272 
8.1.2 Arranjo geral e carregamento das lajes, 273 
8.1.3 Cálculo das vigas, 275 
8.1.4 Carregamento dos pilares, 278 
8.2 PILARES INTERNOS 
8.2.1 Pilar curto, 279 
8.2.2 Pilar medianamente esbelto, 281 
8.2.3 Pilar esbelto sem consideração da fluência, 283 
8.2.4 Pilar esbelto. Solução alternativa por meio de diagramas de interação, 
286 
8.2.5 Pilaresbelto. Solução alternativapor meiodediagramas(M, N, 110,288 
8.2.6 Pilar esbelto. Consideração da fluência, 290 
8.2.7 Pilar cintado, 292 
8.3 PILARES DE EXTREMIDADE 
8.3.1 Pilar curto, 297 
8.3.2 Pilar medianamente esbelto. 1 . O Exemplo, 304 
8.3.3 Pilar medianamente esbelto. 2." Exemplo, 311 
8.3.4 O estudo dos pilares esbeltos, 313 
8.4 PILARES DE CANTO 
8.4.1 Pilar curto. Dimensionamento rigoroso, 313 
8.4.2 Pilar curto. Dimensionamento simplificado, 319 
8.4.3 Pilar medianamente esbelto, 321 
8.4.4 O estudo dos pilares esbeltos, 327 
9 PROBLEMAS ESPECIAiS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRÍTICA 
9.1 CARGAS DE LONGA DURAÇÃO 
9.1.1 Consideração da fluência, 328 
9.1.2 Carga parcialmente de longa duração, 329 
9.1.3 Método de função equivalente de fluência, 330 
9.1.4 Método da excentricidade equivalente, 331 
9.1.5 Justificativa do método da excentricidade equivalente, 332 
9.2 PILAR PADRÃO MELHORADO 
9.2.1 Modos de emprego do pilar padrão. 336 
9.2.2 Fundamentos do processo do pilar padrão melhorado, 338 
9.2.3 Processo do pilar padrão melhorado, 339 
9.2.4 Coeficientes de correção. Casos particulares, 343 
9.2.5 Exemplo, 344 
9.3 ESTUDO GERAL DOS PILARES ESBELTOS 
9.3.1 Pilares esbeltos de seção constante, 347 
9.3.2 Pilares muito esbeltos de seção constante, 348 
9.3.3 Pilares com seção transversal variável ou força normal variável, 348 
9.3.4 Exemplo preliminar, 349 
9.3.5 A rigidez do concreto a ser considerada, 352 
9.3.6 Exemplo definitivo, 353 
9.4 ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 
9.4.1 A estabilidade global das estruturas, 354 
9.4.2 Rigidez mínima das estruturas de contraventamento, 356 
9.4.3 Exemplo. Paredes isoladas de contraventamento, 358 
9.4.4 Solicitaçóes devidas ao efeito de contraventamento, 360 
9.4.5 Paredes e pilares de contraventamento. Cálculo rigoroso, 362 
9.4.6 Paredes e pilares de contraventamento. Cálculo simplificado, 363 
9.4.7 Exemplo. Parede isolada de contraventamento, 364 
9.5 ESTRUTURAS ESBELTAS NAO-CONTRAVENTADAS 
9.5.1 A esbeltez das estruturas deslocáveis, 365 
9.5.2 Exemplo. Esbeltez de um pórtico deslocável, 367 
9.5.3 Pórticos hiperestáticos. Cálculo rigoroso, 369 
9.5.4 Pórticos hiperestáticos. Cálculo simplificado, 371 
9.5.5 Influência da deformabilidade da fundação, 372 
9.5.6 Exemplo. Parede isolada de contraventamento, 374 
Apêndice 1 Tabelas e diagramas de dimensionamento, 377 
Apêndice 2 Diagramas, 417 
Referências bibliográficas, 462 
índice alfabético, 463 
PARTE i 
ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
DE RUPTURA OU DE 
ALONGAMENTO 
PLÁSTICO EXCESSIVO 
Flexão Simples e Flexão Composta. 
Fundamentos 
1.1.1 SOLICITAÇOES Designam-se por solicitaçóes normais os esforços solicitantes que produzem 
NORMAIS tensões normais nas seções transversais das peças estmturais. As solicitaçóes no 
mais englobam o momento fletor e a força normal. 
De acordo com os princípios da Resistência dos Materiais, os esforços solicita 
tes são entes mecânicos referidos ao centro de gravidade da seção transversal. Nas 
peças de concreto estrutural, armado ou protendido, os esforços solicitantes atuantes 
são calculados tomando-se, como pólo de redução dos esforços, o centro de gravidade 
da seçiío geométrica da peça, sem consideração da armadura.' 
1.1.2 ESTADOS ÚLTIMOS De modo tradicional, a ruptura das peças de concreto estmtural é caracterizada 
pela ruptura do concreto, quer tenha havido ou não o escoamento prévio de suas 
armaduras. Com a ruptura do concreto, atinge-se um estado último de ruptura. 
Até alguns anos atrás, no cálculo das seções transversais em regime de ruptura, 
tomava-se a defiiiição de ruptura acima indicada, não se cogitando de qualquer 
limitação do alongamento das armaduras. Isso era feito, por exemplo, pela NB-1/60 
para o cálculo no estádio III.% 
Constatou-se posteriormente que havia a necessidade de limitação do alonga- 
mento da armadura tracionada das peças submetidas a solicitações normais. O alon- 
gamento excessivo da armadura tracionada acarreta uma fissuração exagerada, 
atingindo-se um estado último, sem que necessariamente tenha ocorrido a mpturado 
concreto do banzo comprimido da peça. 
Por essarazão, presentemente, a verificação da segurança é feita admitindo-se 
que o esgotamento da capacidade resistente tanto possa ocorrer pela ruptura do 
concreto comprimido, quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada. 
Consideram-se, portanto, estados últimos de ruptura do concreto do banzo cornpri- 
mido ou de alongamento plástico excessivo da armadura tracionada das peças subme- 
tidas a solicitações normais. 
No entanto, como o início do fenômeno físico de ruptura do concreto é de difícil 
identificação experimental, convencionou-se aceitar que o concreto atinge a mptura 
quando o seu encurtamento alcança determinados valores experimentalmente justifi- 
cados. 
Deste modo, os estados últimos de mpturado concreto passam a ser substituídos 
por estados de encurtamento último do concreto. 
FLEXÃO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 3 
1.1.3 ESTADO LIMITE Tendo em vista as dificuldades de caracterização do esgotamento da capacidade 
ÚLTIMO resistente das peças submetidas a solicitações normais, considera-se um estado limite 
último convencional, designado por estado limite último de ruptura ou de deformação 
plástica excessiva. 
Este estado limite último é alcançado 'quando na fibra mais comprimida de 
concreto o encurtamento é igual a um valor último convencional E ~ ~ . , O U quando na 
armadura tracionada a barra de aço mais deformada tem o alongamento igual ao valor 
último convencional E.. = ]O%,,. 
Observe-se que para ser alcançado o estado limite último, necessariamente 
deverá estar satisfeita pelo menos uma das duas condições últimas 
- E., m o s . - Esu = 10%' 
Deste modo, todos os diagramas de deformação das Figs. 1.1.3-1 a 1.1.3-3 
correspondem ao estado limite último considerado. Observe-se que nesses diagramas 
já está incluída a hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o 
estado limite último. 
Na Fig. 1.1.3-1, a ruína ocorre por ruptura do concreto comprimido. Este ca- 
so corresponde a existência na peça de um banzo tracionado e outro comprirni- 
do, ocorrendo a ruptura convencional do concreto com uma deformação última cons- 
L = c.. = V A R I A V E I 
Fig. 1.1.3-1 Ruptura d o concreto 
Fig. 1.1.3-2 Ruptura do concreta. 
E, = E,,' loO/, L 
I Fig. 1.1.3-3 Alongamento excessivo da armadura. Fig. 1.1.3-4 Náo há ruina 
tante e igual a 3,5%0, qualquer que seja o alongamento E, da armadura, admitindo-se 
E,, ,,,, s E, = 1Wo. 
Na Fig. 1.1.3-2, a mína também ocorre por mptura do concreto comprimido. 
Entretanto, neste outro caso, em que se admite a peça totalmente comprimida, o 
encurtamento convencional último do concreto é variável. Admite-se que seja 
estando agora a situação últimacaracterizada pela passagem do diagrama de deforma- 
ções pelo ponto C, de abscissa 2%, e ordenada 3 h/7, Fig. 1.1.3-2. 
O caso de mina caracterizada pelo alongamento plástico excessivo da armadura 
está indicado na Fig. 1.1.3-3. Qualquer que seja a deformação da fibra extrema da 
borda comprimida da seção transversal, mesmo que seja E,,, ,,, S E,,, = 3,5%0, o 
estado limite último é caracterizado pela ocorrência de deformaçáo E, = 10%0. 
O valor E, = I a o foi arbitrado com a consideração de que, desprezando-se o 
alongamento do concreto tracionado, essa deformaçáo corresponde a uma fissuração 
de 10%0, ou seja, corresponde a uma físsura de 1 mm de abertura para cada 10 cm de 
comprimento da peça. Com essa fissuração, é dada por esgotada a capacidade resis- 
tente da peça. 
Conforme está mostrado na Fig. 1.1.3-4. não ocorrerá a mína, ou seja, não será 
atingido o estado limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo 
quando forem simultaneamente E, < E,, e E , , ,,, < E ,,,. Deste modo, para que um 
diagrama de deformações corresponda a uma situação última, ele deverá necessaria- 
mentepassarporumdostrêspontos,A,B ouC,indicadosnas Figs. 1.1.3-1 a 1.1.3-3. 
Com isso, as possíveis configurações últimas do diagrama de deformações espe- 
cificas ao longo da seção transversal da peçadefinem os seisdomínios apresentados na 
Fig. 1.1.3-5. Os domínios 1 e 2 são fixados pelo ponto A , os domínios 3 , 4 e 4a pelo 
ponto B e o domínio 5 pelo ponto C. Os diagramas de deformaçóes referentes aos 
diferentes domínios variam desde a reta a , correspondente a tração uniforme, até a 
reta 6 , correspondente a compressão uniforme. 
Fig. 1.1.3-5 Domínios de deformação. 
1.2 HIPÓTESES No estado limite último, o estudo da capacidade resistente das peças submetidas 
BÁSICAS a solicitaçóes normais é feito com as seguintes hipóteses básicas: 
1.2.1 MANUTENÇÃO DA Nas peças de concreto estrutural submetidas a solicitações normais, é admitida a 
SEÇÃO PLANA validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o estado 
FLEXAO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 
limite último, desde que se tenha uma relação 
1.2.2 SOLIDARIEDADE 
DOS MATERIAIS 
1.2.3 ENCURTAMENTOS 
ÚLTIMOS DO CONCRETO 
1.2.4 ALONGAMENTOS 
ÚLTIMOS DAS 
ARMADURAS 
1.2.5 DIAGRAMA DE 
TENSOES 
PARÁBOLA-RETÂNGULO 
sendo to a distância entre as seções de momento fletor nulo, e d a altura útil da seção 
transversal. 
Com esta hipótese, as deformações normais específicas são, em cada ponto, 
proporcionais a sua distância a linha neutra da seção, inclusive quando a peça alcança 
o estado limite último. 
Admite-se a solidariedade perfeita entre as barras da armadura e o concreto que 
as envolve. 
Com esta hipótese, a deformação específica de uma barra da armadura é igual a 
deformação específica do concreto que lhe é adjacente. 
Qualquer que seja a sua resistência, no estado limite último o encurtamento 
específico de ruptura do concreto vale: 
3,5 x 10-3 na flexão pura 
2,O x 10-3 na compressão axial 
variando na compressão excêntrica conforme indicado na Fig. 1.1.3-2 
Nas peças de concreto armado, o alongamento específico último da armadura 
tracionada é tomado com o valor convencional de 10%0. 
Nas peças de concreto protendido, o alongamento específico máximo é limitado 
ao valor de Imo, contados a partir do estado de neutralização da seção transversal. O 
estado de neutralização é obtido anulando-se, em todaa seção transversal, as tensões 
no concreto decorrentes da aplicação isolada dos esforços de protensão. 
Admite-se que, no estado limite último, as tensões de compressão na seção 
transversal das peças submetidas a solicitações normais tenham uma distribuição de 
acordo com o diagrama parábola-retângulo indicado na figura seguinte: 
Fig. 1.2.5-1 Diagrama parábola-reténgulo. 
' GRAU 
O diagrama parábola-retângulo é composto por uma parábola do 2." grau, com 
vértice na fibra correspondente a deformação de compressão de 2%0, prolongada por 
um segmento reto limitado na fibra correspondente a deformação de compressão de 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS 
3,5%0. A ordenada máxima do diagrama corresponde a uma tensão igual a 
1.2.6 DIAGRAMA De modo geral é possível admitir-se para as tensões de compressão a distribuição 
RETANGULAR DE retangular simplificada indicada na Fig. 1.2.6-1. É importante saber-se que os resuita- 
T E N S ~ E S dos obtidos com este diagrama simplificado são praticamente iguais aos resultados 
obtidos com o diagrama parábola-retãngulo, As possíveis divergências de resultados 
ocorrem apenas no domínio 5. 
DEFORMA ÓES 
I 1 LARGURA DECRESCENTE 
O U CRESCENTE PARA PARA A BORDA CDMPRIMIDA 
A BORDA COMPRIMIDA 
Fig. 1.2.6-1 Diagrama retangular. 
No trecho de altura 0,2x, a partir da linha neutra, são desprezadas as tensões de 
compressão. No trecho restante de altura 0 . 8 ~ . admite-se distribuição uniforme de 
tensões. 
Nas zonas comprimidas de largura constante, ou crescente no sentido das fibras 
mais comprimidas, admite-se uma tensão constante e igual a 0,85 f,,. 
Nas zonas comprimidas de largura decrescenteno sentido das fibras mais com- 
primidas, admite-se uma tensão constante igual a 0.80 f,,. Este caso ocorre, por 
exemplo, nas.seções circulares, nas seções triangulares ou trapezoidais com vértice 
do lado mais comprimido e nas seçóes retangulares submetidas a flexão oblíqua. 
1.3 CASOS DE 
SOLICITAÇÃO 
1.3.1 DOM~NIOS O estado limite último de ruptura ou deformação plástica excessiva é caracteri- 
DE DEFORMAÇAO zado convencionalmente na situação de cálculo pelas deformações específicas de 
cálculo e E~, , respectivamente, do concreto e da armadura tracionada. 
Para a determinação da resistência de cálculo de uma dada seção transversal, é 
necessário considerar em qual dos domínios definidos pela Fig. I. 1.3-5 está situado o 
diagrama de deformações específicas de cálculo da seção analisada. 
Na Fig. 1.3.1-1 estão novamente representados os domínios de deformação, 
explicitando-se aposição da linha neutra paracada um dos domínios considerados. A 
posição da linha neutra é definida pela sua distância x a fibra extrema mais compri- 
mida. A posição da linha neutra também pode ser fixada, de forma adimensional, pelo 
coeficiente 
Na Fig. 1.3.1-2 estão mostrados os casos de solicitação possíveis para cada um 
dos domínios de deformação. variando-se a posição da linha neutra de -ma +m, ou 
FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 7 
seja, variando-se as solicitações desde a tração uniforme até a compressão uniforme. 
A análise das Figs. 1.3.1-1 e 1.3.1-2 permite as seguintes observações: 
1.3.2 D O M ~ N I O 1 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,, = 10%0. A linha neutra 
é externa a seção transversal, a qual está inteiramente tracionada. 
Neste domínio estão incluídos os casos de traçãoaxial e de tração excêntricacom 
pequena excentricidade. 
A seção resistente é composta pelas duas armaduras de aço, não havendo partici- 
pação resistente do concreto, o qual é admitido como inteiramente fissurado. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS 
1 =-" 
Fig. 1.3.1-2 Casos de solicitação - Domínios de deformação. Diagramas de deformacão corresponden- 
tes aos extremos dos domínios. 
1.3.3 D O M ~ N I O 2 O estado limite último é caracterizadopeladeformaçáoe,, = IO%o. A linha neutra 
corta a seção transversal, havendo na peça um banzo tracionado e um banzo compri- 
mido. 
Neste domínio estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excen- 
FLEXAO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 9 
tricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade. 
Na peça existe um banzo tracionado. mas o concreto da zona comprimida não 
atinge a ruptura, pois esta somente poderá ocorrer na posição limite do fim do domínio 
2, quando então E ~ , , = 3,5%0. 
Observe-se que da Fig. 1.3.1-1 resulta a relação 
3,5%0 - - 1 Wo 
X,, iim d - X2, iim 
ou seja 
donde 
Na Fig. 1.3.1-1, o domínio 2 está subdividido em dois outros, indicados, respecti- 
vamente, por 2a e por 2b. A separação entre estes dois subdominios é dada pela 
condição E,,, = 2%0, à qual corresponde a condição 
obtendo-se para a posição limite da linha neutra o valor 
A subdivisão do domínio 2 é aqui considerada tão-somente com afinalidade de ser 
determinado um valor limite da profundidade da linha neutra, a partir da qual as 
armaduras de compressáo podem ser realmente eficientes. Deste modo, somente no 
subdomínio 2b deverão ser levadas em conta as eventuais armaduras de compressão. 
No subdominio 2a, tais armaduras, mesmo quando existentes, deverão ser ignoradas, 
pois a deformação última das mesmas é muito pequena e incerta. 
1.3.4 DOMINIO 3 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha 
neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. 
Na situação última, a deformação da armadura tracionada é pelo menos igual a 
deformação de inicio de escoamento. Assim, a ruptura do concreto ocorre simulta- 
neamente com o escoamento da armadura. Esta é a situação desejável para projeto, 
pois os dois materiais são aproveitados inteiramente e, além disso, não há risco de 
ruínanão-avisada. As peças quechegamaoestado último nodomínio 3 sãoditas peças 
srtbarmadas (na verdade deveriam ser chamadas de peças normalmente armadas). 
Neste domínio também estão incluídos os casos de tração excêntncacom grande 
excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentnci- 
dade. 
O domínio 3 é limitado pela condição 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
resultando na posição limite da linha neutra 
que é variável com o tipo de aço empregado 
1.3.5 DOMÍNIO 4 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha 
neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. 
No estado último, adeformação da armadura é inferior a deformação de início de 
escoamento. A ruptura da peça ocorre, portanto, de formafrágil, não-avisada, pois o 
concreto se rompe sem que a armadura tracionada possa provocar umafissuração que 
sirva de advertência. As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são ditas 
superarmadas, devendo ser evitadas tanto quanto possível. 
No domínio 4 estão incluídos apenas os casos de compressão excêntrica com 
grande excentricidade. Existe predominância do efeito de compressão, embora a 
excentricidade não possa ser chamada de pequena, pois a peça ainda apresenta um 
banzo tracionado. 
O domínio 4 é limitado pela condição 
sendo nula a deformação da chamada armadurade tração, a qual na situação limite não 
é solicitada. 
1.3.6 DOMíNIO 4a O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha 
neutra ainda corta a seçáo transversal, mas na região de cobrimento da armadura 
menos comprimida. 
No domínio 4a, ambas as armaduras estão comprimidas, embora sejam usual- 
mente desprezíveis as tensões na armadura menos comprimida. 
O domínio 4.2 é um simples domínio de transição conceitual, estando limitado por 
uma posiçáo da linha neutra tangente a fibra extrema da seção, sendo'pois 
1.3.7 D O M ~ N I O 5 No domínio 5 estão incluídos os casos deflexo-compressão com pequena excen- 
tricidade e o caso limite da compressão centrada. A linha neutra não corta a seção 
transversal, a qual está inteiramente comprimida. 
Admite-se que neste domínio seja variável a deformação última do concreto, 
sendo igual a 2%0 na compressão uniforme e 3,5%0 na flexo-compressão com a linha 
neutra tangente à seção. 
Os diagramas de deformação dos dois casos limites citados cruzam-se no ponto 
C, afastado de 3 h/7 da borda mais comprimida da seção, como decorrência da 
hipótese de que o estado limite último seja caracterizado peladeformação ced = 2%0 na 
fibra que passa ppr esse ponto C , estando E,, compreendido entre os limites de 2%0 e 
3,5%0. 
1.4 DIAGRAMAS DE 
CÁLCULO DOS AÇOS 
1.4.1 PROPRIEDADES O diagrama tensáo-deformação de cálculo dos aços é obtido do diagrama caracte- 
GERAIS rístico, dividindo-se por y, as ordenadas oblíquas, paralelas a reta de Hooke. 
Para os aços das armaduras passivas, tanto da ClasseA quanto da Classe E , a 
NB-1 adota o modulo de deformação i 
FLEXÁO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 11 
E, = 210 000 MPa (1 MPa = 10 kgf/cmz) 
Para esses aços, mesmo para os da ClasseB, nos quais o efeito Bauschinger pode não 
ser desprezível, admite-se um comportamento na compressão simétrico ao cornpor- 
tamento na traçáo. Além disso, em virtude de o concreto solidário as armaduras sofrer 
ruptura com encurtamentos não superiores a3,5%a, do lado das tensóes de compressão 
o diagrama tensão-deformaçáo dos aços já é truncado em função desse encurtamento 
de ruptura do concreto. 
Para estes mesmos aços, o CEB3 adota o valor E, = 200 GPa. 
1.4.2 AÇOS CLASSE A Para os aços da Classe A , caracterizados pelalinearidade do diagramaaté o limite 
de escoamento e pela presença do patamar de escoamento, adota-se o diagrama 
indicado na Fig. 1.4.2-1. 
Fig. f.4.2-1 A ~ o s classe A. Diagrama tensão-deformafio. 
1.4.3 AÇOS CLASSE B Para os aços Classe B, obtidos por encruamento a frio, adota-se o diagrama 
apresentado na Fig. 1.4.3-1 quando se dispõe de dados experimentais que permitam o 
traçado do diagrama característico tensão-deformação. 
Quando não existe informação experimental suficiente, permite a NB-1 a adoção 
do diagrama simplificado apresentado na Fig. 1.4.3-2. 
I N = 0 , 1 k g f I MPa = I MN/m' = I0 kgflcm' 
I k N = l W k g f = O . l t f 1 kNlm = IW kgflrn = O,I tflm 
I kN.m = IW k8f.m = 0.1 I f m I kNim* = 1W kgflmz = 0.1 f i m 2 
I k N c m = !W kgf.cm = 0.1 tf.cm I k N l m a = 100 kgflm3 = 0.1 fim3 
I MPa = 0.1 kNicm' = 100 N/crn2 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Fig. 1.4.3-1 Aços classe B. Diagrama tensáo-defomaçáo 
( '0, - o,7 )2 
ycd 
Fig. 1.4.3-2 Aços classe B. Diagrama simplificado tensão-deformação. 
~ 
Na figura da Tabela 10 estão desenhados em escala os trechos curvos dos 
diagramas correspondentes aos aços CA-40B, CA-SOB e CA-6OB. 
É oportuno salientar que o trecho curvo do diagrama simplificado adotado pela 
NB-I é uma parábola do 2.O grau, enquanto que, para essa simplificaçáo, o CEB 
, 
admite uma parábola do 5.O grau. 
Na Fig. 1.4.3-3 estão apresentados resultados experimentais obtidos com aços 
produzidos pela indústna brasileira.* 
'Resultados obtidos em diversos laboratonos 
FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMEhTOS 
Note-se que a parábola do 5 . O grau adotada pelo CEB adapta-se com maior 
segurança aos resultados da fase de encruamento que aos valores anteriores ao 
escoamento. A parábola adotada pela NB-I, além de ser numericamente mais sim- 
ples, pode garantir com maior segurança a região anterior ao escoamento, pois a NB-1 
não considera a fase de encruamento. 
. 
, . . 
, 
. 
1.5 VALORES DE (y, = 1,15, E, = 210.000 MPa) 
CÁLCULO 
1.5.1 AÇOS CLASSE A f"* = k 
Ys 
< : . 
. ... 
. . 
. . . . 
. . . .. 
. . . . 
. .. 
. . 
. 
.I . 
I N = O , I k g f I MPa = I MN/m2 = IOkgflcm' 
I k N = I W k g f = O , l t f I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm 
1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 t t m I k N / m 2 = 100kgilmz=O,I rf/m' 
1 k N . c m = 100 kgi.cm = 0.1 t f c m I k N / m S = IWkgf/rna =O,I tf/m3 
o 
I MPa = 0.1 kN/cmz = 1 W Nlcm' 
- 
0.001 0002 0003 
.:.. 
. 
. 
.. 
' . 
. 
.: ' : 
5 bs 
€ o b s - - 
Fig. 1.4.3-3 Aços classe B - Resultados experinicntais. E s 
, 
, 
. , 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
Fig. 1.5.1-1 Diagrama de cálculo. 
1.5.2 AÇOS CLASSE B fud = 3% 
Y. 
cyd = 2%0 + Azyd Ng. 1.5.2-1 Diagrama de cálculo 
CA-40B 400 348 1,66 3,66 
CA-SOB 500 435 2 8 7 4.07 
CA-60B 600 522 2.48 4,48 
I N - 0 , l k g f I MPa = I MN/m2 = I0 kgf/cmZ 
I k N = I W k g f = 0 , l d I kN/m = 100 kgflm = 0,I tflm 
I kN.m = 100 kg fm s 0.1 tf.m 1 kNim2= 1W kgfim2 s 0.1 tfIm2 
I kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tf.cm I kN/mg= 103 kgflm" 0.1 U/m' 
I MPa = 0.1 kN/cm2 = IW Nlcm2 
FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 
1.5.3 VALORES LIMITES 
Para os aços Classe B c a b e a inda considerar o limite d e proporcionalidade fad e a 
cor respondente deformação específica E,,, dados por 
fod = 0,7 f,d 
CA-40B 400 348 243 1,16 
C A-SOB 500 435 304 1,45 
CA-6OB 600 522 365 1,74 
Como é fisicamente definido o esgotamento da capacidade resistente das seções de 
concreto armado submetidas a solicitaçóes normais? Quais os estados últimos corres- 
pondentes? 
Como é definido o estado limite último da ruptura ou de deformação plástica excessiva? 
O que significa a circunstância desse estado ser considerado como um estado limite? 
Qual a diferençaentre o estado limite último de ruptura ou deformação plásticaexcessiva 
e o conceito de estádio III? 
Por que o estado limite de ruptura é caracterizado por um encurtamento último do 
concreto? Quanto vale esse encurtamento? 
Se o encurlamentomáximo~~, doconcreto éinferiorao valor Último, pode aindaassim ter 
sido atingido o estado limite último? 
Que interpretação física deve ser dada ao limite adotado para a deformação última da 
armadura? 
Quais as hipóteses básicas da teoria de flexão no estado limite último? 
Como são definidos os diagramas parábola-retângulo e retangular de tensões de com- 
pressão nas seçóes transversais? 
Desenhar os diagramas de deformações da seção transversal no estado limite último de 
ruptura ou deformação plástica excessiva de peças submetidas à flexo-tração. à flexão 
I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlm' = 10 k$/crnz 
I kN = IW kgf = 0.1 tf I k N i m = IW k d i m = 0.1 t f i m 
I k N . m = 1W kgf.rn = 0.1 1f.m I kNlm' = I W kgf!m2 = 0.1 tfirn' 
I kN.crn = 100 kgf.cm = 0.1 r f c m I kNim,; = I W kgfim3 = 0.1 tfirn" 
I MPa = 0.1 kNicrn2 = 100 N/crn2 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÓES NORMAIS 
simples e à flexo-compressão com pequena excentricidade. Justificar. 
Nas mesmas três situaçóes da questão anterior, desenhar diagramas de deformações 
correspondentes a estados que ainda não sejam estados últimos. Justificar. 
Que estado Último caracteriza os domínios 1 e 2 de deformaçóes? 
Que estado último caracteriza os demais domínios de defonnaçóes? 
Na determinação da ruptura do concreto, que diferenças existem entre os domínios 3.4, 
4a e S? 
Que relaçóes obrigatórias existem entre a posição da linha neutra e o tipo de solicitação 
normal que age na seção considerada? 
Em que domínios de deformação podem estar situados os casos de flexão simples? 
O que se entende por peças subarmadas e por peças superarmadas? Em que domínios 
elas ocorrem? 
Calcular a posição relativa da linha neutra no fim dos domínios 2 e 3 . Por que um destes 
valores é constante e o outro variável? 
Em que parte do domínio 2 não se pode usar armadura de compressão? Justificar. 
Por que no domínio 5 o ponto fixo dos diagramas de deformação está a distância de 3 h17 
da borda mais comprimida? 
Caracterizar os diagramas tensão-deformação dos aços ClasseA e dos aços ClasseB. 
Definir o limite de escoamento para ambas as classes de aço. 
Como se determina o diagrama de cálculo tensãodeformação, a partir do diagrama 
característico dos aços? 
Que forma simplificada do diagrama tensão-deformação dos aços Classe B é permitida 
pela NB-I? 
Quanto vale o módulo de deformação E, dos aços Classe A e dos aços Classe B? 
Calcular a deformação de início de escoamento dos aços CA-SOA e CA-SOB. 
2 
Seções Retangulares 
2.1 TRAÇÁO SIMPLES 
E TRAÇAO COM 
PEQUENA 
EXCENTRICIDADE. 
2.1.1 CONDICOES DE As peças de concreto armado submetidas à tração simples ou à tração com pequena 
EQUILÍBRIO excentricidade devem ser admitidas com suas seções transversais inteiramente fissu- 
radas. No domínio 1, a seção resistente é formada apenas pelas duas seções metálicas 
A , e k s , Fig.2.1.1-1. 
Neste caso, o estado limite último é caracterizado pelo fato de a deformação 
específica da armadura mais tracionada, de área A,, ter atingido o valor E* = 10%0. 
Embora se saiba que a outra armadura, de área A',, também está tracionada, não 
w 
Kg. 2.1.1-1 Flexo-tração no domínio I 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
se conhece a priori a tensão rid que age na mesma, pois não se conhece a posição da 
linha neutra, podendo ser E,, < E;,. 
Em princípio, as forças R: e R, que agem nas armaduras podem ser estudadas em 
função da ação última F, e da geometria do sistema, impondo-se as condições de 
equilíbrio de esforços e de compatibilidade de deformações. 
No entanto, torna-se mais simples proceder a uma duplaverificação, como é feito 
a seguir, Fig. 2.1.1-2. 
Fig. 2.l.l-2 tquilibi-io de forças. 
a. Condiçõesde equilíbrio 
Das condições de equilíbrio, têm-se: 
sendo 
RSd = A: 
b. Cálculo de verificaçáo (incógnita: F,) 
O valor de cálculo Fd da ação é dado pelo menor dos dois valores 
d - d' F,, =S A', - fvd (2.1.1-5) 
e, 
com 
SEÇÕES RETANGULARES 19 
Observe-se que será F,, = F., quando a distância 1 x 1 da linha neutra for 
suficientemente grande paraque E; 2 eyd, logo quando aLd = fUd. 
c. Cálculo de dimensionamento (incógnitas: A,, A;) 
Impõe-se nas equações (2.1.1-1) a (2.1.1-4) a condição 
obtendo-se então as áreas A, e A; 
2.1.2 CÁLCULO DE 
VERIFICAÇAO. 
EXEMPLO* 
Fig. 2.1.21 Exemplo 
Para a seção da Fig. 2.1.2-1, determinar o valor de serviço da força de tração que 
pode ser aplicada com uma excentricidade e = 10 cm. São dados: 
h = 50 cm d' = 4 cm A, = 4 4 25 (20 cm2) A: = 2 4 25 (10 cm2) 
Aço CA-SOA (f,, = 435 MPa) e = MIN = 10 cm 
Admitindo Md = M* = e = 10 Cm 
Nd Nk 
têm-se 
Das condições de equilíbrio, resultam 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
ou seja 
F. = 3,82 Ri, 
F. = 1,35 R,, 
Considerando a condição limite o;, = uad = fvd, para a qual 
sendo Rid 5 Riu e R,, s R,, obtêm-se 
resultando finalmente 
Fd = 1 175 kN 
Em condições de serviço, adotando y, = 1,4, tem-se 
2.1.3 CÁLCULO DE 
DIMENSIONAMENTO. 
EXEMPLO 
Fig. 2.1.3-1 Condições de serviço. 
Determinar as áreas A, e A8 das seções das armaduras do tirante indicado na Fig. 
2.1.3-1. 
Sendo dados M, e N,, a peça pode ser tratada como se estivesse submetida a uma 
- - 
I N = 0 , 1 w I MPa = I MNlmS= IOkgíIcm' 
I k N = I W k g f = O , I t í 1 kNlm = IW kd/m = 0.1 tflm 
I kN.m = IWkgfm = O,] t tm I kNlmZ= IWkgí lm~=O, l d/mS 
1 kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 tf.cm I kNlm" lCü kgflm' = 0.1 tílm" 
1 MPa = 0.1 kNIcm' = ICü N/cm' 
SEÇOES RETANGULARES 
força de tração excêntrica Fk = N,, com excentricidade 
Para o dimensionamento das armaduras será considerada então, Fig. 2.1.3-2, a 
solicitação dada por 
Fig. 2.1.3-2 Condi~óes de $álculo. 
Da geometria do sistema, têm-se 
e das condições de equilíbrio, obtêm-se 
Admitindo-se o emprego de Aço CA-50A, com f,, = 435 MPa, resultam para as 
armaduras os valores: 
I N = O , l k g f I MPa = I MNlrn2 = IOkgitcrn* 
I k N = 103 kgf = 0,1 tf I kN/m = 103 kgflm = 0.1 tflm 
I k N m = IW W . m = 0.1 1f.m I k N / m L lWkgflrna = 0,l tfirn* 
1 kN.cm = IW kgf.crn = 0.1 tf.crn I kNlms = 1W kgflrn' = 0,I tfirn' 
2.2 FLEXAO SIMPLES. As expressões aqui deduzidas têm por finalidade apresentar o estudo do caso básico 
CÁLCULO PRÁTICO que permite as primeiras aplicações da teoria de flexão. 
No estudo com variáveis adimensionais é empregado o diagrama parábola- 
retângulo, enquanto que, no estudo com variáveis dimensionais, é usado o diagrama 
retangular de tensóes. 
2.2.1 VARIÁVEIS 
ADIMENSIONAIS. 
ARMADURA SIMPLES 
& b A 
Fig. 2.2.1-1 Caso básico - FlexXo simples - Armadura simples. 
Considerando-se o caso básico da flexão simples de seções retangulares com 
armadura simples, as equaçóes de equilíbrio podem ser deduzidas diretamente a partir 
da Fig. (2.2.1-1). De fato, sendo 
,.\ 
R, = a bx.0,85 fcd 
e 
R, = A, c, 
definindo-se os valores 
(taxa mecânica de armadura) 
(momento fletor reduzido) 
as equações de equilíbrio 
R, = R, 
R, z = M, 
podem ser escritas 
donde 
Nestas expressões, o coeficiente a mede a relação entre a tensão média de 
compressão e o valor extremo 0,85 f,,; o coeficiente 5' fixa a posição da resultante das 
tensões de compressão no concreto e, portanto, define o braço de alavanca dos 
esforços internos. 
Conforme será visto em 5 2.3.4, as condiçóes de compatibilidade de deformações 
fornecem as seguintes funções da variável f : 
a = a(f) (permite a determinação da tensão média de compressão em função da 
posição da linha neutra) 
f' = C(5) (permite a determinação do braço de alavancados esforços internos em 
função da posição da linha neutra) 
uSd = usd(f) (tensão na armadura de tração em função da posição da linha neutra) 
Desse modo, a expressão (2.2.1-2) pode ser posta sob a forma de uma equação a 
uma incógnita: 
I p, = função (01 
a qual, uma vez resolvida, fornece a função inversa 
Uma vez conhecida a posição da linha neutra em função do momento fletor, a 
equação (2.2.1-1) permite a determinação da taxa mecânica da armadura de tração, 
obtendo-se 
w = 0 3 5 a - (2.2.14) 
Nos casos de dimensionamento, usualmente faz-se o., = fy,, resultando então 
Em lugar da expressão anterior, a armadura também pode ser determinada pela 
expressão 
onde 
z = d - 5 ' x = d ( l - 5 > 6 ) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
Nos casos usuais de dimensionamento, adora-se uSd = f,,, resultando 
2.2.2 TABELAS Tendo em vista as aplicações práticas, foram tabelados os valores das variáveis que 
ADIMENSIONAIS intervêm no estudo das seções retangulares, estando os resultados apresentados na 
Tabela 1 do Anexo desta publicação. 
Observe-se que as tabelas são apresentadas sempre em função dos valores de 
cálculo. Desse modo, para o seu emprego deverá sempre ser utilizado o valor do 
momento fletor majorado 
Como será visto posteriormente, a tabela correspondente ao caso básico de 
flexão simples de seções com armadura unilateral poderá ser empregada para todos 
os casos de flexão, simples ou composta, de seçóes com armadura simples ou 
armadura dupla. Como essas tabelas são válidas para qualquer tipo de aço e para 
qualquer resistência do concreto, elas são chamadas de tabelas universais. 
2.2.3 VARIÁVEIS 
ADIMENSIONAIS. 
A R M A D U R A DUPLA' 
-1 )Md = v,- + I-- 
(d-d') 
A s . A s I As2 , I 
L---- 1 
Fig. 2.2.51 Redugão ao caso básico 
A armadura de compressão será usada quando a armadura simples conduzir a 
5 > f n m , isto é, quando a armadura unilateral corresponder ao domínio 4. Com esta 
precaução são evitadas as peças frágeis. Todavia, com os aços ClasseB, para os quais 
a deformação E,, é convencional, admite-se que hajaumazona utilizável do domínio4, 
co&espondente a deformações E,, maiores do que a deformação de início de escoa- 
SEÇOES RETANGULARES 25 
mento do aço da mesma categoria, mas da Classe A. 
Para a consideração da armadura dupla, o momento fletor é decomposto em duas 
partes 
das quais M,, . é a parcela resistida pela seção com armadura simples e AM, é a 
parcela resistida por uma seção metálica. 
Dessa maneira, conforme é ilustrado pela Fig. 2.2.3-1, têm-se: 
armadura de tração 
armadura de compressão 
/;7 
De modo geral, faz-se 
correspondente a 8 = [ l i , . Nesse caso, obtêm-se 
armadura de tração 
1 M, ,I7"+=) A, = - (. 
Ud Z d - d ' 
armadura de compressão 
\ 
É importante salientar-se que a decomposição considerada é válida porque foi 
admitido o mesmo diagrama de deformações tanto para a seção simplesmente armada, 
com armadura de área A,,, quanto para a seção metálica formada pelas armaduras de 
áreas A: e A,, Fig. 2.2.3-1. 
Note-se que os valores correspondem a 5 = 5irrn Em 
também com os aços Classe B 
adotado pela NB-I. 
os valores 
vezes é tolerada a solução com armadura simples paravalores def algo maiores do que 
511rn, desde que não se chegue a peças de ruptura francamente frágil. 
Admite-se, em geral, como ainda utilizável a parte do domínio 4 onde 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ES NORMAIS 
2.2.4 EXEMPLOS a. Armadura simples 
Fig. 2.2.41 Exemplo. 
Calcular a armadura da viga indicada na Fig. 2.3.4-1. Solicitação: 
q, = 20 kN/m 
Me = Yr Mx, mus. = 1,4 X 90 = 126 kN.m = 12 600 kN.cm 
f,, = 18 MPa = 1,X kN,!cm2 
h = 50 cm b = 25 cm 
d' = 4 cm (valor estimado) 
d = h - d ' = 5 0 - 4 = 4 6 c m 
Pela Tabela 1 (para @, = pgd = 0,186) 
5 = 0,31 < c,im (domínio 3, pode ser usada armadura simples) 
5 = 0,867 logoz = b = 0,867 x 46 = 39,9 cm 
E, = 7,49%0 (a,d = f,,) 
Sendo Aço CA-SOA, têm-se 
f,, = 500 MPa = 50 kN/cmZ 
1 N = 0.1 kgf I MPa = I MN/m2 = 10 kgf/cmS 
I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kNIm = 1W kgflm = 0.1 dlm 
I kN.m = 1W M m = 0.1 t f m I kNlm2 = 1M kgflrn2 = 0.1 dlmz 
I kN.crn = 1M kgi.cm = 0.1 1f.m I kNlmL 100 kgf/ma = 0.1 tf/d 
SEÇOES RETANGULARES 
logo 
ou seja 
A, = 7,26 cmZ - 4 6 16 
sendo A, > A,, ,i, . pois para o Aço CA-50 
p,,,, = A,, ,,,/bd 3 0,15%, logo 
A , ,,,. = 0,15 x 25 x 461100 = 1,73 cm2 
b. Armadura dupla 
Determinar a armadura da viga do caso anterior, reduzindo-se a largura para 12 
cm. 
Neste caso, obtém-se 
Adotando pd = pd, lim = 0,319, têm-se 
5 = (rim = 0.6283 
5 = 0,739 logo z = < d = 0,739 x 46 = 34,O cm 
Ecl = 3,5%0 
d' donde, sendo 8' = - = 4 0,09, 
d 46 
5 - '' - - = 3,00%0 > tem-se E'* = eCl - - 3,5 
5 0,628 
ou seja a', = f',, = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ 
Desse modo, sendo 
Md, ii, = pd, fim.bdZ fcd = 0,319 X 12 x 462 x 1,28 = 10 368 kN.cm 
1 N = 0.1 kgf I MPa = 1 MNlmP= 10l;gficmz 
I k = 100 kgf = 0.1 f f I kNlm = 100 W i m = 0.1 tflm 
1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 1f.m I kNlm2 = 100 kgfim" = 0.1 (fim' 
I k N . c m = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kN/mS= la)kgf /m3=0.1 tflms 
I MPa =O,! kNlcmz = 100 Nicm' 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
resultam, com d - d' = 46 - 4 = 42 cm, 
logo 
2.2.5 VARIÁVEIS Tradicionalmente entre nós o cálculo rotineiro das peças de concreto armado 
DIMENSIONAIS. TABELAS submetidas à flexão normal era feito com o auxílio de tabelas que genericamente 
TIPO k podem ser chamadas de tabelas tipo k . 
Essas tabelas tiveram o seu formato estabelecido originariamente por Loeser4 
para o cálculo no estádio 11. 
Quando se introduziu entre nós o cálculo no estádio 111, como conseqüência dos 
trabalhos de Langendonck2, já eram utilizadas tanto tabelas com variáveis adimensio- 
nais quanto tabelas com variáveis dimensionais. 
A apresentação de tabelas tipo k para o cálculo no estádio 111, com o formato e a 
notação originalmente empregados para o cálculo no estádio 11, foi feita por Burkes e. 
posteriormente, por Burke e Gertsenchtein.Tomo essas tabelas* foram empregadas 
durante muitos anos, tanto na formação dos nossos engenheiros quanto no trabalho 
profissional em nosso meio técnico, tabelas do tipo k são novamente aqui apresenta- 
das, mantendo-se de modo aproximado o formato tradicional, empregando-se porém 
os valores de calculo dos momentos fletores.** 
Tendo em vista a notação internacional estabelecida pelo CEB e adotada pela 
NB-1, as tabelas tipo k aqui apresentadas tiveram a sua notação adaptada, definindo- 
se os seguintes coeficientes:* 
*As tabelas citadarr eram empregadas com os momentos caracte"sticos M,. 
'.Obseivpse que todos os momentos fletores sáo tomados sempre com seus valores de cálculo 
1 N = O . ! @ i MPa = 1 MNlm' = I0 kgf/cmz 
I k N = I W k g f = O , l t f i kNlm = 100 kgfim = 0,I tilm 
I kN.m = 1 0 0 W m = 0.1 tf.m I kNlmS= 100kgflm2=0,1 tiimz 
I kN.cm = 100 kgfem = 0.1 tf.crn I kN/mZ= i00 kgflm" 0.1 tflm3 
SEÇOES RETANGULARES 
Com armadura simples: 
Com armadura dupla, sendo A, = A,, + A,,, 
AMd A', = k:- 
d - d' 
onde 
O momento Md. e é a parcela resistida pela seção com armadura simples de área 
A,,, e o momento A M d é a parcela resistida pelas seções metálicas de áreas A,, 
tracionada e A: comprimida. 
Usualmente é adotado o valor 
Md, C = Md, lim (2.2.5-8) 
correspondente a 5 = eiim. 
Em todas as expressóes, Mdi Md, Md, lim e A M d são valores de cálculo. 
Das expressóes anteriores pode ser mostrada a equivalência entre os coeficientes 
k e os coeficientes empregados no cálculo com variáveis adimensionais. 
Assim, por suas próprias definições, têm-se 
O coeficiente k, faz o papel do momento fletor reduzido P,, pois 
logo 
1 k, = - 
p d fed 
Considerando seçóes com armadura simples, tem-se 
onde 
De modo análogo, para as seções com armadura dupla, sendo 
I AM, A,$ = - - 
vid d - d ' 
podem ser escritas as expressões 
resultando 
-- 
A Md AMd = kn- 
u8d d - d' d - d' 
e 
1 AMd =kgl- 
-- 
AM, 
uid d - d ' d - d ' 
logo 
I k,, = - (2.2.5-1 1) 
08, 
As tabelas apresentadas no Anexo desta publicação, para os aços CA-25, CA-32, 
CA-40A, CA-40B, CA-SOA, CA-SOB e CA-6OB e para concretos de resistência fck 
iguais a 9; 13,5; 15; 18; 21; 25 e 30 MPa, fornecem os valoresdos coefícientesk,, k,, k,, 
e k: em função da posição da linha neutra dada por .$ = x/d. 
Além disso, para o cálculo de verificação, que é ilustrado pelos Exemplos 4 e 5 do 
§ 2.2.7, as tabelas fornecem os valores dos coeficientes 
100 A,, 100p, = - 
bd 
(2.2.5-13) 
2.2.6 ORGANIZAÇAO DAS 
TABELAS DIMENSIONAIS. 
FORMULÁRIO 
estando os valores de k, dados em função de a, e os valores de ki em função de 6. 
As tabelas foram constmídas com os coeficientes básicos de ponderação adota- 
dos pela NB-1, isto é, 
Quando forem adotados coeficientes y, f 1,4, as mesmas tabelas poderão ser 
empregadas, entrando-se com o valor corrigido h, em lugar do valor real h, sendo 
FLEXÃO SIMPLES - A R M A D U R A SIMPLES 
Fig. 2.2.6-1 Caso básico - Diagrama retangular de tensóes. 
i. VERIFICAÇAO DO CONCRETO EM FUNÇÃO DO MOMENTO ATUANTE 
Sendo 
pode ser calculado o momento 
Md = 0,85 fcd.0,8 x.b (d - 0,4 x) 
logo 
Md = 0,68 fcd.bdz 5 (1 - 0,4 4) 
obtendo-se então a relação 
Sendo por definição 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
resulta 
1 . k, = - 1 Depende da resistência do concreto e da posição 
f,d 0,68 5- (1 - 0,4 f ) da linha neutra, mas não depende do tipo de aço. 
Para um dado concreto, a cada valor de 5 corresponde um único valor de k,. 
Reciprocamente, a cada k, corresponde um único 5. Quando 6 s f,,,, a seçáo de 
concreto é satisfatóna, não havendo necessidade de armadura de compressão. 
2 . VERIFICAÇAO DO CONCRETO EM FUNÇAO DA ARMADURA EXISTENTE 
Considerando-se apenas o caso deflexáo simples, tem-se 
Nd = O (flexão simples) 
Admitindo-se que haja armadura simples, tem-se 
A', = O A, = A,, (armadura simples) 
logo 
Do equilíbrio de forças, resulta 
A, u,d = 0 3 5 f,d . b 0,8 x 
logo 
A, 
- - 
f C d 
- 0,68 f - 
bd u s d 
donde 
Para 8 &im. tem-se u.d = fud. Para f > &,,, no domínio 4, tem-se 
logo, em qualquer caso, a cada valor de f corresponde um único valor de p,. Recipro- 
camente, dado p, tem-se f e, em função deste, obtém-se k,; ou seja, tem-se o máximo 
valor de Md compatível com a armadura A,,. 
3 . CÁLCULO DA ARMADURA SIMPLES 
Para um dado 
tem-se 
z = d - 0 , 4 x = [ d 
logo 
A seção transversal da armadura é dada então por 
ou seja 
Nos domínios 2 e 3: 
logo 
Fazendo 
pode-se escrever 
k, = 1 
( 1 - 0,4f)fVd 
No domínio 4 
Depende do tipo de aço e da posiçáo da linha neutra, mas 
não depende da resistência do concreto. 
logo 
As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são, em princípio, peças 
superarmadas e portanto devem, no caso de flexão simples, ser evitadas por conduzi- 
rem a rupturas frágeis. Por essa razão, para osaços Classe A , os valores de k, são 
fornecidos até o valor de c,,,. 
Para os aços Classe B , cujas deformações e,, são muito maiores que para os 
correspondentes aços Classe A da mesma categoria, admite-se que ainda seja utilizá- 
vel a faixa de deformações 
k, = 1 
( I - 0 4 ) u d 
conforme é mostrado na Fig. 2.2.6-2 
Depende do tipo de aço e da posição da linha neutra, mas 
náo depende da resistência do concreto. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS 
L 
Fig. 2.2.6-2 Diagramas tensão-deformação dos aços. 
Em função de c, foram tabelados os valores de k,. Para os aços ClasseA, o último 
valor apresentado corresponde a 5,,,. Para os aços ClasseE , o último valor apresen- 
tado corresponde ao Ça, do aço da mesma categoria, mas da Classe A . Para os aços 
Classe B, os valores de k., correspondentes a zona utilizável do domínio 4, estão 
abaixo do traço indicado na tabela. 
Para o cálculo da tensão crsd dos aços Classe B, no domínio 4, tem-se 
Ec,, =35°/w 3,5%0 - Esd md-x x d - x logo d 1 - t eed = 0,0075 - 5 
obtendo-se a tensão usd a partir da expressão adotada pela NB-1 
E d 
esd = (Tad + (5 - 0,7)2 
Fig. 2.2.6-3 Armadura simples - E, 45 fvd 
Deformações I B . ARMADURA DUPLA 
I . SEÇÃO COM ARMADURA DUPLA. ARMADURA DE TRAÇAO 
Fig. 2.2.64 Flexão simples - Armadura dupla. 
SEÇOES RETANGZTLARES 
Dado o momento 
tem-se 
Sendo 
1 AM, A,, = - - 
a,, d - d' 
resulta 
Quando se admite 5 C f,,, (domínios 2 e 3), resulta uad = fyd, logo 
I k, = - 
a, 
Depende do tipo de aço, mas não depende da resistência do 
concreto. 
Quando se considera 5 > f r r m (domínio 41, tem-se 
1 k, = - = k,, I,, 
f vd 
podendo ser feito 
Válido para f C [I,,, não dependendo da posição da linha 
neutra. Para cada tipo de aço, este é o único valor apre- 
sentado nas tabelas resumidas. 
2 . SEÇAO COM ARMADURA DUPLA. ARMADURA DE COMPRESSAO 
ud a=- 
fud 
sendo 
Medida da eficiência da armadura de tração. Depende do tipo de aço 
e da posição da linha neutra. 
I AM, A:=, - 
U*d d - d' 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
resulta 
De modo geral, tem-se 
1 k, = - 
r, , 
Ecld = ~ i d = &ad 
x x - d ' d - x 
Depende do tipo de aço, mas não depende da resistência do 
concreto. .~ 
Domínio 3 ( E ~ , ~ = 3,5%0) 
'eid 
d'= ~ ' d z suT &id = 0,0035 - 5 - 8 ' f 
Domínio 2 (ead = 10%0) 
u 
Para f = tem-se 
Fig. 2.2.6-5 Armadura dupla - Defor- 
mações. &id = 0,0035 fllm - " 
t i i m 
resultando 
c',, = função (8') 
logo 
No caso geral, pode-se escrever 
1 ki, li, = (r'sd) f =&im 
I - 
1 - 1 f"d = f;d k i = - - - 
UM fld crid p 
Válido para 5 = c,,,. Para cada tipo de aço são estes os 
valores apresentados nas tabelas resumidas em função de 6'. 
2.2.7 EXEMPLOS DE a. Exemplo I . Armadura simples 
DIMENSIONAMENTO 
Recalcular o exemplo do 8 2.2.4-a, empregando as tabelas tipo k. 
o:, 
= f:, 
Medida da eficiência da armadura de compressao. Depende do tipo 
de aço, da posição da linha neutra e da profundidade relativa da 
armadura de compressão. 
SEÇÕES RETANGULARES 
Dados conhecidos: 
Md = yfMr = 1,4 X 90 = 126 kN.m = 12 600 kN.cm 
h = 50 cm Aço CA-50A 
b = 25 cm fCk = 18 MPa 
d ' = 4 c m 
d = 46 cm 
Calcula-se 
De acordo com a Tabela6 do Anexo, para o Aço CA-SOA, k, = 4,2 > k,, ,,,, logo 
o diagrama de deformações está no domínio 3, donde a peça poderá ter armadura 
simples, sendo 
A, = k,% = 0,026 . - 12'* - - 7 ,12cm2(40 16) 
d 46 
b. Exemplo 2 
Recalcular o exemplo do § 2.2.4-b, empregando as tabelas tipo k. 
Dados conhecidos: 
Md = 12 600 kN.cm 
d = 46 cm Aço 50-CA 
b = 12cm f,, = 18 MPa 
Calculando 
bd2 - 12 x 462 k , = - - 
= 2,0 < k,, li, M, 12600 
(Tabela 6) 
conclui-se que, com armadura simples, a peça seria superarmada, pois o diagrama de 
deformações estaria no domínio 4. 
Desse modo, sendo 
tem-se 
I N -0 .1kgf I MPa = I MN/m2 = I0 kgflcm' 
I kN - IM) kgf = 0,l tf I kNlm = I W k8«m = 0,I tflm 
I kN.m = IW kgf.m 5 0.1 1f.m I kN/rn2 = IW kgf/rnP = O,! tf/rn2 
I kN.crn= 1Wkgf.cm = 0.1 t f c m I kN/m'= IWkgf/mim'=O,I n/mz 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
resultando, com d - d' = 42 cm, 
10 580 2 020 A. = 0,031- + 0,023- = 7,13 + 1,11 = 8,24cmZ (3020) 46 42 
c. Exemplo 3 
Recalcular o exemplo anterior, item b, empregando o Aço CA-SOB. 
De acordo com os dados do problema, têm-se 
Md = 12 600 kN.cm fcx = 18 MPa 
d = 46 cm Aço CA-50B 
b = 12cm 
Sendo 
(Tabela 7) 
k , = - - bd2 - l2 46z = 2 8 < kc. ,o,, "til,,, ,e1 Md 12600 
é necessário empregar armadura dupla. 
Adotando-se 
k, = k , ,,, = 3,O correspondente a 6 = c,,, = 0,4623 
resultam, sendo 
a = 1,00 logo k, = - - - 0,023 
a 
donde 
- - 
1 N = 0 , 1 k g f I MPa = i MN/m2 = IOkBflcm2 
I k N = I W k g f = O , l t f i kNIm = 1W k8fim = 0.1 tflm 
I kN.m = I W kgf.m = 0,l 1f.m I k N / m Z = tWkgf /m'= O,! tf/m' 
I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm 1 kNlma= I W kgflm' = 0.1 tflmx 
SEÇOES RETANGULARES 
Sendo 
isto é 
obtêm-se 
2.2.8 EXEMPLOS DE a. Exemplo 4. Problema de venfícaçáo* 
VERIFICAÇAO 
Determinar o máximo momento Md que pode ser aplicado à seçáo dimensionada 
no Exemplo 2 (caso b dos exemplos de dimensionamento). 
Dados: 
d = 46 cm Aço CA-50A 
b = 12 cm f,, = 18 MPa (Tabela 6) 
Tentativa. Admite-se o escoamento das duas armaduras. 
Sendo 
a hipótese de que as duas armaduras estejam em escoamento corresponde a 
k; = k,, 
logo 
AP2 = A i = 1,60 cmZ 
-0 cáicula de veririca$áo é feito aqui por tentativas, evitandrrre o emprego de diagamas de inteniqão 
I N =O,lkgf I MPa = I MN/m3 = 10 kgf/cmz 
I k N = I W k ~ = O , I l f i kNlm = 100 kgf/m = 0.1 tflm 
I kN.m = 100 kd .m = 0.1 1f.m I kNlm' = 100 kgi/m2 = 0.1 tf/mZ 
I kN.cm = I00 kgf.cm = 0.1 tf.cm I k N / m L I00 kgí/ma = 0,I tflm* 
I MPa = 0.1 kNIcm" - I W N/cm9 
donde 
A,, = A, - A,, = 9,45 - 1,60 = 7,85 cm2 
Desse modo, pode ser calculada a porcentagem de armadura 
resultando 
2.a Tentativa. Como no entorno de 100 p, = 1,26 o valor procurado de k, é pouco 
sensível a variações e a = 1,00, adota-se k, = 2,4 resultando 
tem-se para Md o valor máximo admissível de 
resultando o valor 
b. Exemplo S . 
Determinar o momento máximo M, que pode ser aplicado a seção do Exemplo3 
(caso c dos exemplos de dimensionamento), usando-se Aço CA-SOB. 
Dados: 
d = 46 cm Aço CA-SOB 
b = 12 cm f,, = 18 MPa 
A, = 3 4 20 = 9.45 cm2 
A: = 2 c$ 12,5 = 2,50 cm2 
(Tabela 7). 
1.O Tentativa. Analisando a tabela referente ao Aço CA-SOB, verifica-se que nas 
proximidades de .&, têm-se 
a - 1,O logo kS2 - 0,023 
e, para S ' = df /d = 4/46 = 0,09 - 0,10, 
p - 0,W logo k; - - - - 0,026 
0 3 
Desse modo, sendo 
da condição 
As* AMd = - (d - d') = -c (d - d') 
ks2 ks 
obtém-se 
logo 
A 82 = k,, A; = !!8?2,50 = 2,21 cmZ 
k', 0,026 
resultando 
- 
As, = As - A,, = 9,45 - 2,21 = 7,24 cm2 
O valor 100 p, = 1,31% corresponde a 
0,56 < f< 0,60 
para o qual a 0.90, concluindo-se que há a necessidade de uma segunda tentativa, 
pois nesta primeira tentativa foi adotado o valor a I 1 ,O. 
2 .O Tentativa. Admitindo-se a - ,B = 0,9, tem-se 
A,, = A6 = 2,50 cm2 
donde 
A,, = A, - AQ = 9,45 - 2,50 = 6,90 cm2 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOÍ?S NORMAIS 
correspondente a 
k, = 2,6 
a = 0,90 
Nessas condições, têm-se 
logo 
Observação Seria espontâneo que a condição A,, = A, tivesse sido adotada logo na 
I .a Tentativa. Essa hipótese foi intencionalmente evitada apenas-para se 
mostrar que o problema é sempre resolvido no máximo com duas tenta- 
tivas. 
2.2.9 SECAOSUBMETIDA A Dadaa seçãoda Fig. 2.2.9-1, calcular os momentos limites que podem ser aplicados, 
MOMENTOS DE SENTIDOS considerando-se sucessivamente cada uma das armaduras como sendo a de tração. 
CONTRÁRIOS. EXEMPLO 
Fíg. 2.2.9-1 Exemplo. 
Caso A . Armadura A , tracionada 
Sendo 
A: = 9,45 cmZ 
A, = 18,90 cmZ 
1 N = O , l k g f 1 MPa = I MNlm9= IOkgfIcm' 
1 kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = 0, l tflm 
l k N m = 100 kgtm = 0.1 tf.m I kN/mn = 100 kgflm' = 0.1 tflm' 
I kN.cm = IW kgf.em = 0.1 tf.cm I kN/mS = 100 kBf/mS =0.1 Um' 
procede-se da seguinte forma: 
Tentativa. Admitindo o escoamento de ambas as armaduras, têm-se 
A, = A,, + AgZ = 18,90 cmZ 
resultando 
Calculando o valor de 
pela Tabela 6 (CA-SOA), para f,, = 13,5MPa e 8' = 0,10, obtêm-se 
ficando confirmada a validade da hipótese de que ambas as armaduras estejam em 
escoamento. 
Desse modo, resulta 
bd2 r (d - d') Md = Md. c + AMd = - + As 
k, k,' 
ou seja 
Caso B . Armadura A,, tracionada 
Neste caso, têm-se 
I N =O,Ikgf I MPa = I MN/m2= I0 kgflcm' 
I k N = 100 kgf = 0.1 tf I kNlm = 100 W l m = 0.1 d/m 
I kN.m = I W kgf.m = 0.1 1f.m I kN/rn9= 1WWlm' = 0,I d/m' 
I kN.cm = I W kgfcm = 0.1 tfcm I kNIm3 = I W kgflm" 0.1 ffim" 
i MPa = 0.1 kNlcm2 = I W N/crn2 
Sendo A: > A,, é evidente que deverá ser P < 1 ,O, pois este coeficiente mede a 
relação ~ : ~ / f , ~ . 
Neste exemplo particular, sendo A: = 2A,, necessariamente deverá ser P < 0,5. 
Consultando a Tabela 6, verifica-se que, para 6' = 0,10, o valor de P cai rapida- 
mente, para valores de 5 no entorno de 5 = 0,16. 
Tentativa. Admite-se o valor P = 0,34 correspondente a 
resultando então 
As, = A, - A,, = 9,45 - 3,24 = 6,21 
A solução será verdadeira se for satisfeita a condição 
Com os valores admitidos. têm-se 
estando portanto satisfeita a condição de validade do valor P escolhido. 
Desse modo, de 
bd2 Md = Md, c + AMe = - + A: (d - d') 
k c k: 
obtém-se, com k', = 0,23/0,34, 
logo 
'ri 
M, = 5 841 + 1 1 315 = 1 1 156 kN.cm 
I N =0,1kgf I MPa = 1 MNlm" 10 kgflcm' 
I k N = I W k g f = O , I t f 1 kN/m = 1W kgflm = 0,1 tflm 
1 kN.m = IW kptm = 0.1 t fm I kNlm3= IWl<gflm*=0,l tflm2 
I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlrn' = 1W kgflm" 0,1 tflrn' 
I MPa = 0.1 kN/cmz c 100 Nlcm" 
SEÇÓES RETANGULARES 45 
2.3 FLEXÃO SIMPLES Flexáo simples é a flexão não acompanhada de força normal. 
3 FLEXÃO COMPOSTA Flexáo composta com grande excentricidade é a flexão acompanhada de força nor- 
COM GRANDE mal, havendo na peça um banzo comprimido e outro tracionado. 
EXCENTRICIDADE 
(DOMINIOS 2-3-4-4a) 
2.3.1 CONDIÇÕES DE Redução a um caso básico único. (M e N em valores absolutos.) 
EQUILIBRIO 
d l 1% ll R' F, = R, - R, - R; F, e, = R,(d - c x ) + R:(d - d') 
e 6 
-- 
F u ( tração) 
FLEXO-TRAÇAO 
FLEXAO SIMPLES 
F, = R, - R, - R; = O 
N, e, = M, = R,(d - c x ) + R:(d - d') 
rrTl 
FLEXO-COMPRESSÁO 
=, 
d F . = R, + R; - R, 
M F, e, = R,(d - Cx) + R;(d - d') 
A $ 
R* 
FLEXO-WMPRESSAO 
Fig. 2.3.1-1 Condiçóes de equilibrio 
46 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Comparando-se as equações de equilíbrio daflexo-tração, da flexão simples e da 
flexo-compressão, verifica-se que elas podem tomar-se idênticas desde que na flexo- 
tração seja feita F c: O. 
Desse modo, os três problemas ficam reduzidos a um único, tomando-se o caso 
da flexo-compressão como caso básico. 
As equações de equilíbrio, tanto na flexo-compressão quanto na flexão simples e 
na flexo-tração, podem pois ser escritas sob a forma 
F, e, = R,(d - ['x) + R: (d - d') (2.3.1-2) 
com F, > O de compressão e F, < O de tração, sendo 
Nu = F, (2.3.1-3) 
No caso de flexão simples, tem-se Nu = 0, sendo 
Observe-se que a equação de equilíbrio de momentos será sempre referida ao 
centro de gravidade da "armadura de traçáo" (armadura mais tracionada ou menos 
comprimida). 
2.3.2 PROPRIEDADES Consideram-se a seguir as propriedades básicas das seções retangulares, tendo em 
BÁSICAS DAS SEÇOES vista a forma do diagrama de tensões de compressão e a posição da linha neutra, nos 
RETANGULARES domínios 2, 3 , 4 e 4a. 
Os elementos básicos de notação estão indicados na Fig. 2.3.2-1. 
Ag. 2.3.2-1 Seçóes relangulares - 
Notação usual 
a. Domínio 2 
Conforme já foi visto anteriormente, o domínio 2 pode ser dividido em dois 
subdomínios, indicados respectivamente por 2a e 2b. A diferença essencial entre esses 
subdomínios reside no fato de que, embora em ambos não se possa falar em ruptura do 
concreto, no subdominio 2b já háuma franca pseudoplastificação por microfissuração 
do concreto comprimido, enquanto em 2a esse fenômeno praticamente ainda não se 
iniciou. 
Conforme é mostrado na Fig. 2.3.2-2, no domínio 2a existe um encurtamento 
máximo do concreto eCld < 2%0, chegando-se, portanto, ao estado limite último com 
c,,, i a,, = 0 3 5 fedi OU seja, chega-se ao estado limite último com a hipótese de que o 
concreto ainda não se tenha rompido. Observe-se que no domínio 2a não existe 
possibilidade de emprego eficiente de armaduras de compressão, pois E: - 0. 
No domínio 2b, o encurtamento máximo E,,, do concreto já supera o valor de 2%0, 
que é o limite para o qual se admite o início dapseuGoplastificação do concreto. Desse 
modo, no trecho em que 2%0< eCld s 3,5%0, a tensão no concreto é constante e igual a 
Conforme foi visto em 5 1.3, têm-se I 
SEÇOES RETANGULARES 47 
Fig. 2.3.2-2 Segão retangular - Domínio 2. 
De modo geral, a resultante das tensões de compressão no concreto pode ser 
escrita 
ou então 
R, = 0,85 a bx fcd 
onde o coeficiente de bloco a dá o valor da tensão média de compressão r:,, definida 
- por 
ou seja 
o:, = 0,85 a fcd (2.3.2-4) 
conforme está mostrado na Fig. 2.3.2-3 para o domíni- 2 e na Fig. 2.3.2-4 para os 
domínios 3, 4 e 4a. -2 
A Fig. 2.3.2-3 mostra os valores dos coeficientes a e 5' em função da posição da 
linha neutra dada por 5, sendo 
b. Domínios 3-44a 
Nos domínios 3 , 4 e 4a, embora a profundidade x da linha neutra possa ser uma 
fraçáo variável da altura útil d, as proporções do diagrama de tensões de compressão 
são sempre as mesmas, conforme se vê na Fig. 2.3.2-4. 
CEB - Boletim 82 
I rCm 4 var iável 
Fig. 2.3.2-3 Domínio 2 - Resultante de compressão. 
SECOES RETANGULARES 
PARABOLA 
D O ~ " R A U 
Fig. 2.3.2-5 Posi~ão do centro de gra. 
vidade. 
2.3.3 EQUAÇÕES 
ADIMENSIONAIS DE 
EQUII IBRIO 
1 @c- i DOM~NIOS 3 - 4 - 4 0 
Fig. 2.3.2-4 Domínios 3-4-4a - Resultante de compressão 
De fato, embora x possa ter qualquer valor para o qual 
C a 52, um = 0,2593 
a resultante das tensões de compressão pode ser escrita 
3 2 4 R, = 0,85 fcd . b - x + - . 0,85 fcd . b- x 
7 3 7 
logo 
3 2 4 R, = 0,85 f ( + - . -) bx C d 7 3 7 
Desse modo, para os domínios 3, 4 e 4a, obtém-se o valor constante 
De maneira análoga, conhecendo-se a posição do centro de gravidade de um 
segmento de parábola do 2.O grau, Fig. 2.3.2-5, tem-se 
donde resulta, com R, = 0,8095.0,85 fCdbx, o valor constante 
De acordo com o que foi visto 8 2.3.1, todos os casos de flexão com grande excentnci- 
dade podem ser tratados globalmente, tomando-se as expressóes (2.3.1-1) e (2.3.1-2) 
como equações gerais de equilíbrio, as quais, segundo a Fig. 2.3.1-1, podem ser 
escritas 
F, e, = RJd - c x ) + R:(d - d') (2.3.3-2) 
I 50 ESTRUTWAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
com F. > O na compressão e F, C O na tração, sendo 
N, = F" 
No caso de flexão simples, tem-se N. = 0, sendo 
F, e, = M, (2.3.3-3) 
FLEXO- COMPRESSÃO Para o estabelecimento das equações adimensionais de equilíbrio definem-se os símbolos 
Fig. 2.3.3-1 Flexo-compressão. x (2.3.3-4) 
FLEXÁO SIMPLES t - A', f:d o -- - (2.3.3-7) bd fCd 
Fig. 2.3.3-2 Flexão simples. N, vu = - 
bd fCd 
Msu - Nu e, psu=---- (2.3.3-9) 
bd2 f,d bd2 f,d 
Considerando sempre o momento M, em relação ao centro de gravidade da 
armadura de tração e lembrando que 
R, = 0,85 a bx fCd (2.3.3-10) 
FLEXO-TRAÇ~O F~ O as equações de equilíbrio podem ser escritas sob a forma adimensional 
Fig. 2.3.3-3 Flexo-tração. 
Nd e, - 035 a bx fcd(d - c'x) + A', aid(d - d') 
,Ld=- - 
bd2 f,d bd2 fCd bd2 f,d 
logo 
onde todos os termos são tomados em valor absoluto, exceto o valor de v < O quando 
Nd é de tração. 
SECOES RETANGULARES 51 
2.3.4 EQUAÇÕES Considerando os domínios 2, 3 e 4, nos quais há uma armadura comprimida e outra 
ADIMENSIONAIS DE tracionada, Fig. 2.3.4-1, têm-se as seguintes condições de compatibilidade de defor-COMPATIBILIDADE mações, já escritas na sua forma adimensional: 
- 
Fig. 2.3.4-1 Domínios 2-3-4. 
No dominio 4a, sendo x > d, ambas as armaduras estão comprimidas (Fig. 
2.3.4-2), e as condições de compatibilidade podem ser escritas 
Fig. 2.3.4-2 Domínio 4a. 
Como a deformação na armadura menos comprimida é de sentido oposto ao que 
ocorre nos domínios 2, 3 e 4, fazendo-se 
E $ = - , E * , < O 
para indicar esse fato e lembrando que 
resultam para o domínio 4a as mesmas condições de compatibilidade que nos domínios 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
2, 3 e 4, ou seja, para todos os domínios 2, 3, 4 e 4a têm-se 
com eg < O quando A, for comprimida. 
Verifica-se então que, uma vez fixado o valor de 5, ficará conhecido o domínio 
correspondente e já estarão determinados os valores das outras variáveis que compa- 
recem nas condições de compatibilidade expressas por (2.3.4-3), bem como as tensões 
que agem no concreto e nas armaduras. Esses resultados estão apresentados deforma 
sintética na tabela seguinte. 
Domínio 
2 
(f S 0,2593) 
3 
(0,2593 G f S e,) 
4 
(6<, I S I ,O) 
4á 
h 
( I x 0 2) 
Variáveis 
impostas pelo 
domínio 
E õ = 10%0 
a s d 2 fva 
ECI = 3,5%0 
v c l d = 0.85 fcd 
E<, = 3 3 0 
U C I ~ = 0,85 fcd 
= 334" 
aCls = 0,85 fcd 
Variáveis calculadas a partir 
do valor de ( 
f Ecl = - E8 = 0 , 0 1 0 1 
1 - 5 1 - I 
w, .$' Tabela da Fig. 2.3.2-3 
I - 8' 6' 
E: = - E s = 0 , 0 1 0 L 
1 - f 1 - C 
w = 0,8095 
.$' = 0,416 
E a = -- 1 - I ' - E,, = 0,0035 -- 
I I 
I - % 
E: = -- 
5 - 8' 
E=, = 0,0035 -- 
5 f 
a = 0,8095 
.$' = 0,416 
S - 
1 - 5 1 - 6 E - - eC, = 0,0035 - 
I 5 
E; = - 
f - 8' 
" srl = 0,0035 - 
5 e 
a = 0,8095 
C = 0,416 
ss = - - E", = 0.0035 1 < O 
f f 
f - 8' 6 - S' 
E: = - E", = 0.0035 - 
I f 
Variáveis 
determinadas a partir 
das anteriores 
o c i d 
- 
4 6 
- 
- 
msd 2 f"., 
- 
- 
V 9 d < fVd 
d d 
- 
- 
vOd < 0 (compressão) 
4 
J 
2.3.5 RESOLUÇAO DOS Conforme já foi visto, para a resolução dos problemas de flexão simples e de flexão 
PROBLEMAS DE FLEXÃO composta nos domínios 2, 3, 4 e 4a, dispõe-se das duas equações de equilíbrio 
SIMPLES E DE FLEXAO (2.3.3-11) e (2.3.3-12) 
COMPOSTA 
v, = 0,85 (1 6 + o' <TSd - w (iSd 
fhd f Y d 
nas 10 variáveis 
das quaisa, E>, us, e u:, são funções unívocas de 5, sendo o valor de 6' estabelecido em 
função do arranjo das armaduras. 
Nos problemas de dimensionamento, nos quais são conhecidos os valores dep,, e 
v,, consideram-se as duas equações de equilíbrio em função apenas das cinco variá- 
veis independentes 
Desse modo, para os problemas de dimensionamento, conhecidos os valores de 
psd e v,, arbitra-se o valor de 5 e calculam-se w e w'. 
Observe-se que a solução dos problemas de dimensionamento por meio das duas 
equações de equilíbrio, quando são conhecidas apenas duas das cinco variáveis 
independentes, exige que seja arbitrado o valor de uma terceira variável para que 
restem apenas duas incógnitas. Assim, na flexão composta, conhecidos u, e p,,, 
arbitra-se o valor de 5 e calculam-se o e o'. 
É importante observar que a variável 6 , que fixa a posição da linha neutra, pode 
efetivamente ser arbitrada. De fato, quando se adota o valor de 5, o que se está 
fazendo é fixar o tipo de estado limite último a ser atingido em primeiro lugar e, nesse 
estado limite último, determinar o valor da deformação extrema do material que não 
condicionou o estado limite. 
Assim, por exemplo, quando se faz 5 = 0,27, escolheu-se odominio 3, pois 0,2593 
= f2 , < 5 < C3, I (m, sendo atingido em primeiro lugar o estado limite último de 
ruptura do concreto. Nesse domínio sempre vale ced = 3,5%0, logo a escolha de 5 = 
0,27 corresponde à fixação de um certo valor para E,,, que no caso é de E,, = 9,45%0. 
Nos problemas de verificação, -.S.- o melhor caminho ;ser seguido é o do emprego de 
/,_ ~ .... diagrãmãs de interação, Fig. 2.3.5-p-- 
- . .. . ---- .- 
~ ~ à f e c 3 i ~ a ~ e ~ s e s diagramas são apresentados com diferentes particula- 
r idade~, ' .~ as quais deverão ser devidamente consideradas para a sua correta aplica- 
ção. 
Nos problemas de verificação, nos quais são conhecidos os valores de w e o', não 
se pode arbitrar o valor de 6 , pois existem infinitos pares de valores psd e v, que 
satisfazem as equações de equilíbrio, correspondendo um par para cada valor dife- 
rente de 5. 
Para o emprego dos diagramas de interação procede-se como é indicado na Fig. 
2.3.5-2. 
Conhecidas as solicitações de serviço M, e N, e escolhida a direção da verifica- 
ção da segurança, determina-se o ponto correspondente a situação de cálculo M, e N,, 
a qual deve estar situada na região de segurança delimitada pelo diagrama de interação 
das condições últimas M, e N,. 
*Nos problemasde vetifica~ãode segóesretangulares submetidasàflexão simples, a processode tentativasilustradopeloi 
exemplos dos itens 2.2.8 e 2.2.9 é recomendável. 
~- ~ ~ 
1 , diagrama de interoção 
'>u, +ração simples Ju,compressáo simples 
Fig. 2.3.5.2 Ventícação da segurança 
COMPOSTA COM 
GRANDE 
EXCENTRICIDADE. 
CÁLCULO PRÁTICO 
2.4.1 VARIÁVEIS -A-c.~sideracão. nos problemas de flexão composta, do momento M, referi&= 
ADIMENSIONAIS. centro de gravidade da armadura de tração em lugar do momento M, referido ao 
EMPREGO DE TABELAS centro de gravidade da seção transversal da peça tem avantagem principal de permitir 
UNIVERSAIS a r e s o l u ç á o _ d ~ ~ e ~ g b l q p a s como"-se fossem vrobLemas de fl_ã_mplzs, 
empregando-se as mesmaa&las iá anteriormente analisada^. 
A Fig. 2.4.1-1 ilustra a redução dos problemas de flexão composta a problemas 
tratados como se fossem de ilexão simples. 
A demonstração formal da validade dos raciocínios ilustrados pela Fig. 2.4.1-1 
pode ser feita a partir das equaçóes de equilíbrio (2.3.1-1) e (2.3.1-2) do § 2.3.1 ou a 
partir das equaçóes adimensionais de equilíbrio (2.3.3-1 1) e (2.3.3-12) do § 2.3.3. 
Qualquer que seja o caminho escolhido, quando se admite armadura simples, a 
equação de equilíbrio de momentos, a qual determina a posição da linha neutra, é 
exatamente a mesma, quer se trate de flexáo simples quer de flexão composta. Esse 
fato decorre de se admitir o momento Mgd e não O momento M,. 
Ainda considerando armadura unilateral, a armadura de tração A, é determinada 1 1 
pela equação de equilíbrio de forças, a qual exige que a resultante-R. das tens.Õg-na 
srnvadui'a de tr:iyGo equilibre ir resultante K,. da, irn\Oes de comprrss,;iu .. . - na . - ;on<rt.io, . . . . . . . . . . . 
devendo R, scr .icre*ciJ:~ Jd forl;,i normal N. qiinndo ile i r ~ i l i o , ou siihB«_da.dafùrça 
. . . . 
normal N , quando de compressao. 
Desse modo, da equaçáo de momentos resulta aposição dalinha neutra e, quando 1 
5,s 5iim. pode ser empregada a armadura simples, sendo 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
ARMADURA SIMPLES 
Flex6o simples Nd =O R, = R, 
I I I 
Flexo - compressáo Nd> O R < = R ~ - nd 1 = R s , ~ - Nd 1 
I I 
Flexo- tracáo 
ARMADURA W P L A 
A', = o 
Fig. 2.4.1-1 Flexáo composta com grande excentncidade 
onde, tanto para a tração quanto para a compressãa, é feito N > 0. 
Por outro lado, quando a armadura simples levar a peças superarmadas, o 
problema é novamente resolvido pela adoção de armadura dupla. 
Fazendo-se novamente, como no caso da flexão simples, 
Msd = Msd, e + AMsd (2.4.1-3) 
onde M , , .é a parcela resistida por uma seção com armadura simples e AM,aparcela 
resistida por uma seção metálica, tem-se 
, 
SEÇÓES RETANGULARES 57 
onde o sinal (+) vale para N de tração e o sinal (-) para N de compressão, e 
Nos casos usuais, a decomposição