APOST ANALISE COMB MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA
ANÁLISE COMBINATÓRIA
 
 Prof :Jorge
2017
SUMÁRIO
1.0 INTRODUÇÃO ...............................................................................................................3
UNIDADE I
1.1 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM ...................................................... 4
1.2 FATORIAL .....................................................................................................................7
1.3 ARRANJO .......................................................................................................................8 
1.4 PERMUTAÇÃO SIMPLES ............................................................................................8
1.5 PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS ....................................................9
1.6 PERMUTAÇÃO CIRCULAR .......................................................................................10
1.7 COMBINAÇÃO ............................................................................................................11
UNIDADE II
2.1 BINÔMIO DE NEWTON ............................................................................................15
2.2 TERMO GERAL DE UM BINÔMIO DE NEWTON ..................................................16
2.3 TRIÂNGULO DE PASCAL ..........................................................................................18
2.4 POTENCIAÇÃO DE POLINÔMIOS ...........................................................................19
LISTAS DE EXERCÍCIOS
LISTA 1 .................................................................................................................................5
LISTA 2 .................................................................................................................................6
LISTA 3 .................................................................................................................................8
LISTA 4 ...............................................................................................................................13
LISTA 5 ...............................................................................................................................17
LISTA 6 ...............................................................................................................................19
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................
1.0 INTRODUÇÃO.
 Esta apostila tem o objetivo de servir de apoio aos estudos da disciplina CEL 0777.
Os tópicos foram selecionados em função da ementa da disciplina do curso de licenciatura de matemática da UNESA. Trata-se de apenas um breve resumo onde apenas uma breve introdução teórica é apresentada seguida de solução de alguns exercícios clássicos do assunto. Assim este trabalho servirá como um complemento às anotações de sala de aula e guia para orientação ao estudo que vamos desenvolver.
Inclui ao final, listas de exercícios e outras alternativas com a solução de alguns exercícios selecionados.
OBJETIVOS: 
O profissional com formação específica em Matemática, que irá trabalhar na área de educação, não apenas nos níveis fundamental e médio, mas também no nível superior, necessita de embasamento teórico sólido, especialmente nos conteúdos que irá desenvolver com seus educandos.
	Considerando que em diversas situações do cotidiano percebe-se a necessidade de solucionar-se problemas de contagem e de conteúdo probabilístico, a disciplina Análise Combinatória e Probabilidade tem a sua inclusão no curso de Licenciatura em Matemática justificada por fornecer aos estudantes essa base necessária.
OBJETIVOS GERAIS
Proporcionar aos estudantes do curso de Licenciatura em Matemática uma revisão de conteúdos de Análise Combinatória simples e com repetição, Binômio de Newton e Probabilidade. 
Desenvolver os conteúdos com a profundidade exigida em um curso de nível superior, proporcionando aos alunos uma visão crítica dos mesmos.
Propiciar aos alunos um contato dinâmico com esses conteúdos, através de metodologias e técnicas variadas de exposição.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Compreender a necessidade do conhecimento dos conteúdos estudados na disciplina
Aplicar os conteúdos estudados na disciplina em situações práticas de contagem e jogos de azar
Resolver problemas que envolvam processos de contagem e raciocino combinatório
Conhecer técnicas variadas para a resolução de problemas de contagem e probabilidades
Diferenciar os diversos tipos de agrupamentos, resolvendo problemas específicos de cada tipo
Desenvolver a potência de um binômio e ampliar para potenciação de polinômios
Conhecer e dominar diferentes métodos para solução dos problemas propostos
 
A ANÁLISE COMBINATÓRIA.
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM.
Também conhecido como o Princípio da multiplicação
Demonstração: Fixemos o 1º elemento do par e façamos variar o 2º.
I): Dado o conjunto , podemos formar m.n pares em que .
 Vemos então que o número de pares será:
 
Assim se uma decisão pode ser tomada de x maneiras diferentes e se uma vez tomada a decisão , a decisão puder ser tomada de y maneiras então o número de maneiras de se tomar as decisões e é x.y.
Exemplos:
1)Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia.
Solução:
Uma maneira de se vestir pode ser indicada pelo par (a,b) em que a representa blusa e b saia vestida. Assim, temos (por I ) um total de 5.6 = 30 formas possíveis de usar blusas e saias.
Demonstração.
II): Dado o conjunto , podemos formar m.(m-1) pares .
2)Quantos números com dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, e 8?
Solução :
Cada número pode ser considerado um par de dígitos (a,b) em que: 
Então (usando II) o resultado procurado será 8.7=56
3)Quantas senhas diferentes é possível obter com 6 algarismos?
 E se nenhum algarismo fosse repetido, quantas senhas seriam possíveis?
Solução:
 Para senhas de 6 algarismos, podendo haver repetição:
 10 . 10 . 10 . 10. 10 .10 = 1000000 senhas
 Para senhas sem repetição:
 10 . 9. 8 . 7. 6 .5 = 151200 senhas
4) Quantas placas (distintas) de automóveis, poderão ser emitidas; com o sistema atual de emplacamento?
Solução:
O atual sistema de emplacamento de automóveis no Brasil utiliza três letras e quatro algarismos. No novo alfabeto são consideradas 26 letras e temos dez dígitos entre os números. Logo o número de possibilidades será : 
P= 26x26x26x10x10x10x10=175760000
5) Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos, são possíveis utilizando os algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8.? 
Ao iniciar a resolução de um problema de análise combinatória, é aconselhável que se faça alguns grupos dos quais queremos calcular o total. No caso do nosso atual problema, veja alguns exemplos de números ímpares de 3 algarismos distintos: 347, 815, 135, 451,etc. Note que o número 533 não nos serve, pois houve repetição do algarismo 3; o número 534 também não serve, pois é par. Um outro ponto importante é, por onde começar a resolvero problema. Procure sempre atacar o problema, por onde houver um maior número de restrições. Veja: 
	centena
	dezenas
	unidades
Em nosso caso, temos a restrição de que os números devem ser ímpares. 
Logo, para a casa das unidades, temos 4 possibilidades (1,3,5,7). A seguir, vamos analisar a casa das centenas, na qual; podemos usar qualquer um do 6 algarismos dados pelo problema, porém eliminando-se um deles (aquele que estiver na casa das unidades), já que não pode haver repetição. Portanto, temos para a casa das centenas 5 possibilidades. Finalmente, analisando a casa das dezenas, concluímos que restaram 4 possibilidades, pois: não podemos repetir o algarismo que estiver na casa das unidades e nem o que estiver na casa das centenas. Portanto: O total de possibilidades é:P=5x4x4, o que dá um total de 80 números. 
LISTA 1 
1)Numa sala há 3 homens e 4 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casal homem-mulher?
2) Para fazer uma viagem RIO-SÃO PAULO-RIO posso usar como transporte o Trem, o Ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher o transporte se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida?
3) Uma bandeira é formada por 4 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes terem a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
4) Quantos números naturais de três algarismos distintos ( na base 10 ) existem?
5) Quantos números naturais de 4 algarismos na base 10 que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5?
6) As placas dos automóveis são formadas por 3 letras ( K,Y e W inclusive) seguidas por 4 algarismos. Quantas placas podem ser formadas?
7) Quantos são os números naturais pares que se escrevem ( na base 10) com três algarismos?
8) Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras?
9) Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas por questão?
10) Quantos inteiros há entre 1000 e 9999 cujos algarismos são distintos?
11) De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretário de um conselho que tem 12 membros?
12) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila?
13) Quantos divisores naturais possui o número 360?Quantos são pares?
14) Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos?
15) Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos?
AULA 2 / 3 LISTA 2 
1)Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece 8 pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?
2)Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independentemente da posição do assento.Combinando assento e encosto quantas posições diferentes esse banco pode assumir?
3) Um homem possui 10 ternos 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas ele poderá vestir um terno uma camisa e um sapato?
4)De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são : sim ou não?
5) Em um computador digital um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. Qual é o número de palavras distintas de 32 bits?
6) De quantas maneiras diferentes um professor poderá escolher um ou mais estudantes de um grupo de 6 estudantes?
7)Num concurso para preenchimento de uma cátedra, apresentam-se 3 candidatos. A comissão julgadora é constituída de 5 membros, devendo cada examinador escolher exatamente um candidato. De quantos modos os votos desses examinadores podem ser dados?
8) Seis dados são lançados simultaneamente.Quantas seqüências de resultados são possíveis, se considerarmos cada elemento da seqüência como o número obtido em cada dado?
9)As letras em código Morse são formadas por seqüências de traços ( - ) e pontos ( . ) , sendo permitidas repetições. Por exemplo: ( -; . ; - ; - ; . ; . ) Quantas letras podem ser representadas :
a) usando exatamente 3 símbolos?
b) usando no máximo 8 símbolos?
10) Um homem encontra-se na origem de sistema cartesiano ortogonal de eixos Ox e Oy. Ele pode dar um passo de cada vez, para o norte(N) ou para o leste (E).Quantas trajetórias ele pode percorrer se der exatamente 4 passos?
11) Caminhando sempre para direita ou para cima, sobre a rede da figura, de quantas maneiras se pode ir do ponto A até o segmento BC?
12)Quantos divisores positivos tem o número ?
13) A e B são conjuntos tais que n(A) = n e n(B)= r . Quantas funções existem.
Quantas são injetoras?
14) Uma moto tem combustível para dar somente 3 voltas num circuito. Pedro, Manoel e Antonio disputam, por meio do lançamento de uma moeda, a oportunidade de dar cada volta, do seguinte modo: I- o lançamento da moeda é efetuado antes de cada volta. II- Se Coroa, a vez é de Manoel: III- Se cara a vez é de Pedro. IV- Se a mesma face ocorrer consecutivamente a vez é de Antonio. Se a primeira volta for dada por Pedro, quantas voltas poderá dar Antonio?
AULA 4
TIPOS DE AGRUPAMENTOS. ARRANJO; PERMUTAÇÃO E COMBINAÇÃO
Antes de entrarmos nos estudos de Arranjo Permutação e Combinação, vejamos os conceitos de Fatorial.
1.2 FATORIAL
Seja n um número inteiro não negativo tal que . Definimos como fatorial de n ( indica-se desta forma n! ) por meio da seguinte relação.:
n! = n ( n -1 ) ( n – 2).....3.2.1. Além disso 1! = 1 ; 0! = 1 
Exemplo: 1) 3! = 3.2.1 = 6
 6! = 6.5.4.3.2.1= 720
 10! = 10.9.8...2.1=3628800
Alguns cálculos podem ser reduzidos por :
Exemplo: 2) 7! = 7. 6!=7.720=5040
 3) Calcule : 
Agora na medida em que resolvermos as questões de combinatória estaremos exercitando também questões de fatorial.
1.3 ARRANJO
Todas as questões resolvidas até agora usando o princípio fundamental da contagem serão agora classificadas de acordo com a organização dos agrupamentos que desejamos considerar.
Com n objetos distintos tomados p a p formamos grupos de p objetos distintos, escolhidos dentre esses n, levando em conta a ordem (apenas) em que os elementos aparecem no grupo, ou seja o grupo AB será diferente de grupo BA.
Notação : , onde significa a quantidade de agrupamentos arrumados p a p.
Vejamos através de um exemplo a comprovação da fórmula.
Sejam as letras {a,b,c,d} . Vamos com esses elementos determinar quantos agrupamentos de pares de elementos distintos podemos formar.
Solução.
Pelo PFC sabemos que a resposta será 4.3=12 que é confirmado pela fórmula.
 
Agora no exemplo acima se quiséssemos formar não grupos de 2 mas de 4 elementos 
( observe que neste caso todos os elementos farão parte de cada grupo). Neste caso estaremos tratando do que chamamos de :
1.4 PERMUTAÇÃO SIMPLES:
Assim teríamos 4.3.2.1=4!
Logo temos como fórmula da Permutação 
Veja que corresponde a:
EXERCÍCIOS DA LISTA 3
 1) Usando o Diagrama de Árvore , obtenha todos os Arranjos dos elementos {a,b,c,d} tomados dois a dois.
2) Calcule 
3) Há 5 livros diferentes. De quantos modos é possível dispor 3 deles numa prateleira?
4)Com os algarismos {1,2,3,4,5} quantos números de três dígitos distintos podemos formar de modo que:
a) os números formados sejam pares.
b) os números formados sejam ímpares.
5) Uma bandeira é formada de 7 listras, que devem ser pintadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?
6) Um cofre possui um disco de segredo marcado com os dígitos de 0 a 9. O segredo do cofre é formado por 3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas ( no máximo ) deverá fazer para consegui-lo abrir. (Suponhaque a pessoa sabe que segredo é formado por dígitos distintos).
7) Qual o número de funções injetoras em A={1,2,3} com valores em B={0,1,2,3,4}?
8) Com os dígitos {1,2,3,4,5,6} quantos arranjos desses dígitos tomados 4 a 4 têm o dígito 1 antes do 4?
9) Com os números {1,2,3,4,5,6} são formados números de 4 algarismos distintos. Dentre eles quantos são divisíveis por 5?
10)Formados e dispostos em ordem crescente os números que se obtém permutando os algarismos 2,3,4,8 e 9 que lugar ocupará o número 43892?
11) Quantos anagramas pode-se obter com a palavra FILTRO? Quantos começam por consoante?
12) Calcule o número de anagramas da palavra república., nas quais as vogais permanecem nas respectivas posições?
13) Quantos são os anagramas da palavra ANAGRAMA, que mantêm juntas as letras NGM nesta ordem? E que tenham as letras NGRM juntas?
1.5 PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS
Será o caso quando, por exemplo, tivermos que calcular o número de anagramas da palavra ARARA. Observe que a letra r repete 2 vezes e a letra a repete-se 3 vezes.
Usaremos anagramas.
13) Quantos são os anagramas da palavra ANAGRAMA, que mantêm juntas as letras NGM nesta ordem? E que tenham as letras NGRM juntas?
a) Se NGM se mantém juntos vamos considerar este bloco como apenas uma letra e restam 5 letras AARAA. Assim teremos . Além disso cada anagrama pode ter NGM permutando . Logo o total de anagramas será 6. 30 = 180
14)João mora na sua casa A, a algumas quadras de sua Escola B. De quantas maneiras distintas ele pode ir de sua casa até sua Escola, andando sempre para o Norte ou para Leste?
15)Considere um teste de múltipla escolha, com 5 alternativa distintas, sendo uma única correta. De quantos modos distintos podemos ordenar as alternativas, de modo que a única correta não seja nem a primeira nem a última alternativa?
16) De quantas formas 8 sinais + e 4 sinais – podem se colocados em uma seqüência?
17) Se uma pessoa gasta exatamente um minuto para escrever cada anagrama da palavra ESTATISCA, quanto tempo gastará para escrever todos, se não deve parar nenhum instante para descansar?
18) De quantas formas 6 pessoas podem se sentar numa fileira de 6 cadeiras dispostas se duas delas (Geraldo e Francisco ) se recusam a sentarem-se um ao lado do outro?
19) Mostre que :
1.6 PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Será o caso das questões:
21) De quantas formas 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular?
Quando os elementos são dispostos ao redor de um círculo, a cada disposição possível chamamos de permutação circular. Além disso, duas permutações circulares são consideradas idênticas se, e somente se, quando percorremos a circunferência no sentido anti horário a partir de um mesmo elemento das duas permutações, encontramos elemento que formam seqüências iguais. Por exemplo:
1) 2) 
Tomando A a seqüência encontrada Tomando A a seqüência encontrada 
é (A,C,D,B) é (A,C,D,B)
Logo as duas permutações circulares são iguais.
Observe que a cada permutação circular corresponde neste caso, a 4 permutações de A, 	B, C, e D. Por exemplo (A,C,D,B)=(C,D,B,A)=(D,B,A,C)=(B,A,C,D)
A cada conjunto de 4 permutações que definem uma determinada permutação circular chamamos de classe. 
Assim o número de permutações circulares de n elementos será
 Aplicação: Ver exercício 22 página 48.
1.7 COMBINAÇÃO AULA 5
Seja . Se quizermos agrupar esses n elementos em subconjuntos de p elementos estaremos trabalhando o que chamamos de Combinação.
Assim se M={a,b,c,d} então a Combinação deles 2 a 2 ( em grupos de 2) será 
 {a,b};{a,c};{a,d},{b,c};{b,d};{c,d}
Observe que {a,b}={b,a} pois pela definição , combinação é um conjunto, portanto não depende da ordem dos elementos.
Para calcularmos o número de grupamentos ou o número de combinações usaremos a seguinte notação:
Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com 4 elementos {a,b,c,d}
 abc
 abd
 acb
 acd
 adb
 adc
 bac
 bad
 bca
 bcd
 bda
 bdc
 cab
 cad
 cba
 cda
 cdb
 dab
 dac
 Se eliminarmos os grupos repetidos chegaremos dba
 dbc
 (abc);(abd);(acd) e (bcd) dca
 Para calcularmos o número de comissões, basta calcularmos dcb
 o número de Arranjos e dividir o resultado por 6 ( 24 /6 = 4) 
 que é o fatorial do número de elementos que compõem cada comissão(3).
Verificamos pelo exemplo acima que :
 
RECONHECIMENTO DO TIPO DE AGRUPAMENTO ENVOLVIDO EM UM PROBLEMA
Para reconhecer se um problema envolve Arranjo ou Combinação procedemos da seguinte forma:
Pegamos um agrupamento qualquer que satisfaça o problema.
Invertemos a ordem de dois elementos desse agrupamento.
Se com a inversão desses elementos encontramos um novo agrupamento, o problema envolvido será de ARRANJO, e, se o agrupamento envolvido for o mesmo, o problema envolvido é de COMBINAÇÃO.
Exercícios resolvidos:
1) Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas diferentes?
Solução:
Tomemos por o exemplo a salada constituída de { mamão banana,laranja e maçã} veja que se trocamos dois elementos quaisquer a salada permanece a mesma. Assim temos um problema de combinação. Além disso se considerarmos nossos conhecimentos sobre conjuntos vemos que temos também um mesmo subconjunto.
Então saladas.
2) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta e 8 pontos sobre uma reta paralela a . Quantos triângulos existem com vértices em 3 desses 13 pontos?
 1ª Solução:
Para formar um triângulo ou tomamos um vértice em e dois em ou tomamos um vértice em dois em . O número de triângulos do primeiro tipo será e os do segundo tipo é . Assim teremos: 
2ª Solução
Para formar um triângulo devemos escolher 3 pontos, não situados na mesma reta, entre os 13 pontos dados. O nº de modo de escolher 3 dos 13 pontos será . Desse total devemos tirar as escolhas de 3 pontos de um reta e as escolhas possíveis de 3 pontos da outra reta. Assim teremos : 
3) De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres?
1ª Solução
As alternativas são : 4 homens e 2 mulheres 
 3 homens e 3 mulheres 
 2 homens 4 mulheres 
Então a solução será + +=35.6 + 35.4 + 21.1=371
2ª Solução 
Poderíamos contar todas as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres e com apenas uma mulher 
4) De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2 grupos de 4 pessoas cada um?
Solução
O primeiro grupo pode ser escolhido de modos. Escolhido o 1º grupo , sobram 4 pessoas e só há um modo de formar o 2º grupo. A resposta parece ser x1. Entretanto contamos cada divisão duas vezes. Por exemplo {a,b,c,d} {e,f,g,h} é idêntica a {e,f,g,h} {a,b,c,d} e foi contada como se fossem diferentes. Assim a resposta será: 
5)Qual o número de resultados possíveis da Megasena?
Solução:
O resultado final de um sorteio independe da ordem dos números, ou seja, sortear na seqüência os números, 10,45,56,34,1 e 26 é o mesmo que sortear 1,34,26,45,10 e 56. Logo: 
LISTA 4
1) Calcule : 
2)Obtenha todas as combinações dos elementos de M={7,8,9,0}.
3)O conjuntoA tem 45 subconjunto de 2 elementos. Qual é o número de elementos de A?
4) Se , determine n.
5)Determine x na equação 
6) Resolva o sistema 
7) Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele pode escolher as 10 questões?
8) Em uma reunião social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas havia na festa?
9) Um grupo tem 10 pessoas. Quantos grupos de 4 pessoas podem ser formados, com as disponíveis?
10) Um grupo tem 10 pessoas. Quantos grupos de no mínimo 4 pessoas podem ser formados, com as disponíveis?
11) Um salão tem 10 portas. De quantas maneiras diferentes este salão poderá ser aberto?
12) O Sr. José, dirigindo-se ao trabalho, vai encontrando seus amigos e levando-os no seu carro. Ao todo, 5 amigos, dos quais apenas 3 são conhecidos entre si. Feitas as apresentações, os que não se conheciam, apertam-se as mãos dois a dois. Qual é o total de apertos de mão? 
13) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos 10 são marido e mulher e só irão juntos?
14) Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas :
a) podemos formar uma comissão de 3 pessoas?
b) podemos formar uma comissão de 3 pessoas de modo que haja 2 homens e uma mulher, na mesma?
15)Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas. De quantas formas podemos extrair 2 bolas, sem levar em conta a ordem de reposição e sem levar em conta a ordem na extração, de modo que :
a) as duas sejam vermelhas?
b) as duas sejam brancas?
c) uma seja vermelha e a outra branca?
16) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. De quantos modos distintos essas pessoas poderão ocupar as cadeiras?
17) Quantos triângulos são determinados por n pontos distintos não alinhados?
18) Há 12 pontos em um plano. Sendo 3 desses pontos nunca pertencem a um mesma reta. Qual é o número de triângulos que podemos formar, utilizando os 12 pontos e tendo o primeiro ponto como um dos vértices?
19) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos.
a) Ligando-se 2 desses pontos, quantas cordas podem ser traçadas?
b) Ligando-se 3 desses pontos, quantos triângulos podem ser formados?
c) Ligando-se 6 desses pontos, quantos hexágonos podem ser formados?
20) Com os dígitos 1,2,3,4,5,6, e 7 de quantas formas podemos permutá-los de modo que os números ímpares fiquem sempre em ordem crescente?
21) São dadas duas retas paralelas. Marcam-se 10 pontos distintos sobre uma e 8 pontos distintos sobre a outra. Quantos triângulos podemos formar ligando 3 quaisquer desses 18 pontos?
22) Numa reta há 6 pontos e em outra reta paralela a esta, 5 pontos. Quantos triângulos podem ser formados com esses pontos? E quantos quadriláteros?
23) Quantas diagonais possui um polígono convexo com 8 lados?
Uma das grandes aplicações da análise combinatória na criptologia, e talvez a primeira que nos ocorre, é o número de alfabetos cifrantes possíveis. Se considerarmos o alfabeto ocidental da atualidade, com 26 letras, quantos alfabetos cifrantes podem ser obtidos?
Sabemos que um alfabeto cifrante não pode ter letras repetidas e precisa conter todas letras do alfabeto original. Se apenas as posições das letras são alteradas, sabemos que se trata de uma permutação simples. Então vamos ao cálculo das possibilidades:
P26 = 26!
P26 = 26 · 25 · 24 · ... · 3 · 2 · 1
P26 = 403.291.461.126.605.635.584.000.000
Ou seja, o número de alfabetos cifrantes possíveis é maior que espantosos 400 septilhões! Se alguém quiser encontrar um determinado alfabeto cifrante através da "força bruta", ou seja, tentando cada uma das possibilidades, e gastar apenas 1 minuto para cada possibilidade, precisaria de pelo menos... a eternidade para encontrar o alfabeto cifrante correto.
403.291.461.126.605.635.584.000.000 min = 6.721.524.352.110.093.926.400.000 horas
6.721.524.352.110.093.926.400.000 horas = 280.063.514.671.253.913.600.000 dias
280.063.514.671.253.913.600.000 dias = 9.335.450.489.041.797.120.000 meses
9.335.450.489.041.797.120.000 meses = 777.954.207.420.149.760.000 anos
Se considerarmos que a solução seja encontrada a "meio do caminho", ainda restam cerca de 390 quatrilhões (388.977.103.710.074.880) de milênios! É claro que a força bruta, neste caso, é uma sandice.
BINOMIAL (AULA 6/7)
2.1 BINÔMIO DE NEWTON.
Toda potência da forma , é conhecida como binômio de Newton e seu desenvolvimento é simples quando a potência é baixa 0, 1, 2 e 3. Quando n começa crescer fica trabalhoso determinar todas as suas parcelas.
As parcelas podem ser obtidas pelo diagrama de árvore, o que também dá bastante trabalho.
Vamos observar como é possível , por meio de um exemplo particular, e em seguida vamos generalizar o resultado obtido:
Seja desenvolver . Vamos escolher um elemento de cada parênteses . 
Os tipos de produtos que podemos obter são : .
1)Assim temos para : só existe uma maneira de se obter ;é escolhendo somente o termo x de cada fator. Logo o coeficiente de no desenvolvimento do binômio será 
2)Para : a quantidade de produtos do tipo é o mesmo que o número de seqüências de três letras em que duas são iguais a x e uma é “a “. Isto é 
3)Para : a quantidade de produtos do tipo é o mesmo que o número de seqüências de três letras em que duas são iguais a “a “ e uma é “ x “. Isto é 
4)Para : só existe uma maneira de se obter;é escolhendo somente o termo a de cada fator. Logo o coeficiente de no desenvolvimento do binômio será 
Em resumo:
Exemplo:
1) Desenvolver: 
2.2 TERMO GERAL DE UM BINÔMIO DE NEWTON
Vimos que 
O termo é chamado de TERMO GERAL.
Se fizermos p variar de 0 a n obtemos todos os termos do desenvolvimento.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE.
A soma dos expoentes de x com os expoentes de “a “ é sempre n.
O expoente de x é sempre a diferença entre o numerador e o denominador do coeficiente binomial.
Exemplos:
1) Qual o coeficiente de no desenvolvimento de ?
O termo geral será . Então para 
Assim . O coeficiente será 15.
2) Qual o termo independente do desenvolvimento de ?
O termo geral será 
Para que este termo independa de , devemos ter 8 – 2 p = 0, isto é p = 4 .
Assim o termo procurado será : 
3) Desenvolvendo em potências de expoentes decrescente de x , qual será o 6º
termo ?
O 1º termo conterá; o 2º termo conterá ; .... o 6º termo conterá .Assim o termo procurado será: 
Aplicações:
1) Calcule aproximadamente 
Vamos mostrar que 
Veja que
Se nx é pequeno quanto mais será . Assim podemos por uma aceitável aproximação assumir que 
Então 
2)Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento 
. Essa igualdade vale para todo x real. Se fizermos x = 1 e y = 1 veja que no 2º membro da igualdade só teremos apenas os coeficiente de cada termo. Então 
LISTA 5 DE EXERCÍCIOS
1) Desenvolva os binômios:
 
2) Quantos termos têm o desenvolvimento?
 
3)No desenvolvimento de qual o centésimo termo se o desenvolvimento for feito em potências decrescente de x?
4) Determinar o valor da expressão: 
5) Calcule o valor de 
6)Qual é o valor de ?
7)Desenvolvendo , qual o termo que contém ?
8) No desenvolvimento de , qual o coeficiente de ?
9) Determine o coeficiente numérico do termo de 4º graúdo desenvolvimento do binômio de Newton .
10) Qual o coeficiente numérico do termo de 1º em x, no desenvolvimento de ?
11) No desenvolvimento de , qual o coeficiente do termo que contém ?
12) Um dos termos do desenvolvimento de é . Sabendo que a não depende de x, determine o valor de a?
13) Determine o valor de a , de modo que um dos termos do desenvolvimento de 
 seja .
14) Quantos termos racionais tem o desenvolvimento de 
15) Qual é a soma dos coeficientes dostermos do desenvolvimento de ?
16) Qual é a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de ?
17) Sendo 1024 a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de , calcule m?
2.3 TRIÂNGULO DE PASCAL E POTENCIAÇÃO DE POLINÔMIOS (AULA 9)
Os coeficientes dos desenvolvimentos abaixo podem ser colocados na seguinte forma triangular
 
Esta maneira de dispor tais coeficientes é conhecida como Triângulo de Pascal.
1ª Propriedade: Numa mesma linha dois coeficientes binomiais eqüidistantes do extremo têm o mesmo valor.
2ª Propriedade: A soma dos coeficientes de uma mesma linha k ( mesmo numerador) é dada por. 
3ª Propriedade: Relação de Stifel : A soma dos coeficientes consecutivos de uma mesma linha produz o coeficiente imediatamente abaixo do 2º coeficiente. EX: 
4ª Propriedade:
2.4 POTENCIAÇÃO DE POLINÔMIOS
Como determinar os coeficientes de ?
Exemplo: . Pela propriedade distributiva da multiplicação devemos tomar um termo de cada fator (x,y,z) e em seguida multiplicá-los. Os tipos de produtos obtidos são da forma em que i+j+k = 5. Para cada i,j e k fixados o coeficiente do termo será o número de seqüências de cinco letras ; i letras x, j letras y e k letras z. Assim teremos e o coeficiente de será. Por exemplo : o coeficiente de será 
LISTA 6 DE EXERCÍCIOS
1)Assinale Verdadeiro ou Falso: 
2) Demonstre a 2ª propriedade dos Números Binomiais.
3)Calcule: 
5) Sendo , calcule p.
6) Qual o coeficiente de xyz no desenvolvimento de ?
7) Qual o coeficiente de no desenvolvimento de ?
6