Aula 02 calculo 2

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CÁLCULO II
Aula 2 - INTEGRAL DEFINIDA
Tema da Apresentação
INTEGRAL DEFINIDA – AULA2
CÁLCULO II
Conteúdo Programático desta aula
definição de integral definida,
interpretação gráfica, 
Propriedades, 
Teorema Fundamental do Cálculo, 
relação entre integral definida e a integral indefinida, 
área entre gráficos..
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CALCULO II
 Área sob o Gráfico de uma Função
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 Área sob o Gráfico de uma Função
Área “sob”:é a região entre o gráfico de uma função f e o eixo x
 A1  área da porção acima do eixo x
A2  área da porção abaixo do eixo x
 A1 + A2 = área total dessa região
 
Área com sinal sob o gráfico de f entre x=a e x=b  A1 - A2
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Integral Definida
Definição
Seja f uma função definida ao menos no intervalo fechado [a,b]. Então a área com sinal sob o gráfico de f entre x=a e x=b é denotada por
Assim, 
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Integral Definida
integral definida de a até b de f(x)dx:
O intervalo [a,b] é chamado intervalo de integração.
Os números a e b são chamados respectivamente de limite inferior e superior de integração.
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Propriedade da integral definida
Se f é integrável nos intervalos fechados ,
então 
 
onde a<c<b.
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Área como Limite de uma Soma
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Tomemos a soma das áreas destes retângulos 
ou ou
A área abaixo da curva pode ser aproximada pelo somatório das áreas dos retângulos.
Quanto maior o número de subintervalos n, mais próximas são as áreas da região sob a curva e dos retângulos. 
área da região procurada 
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Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
Suponha que f seja uma função contínua sobre o intervalo fechado [a,b] e que 
então
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Teorema Fundamental do Cálculo
O TFC relaciona a integral indefinida 
com a integral definida 
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Notação:
Se g é uma função qualquer e se os números a,bDom(g) então a notação 
lida “g(x) calculada entre x=a e x=b” é definida por 
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Exercícios
1.Sendo f uma função definida por f(x)=1-x, use a geometria elementar para determinar:
 A área A1 acima do eixo X é a área de um triângulo de base 2 e altura 2. Daí: A1 = ½ .2.2=2ua (unidades de área).
 De modo análogo, a área A2 abaixo do eixo X é a área de um triângulo de base 1 e altura 1. Daí: A2=1/2.1.1=1/2ua
 Assim:
 
 
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Y
X
(-1,2)
(2,-1)
Observe que poderíamos fazer também usando o conceito de integral.
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2.Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a área da região sob o gráfico de f(x) entre os pontos dados
Temos:
 
 
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2,25
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3) Calcular 
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Derivadas das funções trigonométricas inversas
c) 
b) 
a) 
e) 
d) 
f) 
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Na aula de hoje estudamos:
 A definição de Integral Definida
 A interpretação gráfica
 As propriedades
 O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
 A relação entre a Integral Definida e a Integral Indefinida
 Área entre gráficos
 Exercícios
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