Avaliação de Empresas Unid II

Prévia do material em texto

21
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
Unidade II
3 AVALIAÇÃO DE EMPRESAS – METODOLOGIAS COMPLEXAS
Nesta unidade de estudo, pautaremos sobre a forma de avaliar uma empresa tendo as metodologias 
classificadas como complexas, segundo o grau de exigência em relação às análises e entendimento sobre 
os dados necessários para o desenvolvimento de tais metodologias, reiterando-se a classificação das 
metodologias em Simples (Unidade I) e Complexas (Unidade II). Trata-se apenas de um meio didático 
para melhor entendimento do assunto – avaliação de empresas.
3.1 Metodologia dos fluxos de caixa descontados
Pela metodologia dos fluxos de caixa descontados, o valor operacional da empresa é calculado a 
partir da capitalização dos fluxos de caixa (FCs) da atividade principal, descontados por uma taxa de 
retorno (i) que corresponda ao risco do negócio e reflita as incertezas do mercado, para, em seguida, 
somar-se o valor dos ativos não operacionais e obter-se o valor total da empresa (Santos, 2008).
Essa medida de valor da empresa é considerada uma das melhores em termos metodológicos, pois, 
em mercados eficientes (pressuposto econômico de plena informação e condições de negociação entre 
compradores e vendedores), o preço das ações de uma empresa deve representar o valor presente de 
seus fluxos de caixa esperados (Hendriksen; Van Breda, 1999); além disso, a técnica incorpora os fluxos 
de caixa em vez de medidas contábeis (mais subjetivas) e considera a taxa de retorno de acordo com o 
custo do capital do negócio.
Assim, os fluxos de caixa esperados devem ser descontados a uma taxa que reflita o custo de 
financiar estes ativos, ou seja, o Custo Médio Ponderado de Capital (CMPC) que considera o custo da 
dívida (Passivo) e o custo do patrimônio líquido, e seus pesos relativos na estrutura de financiamento 
(Damodaran, 2004):
CMPC = ke x % de Capital Próprio + ki x % de Capital de Terceiros x (1 -t)
Onde,
ke = custo do capital próprio (PL), que representa a taxa de retorno exigida por investidores em ações 
na empresa; e
ki = custo do capital de terceiros (Passivo), que mensura o custo de empréstimo atual, ajustado para 
os benefícios tributários do empréstimo;
22
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
t = alíquota do Imposto de Renda (IR). Pelo fato de a empresa obter um benefício tributário pela 
redução do pagamento de impostos, o custo do capital de terceiros na prática é inferior ao custo das 
dívidas em si. Por exemplo, se considerarmos uma alíquota de IR de 34% (15% de Imposto de Renda 
mais 9% de Contribuição Social sobre o lucro líquido mais um adicional de 10% sobre o lucro excedente 
a R$ 240.000,00 no caso brasileiro, temos uma alíquota aproximada de 34%), então o custo do capital 
de terceiros será multiplicado por (1 – 0,34).
Já os percentuais de capital próprio e capital de terceiros podem ser obtidos por:
% de Capital Próprio = x 100 Patrimônio Líquido 
 Passivo + Patrimônio Líquido
e
% de Capital de Terceiros = x 100 Passivo 
 Passivo + Patrimônio Líquido
Observe que o capital de terceiros (dívidas) possui benefícios tributários, uma vez que os juros são 
dedutíveis para fins de cálculo do imposto de renda de pessoa jurídica (lembre que, no caso brasileiro, 
esta afirmativa é válida apenas para as empresas tributadas pelo lucro real); já o capital próprio não 
apresenta este benefício, pois o pagamento de dividendos aos acionistas não é dedutível tributariamente 
(Ross; Westerfied; Jaffe, 2002).
0 1 2 3 4 5 6 ... n 
período 
FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 FC6 FCn +VR
i?
Fluxos de 
Caixa ($)
Figura 2 – Metodologia dos Fluxos de Caixa Descontados (Santos, 2008)
Dessa forma, o valor da empresa é calculado considerando-se o valor presente dos Fluxos de Caixa 
(FCs), acrescido do valor residual (VR) no último ano-projeto e do valor dos ativos não operacionais (AN-
O_Ano0) no último ano de atividade da empresa (ano 0), atualizados para a data zero à taxa de desconto (i):
Valor da empresa
FC
i
FC
i
FC VRANO ANO Ano n Ano n
=
+
+
+
+ +
+1
1
2
21 1( ) ( )
...
(( )
+





 + −( ) _1 0i Al N O Ano
É importante salientar que o fluxo de caixa considerado a cada período consiste no fluxo líquido de 
caixa, ou seja, as entradas de caixa menos as saídas de caixa, correspondendo ao fluxo de caixa (FC) o 
saldo final obtido naquele período.
23
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
Assim, o valor residual (VR) representa o valor da empresa no final do último ano projetado. Em 
condições de crescimento constante para o período pós-projetado, o valor residual poderá ser calculado 
pelo Modelo de Gordon (Santos, 2008):
VR 
FC g
CMPC - g
Ano u
=
× +( )
( )
1
Sendo,
VRAno u = Valor residual para o último ano do período projetado
FCAno u = Fluxo de caixa do último ano projetado
g = Taxa de crescimento constante para os fluxos de caixa do período pós-projetado
CMPC = Custo Médio Ponderado de Capital ou taxa de desconto
Alternativamente, Copeland, Koller e Murrin (2002, apud SANTOS, 2008) sugerem que o valor residual 
para o último ano projetado seja calculado considerando os Lucros Operacionais Ajustados (LOA):
VR 
LOA g
CMPC
Ano u
=
× +( )1
Sendo,
LOAAno u = Lucro operacional ajustado do último ano projetado
O conceito de LOA pode ser considerado como uma medida de lucro (resultado) da atividade 
operacional. Usualmente, o conceito de EBITDA é bastante útil.
EBITDA = Earnings Before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization.
Em uma tradução literal, temos: Lucro Antes de Juros, Impostos, Depreciação e Amortização (alguns 
autores chamam este lucro de LAJIDA, que corresponde à sigla em português).
O EBITDA considera apenas a atividade operacional, sem sua forma de financiamento (juros), 
nem itens que não afetam o caixa (depreciação e amortização); desta forma, apresenta uma visão da 
atividade operacional da empresa na geração de caixa, independentemente da forma de financiamento 
de sua atividade (juros), dos impostos que incorram sobre ela (uma vez que os impostos são inegáveis) e 
a depreciação e a amortização que não são pagas, sendo muito utilizado pelo mercado como forma de 
medida do resultado operacional.
24
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
Outra forma de cálculo do EBITDA é dada pelo ajuste na DRE, partindo do lucro ou prejuízo 
operacional:
Lucro (Prejuízo) operacional
(-) Equivalência patrimonial
(+) Despesas financeiras
(-) Receitas financeiras
(+) Depreciação e amortização
(=) EBITDA
Outra forma de analisar os fluxos de caixa descontados é considerar a atividade da empresa uma 
perpetuidade. Neste caso, havendo um fluxo de caixa (FC) regular, ou seja, sem crescimento ao longo 
do tempo, podemos considerar o valor da empresa como sendo a perpetuidade deste fluxo, descontado 
pelo custo médio ponderado de capital e acrescido dos ativos não operacionais.
Assim, o valor da empresa é dado por:
Valor da Empresa 
FC
CMPC
AN-O_Ano 0= +
Vejamos um exemplo de cálculo do valor da empresa pela metodologia dos fluxos de caixa 
descontados.
Considere uma empresa que tenhaos seguintes fluxos de caixa (históricos) nos últimos cinco anos:
Tabela 3 – Exemplo de FCs para cálculo do valor da empresa
FCs líquidos ($ milhões) Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5
Histórico 94,00 101,00 198,00 115,00 119,00
Baseando suas expectativas em seu desempenho histórico e em outras premissas, está projetando 
um crescimento dos fluxos de caixa a uma taxa de 4,80% ao ano, para os próximos cinco anos, obtendo 
– pela multiplicação do FC anterior por (1 + taxa de crescimento) – os seguintes fluxos projetados:
Tabela 4 – Exemplo de FCs projetados para cálculo do valor da empresa
FCs líquidos ($ milhões) Ano 6 Ano 7 Ano 8 Ano 9 Ano 10
Projetado 124,71 130,70 136,97 143,55 150,44
Para o período pós-projetado, assumimos uma taxa de crescimento constante 4% ao ano, e 
considerando um custo de capital de 9,5% ao ano, temos o seu valor residual no Ano 10:
25
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
VR 
1
0,0950 - 0,04
 $ milhı esAno 10 =
×
( ) =
50 44 1 04
2 844 62
, ,
. , milhões
Desta forma, o valor da empresa (VE) ao final do Ano 5 será de:
VE 
1,095 1,095 1,095
Ano 5 = ( ) + ( ) + ( ) +
124 71 130 70 136 97 143
1 2 3
, , , ,, , . ,
. ,
55 150 44 2 844 62
2 329 614 51,095 1,095
 $ milhı es( ) +
+
( ) = milhões
3.2 Metodologia do valor presente líquido
O valor presente líquido (VPL) é uma técnica de análise de projetos de investimento (fluxos de caixa) 
que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos e/ou recebimentos, iguais ou 
diferentes ao longo do tempo, a uma taxa conhecida, e deduzir deste o valor do investimento inicial 
(Vieira Sobrinho, 2000).
A fórmula então ficaria assim:
VPL = -FC0 + FC1/(1 + i)
1 + FC2/(1 + i)
2 + … + FCn/(1 + i)
n
Sendo: 
FC = Fluxo de Caixa em diferentes datas, até a data “n”; dessa forma, cada FC é descontado de sua 
respectiva data até a data zero, conforme a fórmula dos juros compostos já vista.
Como sabemos que nos casos de fluxos regulares ocorrem os mesmo valores em todos os períodos, 
com exceção do momento zero (data inicial do projeto), podemos simplificar a fórmula, utilizando o 
conceito de somatório (Σ), ou seja, a soma de todos os diferentes períodos (n):
VPL
FC
i
FCj j
j
n
=
+
−
=
∑
( )11
0
Onde temos que o Valor Presente Líquido (VPL) é igual ao Investimento Inicial (FC0, que é 
negativo por ser uma saída), mais a soma de cada um dos Valores Futuros (VF) em cada momento 
do tempo “j” (variando de 1 até “n”, sendo “n” o último período), dividido por (1 + i) elevado ao 
respectivo período “j”.
Este é o conceito de valor presente líquido, utilizado amplamente na matemática financeira, pois 
considera o valor presente de todos os fluxos de caixa menos o valor do investimento inicial na data zero 
(que por já estar em moeda nesta data não precisa ser ajustado).
26
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
Na aplicação da técnica do VPL, a definição da taxa de desconto “i” é fundamental para a validação 
do projeto. Neste caso, a taxa de desconto deve representar o risco do negócio e as incertezas do 
mercado; para isso, utilizamos o conceito de Taxa Mínima de Atratividade (TMA).
Assim, a TMA, que representa o custo de oportunidade do capital investido, pode corresponder 
(Puccini, 2009):
a. à taxa de aplicação básica no mercado (opção bancária que o investidor possui); ou
b. ao Custo Médio Ponderado de Capital (CMPC) entre capital próprio e capital de terceiros, no caso 
de empresas, sendo assim a rentabilidade média da empresa.
Dessa forma, sendo o VPL descontado pela TMA, caso se obtenha um valor maior do que zero, temos 
a aprovação da viabilidade econômica do projeto, e quanto maior for o VPL apresentado pelo projeto, 
mais interessante em termos financeiros ele fica.
Existe ainda a possibilidade de que o VPL do projeto de investimento seja negativo. Neste caso, deve-
se rejeitar o projeto, uma vez que ele destrói valor, já que o valor presente dos fluxos de caixa que este 
projeto irá gerar é inferior ao investimento requerido nele. Já se o resultado for um VPL igual a zero, isto 
significa que o retorno dos fluxos de caixa descontados a valor presente é igual ao valor investido, ou 
seja, o investimento não apresenta ganhos adicionais acima do custo do capital; assim, devido ao risco 
e às incertezas associados, deve ser rejeitado.
A principal limitação desta metodologia é o fato de considerar os valores dos fluxos de caixa ao 
início do investimento, sendo comum que ocorram alterações dos fluxos de caixa após o projeto ter sido 
aceito e colocado em prática, em função de ajustes ou adaptações às condições de mercado decorrentes 
de fatores sistemáticos (como recessão, desemprego etc.), avanços na tecnologia, ou ações do governo, 
entre outras (Santos, 2008).
Vejamos agora um exemplo da aplicação da metodologia do valor presente líquido.
Considere a empresa Alfa S.A. que deseja comprar a empresa Beta S.A., no ano zero. Ela deseja 
analisar a viabilidade deste investimento pela metodologia do Valor Presente Líquido.
Sabe-se que a empresa Beta S.A. está à venda por $ 515 milhões e possui a expectativa (aceita pela 
Alfa S.A.) de gerar os seguintes fluxos de caixa para os próximos cinco anos.
Tabela 5 – Exemplo de FCs projetados para cálculo do valor da empresa
FC líquidos ($ milhões) Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5
Projetado 24,00 27,00 28,50 29,75 30,40
Após esse período, a expectativa é de um crescimento constante a uma taxa de 5,75% ao ano, sendo 
o custo do capital considerado em 8,90% ao ano.
27
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
Assim, ao calcular o Valor Residual (VR) no Ano 5, temos:
VR
0,0890 - 0,0575
 $ 1 milhı esAno 5 =
×
( ) =
30 40 1 0575
020 57
, ,
. , milhões
Sendo o valor da empresa (VE) na data zero de:
VE
1,0890 1,0890 1,0890
Ano 0 = ( ) + ( ) + ( ) +
20 04 22 77 22 07 211
1 2 3
, , , , 55 19 85 666 35
74 51,0890 1,0890
 $ 74,23 milhı es( ) +
+
( ) =
, ,
 milhões
Assim, o VPL para o Ano 0, é de:
VPL $ 74,23 - $515,00 $259,23 milhı esAno 0 = =7 milhões
Ou seja, o VPL positivo indica o investimento na aquisição da Beta S.A. como sendo viável, uma vez 
que seus fluxos de caixa descontados, excluindo-se o investimento inicial na aquisição da empresa, 
geram um saldo positivo.
Outros pontos devem ser observados, como a questão estratégica da aquisição, que muitas vezes 
pode ser mais relevante do que a simples análise do VPL, ou mesmo ganhos de sinergia e escala, que 
tendem a reduzir custos e melhorar o fluxo de caixa para ambas as empresas.
3.3 Metodologia das opções reais
Esta metodologia surgiu como forma de eliminar as limitações da metodologia do VPL; desta forma, 
a metodologia das opções reais apresenta uma grande flexibilidade ao considerar que as atitudes dos 
investidores e os fluxos de caixa da empresa podem sofrer alterações em função das mudanças nas 
condições do mercado (Santos, 2008).
Assim, uma opção é a utilização de árvores de decisão, que representam graficamente cada uma das 
decisões sequenciais e seus resultados possíveis.
As árvores de decisão são formadas por estruturas de dois tipos (Quinlan, 1996):
• nó de decisão: nesta parte da árvore, realiza-se uma decisão sobre algum dos atributos dos 
exemplos utilizados no modelo, sendo cada resultado associado a duas ou mais subárvores;
• nós folha: indicam as possibilidades previamente rotuladas e a probabilidade associada de sua 
classificação.28
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
A estrutura dos nós é montada em uma cadeia que dá a forma de uma árvore (Figura 3). O modelo 
pode ser bastante diferenciado, de acordo com o número de nós e opções existentes, demonstrando os 
diferentes atributos, classes e até os benefícios associados a cada opção.
Nó de 
Decisão
Atributos
Atributos 1
Atributos 2
Atributos 3
Atributos 4
Opções
Opção 1
(Probabilidade 1)
Opção 2
(Probabilidade 2)
Opção 3
(Probabilidade 3)
Opção 4
(Probabilidade 4)
Benefício Condicional
Benefício Condicional 1
Benefício Condicional 2
Benefício Condicional 3
Benefício Condicional 4
Nó
Folha
Figura 3 – Estrutura de uma árvore de decisão
Dessa forma, o modelo pode ser adaptação às possibilidades de decisão e seus impactos nos benefícios 
dos fluxos de caixa ao longo do tempo (Figura 4).
t =0 t =1 t =2 t =3 t =n
-FC0
-FC1
-FC2
+FC3 +FCn
1
2
3
. . .
. . .
. . .
Figura 4 – Estrutura da árvore de decisão em fluxos de caixa (Santos, 208)
Assim, cada ponto de decisão (círculos) está relacionado a investimentos em sua esquerda, por 
isso fluxos de caixa negativos, e após o último nó de decisão à direita representam os fluxos de caixa 
esperados se o projeto for finalizado completamente.
Vamos analisar um exemplo de viabilidade de investimento com a metodologia de opções reais, 
baseado em Santos (2008).
Suponha que uma empresa esteja avaliando três estágios para a criação de uma nova unidade de 
negócios:
29
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
• Estágio 1: na data t = 0, haveria a necessidade de um gasto de $ 2 milhões para realização de 
um estudo de mercado sobre o potencial de consumo de uma nova linha de produtos. A empresa 
estima que há uma probabilidade de 65% de que o estudo apresentará resultados favoráveis, 
levando à decisão de se iniciar o estágio 2; desta forma, existe uma probabilidade de 35% (para 
completar os 100%) de que o estudo de mercado resultará em uma decisão de que o investimento 
deva ser cancelado após o estágio 1, resultando na perda dos $ 2 milhões do estudo.
• Estágio 2: se o resultado diagnosticar capacidade de mercado, então, em t = 1 (daqui a 1 ano), 
a empresa gastará $ 5 milhões para desenvolver seu novo produto e colocá-lo em condições de 
produção. A administração estima (antes mesmo do estudo no estágio 1) que existem 72% de 
probabilidade de que seus profissionais (engenharia, produção e marketing) aprovem a nova linha, 
e uma probabilidade de 28% de que ela seja rejeitada.
• Estágio 3: se o resultado anterior for favorável, então em t = 2 (daqui a 2 anos) a empresa construirá 
uma fábrica ao custo líquido de $ 16 milhões, sendo que neste estágio há uma probabilidade de 35% 
de chance de o projeto gerar um fluxo de caixa alto ($ 12 milhões/ano), uma probabilidade de gerar 
um fluxo de caixa médio ($ 7 milhões/ano) e uma probabilidade de gerar um fluxo de caixa negativo 
(- $ 2 milhões/ano) durante os próximos 5 anos.
A figura 5 apresenta a árvore de decisão para este investimento.
t =0 t =1 t =2 t =3 t =7
-$2
-$5
-$16
+$12
1
2
3
. . .
. . .
. . .
+$12
65%
72%
35%
20%
45%
28%
35%
Parada
Parada
-$2
+$7
-$2
+$7
Figura 5 – Exemplo de estrutura da árvore de decisão em fluxos de caixa (Santos, 208)
Desse modo, sendo realizado o estágio 1, as probabilidades de que a empresa se movimente para os 
estágios 2 e 3 são:
• Ramo1: 0,65 x 0,72 x 0,35 = 0,1638 = 16,38%;
• Ramo2: 0,65 x 0,72 x 0,45 = 0,2106 = 21,06%;
• Ramo3: 0,65 x 0,72 x 0,20 = 0,0936 = 9,36%;
• Ramo4: 0,65 x 0,28 = 0,1125 = 11,25%;
• Ramo5: 0,35 = 35,00%.
30
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
Considerando os VPLs sem opções reais, a um custo de capital de 11% ao ano.
VPL 
1,11 1,11 1,11 1,11
$ 6Ramo 1 = − − ( ) − ( ) + ( ) + + ( ) =2
5 16 12 12
11 2 3 7… ,,51
VPL 
1,11 1,11 1,11 1,11
$Ramo 2 = − − ( ) − ( ) + ( ) + + ( ) =2
5 16 7 7
1 2 3 7… 11
2
5 16 2 2
1 2 3
,51
VPL 
1,11 1,11 1,11 1,11
Ramo 3 = − − ( ) − ( ) +
−
( ) + +
−
( )… 77
1
2
2
5
2 00
= −
= − − ( ) = −
= −
$ 5,49
VPL 
1,11
$6,50
VPL
Ramo 4
Ramo 5 $ ,
VPL esperado sem opções reais:
Tabela 6 – Exemplo de VPL sem opções reais (Santos, 2008)
Probabilidade conjunta (1) VPL (2) (1) x (2)
0,1638 16,51 2,70
0,2106 1,51 0,32
0,0936 -25,49 -2,39
0,1820 -6,50 -1,18
0,3500 -2,00 -0,70
1,0000 VPL esperado = -1,25
Como neste caso o VPL esperado é negativo, a regra recomendaria a rejeição do investimento.
3.3.1 Mensuração do risco do projeto
Uma maneira de avaliar o projeto de investimento com a utilização do VPL é através de duas medidas 
de variação, o desvio-padrão (σ) e o Coeficiente de Variação (CV).
Estas duas medidas avaliam a oscilação dos retornos esperados em relação às possibilidades do VPL, 
de maneira que uma maior oscilação indica um maior risco associado.
Segundo Santos (2008), o desvio-padrão (σ) é o indicador estatístico mais comum do risco de um 
Ativo, medindo a dispersão em torno do valor esperado:
σ = ( ) ×∑ VPL - VPL Esperado Probabilidade2
31
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
Assim, quanto maior for o desvio-padrão, maior será o risco do investimento.
Já o Coeficiente de Variação (CV) é uma medida de dispersão relativa utilizada na comparação do 
risco dos ativos com diferentes retornos esperados.
CV
VPL Esperado
=
σ
Mais uma vez, quanto maior for o CV, maior a oscilação e, consequentemente, maior será o risco.
Aplicando o desvio-padrão e o coeficiente de variação ao exemplo, temos:
Tabela 7 – Exemplo de VPL sem opções reais (Santos, 2008)
Probabilidade 
conjunta VPL VPL esperado
(VPL - VPL esperado)2 x 
Probabilidade
0,1638 16,51 -1,25 51,67
0,2106 1,51 -1,25 1,60
0,0936 -25,49 -1,25 55,00
0,1820 -6,50 -1,25 5,02
0,3500 -2,00 -1,25 0,20
113,48
Desvio-padrão 10,65
CV -8,52
Assim, temos um projeto com VPL esperado de $ 1,25 milhão negativo, com 62,56% (9,36% + 18,20% 
+ 35,00%) de probabilidade de que ocorra um VPL negativo, ou seja, é um projeto com alto risco.
3.3.2 Utilização da opção real e seu impacto sobre o VPL e o risco
Utilizando o mesmo exemplo anterior, ou seja, assumindo que o fluxo de caixa do primeiro ano para 
o Ramo 3 da árvore de opções (- $ 2 milhões), temos a condição de observar que o produto não foi bem-
aceito pelo mercado, optando pelo abandono do projeto e evitando maiores fluxos negativos (perdas) 
nos anos posteriores; assim, o VPL do Ramo 3 ficaria:
VPL 
1,11 1,11 1,11
 -$ 0,95Ramo 3 = − − ( ) − ( ) +
−
( ) =2
5 16 2
21 2 3
Ou seja, o abandono desse ramo possibilitaria a redução das perdas de $ 25,49 milhões para $ 20,95 
milhões, uma vez que seriam eliminadas as perdas nos anos 4, 5 e 6.
32
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
Analisando novamente o projeto, com esta opção de abandono, temos:
Tabela 8 – Exemplo de VPL com opções reais (Santos, 2008)
Probabilidade conjunta (1) VPL (2) (1) x (2)
0,1638 16,51 2,70
0,2106 1,51 0,32
0,0936 -20,95 -1,96
0,1820 -6,50 -1,18
0,3500 -2,00 -0,70
1,0000 VPL Esperado = -0,82
O projeto de investimento aindanão se tornaria viável economicamente, mas seu resultado melhorou 
muito. Além disso, a questão do risco se alteraria (Tabela 9).
Tabela 9 – Exemplo de VPL com opções reais (Santos, 2008)
Probabilidade 
conjunta VPL VPL esperado
(VPL - VPL esperado)2 x 
Probabilidade
0,1638 16,51 -0,82 49,19
0,2106 1,51 -0,82 1,14
0,0936 -20,95 -0,82 37,93
0,1820 -6,50 -0,82 5,87
0,3500 -2,00 -0,82 0,49
94,62
Desvio-padrão 9,73
CV -11,86
Assim, além de analisar o impacto das opções no VPL, também se deve analisar o seu impacto no 
risco associado ao projeto. Outro ponto de destaque é o custo do capital, pois este custo também 
é afetado pelo risco do projeto de investimento; assim, projetos com menores riscos podem possuir 
menores custos associados.
3.4 Metodologia da TIR e do período payback
Além da aplicação da metodologia do VPL, outras técnicas de análises de projetos de investimentos 
podem ser utilizadas para a obtenção do valor de uma empresa e a decisão de investimento; são elas a 
Taxa Interna de Retorno (TIR) e o Período de Pagamento (payback).
3.4.1 Taxa Interna de Retorno (TIR)
A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos 
(saídas de caixa) com o valor presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa), ou seja, é a 
taxa de juros que iguala os fluxos de caixa futuros com o recebimento inicial no momento “zero” (Vieira 
Sobrinho, 2000). Assim, a TIR é a taxa que faz o VPL do projeto ser igual a zero.
33
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
Semelhantemente ao VPL, a TIR poderia ser expressa da seguinte maneira:
FC0 = FC1/(1 + i)
1 + FC2/(1 + i)
2 + … + FC4/(1 + i)n
Onde FC representa os fluxos de caixa em cada momento do tempo (da data zero até a data “n”), 
sendo que encontramos a taxa “i” como sendo aquela que indica a rentabilidade do investimento em 
proporcionar os fluxos futuros.
Deduzindo a fórmula, obtemos:
FC
FC
i
j
j
j
n
0
1 1
0−
+
=
=
∑
( )
Sendo FC o fluxo de caixa do momento “zero” até o momento “n” e “i” a própria TIR.
Dessa forma, a TIR mede a taxa interna de rentabilidade do projeto de investimento, que, comparada 
ao mínimo de retorno exigido pelo investidor (conceito já visto de TMA), tem-se como viável a opção de 
investir no projeto caso a sua TIR seja maior do que a TMA.
Comparativamente ao método da TIR, o VPL exige a definição prévia da taxa de desconto a ser 
empregada na atualização dos fluxos de caixa, sendo que o VPL não identifica diretamente a taxa de 
rentabilidade da operação e sim o resultado econômico da alternativa (Assaf Neto, 2006).
Um ponto de destaque no uso da TIR são problemas que podem existir com a sua aplicação. Como 
nos recebimentos que ocorrem entre a data inicial do projeto e seu término. Nestes casos, existe um 
problema sobre o que fazer com os recursos recebidos ao longo do projeto (entradas), pois nem sempre 
é possível reinvesti-los no próprio projeto. Desta forma, a TIR pode causar essa falsa impressão ao 
considerar o reinvestimento das entradas a uma taxa igual à própria TIR, o que raramente acontece na 
prática.
Outro problema que pode ocorrer tem cunho matemático. Como a TIR iguala os fluxos de caixa, 
caso ocorrer a inversão do sinal dos fluxos de caixa ao longo do projeto mais de uma vez, como, por 
exemplo, FC1 -$1.000.000; FC2 $50.000; FC3 $50.000; FC4 -$20.000; FC5 $50.000. Neste caso, pode existir 
matematicamente mais de uma TIR para o projeto, o que inviabiliza sua análise. Este tipo de problema 
não é raro de ocorrer na prática quando da existência de novos investimentos demandados ao longo do 
projeto (Ross; Westerfield; Jaffe, 2002).
Quando existem projetos mutuamente excludentes, devido a limitações de recursos para investimento, 
as técnicas devem ser empregadas conjuntamente. Normalmente, em projetos de períodos iguais, as 
técnicas de TIR e VPL apresentam resultados de análises iguais, mas, devido a diferenças em quantidades 
e valores dos fluxos de caixa, as análises podem ser conflitantes. Nesses casos, deve-se optar pela análise 
do VPL, que dá uma resposta direta sobre a rentabilidade total do projeto, enquanto a TIR pode levar 
34
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
a uma análise equivocada ao focar apenas em um percentual, não considerando o total do retorno 
proporcionado (Berk; Demarzo, 2008).
3.4.2 Período de payback
O método do payback consiste em calcular em quanto tempo (meses ou anos geralmente) os fluxos de 
caixa recebidos (entradas de recursos) pagam o investimento inicial (saída de recursos) ocasionado pelo 
projeto. Assim, o método do payback indica em qual período ocorre o retorno do capital, considerando 
como melhores os projetos de investimento que proporcionam a recuperação do capital em menor 
tempo.
Quando o fluxo de entradas (recebimentos) é regular, ou seja, repete-se periodicamente com os 
mesmos valores, o payback pode ser calculado pela seguinte fórmula:
Payback = Investimento Inicial 
Fluxo de caixa
Sendo neste caso o fluxo de caixa regular, no caso de fluxos de caixa irregulares, ou seja, cujo valor 
de entrada varia ao longo do tempo, basta somar os valores de entrada até que o valor do investimento 
inicial seja superado. Como o recebimento nestes casos ocorre de acordo com certa periodicidade, é 
correto arredondar para cima o valor obtido.
Apesar da simplicidade de cálculo e de análise, o payback possui alguns problemas inerentes a sua 
metodologia, apontados por Ross, Westerfield e Jaffe (2002):
• Distribuição dos fluxos dentro do período de payback: neste caso, o método não avalia a relação 
do valor do dinheiro no tempo, desconsiderando juros e inflação, pois não considera como melhor 
projetos que mesmo com um payback igual apresentem recebimentos mais volumosos logo no 
início.
• Pagamentos após o período de payback: este problema está relacionado o objetivo do método, 
que consiste apenas na detecção do momento em que o projeto se paga, sem considerar os 
recebimentos que ocorrerão após este período, ou seja, não avalia a rentabilidade do projeto.
• Padrão arbitrário de payback: neste ponto, não existem diretrizes para determinação de um 
payback aceitável, apenas comparações, o que torna sua análise, até certo ponto, arbitrária.
Para eliminar o problema da distribuição dos fluxos dentro do payback existe uma adaptação, que 
é chamada payback descontado.
O método do payback descontado constitui no cálculo do valor presente dos fluxos de caixa de cada 
parcela do investimento (Puccini, 2009), conforme exemplo que exploraremos logo mais.
35
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
3.4.3 Exemplo comparativo entre os métodos do VPL, TIR e payback
A Empilhadeiras Walt S.A., uma empresa que produz três tipos diferentes de empilhadeiras (pequena, 
padrão e grande) e possui como mercado empresas de logística e produção que necessitam manusear 
grandes objetos (caixas, equipamentos) em suas dependências.
Buscando novas oportunidades de mercado, a empresa verificou junto ao departamento de marketing 
e vendas que existe uma demanda crescente pelo modelo de médio porte (padrão) e, atualmente, são 
fabricadas 1.000 unidades por mês, sendo a produção totalmente vendida; o departamento de marketing 
e vendas estima que se a produção fosse elevada para 1.400 unidades/mês, ainda assim não restariam 
estoques.
Outra opção seria a compra da fábrica EmpilhaMax S.A., que produz um modelo “intermediário”, ou 
seja, de pequeno porte,mas com maior capacidade de carga e autonomia. Foram feitas pesquisas junto 
a clientes e se verificou uma ótima aceitação do mercado para essa categoria de empilhadeira, estimada 
em 300 unidades/mês.
A direção ficou em dúvida sobre como proceder entre os projetos da empresa, e pediu a sua equipe 
que fizesse um levantamento sobre quanto custaria a implementação desses dois projetos. A equipe 
verificou que seria necessária a ampliação da capacidade da linha de produção da empilhadeira 
padrão, gerando uma necessidade de investimento inicial de R$ 1.315.000,00 em infraestrutura e 
equipamentos. Para a compra da fábrica da linha de empilhadeiras intermediário, o investimento 
deveria ser de R$ 2.128.000,00.
A diretoria ficou satisfeita com os levantamentos feitos por sua equipe, mas precisaria decidir o 
que fazer: ampliar a linha de empilhadeiras-padrão ou comprar a fábrica da linha de empilhadeiras 
intermediário; talvez até mesmo fazer as duas coisas.
Mas tomar essa decisão não seria possível apenas com base nos investimentos necessários por parte 
da empresa. Eles precisariam de mais informações, de outras áreas.
Assim, com base em informações sobre os fluxos de caixa projetados das duas opções, temos:
Tabela 10 – Exemplo de análise de investimentos
Por ano Padrão Intermediário
Entradas de recursos 1.000.000,00 540.000,00
(-) Saídas de recursos (860.000,00) (360.000,00)
(=) Fluxo líquido de caixa 140.000 180.000
36
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
Assim, ao analisar os fluxos de caixa, temos uma previsão de 24 anos:
Opção 1 - Expansão linha padrão
140.000 140.000 140.000 140.000 140.000 140.000 140.000
...
0 1 2 3 4 22 23 24
anos
(1.315.000)
Opção 2 - Expansão linha intermediário
180.000 180.000 180.000 180.000 180.000 180.000 180.000
...
0 1 2 3 4 22 23 24
anos
(2.128.000)
Figura 6 – Exemplo de fluxos de caixa
Considerando o método do payback, temos:
Opção 1 – Linha padrão: 1.315.000 / 140.000 = 9,39 anos ≈ 10 anos
Opção 2 – Linha intermediário: 2.128.000 / 180.000 = 11,82 anos ≈ 12 anos
Pelo método do payback, a melhor opção é a expansão da linha 1, que “se paga” em menor tempo. 
Mas devido a suas limitações, outras técnicas devem complementá-lo.
Nesse caso, a diretoria determina que um projeto da empresa tenha que ter uma rentabilidade anual 
não inferior a 3,0% a.a. para considerar os riscos dos projetos e eventual margem de erro.
Assim, teríamos:
Tabela 11 – Exemplo de análise de investimentos
Padrão Intermediário
Ano 1 : 140.000 / (1,03)1 = 135.992 Ano 1 : 180.000 / (1,03)1 = 174.757
Ano 2 : 140.000 / (1,03)2 = 131.963 Ano 2 : 180.000 / (1,03)2 = 169.667
Ano 3 : 140.000 / (1,03)3 = 128.120 Ano 3 : 180.000 / (1,03)3 = 164.725
... ...
Ano 23 : 140.000 / (1,03)23 = 70.937 Ano 23 : 180.000 / (1,03)23 = 91.205
Ano 24 : 140.000 / (1,03)24 = 68.871 Ano 24 : 180.000 / (1,03)24 = 88.548
E assim sucessivamente até o vigésimo quarto ano. Resumindo os cálculos temos o fluxo de caixa 
em valores presentes de:
37
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
Tabela 12 – Exemplo de análise de investimentos
Padrão Intermediário
Valor mês 140.000 180.000 
Anos (n) Padrão Saldo acumulado Intermediário
Saldo 
acumulado
0 -1.315.000 -1.315.000 -2.128.000 -2.128.000
1 135.922 -1.179.078 174.757 -1.953.243
2 131.963 -1.047.115 169.667 -1.783.576
3 128.120 -918.995 164.725 -1.618.851
4 124.388 -794.607 159.928 -1.458.923
5 120.765 -673.842 155.270 -1.303.653
6 117.248 -556.594 150.747 -1.152.906
7 113.833 -442.761 146.356 -1.006.550
8 110.517 -332.244 142.094 -864.456
9 107.298 -224.946 137.955 -726.501
10 104.173 -120.773 133.937 -592.564
11 101.139 -19.634 130.036 -462.528
12 98.193 78.559 126.248 -336.280
13 95.333 173.892 122.571 -213.709
14 92.556 266.448 119.001 -94.708
15 89.861 356.309 115.535 20.827
16 87.243 443.552 112.170 132.997
17 84.702 528.254 108.903 241.900
18 82.235 610.489 105.731 347.631
19 79.840 690.329 102.651 450.282
20 77.515 767.844 99.662 549.944
21 75.257 843.101 96.759 646.703
22 73.065 916.166 93.941 740.644
23 70.937 987.103 91.205 831.849
24 68.871 1.055.974 88.548 920.397
Total (VPL) 1.055.976 920.398 
Pelo método do payback descontado, vemos que:
• opção 1 – Linha padrão: obtém saldo acumulado positivo no 12º ano;
• opção 2 – Linha intermediário: obtém saldo acumulado positivo no 15º ano.
Pelo método do payback descontado, levando em consideração o valor do dinheiro no tempo, a 
melhor opção é a expansão da linha 1, que novamente “se paga” em menor tempo. 
38
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
Mas além desta técnica, precisamos utilizar as demais; primeiramente, o VPL.
Repare que a última linha da tabela mostra a soma de todos os valores trazidos ao presente. Essa 
soma é o VPL.
Nesse caso, a expansão da linha padrão seria a melhor escolha, pois, apesar de ter um recebimento 
menor por mês, se imaginássemos produzir, pagar e receber tudo no dia de hoje, essa opção geraria uma 
sobra (lucro) de $ 1.055.976 para a empresa, valor superior aos $ 920.398 gerados pela outra opção.
Além de analisar os projetos sobre o aspecto do valor presente líquido, estes podem ser analisados 
segundo a taxa de retorno que geram. O raciocínio é simples: basta imaginar qual seria a taxa de retorno 
(percentual) que o projeto gera de acordo com o valor investido (fluxo inicial) e os recebimentos (fluxos 
futuros). Um paralelo bem simples seria imaginar o quanto sua aplicação financeira rendeu, considerando 
que você investiu hoje uma determinada quantia e nos meses futuros recebeu um valor igual todo mês.
Dessa maneira, repare que o valor presente investido seria igual à soma dos valores futuros trazidos a valor 
presente, e a taxa (i) encontrada para fazer com que essa igualdade seja verdadeira é a Taxa Interna de Retorno (TIR).
Ou seja, considerando o Valor Presente (PV) como o fluxo inicial de saída, teríamos:
VP = VF /(1 + i)1 + VF /(1 + i)2 + VF /(1 + i)3 + … + VF /(1 + i)n
Nesse caso, o i encontrado seria a TIR:
Opção 1 – Expansão da linha padrão
1.315.000=140.000/(1 + i)1+140.000/(1 + i)2+140.000/(1 + i)3+140.000/(1 + i)24
TIR = 9,42% a.a.
Opção 2 – Compra da linha intermediário
2.128.000=180.000/(1 + i)1+180.000/(1 + i)2+180.000/(1 + i)3+180.000/(1 + i)24
TIR = 6,66% a.a.
Note que o cálculo da TIR só pode ser feito manualmente pela técnica de interpolação, ou seja, 
utilizam-se dois valores aleatórios como sendo a TIR e vão se ajustando os valores até obter o valor 
exato por tentativa e erro.
Novamente, a melhor alternativa seria a opção de expandir a produção da linha padrão. Mas isso não 
significa que o projeto de compra da linha intermediário não fosse viável; pelo contrário. Ao conseguir um 
VPL positivo, o projeto se mostrou viável, pois seria capaz de gerar valor mesmo se considerada a taxa de 
retorno desejada (3% nesse estudo). No caso da TIR, o projeto também se mostra viável ao ter uma taxa 
39
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
interna de retorno de 6,66%, enquanto a taxa mínima desejada pela empresa seria de 3% (taxa de retorno 
desejada). A opção linha padrão só é a mais recomendável por apresentarmelhores resultados.
Mas e se as duas técnicas tivessem indicado opções diferentes, qual ele deveria escolher? Nesse caso, 
coincidentemente, tanto o VPL quanto a TIR apontam o projeto de expansão como melhor alternativa, 
mas na prática nem sempre as duas apontam na mesma direção. Pelo fato de o VPL ser uma técnica que 
demonstra o quanto o projeto irá gerar em valores monetários ($) em função do capital investido, fica 
mais evidente que essa técnica é mais aplicada. Imagine duas opções:
• opção 1: investimento de $ 10, que possui uma TIR de 20%, com 1 período apenas (pra facilitar o 
cálculo); seu Valor Presente será de 12 menos 10, portanto, VPL = 2; e
• opção 2: investimento de $ 100, que possui uma TIR de 5%, com 1 período apenas (pra facilitar o 
cálculo); seu Valor Presente será de 105 menos 100, portanto, VPL = 5.
Veja que, no segundo caso, apesar de a TIR ser menor, pela magnitude do projeto, o VPL gerado na 
opção 2 ainda é o melhor, portanto, esse projeto deveria ser priorizado.
Exemplo prático de avaliação de empresas
Para exemplificar as metodologias de avaliação de empresas, vamos proceder a um exemplo prático.
Para isso, avaliaremos a Mega S.A., uma empresa de capital aberto que atua no varejo, com a venda 
de mercadorias. Esta empresa atuou nos anos de X1 e X2 e deverá ser avaliada ao final de X2, pois está 
em negociações para uma possível combinação de negócios com a Master S.A.
Assim, as demonstrações contábeis apresentadas pela Mega S.A. são apresentados a seguir, 
inicialmente pelo seu balanço patrimonial (Tabela 13).
Tabela 13 – Balanço Patrimonial, exemplo Mega S.A.
Mega S.A.
Balanço patrimonial - em $ milhões
Ativo 31-12-X2 31-12-X1
Circulante 26.830 28.580
Disponibilidades 5.080 4.610
Clientes 7.540 8.450
Estoques 12.870 14.320
Despesas Antecipadas 1.340 1.200
Ativo não circulante 86.990 76.810
Realizável a longo prazo 2.350 750
Depósitos judiciais 2.350 750
Permanente* 84.640 76.060
Investimento 25.850 20.460
40
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
Imobilizado (valor líquido) 58.790 55.600
Total 113.820 105.390
 
Passivo 31-12-X2 31-12-X1
Circulante 12.670 16.630
Fornecedores 4.570 9.540
Empréstimos a pagar 6.320 6.490
Contas a pagar 1.780 600
Passivo não circulante 33.450 22.760
Exigível a longo prazo 33.450 22.760
Empréstimos 33.450 22.760
Patrimônio líquido 67.700 66.000
Capital social 50.000 50.000
Reservas de capital 15.000 14.000
Reservas de lucros 2.700 2.000
Total 113.820 105.390
(*) Deixamos o termo “Permanente” para melhor entendimento sobre a apuração 
do valor da empresa, ou seja, estamos nos referendo à soma dos Investimentos 
com o Imobilizado (valor líquido), constante do Balanço Patrimonial.
Bem como de sua Demonstração do Resultado do Exercício (Tabelas 14).
Tabela 14 – Demonstração do Resultado do Exercício, exemplo Mega S.A.
Mega S.A.
Demonstração de resultado - em $ milhões
 31-12-X2 31-12-X1
Receita operacional bruta 326.000 297.000
(-) Deduções (16.300) (14.850)
Receita operacional líquida 309.700 282.150
(-) Custo da mercadoria vendida (205.900) (198.500)
Lucro bruto 103.800 83.650
Despesas operacionais (38.590) (39.489)
Despesas com vendas (7.650) (8.340)
Despesas gerais e administrativas (23.460) (25.670)
Depreciação e amortização (7.480) (5.479)
Lucro operacional 65.210 44.161
Despesas financeiras (1.835) (1.661)
Receitas (desp.) não operacionais 
Lucro antes do IR 63.375 42.500
Provisão para imposto de renda (21.548) (14.450)
Lucro líquido do exercício 41.828 28.050
Nº de ações ordinárias 7.000 6.300
LPA 5,98 4,45
 
41
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
A partir destas demonstrações contábeis e com o auxílio de informações adicionais, podemos proceder 
aos cálculos do valor da empresa (VE) Master S.A. ao final do ano X2.
A primeira metodologia a ser empregada é a metodologia do valor contábil, que nos indica o valor 
da empresa como sendo o valor do patrimônio líquido desta, ou seja, todo os seus bens e direitos (ativos) 
excluindo-se as obrigações (passivos); desta forma, temos para a Master S.A. (Tabela 15):
Tabela 15 – Valor contábil, exemplo Mega S.A.
Metodologia do valor contábil
 X2 X1
VE 67.700,00 66.000,00 
RPL 61,78% 42,50%
RVPL 4,57 4,28
RLOPL 0,96 0,67
IPL 86,84% 84,24%
APL 0,68 0,60
CJPL 36,89 39,74
Além de proporcionar uma maneira simples de obter o valor da empresa, esta metodologia sugere o 
acompanhamento dos indicadores:
• Rentabilidade do Patrimônio Líquido (RPL): indica a rentabilidade do capital dos investidores na 
empresa; neste caso, com crescimento no período, o que é positivo, alcançando quase 62% em X2.
• Rotatividade das Vendas (RVPL): demonstra a contribuição do Patrimônio Líquido (PL) na geração 
de receitas líquidas para a empresa, também apresentando um crescimento de X1 para X2, em que 
temos que $ 1,00 investido no PL proporciona vendas líquidas da ordem de $ 4,57 para o ano de X2.
• Rotatividade do Lucro Operacional (RLOPL): neste caso, o indicador demonstra a contribuição do 
PL na geração de lucro operacional para a entidade, mais uma vez apresentando um crescimento 
no período, algo que é positivo, indicando maior rentabilidade e demonstrando que cada $ 1,00 
investido no PL proporciona um lucro operacional da ordem de $ 0,96 para a empresa em X2.
• Imobilização com recursos próprios (IPL): indicador que demonstra a proporção de ativos imobilizados 
financiados com recursos próprios; assim, indica que, em X2, aproximadamente 87% dos ativos imobilizados 
haviam sido financiados com recursos do PL. Apesar de seu crescimento o IPL ainda é inferior a 100%, ou 
seja, não há aplicação de recursos de terceiros (passivos) no Ativo permanente, algo que pode ser prejudicial 
para a empresa, uma vez que o Ativo permanente tende a apresentar longo período para retorno do capital 
investido, normalmente em prazos superiores aos dos pagamentos das dívidas do Passivo.
• Alavancagem: a alavancagem relaciona as dívidas da empresa com seu Capital Próprio (PL), 
demonstrando se a empresa está operando de maneira alavancada, ou seja, se ela utiliza o 
endividamento como fonte de recursos. Neste caso, para o ano de X2, apesar do crescimento da 
42
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
alavancagem, o indicador ainda é inferior a 1,00, fato que demonstra que a empresa possui mais 
recursos oriundos do PL do que do Passivo.
• Cobertura dos Juros com Patrimônio Líquido (CJPL): neste caso, o indicador apresenta a capacidade 
de pagamento dos juros (custo financeiro das dívidas) com recursos próprios do PL. Para a Mega 
S.A., essa cobertura diminuiu de X1 para X2, principalmente devido ao crescimento das dívidas, 
mas a empresa apresenta uma cobertura dos juros da ordem de quase 37 vezes no ano de X2.
A segunda metodologia a ser aplicada para a avaliação da empresa é a metodologia do valor 
patrimonial de mercado (Tabela 16), em que os ativos e passivos são ajustados em relação a sua 
depreciação, amortização e exaustão (apenas ativos), e em relação à inflação, às taxas de juros e até 
mesmo à paridade cambial quando suas operações envolverem moedas estrangeiras.
Tabela 16 – Valor patrimonial de mercado, exemplo Mega S.A.
Metodologia do valor patrimonial de mercado
 X2 X1
Taxa de ajuste (inflação) 3,20% 6,50%
Ativo ajustado 117.462,24 112.240,35 
Passivo ajustado 47.595,84 41.950,35 
VE 69.866,40 70.290,00 
Neste caso, a empresa não opera com moedas estrangeiras eseus valores de Ativo imobilização já estão em 
valores líquidos, ou seja, descontadas a depreciação, amortização e exaustão, sobrando apenas o ajuste da inflação 
no período, que afetou os ativos e passivo, obtendo, pela diferença, o valor da empresa (VE) correspondente em 
torno de $ 70 bilhões, saldo superior aos $ 67,70 bilhões pela metodologia do valor contábil.
Em seguida, devido às limitações já discutidas pelas técnicas anteriores, decidimos aplicar a 
metodologia do valor de liquidação, que apresenta o benefício de considerar o valor dos ativos pelo 
seu preço de mercado no estado em que se encontram, obtendo, assim, uma medida de valor mais 
próximo da realidade, principalmente em caso de liquidação (fechamento) da empresa (Tabela 17).
Tabela 17 – Valor de liquidação, exemplo Mega S.A.
Metodologia do valor de liquidação
Valores de liquidação X2 X1
Disponibilidades 5.080,00 4.610,00 
Clientes 6.635,20 7.436,00 
Estoques 10.553,40 11.742,40 
Despesas antecipadas 1.005,00 900,00 
Depósitos judiciais 1.880,00 600,00 
Investimento 27.142,50 21.483,00 
Imobilizado (valor líquido) 67.608,50 63.940,00 
Soma ativos a valor de liquidação 119.904,60 110.711,40 
 VE (ativos em valor de liquidação menos passivos) 73.784,60 71.321,40 
43
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
Dessa forma, deve-se observar o fato de a empresa apresentar alguns ativos com menor valor de 
liquidação ocasionados pelo baixo valor de revenda destes ativos (como clientes, estoque e despesas 
antecipadas, por exemplo), enquanto outros podem ter um valor de realização superior, como em ativos 
dos grupos de investimentos e imobilizado.
Com isso, o valor da empresa (VE) em X2 alcança o valor de $ 74 bilhões aproximadamente, valor 
este superior às metodologias anteriores.
A próxima metodologia a ser aplicada é a metodologia do índice preço/lucro (P/L), segundo a qual 
o valor da empresa (VE) pode ser obtido pelo valor de suas ações, com base no parâmetro de outras 
empresas de porte semelhante e que atuem no mesmo setor com as mesmas características. Assim, o 
índice P/L pode ser extrapolado das demais empresas para a empresa que se deseja avaliar.
Em nosso caso, consideremos que no setor de atuação da Mega S.A. atuam as empresas Alfa e Beta, com 
características e porte muito semelhantes à Mega S.A., para que, dessa forma, a metodologia possa ser aplicada.
Com isso, temos os dados do setor (Tabela 18).
Tabela 18 – P/L médio do setor, exemplo Mega S.A.
Metodologia do preço/Lucro
Empresas do mesmo setor Alfa Beta
Preço de mercado da ação 14,50 13,88 
Lucro por Ação (LPA) 4,83 3,98 
P/L 3,00 3,49 
P/L médio do setor 3,24 
Com isso, o preço de mercado da ação e o lucro por ação são obtidos junto ao mercado, e 
podemos calcular o índice P/L pela divisão do preço da ação pela LPA, ou seja, no caso da Alfa, o 
P/L = $ 14,50 / $ 4,83 = 3,00. Assim, na média do setor, o preço da ação representa 3,24 vezes o 
valor do Lucro por Ação (LPA).
Extrapolando este conceito para a Mega S.A., com base em sua DRE (Tabela 14), podemos calcular 
sua LPA para X2 como sendo o lucro líquido ($ 41.828) dividido pela quantidade de ações (7.000), 
obtendo, assim, uma LPA de $ 5,98 por ação. Desta forma, ao sabermos que o índice P/L médio do setor 
é de 3,24, podemos obter por aproximação o valor de mercado de cada ação (Tabela 19).
Tabela 19 – Metodologia do preço/lucro, exemplo Mega S.A.
Mega S.A. X2 X1
P/L 3,24 3,24 
LPA 5,98 4,45 
Valor de Mercado da Ação 19,39 14,45 
VE (Valor de mercado da ação x Qtde. ações) 135.719,94 91.015,34 
44
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
Com isso, temos novos valores que podem ser utilizados como medida de avaliação da empresa, que 
apresenta avaliação superior aos métodos anteriores, por considerar uma medida quando não é possível 
determinar o valor da ação da empresa por seu preço de mercado.
Outra metodologia alternativa é a metodologia da capitalização dos lucros, segundo a qual o 
Valor da Empresa (VE) seria dado por uma proporção entre os lucros operacionais históricos e a taxa de 
capitalização histórica da empresa. Para simplificação da metodologia, aqui estamos assumindo uma 
taxa de 14,50% ao ano; posteriormente, trataremos da definição do custo do capital.
Dessa forma, a partir do histórico de lucros operacionais (Tabela 20), que aqui estão disponíveis 
apenas para os anos de X1 e X2, temos:
Tabela 20 – Lucros históricos, exemplo Mega S.A.
Metodologia de capitalização dos lucros
Lucros ($ milhões) X2 X1
Histórico 65.210 44.161
 
É dada uma ponderação (peso) para cada ano. Normalmente, anos mais recentes recebem pesos maiores, 
pois representam melhor a realidade da empresa, obtendo o lucro operacional ponderado (Tabela 21).
Tabela 21 – Metodologia da capitalização dos lucros, exemplo Mega S.A.
Período Lucro operacional Fator de ponderação Lucro ponderado
Ano 1 44.161,00 1,0 44.161,00 
Ano 2 65.210,00 2,0 130.420,00 
Soma dos lucros operacionais ponderados 174.581,00 
/ Soma dos fatores de ponderação 3,00 
= Lucros operacionais médios ponderados 58.193,67 
/ Taxa de capitalização histórica 14,50%
= Valor operacional da empresa 401.335,63 
+ Ativos não operacionais 0,00 
= Valor total da empresa 401.335,63 
Assim, ao dividir o lucro operacional médio ponderado pela taxa de capitalização histórica (custo do 
capital), obtemos o valor operacional da empresa, que, somado aos ativos não operacionais existentes – 
neste exemplo, presumimos que a empresa Mega S.A. não os possua –, temos o valor da empresa (VE).
A próxima metodologia é a metodologia dos múltiplos de faturamento. De maneira semelhante 
à metodologia do preço/lucro, esta metodologia busca utilizar informações de empresas do setor (de 
atividade e porte semelhantes), para, a partir da relação entre o preço de mercado da ação dividido pela 
receita líquida média, obter um fator de relação entre preço/receita líquida (P/RL) do setor formado 
novamente pelas empresas Alfa e Beta (Tabela 22).
45
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
Tabela 22 – Fator de preço/receita líquida do setor, exemplo Mega S.A.
Metodologia dos múltiplos de faturamento
Empresas do mesmo setor Alfa Beta
Preço de mercado da ação 14,50 13,88 
Receita média 238.000,00 297.599,00 
F (P/RL) 0,0000609 0,0000466 
F (P/RL) médio do setor 0,0000538 
Assim, utilizando o F (P/RL) médio do setor, podemos obter o valor de mercado das ações 
da Mega S.A. pela multiplicação de sua receita líquida pelo fator de preço/receita líquida (P/RL), 
obtendo (Tabela 23):
Tabela 23 – Metodologia dos múltiplos de faturamento, exemplo Mega S.A.
Mega S.A. X2 X1
Receita ($ milhões) 309.700,00 282.150,00 
F (P/RL) 0,0000538 0,0000538 
Ativos não operacionais 0,00 0,00 
Valor de mercado da ação 16,66 15,17 
VE (Valor de Mercado da Ação x Qtde. ações) 116.594,34 95.600,20 
De maneira semelhante também atua a metodologia dos múltiplos de lucros, só que, em 
vez de utilizar o fator de preço da ação/receita líquida (P/RL), utiliza como parâmetro os lucros, 
ou seja, possui um fator (F) de preço de mercado da ação dividido pelo lucro operacional médio 
(P/LO), de forma a utilizar os dados do setor para inferir o preço da ação. No caso da Mega S.A, 
temos (Tabela 24):
Tabela 24 – Fator de preço/lucro operacional do setor, exemplo Mega S.A.
Metodologia dos múltiplos de lucros
Empresas do mesmo setor Alfa Beta
Preço de mercado da ação 14,50 13,88 
Lucro operacional médio56.800,00 43.450,00 
F (P/LO) 0,0002553 0,0003194 
F (P/LO) médio do setor 0,0002874 
Assim, utilizando o F(P/LO) multiplicado pela quantidade de ações, obtemos o valor da empresa (VE) 
estimado (Tabela 25).
46
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
Tabela 25 – Metodologia dos múltiplos de faturamento, exemplo Mega S.A.
Mega S.A. X2 X1
Lucro operacional ($ milhões) 65.210,00 44.161,00 
F (P/RL) 0,0002874 0,0002874 
Ativos não operacionais 0,00 0,00 
Valor de mercado da ação 18,74 12,69 
VE (Valor de Mercado da Ação x Qtde. ações) 131.173,35 79.948,96 
Outra metodologia bastante utilizada é a metodologia dos fluxos de caixa descontados, que se 
diferencia por utilizar como parâmetro do valor da empresa os saldos líquidos de caixa descontados a 
valor presente.
Para proceder neste cálculo, é preciso definir o custo do capital, e uma das formas de fazer 
isso é pelo cálculo do Custo Médio Ponderado de Capital (CMPC), que nada mais é do que o custo 
do capital próprio multiplicado pelo percentual de capital próprio da entidade acrescido ao custo 
do capital de terceiros (custo da dívida) multiplicado pelo percentual de capital de terceiros da 
entidade.
O custo do capital de terceiros pode ser ainda multiplicado por (1 – t), onde “t” representa a alíquota 
de imposto de renda, devido ao benefício tributário na redução do pagamento de IR quando existe o 
pagamento de juros (despesas financeiras) que diminuem o lucro.
Ainda é preciso definir o custo do capital próprio, que, neste exemplo, é estabelecido como 
sendo de 16,50% ao ano. O ideal é que este custo represente a expectativa de retorno dos 
investidores, mas em grandes empresas com ações negociadas em bolsa de valores torna-se difícil 
obter esta informação. Para isso existem técnicas para a definição do custo do capital próprio, 
como o Capital Asset Pricing Model (CAPM) também conhecido como modelo de precificação de 
ativos de capital, que estima o custo do capital próprio com base nas taxas de juros do mercado 
e do risco associado.
Já o custo do capital de terceiros pode ser obtido junto à empresa, ou nas notas explicativas de suas 
demonstrações financeiras, pois representa o custo financeiro (taxa de juros) da sua dívida.
Além disso, é preciso definir por quanto tempo será feita esta análise. Aqui utilizamos um período 
de cinco anos projetados de fluxo de caixa (de X3 até X7), com uma taxa de crescimento de 5,00% ao 
ano até X7 e de um crescimento constante de 3,00% ao ano após X7 para efeitos de cálculo do Valor 
Residual (VR).
Assim, procedendo no cálculo dos fluxos de caixa descontados (FC Descontado), obtemos para a 
Mega S.A. (Tabela 26):
47
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
Tabela 26 – Metodologia dos fluxos de caixa descontados, exemplo Mega S.A.
Metodologia dos fluxos de caixa descontados
Mega S.A. X2 X1
% Capital próprio 59,48% 62,62%
% Capital de terceiros 40,52% 37,38%
ke (custo do capital próprio, definido) 16,50% 16,50%
ki (custo do capital de terceiros, obtido pelo custo 
da dívida) 12,70% 12,70%
Alíquota IR (IR 15% + CSLL 9% + Adicional 10%) 34% 34%
CMPC 13,21% 
Crescimento próximos 5 anos 5,00% 
Crescimento posterior constante (g) 3,00% 
FC histórico 35.400,00 33.200,00 
FC projetado $ milhões FC descontado
X3 37.170,00 32.832,62 
X4 39.028,50 30.451,44 
X5 40.979,93 28.242,96 
X6 43.028,92 26.194,64 
X7 45.180,37 24.294,88 
VR 455.760,53 245.076,52 
VE 387.093,05 
Assim, o CMPC calculado para a Mega S.A. foi de 13,21%, e os fluxos de caixa projetados apresentados, 
indo de $ 37.170 milhões em X3 para $ 45.180 milhões em X7. Com isso, temos um Valor da Empresa 
(VE) de aproximadamente $ 387 bilhões.
De maneira semelhante atua a metodologia do Valor Presente Líquido (VPL), pois utiliza as mesmas 
informações do método anterior. A partir do fluxo de caixa descontado e excluindo o investimento 
inicial realizado, na aquisição da empresa, esta técnica proporciona visualizar o quanto o investimento 
gerou de valor (Tabela 27).
Tabela 27 – Metodologia do valor presente líquido, exemplo Mega S.A.
Metodologia do valor presente líquido
Mega S.A. X2 X1
% Capital próprio 59,48% 62,62%
% Capital de terceiros 40,52% 37,38%
ke 16,50% 16,50%
ki 12,70% 12,70%
Alíquota IR 34% 34%
CPMC 13,21% 
Crescimento próximos 5 anos 5,00% 
Crescimento posterior constante (g) 3,00% 
FC histórico 35.400,00 33.200,00 
48
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
FC projetado $ milhões FC descontado
X3 37.170,00 32.832,62 
X4 39.028,50 30.451,44 
X5 40.979,93 28.242,96 
X6 43.028,92 26.194,64 
X7 45.180,37 24.294,88 
VR 455.760,53 245.076,52 
VE 387.093,05 
Investimento inicial (225.000,00)
VPL 162.093,05 
Para a Mega S.A., caso ela seja adquirida por $ 225.000 milhões, então o VPL será de $ 162.093 
milhões, indicando que a aquisição por esse valor é vantajosa.
Por últimos, para analisar o investimento, podemos utilizar a metodologia da Taxa Interna de 
Retorno (TIR) e do período payback.
Esta metodologia utiliza as mesmas premissas da metodologia do VPL, pois a TIR é a taxa juros que 
obtém um VPL igual a zero. Assim, a utilização dos fluxos de caixa projetados e dos fluxos de caixa 
descontados será útil. Apenas para facilitar a análise, rearranjamos o FC projetado, com o investimento 
inicial na data X2 (saída) e o Valor Residual (VR) sendo acrescido ao fluxo de caixa na data X7 (Tabela 28).
Tabela 28 – Metodologia da TIR e do período de payback, exemplo Mega S.A.
Metodologia da TIR e do período payback
Mega S.A. X2 X1
% Capital próprio 59,48% 62,62%
% Capital de terceiros 40,52% 37,38%
ke 16,50% 16,50%
ki 12,70% 12,70%
Alíquota IR 34% 34%
CPMC 13,21% 
Crescimento 
próximos 5 anos 5,00% 
Crescimento posterior 
constante (g) 3,00% 
FC histórico 35.400,00 33.200,00 
FC projetado $ milhões
FC 
esperado FC acum.
FC 
descontado FC acum.
X2 (investimento 
inicial) (225.000,00) (225.000,00) 
X3 37.170,00 37.170,00 (187.830,00) 32.832,62 (192.167,38)
X4 39.028,50 39.028,50 (148.801,50) 34.474,25 (157.693,13)
X5 40.979,93 40.979,93 (107.821,58) 36.197,97 (121.495,16)
X6 43.028,92 43.028,92 (64.792,65) 38.007,86 (83.487,30)
49
Re
vi
sã
o:
 V
irg
ín
ia
/A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
12
/0
7/
20
13
AVALIAÇÃO DE EMPRESAS
X7 45.180,37 500.940,90 436.148,24 442.485,95 358.998,65
VR 455.760,53 
TIR 29,31% 
Payback 5o. Ano
Payback descontado 5o. Ano
Assim, a taxa interna de retorno é de 29,31% ao ano, superior a TMA correspondente ao custo do 
capital (CMPC) de 13,21% ao ano. Já o payback só ocorrerá no quinto ano, quando o fluxo de caixa se 
torna positivo.
Vejam que analisamos o valor da empresa Mega S.A. de diferentes formas, obtendo resultados bastante 
variados (Tabela 29).
Tabela 29 – Comparativo de metodologias, exemplo Mega S.A.
Metodologia VE (em X2)
Metodologia do valor contábil 67.700,00
Metodologia do valor patrimonial de mercado 69.866,40
Metodologia do valor de liquidação 73.784,60
Metodologia do preço/lucro 135.719,94
Metodologia de capitalização dos lucros 401.335,63
Metodologia dos múltiplos de faturamento 116.594,34
Metodologia dos múltiplos de lucros 131.173,35
Metodologia dos fluxos de caixa descontados 387.093,05
 Outras medidas
Metodologia do valor presente líquido 162.093,05
Metodologia da TIR 29,31%
Metodologia do período payback5o. Ano
Notem que de acordo com a metodologia empregada e suas premissas estabelecidas, o Valor da 
Empresa (VE) pode ser alterado consideravelmente, pois temos valores que foram do menor (valor 
contábil) $ 67.700 até o maior (capitalização dos lucros), $ 401.335,63.
A grande questão é: Qual deles é o melhor ou mais adequado?
A resposta a esta questão depende do conhecimento do avaliador sobre o mercado, que indicará 
qual metodologia proporciona base para uma avaliação mais próxima do valor justo desta empresa, 
condizente com a realidade e desenvolvida a partir de premissas que sejam reais e praticáveis.
50
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2006.
BERK, J.; DEMARZO, P. Finanças empresariais. São Paulo: Bookman, 2008.
BRASIL. Lei 6.404, de 15 de Dezembro de 1976.
___. Lei 9.457, de 05 de Maio de 1997.
___. Lei 11.638, de 28 de Dezembro de 2007.
___. Lei 11.941, de 27 de Maio de 2009.
CPC, Comitê de Pronunciamentos Contábeis. Pronunciamento CPC 04 – ativos intangíveis. 2008.
CVM, Comissão de Valores Mobiliários. Instrução normativa no 361, com alterações da instrução 
normativa no 436/06, de 05 de Março de 2002.
DAMODARAN, A. Finanças corporativas – teoria e prática. 2. ed., São Paulo: Bookman, 2004.
EQUIPE DE PROFESSORES DA FEA/USP. Contabilidade introdutória. 10. ed. São Paulo: Atlas, 2006.
ERNEST; YOUNG; FIPECAFI, Fundação Instituto de Pesquisas Contábeis, Atuariais e Financeiras. Manual 
de normas internacionais de contabilidade. São Paulo: Atlas, 2009.
FIPECAFI, Fundação Instituto de Pesquisas Contábeis, Atuariais e Financeiras. Manual de contabilidade 
das sociedades por ações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2007.
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 10. ed., São Paulo: Pearson Addison Weasley, 
2004.
HENDRIKSEN, E. S.; VAN BREDA, M. F. Teoria da contabilidade. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1999.
IUDÍCIBUS, S. Teoria da contabilidade. 8. ed. São Paulo: Atlas, 2006.
MARTINEZ, A. L. “Gerenciamento” dos resultados contábeis: estudo empírico das companhias abertas 
brasileiras. Tese apresentada à Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de 
São Paulo (FEA/USP) no Programa de Doutorado em Controladoria e Contabilidade. São Paulo, 2001.
MARTINS, E. Avaliação de empresas – da mensuração contábil à econômica. São Paulo: Ed. Atlas, 2001.
MATARAZZO, D. C. Análise financeira de balanços. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2003.
51
PUCCINI, A. L. Matemática financeira – objetiva e aplicada. 8. ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
REIS A.; MARION, J. C. Contabilidade avançada. 1. ed., São Paulo: Saraiva, 2006.
ROSS, S. A.; WESTERFIELD, R. W.; JAFFE, J. F. Administração financeira – corporate finance. 2. ed. São 
Paulo: Atlas, 2002.
SANTOS, J. O. Avaliação de empresas – um guia prático. 2. ed. São Paulo: Saraiva, 2008.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 2. ed., São Paulo: Atlas, 2000.
52
53
54
55
56
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000