Apostila 2 - Probabilidade e Estatística - Estácio de Sá

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ ––––---- ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
1 
II - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Mediante uma lista volumosa de dados, as tabelas de freqüências servem para agrupar informações de mo-
do que estas possam ser analisadas. As tabelas podem ser simples (não agrupadas em classes) ou em fai-
xas (agrupadas em classes). 
 
1 - Dados Brutos 
São dados oriundos do levantamento de dados. 
 
2 - Rol 
É a ordenação dos dados brutos. 
 
3 - Tabela de Freqüências 
 
3.1 - Distribuição de Freqüências de Dados Tabulados Não-Agrupados Em Classes - SIMPLES 
As tabelas de freqüências simples são adequadas para resumir observações de uma variável qualitativa ou 
quantitativa discreta, desde que esta apresente um conjunto pequeno de diferentes valores. 
Xi fi 
0 1
1 2
2 5
3 3
4 2
5 1
Σ = 14
 
EXEMPLO 
 
1) O número de crianças em 19 famílias foi contado e obteve-se os seguintes valores: 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 
3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10. Elaborar uma distribuição de freqüências e freqüências relativas. 
 
2) Nos 12 meses do ano de 1994, uma fábrica produziu as seguintes unidades do produto A: 
10 10 13 20 
10 12 18 20 
10 12 18 25 
Construa um quadro de distribuição de freqüências. 
 
3) Admita que se realizou um levantamento com um grupo de compradores de 30 carros novos para deter-
minar quantas reparações ou substituições de peças foram feitas durante o primeiro ano de utilização dos 
carros, tendo-se obtido os seguintes resultados: 
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 
3 3 3 3 3 4 4 4 5 7 
Apresente os dados numa tabela de distribuição de freqüências. 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ ––––---- ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
2 
3.2 - Distribuição de Freqüências de Dados Tabulados Agrupados Em Classes - FAIXAS 
Para agrupar dados de uma variável quantitativa contínua ou uma variável quantitativa discreta com muitos 
valores diferentes, a tabela de freqüências simples não é um método de resumo, pois praticamente reprodu-
zimos os dados brutos em rol. A utilização de tabelas, nestas situações em que a variável registra diversos 
valores, é feita mediante a criação de faixa de valores ou intervalos de classe. Utilizando este procedimento 
não é mais possível reproduzir a lista de dados a partir da organização tabular, ou seja, perdemos informa-
ções condensando os dados. 
fi 
23 |— 38 5
38 |— 53 14
53 |— 68 13
68 |— 83 6
83 |— 98 8
46
Xi 
Σ = 
 
a) Amplitude Total 
At = XMÁX - XMIN 
 
 
b) Classe 
 k ≅ 1 + 3,3 log n 
 
 
c) Intervalo de Classe 
h = 
k
AT => para a montagem da tabela 
 
h = Ls - li => quando a tabela já está montada 
 
 
TESTE: h . k ≥≥≥≥ At 
 
 
d) Representação das Classes 
 A |– B = inclui A, exclui B 
 A − B = exclui A, inclui B 
 A |–| B = inclui A, inclui B 
 A – B = exclui A, exclui B 
 
EXEMPLO 
1) Um estudo geoquímico foi realizado utilizando-se amostras de sedimentos provenientes de riachos e obte-
ve-se as concentrações de Cromo (em ppm) abaixo. Elaborar uma distribuição de freqüências. 
9,4 10 10,6 11,1 11,4 11,5 11,8 12 
12,5 12,6 12,9 13 13,5 13,6 13,7 13,7 
14 14,1 14,3 14,7 15,2 15,4 15,8 15,8 
16,5 16,6 16,6 17 17,4 18,2 18,4 
 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ ––––---- ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
3 
2) Os valores abaixo correspondem ao tempo (em minutos) que os alunos matriculados em uma disciplina 
do curso de Estatística utilizaram para resolução da prova no segundo semestre de 2007. Elaborar uma dis-
tribuição de freqüências. 
23 24 26 31 35 37 39 40 42 42 
44 45 45 45 50 50 50 50 50 51 
52 57 59 59 60 60 61 61 61 62 
63 64 68 69 73 75 75 78 79 80 
81 82 89 90 92 92 93 94 95 98 
99 100 103 105 108 109 110 111 113 115 
116 117 118 119 120 
 
3) As notas 20 estudantes de estatística no primeiro exame do semestre: 
30 35 37 40 40 49 51 54 54 55 
57 58 60 60 62 62 65 67 74 89 
Elaborar uma distribuição de freqüências. 
 
4) A tabela abaixo apresenta 50 observações de uma característica dimensional. Elabore a distribuição de 
freqüências. 
12,58 12,97 13,45 13,53 13,59 13,61 13,62 13,78 13,97 14,21 
14,47 14,51 14,53 14,58 14,65 14,78 14,83 14,97 15,06 15,13 
15,17 15,23 15,29 15,37 15,40 15,45 15,51 15,62 15,67 15,73 
15,83 15,98 16,01 16,11 16,17 16,23 16,35 16,43 16,49 16,52 
16,67 16,83 16,97 17,05 17,13 17,22 17,3 17,48 17,8 18,47 
 
 
e) Limites de Classes 
li = limite inferior da classe 
Ls = limite superior da classe 
Obs.: Intervalo de classes desiguais: - ∆i = Ls - li = h para cada classe 
- densidade = fi / ∆i , indica a concentração por unidade 
da variável 
 - densidade % = fri / ∆i 
f) Ponto Médio 
 Pm = 
2
Ll si + 
 
4 - Tipos de Freqüências 
 
4.1 - Freqüência Simples (fi ) 
4.2 - Freqüências Relativas ( fri ) 
 fri = 
n
fi → proporção de cada valor da variável (Xi) em relação ao total 
As freqüências relativas são muito úteis quando se quer comparar resultados de dois levantamentos 
distintos. 
4.3 - Freqüências Acumuladas ( Fa ) 
 Soma de todas as freqüências até um dado valor 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ ––––---- ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
4 
EXEMPLO 
1) Os dados a seguir representam tempos (em minutos) medidos em certa operação. Organize esses dados 
em uma tabela de freqüências. Determine as freqüências relativas e acumuladas. 
5,1 6,3 6,7 7,3 7,8 8,5 9,4 10,4 
5,3 6,3 6,8 7,4 7,9 8,5 9,4 10,6 
5,3 6,3 6,8 7,5 7,9 8,6 9,5 10,8 
5,6 6,4 6,9 7,5 8,0 8,7 9,5 10,9 
5,8 6,4 6,9 7,6 8,0 8,8 9,6 11,2 
5,9 6,4 7,0 7,6 8,1 8,8 9,8 11,5 
6,0 6,5 7,1 7,6 8,2 8,9 9,9 11,8 
6,1 6,5 7,1 7,7 8,3 9,0 10,0 12,3 
6,2 6,6 7,2 7,7 8,3 9,1 10,2 12,7 
6,2 6,7 7,2 7,8 8,4 9,2 10,2 14,9 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Os dados a seguir representam a espessura de uma peça mecânica (em mm). Organize esses dados em 
uma tabela de freqüências. Determine as freqüências relativas e acumuladas. 
20,4 22,3 23,1 23,5 23,8 24,1 24,3 24,3 24,6 24,8 
24,9 25,0 25,1 25,3 25,3 25,4 25,6 25,7 25,8 26,0 
26,0 26,1 26,2 26,2 26,3 26,5 26,6 26,7 26,8 26,9 
27,1 27,1 27,3 27,5 27,7 27,9 28,0 28,3 28,7 29,6 
 
2) Os seguintes dados representam as contribuições fiscais, durante um ano, de 40 pessoas escolhidas alea-
toriamente: 
150 624 988 1248 2028 2392 3208 4108 
200 676 988 1404 2132 2704 3728 4404 
208 728 1040 1710 2132 2948 3926 4472 
468 780 1092 1716 2132 3172 3959 5132 
624 832 1196 1976 2236 3174 4040 5928 
Agrupe os dados numa distribuição de freqüências. 
 
3) Os valores seguintes referem-se a taxas médias de juros praticadas em 72 países: 
1,1 2,5 3,5 4,2 5,3 5,8 6,2 6,8 
1,4 2,8 3,5 4,4 5,4 5,8 6,2 6,8 
1,4 3 3,7 4,4 5,4 5,8 6,2 7,4 
1,4 3 3,7 4,7 5,5 5,8 6,5 7,5 
1,6 3,1 3,8 4,7 5,5 5,9 6,6 7,6 
1,7 3,1 3,9 4,7 5,6 6 6,6 7,6 
2 3,3 4 4,7 5,6 6 6,6 8,1 
2,4 3,4 4,1 5,1 5,6 6 6,7 9,4 
2,5 3,4 4,1 5,3 5,7 6,1 6,8 11,7 
a) Construa intervalos de classe, agrupando os dados numa distribuição de freqüências; 
b) Determine as freqüências relativas e acumuladas; 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADEESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ ––––---- ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
5 
4) Um estudo sobre o peso de frangos no momento de abate (kg) de uma certa raça, revelou os 
 seguintes dados. Elaborar a distribuição de freqüências da variável. 
3,5 3,5 3,61 3,61 3,63 3,67 3,7 3,7 3,74 3,75 
3,77 3,77 3,82 3,83 3,83 3,85 3,85 3,91 3,91 3,96 
3,97 4,01 4,01 4,01 4,01 4,04 4,05 4,11 4,2 4,5 
 
5) Contou-se o número de mortes a cada lote de 50 aves em uma granja, os resultados foram: 
5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 
8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 
10 10 10 11 11 11 11 11 12 12 12 13 13 13 15 15 
Elaborar a distribuição de freqüências da variável. 
 
6) A lista do número de irmãos dos alunos da turma H do 9º ano é a seguinte: 
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 
 Construa a tabela de freqüências. 
 
7) No âmbito de um estudo realizado, com o objetivo de caracterizar o comportamento dos clientes de um 
hipermercado, analisou-se, para 1000 veículos que entraram no estacionamento, num sábado, o número de 
ocupantes por veículo. Os resultados encontram-se resumidos na tabela seguinte: 
N.º ocupantes por veículo Freqüência Relativa (%) 
1 10.3 
2 14.7 
3 24.8 
4 19.7 
5 15.2 
6 10.0 
7 5.3 
a) Calcule as freqüências simples e as acumuladas. 
b) Calcule a percentagem de veículos com menos de três ocupantes. 
 
8) A listagem seguinte refere-se aos montantes de 40 empréstimos pessoais de uma companhia financeira, 
em reais. 
300 600 950 1500 
300 600 1000 1500 
350 650 1000 1600 
350 700 1000 1650 
450 750 1100 1800 
450 750 1200 1900 
500 850 1200 2000 
500 850 1250 2000 
550 900 1300 2500 
550 900 1400 3000 
a) Suponha que se deseja organizar os montantes de empréstimos numa distribuição de freqüências com um 
total de 7 intervalos de classe. Supondo intervalos de classe, com amplitudes iguais, qual seria a amplitude 
conveniente para os intervalos desta distribuição? 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ ––––---- ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
6 
b) Construa a distribuição de freqüências para os dados da tabela começando a primeira classe no limite 
inferior de 300 reais e usando a amplitude de 400 reais para os intervalos de classe. 
 
9) Num levantamento das condições de vida da população de Faro averiguou-se qual o número de indivíduos 
por família. De um total de 109 famílias interrogadas obtiveram-se os seguintes resultados: 
N.º de indivíduos por família 3 4 5 6 7 8 9 11 
N.º de famílias 37 32 23 8 4 2 2 1 
a) Determine as freqüências relativas e acumuladas; 
b) Indique o número de famílias com menos de 5 indivíduos e a percentagem de famílias com 6 indivíduos 
no máximo. 
 
10) A resposta a uma questão tem três alternativas: A, B, C. Uma amostra de 120 respostas forneceu 60 
respostas A, 24 B e 36 C. Mostre as distribuições de freqüência e de freqüência relativa. 
 
11) Uma distribuição de freqüência relativa parcial é dada a seguir: 
CLAS-
SE 
fri 
A 0,22 
B 0,18 
C 0,40 
D 
a) Qual a freqüência relativa da classe D? 
b) O tamanho total da amostra é 200. Qual a freqüência da classe D? 
c) Mostre a distribuição de freqüência. 
 
EXERCÍCIOS 
1) 
Xi máx = 29,6 A T = 9,2 
Xi min = 20,4 k = 4 
n = 40 h = 2,3 
 teste= 9,2 
Xi fi fri Fa 
20,4 |— 22,7 2 0,05 2 
22,7 |— 25,0 9 0,23 11 
25,0 |— 27,3 21 0,52 32 
27,3 |— 29,6 8 0,20 40 
∑= 40 1,00 
 
 
2) 
Xi máx = 5928 A T = 5778 
Xi min = 150 k = 6 
n = 40 h = 963 
 teste= 5778 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ ––––---- ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
7 
Xi fi 
150 |— 1113 14 
1113 |— 2076 7 
2076 |— 3039 7 
3039 |— 4002 6 
4002 |— 4965 4 
4965 |— 5928 2 
∑= 40 
 
3) 
Xi máx = 11,7 A T = 10,6 
Xi min = 1,1 k = 6 
n = 72 h = 1,8 
 teste= 10,8 
Xi fi fri Fa 
1,1 |— 2,9 11 0,15 11 
2,9 |— 4,7 19 0,26 30 
4,7 |— 6,5 27 0,39 57 
6,5 |— 8,3 13 0,18 70 
8,3 |— 10,1 1 0,01 71 
10,1 |— 11,9 1 0,01 72 
∑= 72 1,00 
 
4) 
Xi máx = 4,50 A T = 1,00 
Xi min = 3,50 k = 6 
n = 30 h = 0,17 
 teste= 1,02 
Xi fi 
3,50 |— 3,67 5 
3,67 |— 3,84 10 
3,84 |— 4,01 6 
4,01 |— 4,18 7 
4,18 |— 4,35 1 
4,35 |— 4,52 1 
∑= 30 
 
5) 
Xi fi 
5 3 
6 3 
7 5 
8 9 
9 4 
10 13 
11 5 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ ––––---- ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
8 
12 3 
13 3 
15 2 
∑= 50 
 
6) 
Xi fi 
0 3 
1 11 
2 6 
3 4 
4 2 
∑= 26 
 
7) 
Xi fri fi Fa 
1 10,3 103 103 
2 14,7 147 250 
3 24,8 248 498 
4 19,7 197 695 
5 15,2 152 847 
6 10,0 100 947 
7 5,3 53 1000 
∑= 100,0 1000 
 
25% veículos com menos de três ocupantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 
Xi máx = 3000 Xi min = 300 A T = 2700 
 
k = 7 h = 386 
Xi fi 
300 |— 700 13 
700 |— 1100 11 
1100 |— 1500 6 
1500 |— 1900 5 
1900 |— 2300 3 
2300 |— 2700 1 
2700 |— 3100 1 
∑= 40 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁUNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ ––––---- ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
9 
9) 
Xi fi fri Fa 
3 37 0,34 37 
4 32 0,29 69 
5 23 0,21 92 
6 8 0,07 100 
7 4 0,04 104 
8 2 0,02 106 
9 2 0,02 108 
11 1 0,01 109 
∑= 109 1,00 
 
69 famílias com menos de 5 indivíduos 
 
91% famílias com 6 indivíduos no máximo 
 
10) 
Alternati-
vas 
fi fri 
A 60 0,50 
B 24 0,20 
C 36 0,30 
∑ = 120 1,00 
 
11) 
a) 20% 
b) 40 
c) Classe fi fri 
 A 44 0,22 
 B 36 0,18 
 C 80 0,40 
 D 40 0,20 
 ∑ = 200 1,00