Apostila 5 - Probabilidades

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
1 
PROBABILIDADES 
 
1 - CONCEITOS PRELIMINARES 
 
O estudo de probabilidades diz respeito a experiências aleatórias, cujo resultado não pode ser 
conhecido "a priori" antes que a experiência seja efetivamente realizada e o seu resultado obser-
vado. 
Embora o resultado de uma experiência aleatória seja imprevisível existe um certo tipo de regula-
ridade presente neste tipo de experiência, e isto nos permite criar modelos para representar fe-
nômenos aleatórios. 
 
1.1- Experimento Aleatório (  ) 
Experimentos cujos resultados podem apresentar variações, mesmo quando realizados em condi-
ções praticamente iguais. 
Ex.: 1 = lançamento de um dado 
 2 = observação do sexo de recém-nascidos 
 3 = lançamento de uma moeda 
 4 = contagem de chamadas telefônicas por hora, em determinado aparelho 
 5 = jogar duas moedas 
 6 = observação de um fusível 
 7 = tempo, em horas, até a falha de um equipamento 
 8 = resultado de um exame de gravidez 
 9 = medir as alturas de indivíduos de 0,5m até 2m 
 
1.2- Espaço Amostral ( S ) 
Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório . 
Ex.: S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
 S2 = { M, F } 
 S3 = { C , K } onde, C = cara K= coroa 
 S4 = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... } 
 S5 = { CC, CK, KC, KK } 
 S6 = { B , D } B = bom D = defeituoso 
 S7 = { t; t  0 } onde, t = tempo 
 S8 = { positivo , negativo } 
 S8 = { valores de x, para 0,5  x  2 } onde, x = altura em metros 
 
Obs.:1) os resultados do experimento aleatório podem ser de natureza quantitativa e qualitativa. 
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2 
 2) os espaços amostrais podem ser finitos ou infinitos, em relação ao número de elemen-
tos. Os espaços amostrais finitos contém 2n resultados possíveis, sendo n os diferentes 
elementos. 
Dois tipos de conjuntos infinitos: enumeráveis (ou contáveis) e não enumeráveis. 
A={ 2,4,6,8,....} B={1,1/2,1/4,1/8,...} = contáveis 
C={x : 0  x  1} = não é contável 
Qualquer intervalo de números reais são conjuntos não enumeráveis 
 
1.3- Evento 
É qualquer subconjunto do espaço amostral, geralmente denotado por letras maiúsculas. 
Ex.:  = lançamento de um dado 
 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
 A = sair face par 
 
 
a) Evento Simples: formado apenas por um elemento do espaço amostral. 
Ex.: B = sair face 4 
 
b) Evento Composto: formado por dois ou mais elementos do espaço amostral. 
Ex.: C = sair face maior que 3 
 
c) Evento Certo: ocorre em qualquer das realizações do experimento. 
Ex.: D = sair face menor que 7 
 
d) Evento Impossível: não ocorre em qualquer realização do experimento. 
Ex.: E = sair face maior que 6 
 
e) Evento Complementar: dado um evento A qualquer, chamamos de complementar de A o 
evento formado pelos elementos do espaço amostral que não pertencem a A. 
 
 
 
 
 
 
 
f) União: é o evento que consiste dos elementos de A, ou de B, ou de ambos. 
S 
A 
S 
 
 
AC 
 
A 
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3 
 
 
 
 
 
g) Interseção: é o evento que consiste de todos elementos contidos simultaneamente em A e B. 
 
 
 
 
 
f) Eventos Mutuamente Exclusivos ou Excludentes: quando dois eventos, A e B, não possu-
em elementos em comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: todos os eventos complementares são necessariamente excludentes, mas a recíproca não é 
verdadeira. 
 
2 - DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADES 
Suponha que uma experiência aleatória tem apenas um número finito de resultados possíveis. 
Seja A um evento associado a essa experiência aleatória. Então a probabilidade do evento A é 
dada por: 
 
 P ( A ) = N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A 
 N. º total de casos possíveis 
 
3 - AXIOMAS 
Seja S o espaço amostral e A um subconjunto qualquer deste espaço. Uma função de probabili-
dade que atua sobre este espaço amostral satisfaz: 
a) 0  P(A)  1 
S 
A 
B 
S 
A B 
S 
A 
B 
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4 
b) P(S) = 1 
c) P() = 0 
c) P(A1 U A2 U A3 U...) = P(A1 ) + P (A2 ) + P(A3 ) + ... onde os Ai são mutuamente excludentes 
e) Se AC é o complemento de A, então: P (AC) = 1 - P (A) 
 
4 – TEOREMA DA SOMA 
P (A+B) = P (A) + P(B) - P (A  B) , se A  B   
P (A+B) = P (A) + P(B) , se A  B =  
 
5 - PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Sejam A e B eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral. Definimos probabilidade 
condicional de A dado que B ocorre (A/B) como: 
 P(A/B) = 
)B(P
)BA(P 
 , se P(B)  0 
 
Beventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero
BAeventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero
)B/A(P

 
 
6 - EVENTOS INDEPENDENTES 
Sejam A e B eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral. Se A e B são independentes, 
então: 
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B) 
DEFINIÇÃO: A e B são eventos independentes se P(A  B) = P(A).P(B). 
Obs.: 
 Para verificar se 3 eventos A, B e C são independentes, as 4 suposições deverão ser satisfei-
tas: 
1- P(ABC) = P(A). P(B). P(C) 
2- P(AB) = P(A). P(B) 
3- P(AC) = P(A). P(C) 
4- P(BC) = P(B) . P(C) 
Se apenas uma não for satisfeita, os eventos não são independentes. 
 Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois se A ocorre, B não 
ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não ocorrência do outro. 
 
7 - TEOREMA DO PRODUTO 
Sejam A e B eventos que pertencem ao mesmo espaço amostral. Então: 
P(A  B) = P(A). P(B/A) se A e B forem dependentes 
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5 
P(A  B) = P(A). P(B) se A e B forem independentes 
 
A generalização do teorema do produto é: 
Se os eventos A1 , A2 , ... An são dependentes: 
)A...AA/A(P)...AA/A(P).A/A(P).A(PAP 1n21n123121
n
1i
i 










 
Se os eventos A1 , A2 , ... An são independentes: 










 n
1i
in321
n
1i
i )A(P)A(P)...A(P).A(P).A(PAP  
 
8 - TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
Suponha que os eventos A1 , A2 , ... , Ai constituam uma partição de S associada ao experimento 
aleatório . Se B é um evento qualquer de S, então a sua probabilidade de ocorrência será dada 
por: 
P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + P(An).P(B/An) =  P(Ai).P(B/Ai) 
 
9 - TEOREMA DE BAYES 
 
Sejam A1 , A2 , ... , Ai eventos que formam uma partição de S. 
 
 
 A1 
 
 A2 
 
 B Ai 
 A3 
 
 
 
Seja B um evento desse espaço amostral. Sejam conhecidas P(Ai) e P(B/Ai). Então: 


 n
i
ii
jj
j
ABPAP
ABPAP
BAP
1
)/().(
)/().(
)/( , i = 1,...,n 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de: 
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6 
a) aparecer uma face ímpar; 
b) aparecer face menor que 2; 
c) aparecer uma face par. 
 
2) Suponha que A e B são eventos mutuamente exclusivos e P(A) = 0,20 e P(B) = 0,30. Então: 
a) P (AC) = 
b) P(BC) = 
c) P(A U B) = 
3) Três cavalos A, B e C estão numa corrida; A é duas vezes mais provável de ganhar que B e B 
é duas vezes mais do que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um? Qual a pro-
babilidade de que B ou C ganhe? 
 
4) Lance uma moeda e um dado. Determine: 
a) o espaço amostral; 
b) os eventos: 
 i) A = sair cara e um número par; 
 ii) B = sair um número primo; 
 iii) C = sair coroa e um número ímpar. 
c) o evento em que: 
 i) A ou B ocorre; 
 ii) A e B ocorrem; 
 iii) somente B ocorre. 
d) Quais dos eventos A, B e C são mutuamente exclusivos? 
 
5) Suponha um espaço amostral S constituído de 4 elementos, S = { a1 , a2 , a3 , a4 }. 
 Qual das funções define um espaço de probabilidade em S? Justifique as quatro. 
I – P(a1) = 1/2 P(a2) = 1/3 P(a3) = ¼ P(a4) = 1/5 
II – P(a1) = 1/2 P(a2) = ¼ P(a3) = -1/4 P(a4) = ½ 
III – P(a1) = 1/2 P(a2) = 1/4 P(a3) = 1/8 P(a4) = 1/8 
IV – P(a1) = 1/2 P(a2) = 1/4 P(a3) = 1/4 P(a4) = 0 
 
6) Lança-se um par de dados não-viciados. Se a soma é 6, qual a probabilidade de ter ocorrido a 
face 2 em um deles? 
 
7) Lança-se uma moeda não-viciada 3 vezes. Considere os eventos: 
A = 1o. lançamento é cara 
B = 2o. lançamento é cara 
C = exatamente 2 caras seguidas 
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7 
Quais eventos são independentes? 
 
8) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Três peças são retiradas aleatoriamente, uma 
após a outra. Encontre a probabilidade de todas essas três peças serem não-defeituosas. 
 
9) Sempre que três cavalos, A, B e C correm juntos, suas probabilidades de vitória são 1/2, 1/3 
e 1/6, respectivamente. Se os cavalos correm duas vezes, qual a probabilidade de C vencer 
a 1a. corrida e A na 2a. ? 
10) Três máquinas, A, B e C, produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do total de peças 
de uma fábrica. As percentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 
5%. 
a) Se uma peça é selecionada aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. 
b) Suponha que uma peça, selecionada aleatoriamente, seja considerada defeituosa. En-
contre a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina A. 
 
11) Sejam S = { a1 , a2 , a3 , a4 } e P uma função de probabilidade em S. Encontre: 
a) P(a1), se P(a2) = 1/3 , P(a3) = 1/6 , P(a4) = 1/9 
b) P(a1) e P(a2), se P(a3) = P(a4) = 1/4 e P(a1) = 2 P(a2) 
 
12) Numa classe há 10 homens e 20 mulheres; metade dos homens e metade das mulheres 
tem olhos castanhos. Ache a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser um 
homem ou ter olhos castanhos. 
 
13) Sendo 
3
1)( AP , 
4
3)( BP e  
12
11
 BAP , calcular P(A/B). 
 
14) Suponha que dois eventos A e B, associados a um experimento aleatório, sejam indepen-
dentes com P(A) = 1/2 e P(B) = 1/4. Determine P(A ∪ B). 
 
15) A tabela a seguir apresenta informações de alunos de uma universidade quanto às variá-
veis: Período, Sexo e Opinião sobre a reforma Agrária. Determine a probabilidade de esco-
lhermos: 
i. Uma pessoa do sexo masculino e sem opinião sobre a reforma agrária? 
ii. Uma mulher contrária à reforma agrária? 
iii. Dentre os estudantes do noturno, um que seja a favor da reforma agrária? 
iv. Uma pessoa sem opinião, sabendo-se que é do sexo feminino? 
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8 
Contra A Favor Sem Opinião
Feminino 2 8 2
Masculino 8 9 8
Feminino 4 8 2
Masculino 12 10 1
Noturno
Período Sexo
Reforma Agrária
Diurno
 
 
16) Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de 
direita tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30% e o de esquerda 40%. Em 
sendo eleito, a probabilidade de dar efetivamente prioridade para Educação e Saúde é de 
0,4; 0,6 e 0,9 para candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente. 
a) Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo? 
b) Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a elei-
ção? 
17) Em uma universidade, 2000 estudantes de um curso de estatística, em determinado ano, 
foram classificados de acordo com o tipo de esporte que praticam. Futebol é praticado por 
260 estudantes, natação por 185 estudantes e musculação por 210 estudantes, sendo que 
alguns estudantes praticam mais de um desses esportes. Assim, tem-se 42 estudantes que 
praticam natação e musculação, 12 futebol e musculação, 18 futebol e natação e 3 praticam 
as três modalidades. Se um desses estudantes é sorteado ao acaso, qual é a probabilidade 
de: 
a) praticar somente musculação; 
b) praticar pelo menos um destes esportes; 
c) praticar pelo menos dois destes esportes; 
d) não praticar nenhum destes esportes. 
 
18) Para cada um dos experimentos abaixo, descreva o espaço amostral e conte seus elemen-
tos. 
a) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num intervalo de uma 
hora. 
b) Um fichário com dez nomes contém três nomes de mulheres. Seleciona-se ficha após fi-
cha, até o último nome de mulher ser selecionado, e anota-se o número de fichas sele-
cionadas. 
c) De um grupo de cinco pessoas {A, B, C, D, E}, sorteiam-se duas, uma após outra, com 
reposição, e anota-se a configuração formada. 
d) Como ficaria o espaço amostral do item (c) se as retiradas fossem sem reposição? 
 
19) De uma ninhada contendo 10 ratos, 8 são normais e dois são albinos. Selecionamos dois 
ratos dessa ninhada. Sejam os eventos: 
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9 
A: A primeira retirada resulta num rato normal; 
B: A segunda retirada resulta num rato normal. 
Se as retiradas são sem reposição, verifique se as afirmações abaixo são falsas. 
a) P(A) = P(B); 
b) A e B são independentes. 
 
20) Uma escola do ensino médio do interior de São Paulo tem 40% de estudantes do sexo mas-
culino. Entre estes, 20% nunca viram o mar, ao passo que, entre as meninas, essa porcen-
tagem é de 50%. Qual é a probabilidade de que um aluno selecionado ao acaso seja: 
a) Do sexo feminino e nunca tenha visto o mar? 
b) Do sexo feminino ou nunca tenha visto o mar? 
 
21) Uma Universidade quer saber se os estudantes de Graduação têm interesse na continuidade 
de seus estudos, na pós-graduação. 10000 estudantes foram classificados pela Classe Social 
a qual pertencem, a saber, Alta, Média e Baixa. Dentre os 10000 estudantes 1500 perten-
cem à classe Alta e pretendem continuar seus estudos. 2500 estudantes pertencem à classe 
média e dentre estes metade não pretendem continuar seus estudos. Verificou-se que 6000 
estudantes não pretendem continuar seus estudos e dentre estes 2500 estão na classe soci-
al Baixa. 
Se escolhemos um estudante ao acaso, 
a) Qual a probabilidade de pretender continuar seus estudos sabendo-se que é da classe 
média? Você diria que os eventos “Não continuar os estudos” e “Pertencer à Classe Mé-
dia” são independentes?Justifique. 
b) Qual a probabilidade de pertencer à classe baixa e pretender continuar seus estudos? 
Você diria que os eventos “Continuar os estudos” e “Pertencer à Classe Baixa” são inde-
pendentes?Justifique. 
 
22) Em relação ao Exercício 21, os 10000 estudantes da Universidade também foram classifica-
dos de acordo com as variáveis Sexo e Área de Estudo. Responderam à seguinte questão: 
Você é a favor, contrário, ou não tem opinião sobre a “democratização do acesso à Universi-
dade para estudantes da Escola Pública”? 
Os resumos das respostas estão tabulados no quadro: 
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10 
 
Se dentre os 10000 alunos escolhemos um aleatoriamente, qual a probabilidade de: 
a) Ser do sexo masculino e ser contrário; 
b) Ser favorável, sabendo-se que é da área das humanas; 
c) Ser do sexo masculino e da área das humanas, sabendo-se que não tem opinião. 
 
23) Em uma cidade existem três jornais, A, B e C. Constatou-se que entre 2000 famílias 940 
assinam o jornal A; 500 assinam o jornal B; 630 assinam o jornal C; 220 assinam os jornais 
A e B; 440 assinam os jornais A e C; 280 assinam os jornais B e C e 150 assinam os três 
jornais. 
a) Qual a probabilidade de que uma família escolhida ao acaso assine ao menos dois jor-
nais? 
b) Qual a probabilidade de que uma família escolhida ao acaso assine exatamente dois jor-
nais? 
 
24) Um barco pesqueiro desapareceu e presume-se que o seu desaparecimento se deva a uma 
das três possíveis causas: 
C1- afundou quando experimentava um sofisticado sistema de pesca para o qual não estava mi-
nimamente aparelhado; 
C2- foi seqüestrado por transportar um carregamento de material nuclear; 
C3- foi destruído por um temporal. 
Três brigadas de busca e salvamento, B1, B2 e B3 foram enviadas com a missão de procurar 
o barco, investigando cada uma delas uma das causas (i.e. a brigada Bi investiga a causa 
Ci). Suponha que: i) as três causas do desaparecimento são igualmente prováveis; ii) a pro-
babilidade de a brigada Bi ser bem sucedida quando de fato o barco desapareceu devido a 
causa Ci é 0,1, 0,7 e 0,8 respectivamente. 
 Sabendo que a investigação da brigada B2 resultou infrutífera, calcule a probabilidade: 
a) De o barco ter sido seqüestrado. 
b) De o barco ter sido destruído por um temporal. 
 
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11 
25) Numa urna existem bolas de plástico, todas do mesmo tamanho e peso, numeradas de 2 à 21 
sem repetição. A probabilidade de se sortear um número primo ao pegarmos uma única bola, 
aleatoriamente, é de: 
 
26) Dois dados não viciados são lançados. A probabilidade de obter-se soma maior ou igual a 5 
é: 
 
27) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 à 20. Seja o experimento: retirada de uma bola. 
Considere os eventos: 
A = a bola retirada ser múltiplo de 2 
B = a bola retirada ser múltiplo de 5 
 Então, a probabilidade de se ocorrer o evento A ou B é: 
 
28) A probabilidade de você ganhar uma bicicleta numa rifa de 100 números na qual você com-
prou 4 números é: 
 
29) Em uma bandeja há 10 pastéis dos quais 3 são de carne, 3 de queijo e 4 de camarão. Se 
Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposição, dois pastéis desta bandeja, a probabilidade 
de os dois pastéis serem de camarão é: 
 
30) Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peças deste lote, sem reposi-
ção, a probabilidade de que todas sejam não defeituosas é: 
 
31) Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: 
a) realizar um exame de matemática e registrar as notas obtidas (0 a 100); 
b) um exame médico para ingresso em um clube de futebol (passar ou não passar); 
c) pesar certo número de recém nascidos e anotar-lhes o peso. A experiência indica que o peso 
não é inferior a 1 kg nem superior a 6 kg; 
d) lançamento de um dado e uma moeda; 
e) investigam-se famílias com 4 crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo; 
f) de um grupo de 5 pessoas: A, B, C, D e E sorteiam-se duas, uma após a outra, com reposi-
ção, e anota-se a configuração formada. 
 
32) Quais dos seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos: 
a) chover / não chover 
b) grau B em estatística /grau C no mesmo teste 
c) dirigir um carro / andar a pé 
d) dirigir um carro / falar 
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12 
e) nadar / sentir frio 
f) ganhar num jogo / perder no mesmo jogo 
g) extrair uma dama de um baralho / extrair uma carta vermelha de um baralho 
 
33) Se P(A) = 1/2 e P(B) = 1/4 e A e B são eventos mutuamente exclusivos, calcule: 
a) P(AC) b) P(BC) c) P(A  B) d) P(A  B) 
 
34) São lançados dois dados. Qual a probabilidade de: 
a) obter-se um par de pontos iguais? 
b) um par de pontos diferentes? 
c) um par em que o primeiro é menor que o segundo? 
d) a soma dos pontos ser um número par? 
e) obter-se soma 7, se o par de pontos é diferente? 
f) obter-se soma 6, dado que o par de pontos é igual? 
g) a soma ser 14 ? 
 
35) Qual a probabilidade de acidentes de trabalho, por ano, em uma determinada indústria se 
uma amostra aleatória de 10 firmas, que empregam um total de 8.000 pessoas, mostrou que 
ocorreram 400 acidentes de trabalho durante os últimos doze meses? 
 
36) Um grupo de 60 pessoas apresenta a seguinte composição: 
 
Uma pessoa é escolhida ao acaso. Pergunta-se: 
a) qual a probabilidade de ser homem? 
b) qual a probabilidade de ser adulto? 
c) qual a probabilidade de ser menor e ser mulher? 
d) sabendo-se que a pessoa escolhida é adulto, qual a probabilidade de ser homem? 
e) dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor? 
 
37) Em um jogo deve-se acertar um número entre 0 e 999 previamente sorteado. Pede-se a um 
participante do jogo que diga um número nesse intervalo. Qual a probabilidade dessa pessoa a-
certar o número sorteado? Qual a probabilidade de dizer um número incorreto? 
 
38) Carlos chega atrasado à universidade 25% das vezes, e esquece o material da aula 20% das 
vezes. Admitindo que essas ocorrências sejam independentes, determine a probabilidade de: 
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13 
a) Carlos chegar atrasado 2 dias seguidos 
b) Carlos chegar atrasado e sem o material de aula 
c) Carlos chegar na hora e com o material de aula 
d) Carlos chegar na hora e sem o material de aula 
 
39) A probabilidade de que você resolva corretamente a 1ª questão de uma prova é 1/3 e de que 
seu colega resolva corretamente é 2/5, sendo que ambos tentam, sozinhos, resolvê-la. Considere 
o experimento em que se verifica se a questão foi resolvida corretamente ou não pelos dois. Qual 
a probabilidade de pelo menos um resolver a questão corretamente a questão. 
 
40) Considere a distribuição de uma população de 120 famílias segundo uso de programas de 
alimentação popular por grau de instrução do chefe da família: 
 
Sorteando-se uma família nessa população, calcule a probabilidade: 
a) de ser família usuária de programas de alimentação popular; 
b) de ser família cujo chefe tenha segundo grau; 
c) de ser família usuária de programas de alimentação popular e o chefe da família tenha segun-
do grau; 
d) de ser família cujo chefe tenha segundo grau, sabendo-se que a família é usuária de progra-
mas de alimentação popular; 
e) de ser família usuária de programas de alimentação popular e o chefe da família não tenha 
segundo grau. 
f) Verifique se existe associação entre o uso de programas de alimentação popular e o grau de 
instrução do chefe da família. 
 
41) Uma pesquisa do PC World foi realizada com 4000 proprietários de computadores pessoais, e 
verificou que 992 dos computadores apresentaram falhas num intervalo de 02 anos após a com-
pra. Tomando por base esses resultados, qual a probabilidade de você comprar um computador 
pessoal e ele apresentar problema nos próximos dois anos? 
 
42) Um grupo de alunos é composto de 15 homens e 35 mulheres. O professor sorteia aleatoria-
mente alguém do grupo. Qual a probabilidade de não ser mulher? 
 
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14 
43) A tabela abaixodescreve os alunos registrados pelo período de uma semana num curso. A 
distribuição segue de acordo com o sexo e com a idade. 
 
Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade: 
a) de ser mulher? 
b) de ser mulher e ter acima de 40 anos? 
c) de ser homem e ter menos de 20 anos? 
d) de ser mulher entre 20 e 40 anos? 
e) de ser homem e ter menos de 40 anos? 
f) ter entre 20 e 40 anos? 
 
44) Um casal planeja ter 3 filhos. Determine a probabilidade de nascerem: 
a) três homens; 
b) dois homens e uma mulher. 
 
45) Uma sala contém 10 homens e 20 mulheres, sendo que a metade dos homens e três quartos 
das mulheres têm olhos castanhos. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Determine: 
a) a probabilidade de ser homem; 
b) a probabilidade de ser homem e ter olhos castanhos; 
c) a probabilidade de ser mulher com olhos castanhos; 
d) a probabilidade de ter olhos castanhos; 
e) a probabilidade de ser mulher ou ter olhos castanhos; 
f) a probabilidade de ser mulher, dado que a pessoa escolhida tem olhos castanhos. 
 
46) Seja uma família sorteada de uma população de 120 famílias, as quais se distribuem confor-
me a tabela. 
 
 
Calcule a probabilidade de a família sorteada: 
a) Ser matriculada no programa bolsa escola; 
b) ter o chefe da casa com o 2o grau; 
c) Ser matriculada no programa bolsa escola e o chefe da casa ter o 2o grau; 
d) Ser matriculada no programa bolsa escola, considerando que o sorteio tenha sido restrito às 
famílias cujo chefe da casa tem o 2o grau. 
 
47) Dos 100 alunos de uma turma, 40 gostam de álgebra, 30 gostam de geometria, 10 gostam 
de álgebra e geometria, e há os que não gostam de álgebra nem de geometria. Um aluno é esco-
lhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele gostar de: 
a) álgebra? b) geometria? c) álgebra e geometria? d) álgebra ou geometria? 
 
GABARITO 
1) a) 50% b) 16,67% c) 50% 
2) a) 80% b) 70% c) 50% 
3) P(A) = 57,14% P(B) = 28,57% P(C) = 14,29% P(B U C) = 42,86% 
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15 
4) a) 
 
1 2 3 4 5 6
c 1c 2c 3c 4c 5c 6c
k 1k 2k 3k 4k 5k 6k 
b) A = { 2c, 4c, 6c } 
 B = { 2c, 2k, 3c, 3k, 5c, 5k } 
 C = { 1k, 3k, 5k } 
c) A ou B = { 2c, 2k, 3c, 3k, 4c, 5c, 5k, 6c } 
 A e B = { 2c } 
 somente B = { 2k, 3c, 5c } 
d) Somente A e C são mutuamente exclusivos. 
5) 
I – 1
60
77
5
1
4
1
3
1
2
1
 logo, I não é função de probabilidades 
II –  
4
1aP 3  é um número negativo, logo, II não é função de probabilidades 
III – os valores são não negativos e a soma das probabilidades é igual a 1, logo, III é função de 
probabilidades 
IV – os valores são não negativos e a soma das probabilidades é igual a 1, logo, IV é função de 
probabilidades 
16) 40% 
17) A e B são independentes, A e C são independentes e B e C são dependentes 
18) 25,45% 
19) 8,33% 
20) a) 3,7% b) 40,54% 
21) a) P(a1) = 
18
7
 b) P(a1) = 
3
1
 e P(a2) = 
6
1
 
22) 66,67% 
23) P(A/B) = 22,22% 
24) P(A ∪ B) = 62,5% 
25) i) 12,16% ii) 8,11% iii) 48,65% iv) 15,38% 
16) a) 34% b) 18,18% 
17) a) 7,95% b) 29,3% c) 3,3% d) 70,7% 
18) a) S = { 0, 1, 2, 3, ..., n } onde n = no. máximo de peças produzidas 
 b) S = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } 
 c) 
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16 
A B C D E
A AA AB AC AD AE
B BA BB BC BD BE
C CA CB CC CD CE
D DA DB DC DD DE
E EA EB EC ED EE 
d) 
B AB
C AC
D AD
E AE
A BA
C BC
D BD
E BE
A CA
B CB
D CD
E CE
A DA
B DB
C DC
E DE
A EA
B EB
C EC
D ED
A
B
C
D
E
 
19) a) A afirmação é verdadeira, P(A) = P(B) = 80% 
b) A e B são dependentes pois não há reposição dos elementos selecionados. 
20) a) 30% b) 68% 
21) a) 50% 
 N = não pretende continuar os estudos 
 M = Classe Média 
 N e M são dependentes pois P(N)= 0,60  P(N/M) = 0,50 
b) 12,5% 
 C = pretende continuar os estudos 
 B = Classe Baixa 
 C e B são dependentes pois P(B)= 0,375  P(B/C) = 0,3125 
22) a) 25,5% b) 14,71% c) 20,83% 
23) a) 32% b) 24,5% 
24) a) 21,43% b) 14,28 
25) 40% 26) 83,33% 27) 60% 28) 4% 29) 13,33% 30) 71,58% 
31) a) S = { x, 0  x  100} onde x = notas obtidas 
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17 
 b) S = {passar, não passar} 
 c) S = { x, 1  x  6} onde x = peso de recém nascidos 
 d) S = 
 
1 2 3 4 5 6
c 1c 2c 3c 4c 5c 6c
k 1k 2k 3k 4k 5k 6k 
 c = cara k = coroa 
 e) S= 
F M
F FF FM
M MF MM 
 F = feminino M = masculino 
 f) S = 
A B C D E
A AA AB AC AD AE
B BA BB BC BD BE
C CA CB CC CD CE
D DA DB DC DD DE
E EA EB EC ED EE 
32) a – b – c - f 
33) a) 50% b) 75% c) 75% d) 0 
34) a) 16,67% b) 83,33% c) 41,67% d) 50,00% e) 16,67% f)16,67% g)0 
35) 5% 
36) a) 55% b) 46,67% c) 28,33% d) 64,29% e) 62,96%Um 
37) 0,1% - 99,9% 
38) a) 6,25% b) 5% c) 60%d) 15% 
39) 60% 
40) a) 65% b) 36,67% c) 20,83% d) 32,05% e)44,17% f) Sim 
41) 24,8% 42) 30% 
43) a) 34,2% b) 12,7% c) 3,8% d) 16,5% e) 41,8% f)54,4% 
44) a) 12,5% b) 37,5% 
45) a) 33,33% b) 16,67% c) 50% d) 66,67% e) 83,33% f) 75% 
46) a) 62,5% b) 37,5% c) 20,83% d) 55,55% 
47) a) 40% b) 30% c) 10% d) 60%