Modelos Teóricos Discretos em Estatística

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ –––– ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
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MODELOS TEÓRICOS DISCRETOS 
 
1 – Distribuição de Bernoulli 
Quando executamos um experimento do tipo Bernoulli, temos uma variável aleatória com o seguin-
te comportamento: 
� Suponhamos a realização de um experimento E, cujo resultado pode ser um sucesso, se a-
contecer o evento que nos interessa, ou um fracasso, o evento não se realiza. 
� Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p + q = 1. 
Definimos a seguinte variável aleatória discreta: 
X: nº de sucessos em uma única tentativa do experimento. 
X assume os valores: 
( ) ( ) p1XPe
sucersso,1
q0XPcom
fracasso,0
X ==





=== 
então: 
X ~ Ber (p) 
x1xqp)xX(P −== 
com: 
( )
( )
( ) qpXDP
qpXVAR
pXE
.
.
=
=
=
 
 
EXEMPLO: 
1) Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: nº de bo-
las verdes. Calcular P(X) e determinar E(X), Var(X). 
 
 
 
 
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2 – Distribuição Binomial 
Seja um experimento unitário, que admite somente dois resultados: 



−
−
fracassoF
sucessoS
 
com probabilidades P(S) = p e P(F)= q 
Chama-se de experimento binomial aquele que: 
� consiste em n repetições de Bernoulli; 
� cujas repetições são independentes; 
� a probabilidade de sucesso em cada repetição é sempre igual; 
� estamos interessados na ocorrência de k sucessos e (n-k) fracassos, então: 
 
( ) knk qp
k
n
kXP −





== onde k=0,1,2,...,n sendo: ( )!!
!
knk
n
k
n
−
=





 
logo: 
X ~ B (n, p) 
com: 
( )
( )
( ) qpnXDP
qpnXVAR
npXE
..
..
=
=
=
 
 
3 – Distribuição de Poisson 
Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se: 
� x = 0, 1, 2, 3, 4, ...; 
� ( ) ( )
!k
ekXP
kλλ−
== 
� µ = E(X) = λ 
� σ2 (X) = λ 
logo: 
X ~ Pois (λ) 
A distribuição de Poisson é empregada quando se deseja contar o número de eventos de certo tipo 
que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou volume. Tem vasta aplicação em problemas 
de fila de espera, controle de estoques, controle de qualidade, programação de equipamentos, etc. 
Ex.: 
- número de chamadas telefônicas recebidas em uma central; 
- número de falhas de um computador num dia; 
- número de relatórios de acidentes enviados a uma CIA de Seguros numa semana. 
Usualmente supõe-se que a probabilidade de se obter mais de um evento num intervalo muito pe-
queno é desprezível. 
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Outra aplicação deste modelo ocorre quando uma variável aleatória X admite distribuição Binomial 
com n muito grande (n>30) e com a probabilidade p de sucesso muito pequeno (p<0,05). Neste 
caso fazemos: 
λ = n . p 
e selecionamos como aproximação para a Binomial uma distribuição de Poisson. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Sabe-se que a probabilidade de uma lâmpada elétrica ser defeituosa é de 10%. Determinar a 
probabilidade de que, entre 6 lâmpadas testadas, sejam defeituosas: 
a) nenhuma delas; 
b) pelo menos uma delas; 
c) mais de uma; 
d) menos de duas; 
e) três ou mais. 
 
2) A probabilidade de um estudante graduar-se quando ingressa em uma universidade é de 60%. 
Determine a probabilidade de, entre 5 estudantes: 
a) nenhum se graduar; 
b) pelo menos um se graduar; 
c) mais de três se graduarem. 
 
3) Um cronista esportivo acerta o vencedor 6 em cada 10 partidas de futebol. Se uma pessoa 
qualquer tentar adivinhar o vencedor, qual a probabilidade dela igualar ou superar o resultado 
do cronista? 
 
4) Uma companhia que vende equipamentos eletrônicos verifica que de todas as máquinas por ela 
instaladas, 40% exigem novos ajustamentos após a instalação: 
a) Em 4 equipamentos instalados, qual a probabilidade de pelo menos um equipamento neces-
sitar ajustamento? 
b) Se a empresa perde R$ 2.000,00 por lote de 4 equipamentos com pelo menos um equipa-
mento defeituoso, qual o valor esperado do prejuízo num total de 300 lotes instalados? 
 
5) Uma pesquisa revelou que 20% dos estudantes que se matriculam numa determinada disciplina 
de Estatística não completam o semestre. Considerando 10 alunos, determine a probabilidade 
de que dois ou menos não completem o semestre. 
 
6) Um time A tem probabilidade igual a 0,60 de vitória sempre que joga. Se A joga 4 partidas in-
dependentes, encontre a probabilidade de vencer: 
a) exatamente duas partidas; 
b) pelo menos uma partida; 
c) mais da metade das partidas. 
 
7) A probabilidade de um parafuso produzido por uma empresa ser defeituoso é 0,03. Seja X a 
variável “número de parafusos defeituosos em envelopes de 500 parafusos”. 
a) Calcule E(X) e Var(X). 
b) Suponha que se compre 100 destes envelopes. Quantos parafusos deve-se esperar que se-
jam defeituosos? 
 
8) Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de 1 defeito por metro qua-
drado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2x2m? 
 
 
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9) Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000. Em uma cidade 
de 100.000 habitantes, encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 ou mais suicídios 
 
10) A probabilidade de um atirador acertar o alvo num único tiro é 0,05. Sabendo-se que o atira-
dor disparou 10 tiros, determinar a probabilidade de que: 
a) nenhum tiro acerte o alvo. 
b) mais de 2 tiros acertem o alvo. 
 
11) Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. En-
contre a probabilidade de que uma dada página contenha: 
a) nenhum erro. 
b) b) exatamente 2 erros. 
 
12) A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa, num dia é 0,1. Qual a probabi-
lidade de que em 20 peças produzidas pela máquina num dia, ocorram 3 defeituosas? 
 
13) Um telefone recebe em média 0,25 chamadas por hora. Qual a probabilidade de em 4 horas 
a) receber no máximo 2 chamadas? 
b) receber exatamente 3 chamadas? 
c) receber no mínimo 3 chamadas? 
 
14) Suponha que 2% dos itens produzidos por uma fábrica sejam defeituosos. Encontre a probabi-
lidade de existirem 3 defeituosos em uma amostra de 100. 
 
15) Admitindo-se que os nascimentos de meninos e meninas sejam iguais, calcular a probabilidade 
de um casal com 6 filhos ter 4 filhos homens e 2 mulheres. 
 
 
GABARITO 
 
1) a) 53,14% b) 46,86% c) 11,43% d) 88,57% e) 1,59% 
2) a) 1,02% b) 98,98% c) 33,70% 
3) 63,31% 
4) a) 87,04% b) R$522.400,00 
5) 67,78% 
6) a) 34,56% b) 97,44% c) 52,48% 
7) a) E(X) = 15 e Var(X) = 14,55 b) 1.500 parafusos 
8) 19,54% 
9) a) 1,83% b) 7,33% c) 14,65% d) 90,84% 
10) a) 59,87% b) 1,16% 
11) a) 44,93% b) 14,38% 
12) 19,01% 
13) a) 91,97% b) 6,13% c) 8,03% 
14) 18% 
15) 23,44%