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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I Aula 1: Derivadas (parte 1) Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) PLANO DE ENSINO 1 DERIVADAS: CONCEITUAÇ ÃO 2 DERIVADAS: REGRAS BÁSICAS 3 DERIVADAS: ORDEM SUPERIOR 4 DERIVADAS: REGRA DA CADEIA 5 PRÓXIMOS PASSOS Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Plano de Ensino (Conteúdo Programático) Unidade I - DERIVADAS 1.1 Conceituação de Derivadas 1.2 Regras Básicas de Derivação 1.3 Derivadas de ordem superior 1.4 A Regra da Cadeia 1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas 1.6 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 1.7 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas 1.8 Derivação Implícita 1.9 Equação de reta tangente e normal Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Plano de Ensino (Conteúdo Programático) Unidade II - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 2.1 Taxas Relacionadas 2.2 Máximos e Mínimos, traçado de curvas 2.3 Modelagem e Otimização Unidade III - INTEGRAÇÃO 3.1 Integral Indefinida 3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição 3.3 Integrais Definidas 3.3 Teorema Fundamental do Cálculo 3.4 Cálculo de áreas como limites e áreas pelo cálculo infinitesimal Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Plano de Ensino (Conteúdo Programático) Unidade IV - APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS 4.1 Cálculo de Volumes por fatiamento 4.2 Cálculo de Volumes pela rotação em torno de um eixo 4.3 Cálculo do Comprimento curvas planas Unidade V - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 5.1 Procedimentos Algébricos 5.2 Integração por Partes 5.3 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 5.4 Regra de L’Hôpital e Integrais Impróprias Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Bibliografia Básica BROCHI, André. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015. FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R. THOMAS, George B. Cálculo. 11 ed. V.1- São Paulo: Ed. Addison-Wesley, 2009. 2 v. LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v. Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Bibliografia Complementar AVILA, Geraldo. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro: LTC. 1ª Edição, 1998. HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. 10 ed. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2011. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar, 8: limites, derivadas, noções de integral. 5. ed. rev e ampl. São Paulo: Atual, c1995. MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1986. v. SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 2008. 2 v. Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Conceituação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Conceituação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Taxa de variação Conceituação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Conceituação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) • determinar taxas de variações instantâneas; • obter máximos e mínimos de funções; • detalhar o comportamento de funções. Engenharia: funções modelam matematicamente fenômenos de interesse. Recursos matemáticos que permitem detalhar o comportamento das funções. PERMITEM AO ENGENHEIRO CONHECER OS FENÔMENOS ESTUDADOS. Aplicações da derivada Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) • Obter a derivada através do cálculo de limites nem sempre é tarefa fácil; • O cálculo pode se transformar em uma tarefa árdua e penosa; • Algumas regras básicas facilitarão o processo. Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) • Estudamos uma função s(t) que representava a posição de uma partícula no tempo; • Vimos que a sua derivada, v(t), representava a variação da sua velocidade no tempo; • Afinal, a velocidade é a taxa de variação posição, em relação ao tempo t; • A derivada de uma função indica sua taxa de variação; • A aceleração de um móvel indica a variação de sua velocidade. • Logo, a função a(t) que fornece a aceleração de um móvel, no instante t, é a derivada v’(t) de sua velocidade. Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Sendo s(t) a função posição, v(t) a velocidade e a(t) a aceleração: A função aceleração é a derivada de segunda ordem da função posição s(t). Derivadas de Ordem Superior )(')( tstv )(')( tvta )('')( tsta Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) • derivada de segunda ordem: , ou • derivada de terceira ordem: , ou • derivada de quarta ordem: y(4), f (4) ou • derivada de quarta ordem: y(4), f (4) ou Derivadas de Ordem Superior ''y )('' xf 2 2 dx yd '''y )(''' xf 3 3 dx yd 4 4 dx yd n n dx yd Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Uma partícula desloca-se segundo a função horária s em metros e t em segundos, com 0 t 3. Derivadas de Ordem Superior 2 23)( 3 2 tttts Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Derivadas de Ordem Superior )´()( tstv Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Derivadas de Ordem Superior )´´()´()( tstvta Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Posição, Velocidade , aceleração Derivadas de Ordem Superior )´´()´()( tstvta Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Considere y uma função de t em que t, por sua vez, é uma função de x. y é a função composta Lê-se: “função f da g de x” Regra da Cadeia )(tfy )(xgt ))(( xgfy ))(( xgf Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) DEFINIÇÃO: Se e são funções deriváveis em t e x, respectivamente, então a derivada de y em relação a x, , é dada por: Regra da Cadeia )(tfy )(xgt dx dy dx dt dt dy dx dy Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Regra da Cadeia 23 2 xt ty Assuntos da próxima aula: 1. Derivadas: Funções Trigonométricas 2. Derivadas: Funções TrigonométricasInversas 3. Derivadas: Funções Exponenciais e Logarítmicas Slide 1 Slide 2 Slide 3 Slide 4 Slide 5 Slide 6 Slide 7 Slide 8 Slide 9 Slide 10 Slide 11 Slide 12 Slide 13 Slide 14 Slide 15 Slide 16 Slide 17 Slide 18 Slide 19 Slide 20 Slide 21 Slide 22 Slide 23 Slide 24 Slide 25 Slide 26 Slide 27 Slide 28 Slide 29 Slide 30
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