APRESENTACAO DA AULA 11

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CCE0044 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Aula 11: Cálculo de volumes: fatiamento
Unidade IV: Aplicações de integrais definidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 11: cálculo de volumes - fatiamento 
CÁLCULO de VOLUMES: 
FATIAMENTO
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PASSOS
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Exemplo: cálculo do volume do cilindro
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Horizontalizando o cilindro, podemos dizer que sua 
altura vai de a até b, ou seja, vale b – a
 
Percebe-se também que todas as seções são iguais 
(cilindro).
a bx1 x2
x
Exemplo: cálculo do volume do cilindro
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Pode-se imaginar que o cilindro poderia ser 
representado por vários cilindros de mesma seção 
com alturas pequenas. Para isso bastaria que 
dividíssemos o trecho a até b em uma determinada 
quantidade de fatias (fatiamento).
A soma dos volumes dos cilindros pequenos seria 
igual ao volume do cilindro grande.
Exemplo: cálculo do volume do cilindro
a bx1 x2
x
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Considerando uma largura de fatia tão pequena a 
ponto de imaginarmos ser de um tamanho 
infinitesimal, podemos chamá-la de de dx.
Dessa forma, o volume de uma fatia seria calculado 
por:
A(x) . dx
Exemplo: cálculo do volume do cilindro
a bx1 x2
x
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Como o que interessa é a soma do volume de 
todos as fatias, pode-se dizer que o volume do 
cilindro pode ser calculado desta forma: 
Exemplo: cálculo do volume do cilindro
a bx1 x2
x
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Exemplo: cálculo do volume do cilindro
a bx1 x2
x
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Pensando em volumes genéricos...
Considere o sólido S, que se estende ao 
longo do eixo x e que é limitado à esquerda e 
à direita, respectivamente, pelos planos 
perpendiculares ao eixo x em a e b.
Como calcular seu volume?
Por fatiamento, seguindo a ideia 
da soma de Riemann
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Vamos fatiar o sólido, calcular o volume de cada 
fatia e somar os volumes!
Como pode-se ver ao lado, se forem geradas 
poucas fatias o resultado não será bom.
Mas e se fatiarmos em infinitos 
pedaços?
Pensando em volumes genéricos...
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Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
x1 x20 9
x
Horizontalizando a pirâmide percebe-se que, tal 
qual o cilindro, a altura vai de 0 até 9, ou seja, vale 
9 - 0 = 9
Diferentemente do cilindro, as duas seções 
demarcadas nos planos de corte são diferentes.
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x1 x20 9
x
Seguindo o mesmo raciocínio, vamos proceder o 
fatiamento da pirâmide, gerando fatias muito 
finas. Vamos considerar as alturas de cada fatia 
tão pequenas (infinitesimais), que podemos 
assumi-las como de valor igual a dx.
Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
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x1 x20 9
x
A ideia agora é calcular o volume de cada fatia e 
somar.
Raciocínio:
• Se as fatias forem grossas, as áreas de cada face 
da fatia serão bem diferentes;
• Se as fatias forem finas, as áreas de cada face da 
fatia serão quase iguais;
• Se as fatias forem infinitesimais, as áreas serão 
iguais.
Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
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x1 x20 9
x
Se as fatias forem infinitesimais, as áreas serão iguais
Portanto, o volume de cada fatia será: 
A(x) . dx
e o volume poderá ser calculado por: 
Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
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x1 x20 9
x
Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
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x1 x20 9
x
Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
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x
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DIRETRIZES PARA APLICAR O MÉTODO DE FATIAMENTO
 
Para calcular o volume de um sólido pelo Método de Fatiamento, recomenda-se:
(I) Esboçar o sólido e uma seção transversal que o tipifica para, em seguida, encontrar uma função 
A(x) que expresse a área desta seção no intervalo desejado;
(II) Posicionar o sólido sobre o eixo x e encontrar os limites de integração a e b;
(III) Determinar o volume do sólido através do cálculo da integral definida. 
 
Assuntos da próxima aula:
1. Cálculo de volumes: revolução.
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