LISTA IIl CALCULO I 20171

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1 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE SALVADOR 
Disciplina: Cálculo Diferencial 
Semestre: 2017.1 
 
LISTA III 
 
Regra da Cadeia 
 
1. Calcule a derivada das seguintes funções, simplificando sua resposta. 
 
a) 
i. 𝑓(𝑥) = 𝑒5𝑥 
 
ii. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥2) 
 
iii. 𝑦 = 2cos⁡(5𝑥) 
 
iv. 𝑓(𝑥) = ln⁡(𝑥2) 
 
v. 𝑦 = 2𝑥
3
 
 
 
b) 
i. 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(2𝑥) 
 
ii. 𝑦 = 3ln⁡(2𝑥 − 1) 
 
iii. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥5) 
 
iv. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛7𝑥 
 
v. 𝑦 = 3 + 2𝑒𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 
 
 
c) 
i. 






 xsenxy 3
5
.

 
ii. 
5)cos( 55 tgxxseny 
 
 
iii. 
   lnx3xy 52
 
 
iv. 
3
2
1x
x3x
y 








 
 
d) 
i. 
2
2
)2x(
x3x
y



 
ii. 








 x
5
cosy 2
 
iii. 
2
x
5
cosy 








 
 
 
2. Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: 
 
a) 
xcos
3
2
e
5y
tgx
xsec 
 
b) 
x3x3 3.2y 
 
c) 
xxcos xeey 
 
d) 
5e.5x.5y x5x 
 
 
e) 
33x 3x3y 
 
f) 
4x3x2e2y 
 
g) 
 
3
2
3
x
5
x3xlogy 
 
h) 
  x4x35y 2x4
2x3
 
 
EAETI 
Escola de Engenharia, 
Arquitetura e 
Tecnologia da Informação 
2 
 
3. Determine a expressão da derivada indicada, e o seu valor no ponto dado: 
 
a) 
 







ox
2
dx
dy
 e 
dx
dy
 ,xu ),u(senuy
 
b) 
)1(' )uf( , 
1x
1x+
=(x) u , u)u(f
2
3 2 


 
c) 
)x(f ' , x1 )x(f 
 no ponto 
4xo 
 
 
4. Determine: 
 
a) 𝑓′(3), sendo 𝑓(5 + 2𝑥) + ⁡𝑓(2𝑥2 + ⁡1) = 4𝑥2 + ⁡4𝑥 + 2. 
 
b) 𝑓′(0), sendo 𝑓(3𝑥2 − 3𝑥) − ⁡4𝑠𝑒𝑛 (
𝜋𝑥
2
) = 𝑒−𝑥+2. 
 
Derivadas Sucessivas 
 
5. Calcule as derivadas indicadas. 
 
a) 
3
2
y
x3

 ; 
y 
 
 
b) 
xxey 
 ; 
y 
 
 
c) 𝑓(𝑥) = 4𝑥5 + 3𝑥2 − 1 ; 𝑓′′(𝑥) 
 
d) 𝑦(𝑥) = 2𝑒3𝑥 ; 𝑦′′′ 
 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 ; 
𝑑7𝑓
𝑑𝑥7
(𝑥) 
 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 ; 
𝑑125𝑓
𝑑𝑥125
(𝑥) 
 
g) ℎ(𝑥) = 4 + 3𝑥5 + 𝑒𝑥 ; 
𝑑50ℎ
𝑑𝑥50
(𝑥) 
 
h) 𝑖(𝑥) = 4𝑒2𝑥 + 5𝑥12 − 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 + 3 ; 
𝑑22𝑖
𝑑𝑥22
(𝑥) 
6. Encontre a expressão das derivadas (𝑓⁡𝑜⁡𝑢)′′(𝑥) e (𝑓⁡𝑜⁡𝑢)′′(1), em que 𝑓(𝑢) = 𝑢2 e 𝑢(𝑥) = 𝑥3 − 4. 
 
7. Considere a função 𝑓(𝑥) = √𝑥. 
 
a) Determine a função linear (𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏) que melhor aproxima a função 𝑓(𝑥) na vizinhança do ponto 𝑥0 =
4. 
 
b) Usando a expressão obtida no item anterior, preencha a tabela abaixo utilizando aproximações de duas 
casas decimais. 
 
𝒙𝟎 𝒇(𝒙𝟎) 
Aproximação 
𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 
Erro associado 
𝜺 = 𝒇(𝒙𝟎) − 𝒚 
1 
1,5 
2 
2,5 
3 
3,5 
4 
4,5 
5 
5,5 
6 
3 
 
 
c) Para quais valores de 𝑥0, o erro associado possui módulo inferior a 3 ∙ 10
−2? 
 
d) Observando a tabela acima, o que podemos afirmar com relação à aproximação da raiz quadrada de um 
número utilizando uma função linear? 
 
8. Determine o Polinômio de Taylor, cujo grau está indicado nos itens, para cada uma das funções a seguir, 
nos pontos indicados. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠⁡𝑥 ; 𝑝 = 0 ; grau 2 
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 ; 𝑝 = 𝜋 2⁄ ; grau 2 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ;⁡⁡𝑝 = 0 ; grau 3 
 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔⁡𝑥 ; 𝑝 = 0 ; grau 3 
 
e) ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑥; 𝑝 = 0 ; grau 2 
 
f) 𝑟(𝑥) = √𝑥 ; 𝑝 = 16 ; grau 2 
 
Derivadas de Funções Implícitas 
 
9. Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: 
 
a) 
)3P(1, ponto no 
dx
dy
 , 4yx 22 
 e 
dy
dx
 
 
b) 
1x5x4y3y 24 
 ; 
dx
dy
 no ponto P (–1,0) 
 
c) 
2
π
 ordenada de ponto no ,
dx
dy
 , 0sen(y) 
4
1
 xy 
 
 
d) 
1 ordenada de ponto no , y , exyey 
 
 
10. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de 
 ,x1xy 3 
no ponto de abscissa xo=1. 
 
Derivadas de Funções Inversas 
 
 
11. Calcule a derivada das seguintes funções, simplificando sua resposta. 
 
a) 
i. 
xcos
3
2
e
5y
tgx
xsec 
 
ii. 
y = 
)3x(log
3
2 x3
5
xarccos

 
iii. 
arctgx.x.3y 3x
 
 
iv. 
)1xcos( arc( ln)x(f 3 
 
 
v. 
)x(gcotarcy 
 
 
vi. 
)]xcotg( arc[log)x(f 3
 
 
vii. 
)x2(arcsen1)x(f 3
 
 
viii. 
)2x(arctg3x)x(f 
 
 
 
 
4 
 
Regras de L’Hospital 
 
12. (Cálculo, James Stewart, vol. I) Dado que 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0 
lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 1 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥) = +∞ 
lim
𝑥→𝑎
𝑞(𝑥) = +∞ 
 
Quais dos limites a seguir são formas indeterminadas? Para aqueles que não são formas indeterminadas, 
calcule o limite quando possível. 
 
a) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 
 
b) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑝(𝑥)
 
 
c) lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥)
𝑝(𝑥)
 
 
d) lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
 
 
e) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)𝑝(𝑥)] 
 
f) lim
𝑥→𝑎
[ℎ(𝑥)𝑝(𝑥)] 
 
g) lim
𝑥→𝑎
[𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)] 
 
h) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥)] 
i) lim
𝑥→𝑎
[𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)] 
 
j) lim
𝑥→𝑎
[𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)] 
 
k) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) 
 
l) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑝(𝑥) 
 
m) lim
𝑥→𝑎
[ℎ(𝑥)]𝑝(𝑥) 
 
n) lim
𝑥→𝑎
[𝑝(𝑥)]𝑓(𝑥) 
 
o) lim
𝑥→𝑎
[𝑝(𝑥)]𝑞(𝑥) 
 
p) lim
𝑥→𝑎
√𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
 
 
13. Avalie cada indeterminação abaixo e calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hospital: 
 
Quocientes Indeterminados 
 
a) 
1
12
 lim
4
3
1 

 x
xx
x
 
 
b) 
842
43
 lim
23
23
2 

 xxx
xx
x
 
 
c) 
)2(
) 3(
 lim
0 xsen
xsen
x
 
 
d) 
35
2
 lim
x
e x
x 
 
 
e) 
xx
x
x 

 2
121
 lim
3
1
 
 
f) 
7
12
 lim
2
3


 xx
x
x
 
 
g) 


 xx
xx
x 3
22
 lim
2
4 
 
h) 
 x
senxex
x 

 1ln
1
 lim
0
 
 
 
 
5 
 
Produtos Indeterminados 
 
i) 
)ln. (lim
0
xx
x 
 
 
j) 
  xex /1
x
1 3 lim 

 
 
k) 
 xtgx
x
1lim 

 
 
l) 
 
)8sec(coslim
2
xx
x


 
 
Diferenças Indeterminadas 
 
m) 
 tgxx
x


seclim
2/
 
 
n) 






 1x
1
xln
1
 lim
1x
 
 
o) 







 xx
x
x ln
1
1
 lim
1
 
 
p) 
 gxecx
x
cotcoslim
0


 
Potências Indeterminadas 
 
q) 
 x
x
x ln/1
0
 lim

 
 
r) x2
x x
1
1 lim 







 
 
s) 
  xx
x
xe
1
2 lim 

 
14. O gráfico a seguir, da função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
, mostra o que acontece com a função quando os valores 
de 𝑥 se aproximam de zero. 
 
 
 
É possível mostrar, usando alguns Teoremas mais avançados (ou observando a tendência no gráfico acima), 
que 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛⁡𝑥
𝑥
= 1. 
 
Tal limite é chamado de Limite Trigonométrico Fundamental. 
 
a) Mostre, usando a Regra de L’Hospital, a validade do Limite Trigonométrico Fundamental. 
 
b) Use o Limite Trigonométrico Fundamental (sem usar a Regra de L’Hospital) para calcular os limites a 
seguir. Use, se possível, a regra de L’Hospital para comprovarsua resposta. 
 
       





x
y
y = sin(x)/x
x
y
6 
 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥)
 
 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑥
 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
𝑥𝑐𝑜𝑠⁡𝑥
 
 
lim
𝑥→0
1 − cos𝑥
𝑥
 
lim
𝑥→0
1 − cos𝑥
𝑥2
 
 
lim
𝑥→0
𝑡𝑔⁡(4𝑥)
𝑥
 
 
15. O gráfico a seguir, da função 𝑓(𝑥) = (1 + 1
𝑥
)
𝑥
, mostra o que acontece com a função quando os 
valores de 𝑥 tendem a +∞. 
 
 
 
É possível mostrar, usando alguns Teoremas mais avançados (ou observando a tendência no gráfico acima), 
que 
lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒. 
 
Tal limite é chamado de Limite Exponencial Fundamental. 
 
a) Mostre, usando a Regra de L’Hospital, a validade do Limite Exponencial Fundamental. 
 
b) Use o Limite Exponencial Fundamental (sem usar a Regra de L’Hospital) para calcular os limites a seguir. 
Use, se possível, a regra de L’Hospital para comprovar sua resposta. 
 
lim
𝑛→+∞
(1 +
2
𝑛
)
𝑛
 
 
lim
𝑥→+∞
(1 +
1
5𝑥
)
𝑥
 lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥+5
 
Problemas de Taxa de Variação 
 
16. Certo estudo ambiental em uma comunidade suburbana indicou que o nível médio diário de CO no ar 
será de 
17p5,0)p(C 2 
partes por milhão quando a população for de p milhares de habitantes. Calcula-se 
que daqui a t anos a população será de 
2t1,01,3)t(p 
 milhares de habitantes. Qual será a taxa de variação 
em relação ao tempo do CO daqui a três anos? 
 
17. Um garoto empina uma pipa que está a uma altura de 40m. Se a linha está esticada, com que 
velocidade deve o garoto soltar a linha para que a pipa permaneça a uma altura constante com velocidade de 
3m/seg, quando a mesma está a 50m do garoto? 
 
18. Um automóvel que viaja à razão de 30m/s , aproxima-se de um cruzamento. Quando o automóvel está 
a 120m do cruzamento, um caminhão que viaja à razão de 40m/s atravessa o cruzamento. O automóvel e o 
caminhão estão em rodovias que formam um ângulo reto uma com a outra. Com que velocidade afastam-se 
o automóvel e o caminhão 2s depois do caminhão passar pelo cruzamento? 
7 
 
 
19. Uma escada com 13m de comprimento está apoiada numa parede vertical e alta. Num determinado 
instante a extremidade inferior, que se encontra a 5m da parede, está escorregando, afastando-se da parede 
a uma velocidade de 2m/seg. Com que velocidade o topo da escada está deslizando neste momento? 
 
20. Um lado de um retângulo está crescendo a uma taxa de 17cm/min e o outro lado está decrescendo a 
uma taxa de 5cm/min. Num certo instante, os comprimentos desses lados são 10cm e 7cm, respectivamente. 
A área do retângulo está crescendo ou decrescendo neste instante? A que velocidade? 
 
Gabaritos 
 
1. 
 
a) 
i. 𝑓′(𝑥) = 5𝑒5𝑥 
 
ii. 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠(3𝑥2) 
 
iii. 𝑦′ = −12sen⁡(5𝑥) 
 
iv. 
𝑓′(𝑥) =
2
𝑥
 
 
v. 𝑦′ = 3𝑥2𝑥
3
𝑙𝑛2 
 
 
b) 
i. 𝑓′(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑐2(2𝑥) 
 
ii. 
𝑦 =
6
2𝑥 + 1
 
 
iii. 𝑦 = 15𝑥4𝑐𝑜𝑠(3𝑥5) 
 
iv. 𝑓(𝑥) = 7𝑠𝑒𝑛6𝑥 cos 𝑥 
 
v. 𝑦 = 2𝑒𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 cos 𝑥 
 
 
c) 
i. 
















 x3
5
cosx3x3
5
seny
 
ii. 
)(cos. 544 xsenx5xxsen5y 
 
 
iii. 
   3x2x3x5y 42 
 
 
iv. 

















2
2
2
2
)1x(
3x2x
1x
x3x
3y
 
 
d) 
i. 
3)2x(
6x
y



 
ii. 
















 x
5
sen.x
5
cos2y
 
iii. 
















 x
5
.x
5
sen2y
2 
 
 
2. 
 
a) 
 
2
xsec.e
35ln.5tgx.xsecy
2tgx
xsec 
 
b) 
1x3
x3x3
3
3ln22ln.2
y



 
c) 
xxxcos xeee.senxy 
 
d) 
xx4x5 e55x55ln5xy 
 
e) 
2x x33ln3y 
 
f) 
  4x3x
2
e3x22y 
 
g) 
42 x
15
3ln)x3x(
3x2
y 



 
h) 
4x65ln.5).4x6(y x4x3
2
 
 
3. 
a) 
)]xcos(x)x(sen[x2
dx
dy 222 
; 
 






ox
dx
dy
=
 2
 
8 
 
 
b) 











22
2
3
2
)1x(
xx21
.
1x
1x
3
2
)x()uf( 
; 
3
1
)1()uf( 
 
 
c) 
xxx4
1
)x(f


; 
24
3
)4(f 
 
 
4. 
 
a) 𝑓′(3) = 2 b) 𝑓′(0) = −
𝑒
3
 
 
5. 
a) 
x32 2.)2(ln3y 
 
b) 
)x3(ey x 
 
c) 𝑓′′(𝑥) = 80𝑥3 + 6 
d) 𝑦′′′ = 54𝑒3𝑥 
e) 
𝑑7𝑓
𝑑𝑥7
(𝑥) = −cos𝑥 
f) 
𝑑125𝑓
𝑑𝑥125
(𝑥) = cos 𝑥 
g) 
𝑑50ℎ
𝑑𝑥50
(𝑥) = 𝑒𝑥 
h) 
𝑑22𝑖
𝑑𝑥22
(𝑥) = 4 ∙ 222𝑒2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 
 
6. 
)8x5(x6)x()fou( 3 
; 
18)1()fou( 
 
 
7. 
 
a) 𝑦 =
𝑥
4
+ 1 
 
b) 
𝒙𝟎 𝒇(𝒙𝟎) 
Aproximação 
𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 
Erro associado 
𝜺 = 𝒇(𝒙𝟎) − 𝒚 
1 1,00 1,25 -0,25 
1,5 1,22 1,38 -0,16 
2 1,41 1,50 -0,09 
2,5 1,58 1,63 -0,045 
3 1,73 1,75 -0,02 
3,5 1,87 1,88 -0,005 
4 2,00 2,00 0 
4,5 2,12 2,13 -0,005 
5 2,24 2,25 -0,01 
5,5 2,35 2,38 -0,025 
6 2,45 2,50 -0,05 
 
c) 2,5 ; 3 ; 3,5 ; 4 ; 4,5 ; 5 e 5,5 
 
d) Quanto mais próximo de 4, o erro associado à 
aproximação é menor. 
 
8. 
 
a) 1 −
𝑥2
2
 
 
b) 1 − 𝑥2 
 
c) 1 + 𝑥 +
𝑥2
2
+
𝑥3
3
 
 
d) 𝑥 −
𝑥3
3
 
e) 𝑥 −
𝑥2
2
 
 
f) 4 +
𝑥
8
−
𝑥2
1536
9 
 
9. 
a) 
y
x
y 
;
3
3
yp 
;
x
y
x 
; 
3x q 
 
b) 
3y4
5x8
dx
dy
3 


; 
1yp 
 
c) 
ycos4
4
y


 ; 
1yp 
 
d) 
xe
y
y
y 

 ; 
e
1
yp 
 
 
10. 
)1(89  xy
 
 
11. 
i. 
 
2
xsec.e
35ln.5tgx.xsecy
2tgx
xsec 
 
ii. 
 
  5ln3x
3ln3x3
x13
2ln2
y
x3
x2
2
xcosar





 
iii. 
2
3x
23x
x1
x.3
arctgx)x3x.3(ln3y


 
 
iv. 
)1xarccos(.)1x(1
x3
)x(f
323
2


 
 
v. 
)x1(x2
1
y



 
 
vi. 
)x(arccotg).x1.(x).3ln(.2
1
)x(f


 
 
vii. 
6
2
x41
x6
)x(f


 
 
viii. 
4
)xarctan(
x1
3).3ln(.x2
1)x(f
2


 
 
12. 
 
a) Indeterminado 
 
b) 0 
 
c) 0 
 
d) Indeterminado 
 
e) Indeterminado 
 
f) +∞ 
 
g) +∞ 
 
h) −∞ 
i) Indeterminado 
 
j) +∞ 
 
k) Indeterminado 
 
l) 0 
 
m) Indeterminado 
 
n) Indeterminado 
 
10 
 
o) Indeterminado 
 
p) Indeterminado 
 
 
13. 
 
Quocientes Indeterminados 
 
a) 
5
4
 
 
b) 
3
4
 
 
c) 
3
2
 
 
d) +∞ 
 
e) −
4
9
 
 
f) −∞ 
 
g) +∞ 
 
h) 2 
 
Produtos Indeterminados 
 
i) 0 
 
j) −3 
 
k) 1 
 
l) 
1
5
 
Diferenças Indeterminadas 
 
m) 0 
 
n) 
1
2
 
 
o) 
1
2
 
 
p) 0 
Potências Indeterminadas 
 
q) 𝑒 
 
r) 𝑒−2 
 
s) +∞ 
 
14. 1 3 5 0 0,5 4 
 
15. 𝑒−2 − 1
5
 𝑒 
 
16. 0,24 partes por milhão ao ano 
 
17. 
5
9
m / s 
 
18. 14 m / s 
 
19. 
6
5
m / s , aproximando-se do solo 
 
20. A área está crescendo a uma velocidade de 69 
n/micm2