LISTA II CALCULO I

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UNIVERSIDADE SALVADOR 
Disciplina: Cálculo Diferencial 
Semestre: 2017.1 
 
LISTA II 
Derivadas 
 
 
Derivação por Definição 
 
1. Para cada uma das funções a seguir calcule ��(��) usando a definição, caso exista. 
 
a) �(�) = 5� − 2; �� = −1 
 
b) � = �
 − 3�; �� = 2 
 
c) �(�) = √�� ; �� = 0 
 
d) � = �
���
; �� = 2 
2. Para cada uma das funções a seguir calcule ��(�), usando a definição, caso exista. 
 
a) �(�) = 2�
 − 3� + 1 
 
b) �(�) = 2 
 
c) �(�) = √� 
 
 
d) �(�) = √� + 1 
 
e) �(�) = �
�
 
 
 
 
Interpretação Geométrica da Derivada 
 
 
3. Considere a função �(�) = �
 − 2�, cujo 
gráfico é dado a seguir. 
 
a) Mostre, usando a definição de derivada, que 
��(�) = 2� − 2. 
 
b) Determine a equação da reta tangente ao 
gráfico de � no ponto em que �� = 2. 
 
c) Determine o ponto �(�, �) desta curva em que 
a reta tangente é horizontal. 
 
d) Para que pontos (�, �) desta curva, a reta 
tangente forma um ângulo agudo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
-2
2
x
y
tangente
EAETI 
Escola de Engenharia, 
Arquitetura e 
Tecnologia da Informação 
2 
 
4. Use os resultados obtidos na questão 2 para determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função 
�, em cada caso a seguir. 
 
a) �(�) = √� + 1 no ponto em que a reta tangente é paralela à reta de equação �: � = �1 2� �� + 1. 
 
b) �(�) = 1 �� no ponto do 3º quadrante em que a reta tangente é perpendicular à 1ª bissetriz. 
 
 
 
5. A reta normal a uma curva num ponto Po , é a 
reta que passa por Po e é perpendicular à reta 
tangente neste ponto. O coeficiente angular da 
reta normal é o inverso simétrico do coeficiente 
angular da reta tangente, ou seja, 
 
Coef. angular da reta normal em �� = −
�
��(� )
. 
 
Sendo assim, determine a equação da reta normal 
ao gráfico da função dada no exercício 3 no ponto 
�� = 2. 
 
 
Interpretação física da derivada de uma função f no ponto xo: Suponha que um ponto P percorra um 
caminho de modo que a sua posição num instante t seja dada por s(t). A velocidade média do ponto P no 
intervalo de tempo de to a to + ∆t é dada por 
t
)t(s)tt(s
v oom ∆
−∆+
= . A velocidade instantânea do ponto P 
no instante to é dada por 
o
o
ott
o
tt
)t(s)t(s
lim)t(v
−
−
=
→
, ou ainda, 
t
)t(s)tt(s
lim)t(v oo
0t
o ∆
−∆+
=
→∆
. 
 
6. Uma bola é atirada no ar com uma velocidade inicial de 40 m/s
 
e sua altura (em metros) após t segundos 
é dada por � = 40� − 16�
. 
 
a) Determine a velocidade média para o período 
de tempo que começa quando � = 2 e dura ∆� =
0,1 s. 
 
b) Determine a velocidade média para o período 
de tempo que começa quando � = 2 e dura ∆� =
0,01 s. 
 
c) Determine a velocidade instantânea quando 
� = 2. 
 
d) Determine o instante �� onde a velocidade é 
igual a zero. 
 
e) Determine a altura máxima atingida pela bola. 
 
f) Em quantos segundos a bola retorna ao solo? 
 
 
 
 
-1 1 2 3
-10
10
20
30
t
y
3 
 
 
 
7. O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação 
do movimento $(�) = 4�� + 6� + 2, onde � é medido em segundos. Calcule a velocidade da partícula nos 
instantes � = 1, � = 2, e � = ��. 
 
 
 
Cálculo de Derivadas 
 
 
8. Calcule a derivada das seguintes funções, simplificando sua resposta. 
 
a) 
i. 
3
x
5
3
x
x2y
2
3 ++−= 
ii. 
)(senx4
2
senx
x
4
y
3
pi+++= 
iii. 
)3ln(x6
2
x
3
x
tgx3y
23
+−++= 
iv. 
3
5
e33x2y
x
xx3x
−+++= 
v. xsec3)x(arcsen4)x(arctg3y +−= 
 
b) 
i. 
x
5
x3senxx2y
3 ++= 
ii. tgx3xcos)3x(y
2 ++= 
iii. senxexlnxy
x2 += 
iv. x3 23xlnxy ⋅+= 
v. )ln(
2
1)( xxarctgxy −= 
 
c) 
i. 
43
12
+
+
=
x
xy 
ii. 
xe
xy 5
3 +
= 
iii. 
3x2
x
y
2
+
= 
iv. 
1x4
senx
y
+
= 
v. 
x
3x4
y
+
= 
 
d) 
i. 3x4 e2xln34xy −++= 
ii. 
�(�) =
3�
2%� + 1
 
iii. )x(arcsen3)x(arctgxy
2 += 
iv. 
�(�) =
�%�
$%&(�)
 
v. �(�) = �
2�cos (�) 
 
9. Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: 
 
a) f(x) = 





−
+
3x5
3x5
 
3
2
 
 
b) )2ln(
2
1)( 2 +++
−
= x
x
x
xf 
 
c) Y= 3xcos3
x
5
2
+− 
 
d) )x2x5()1x3()1x()x(f
32 +−−= 
 
e) y = x5 +
senx
3
 – 
3
xtg
 
 
f) y = 4 x – 
6
4
x
2
2
x
1xsec
2
++
+
 
 
g) f(x) = sen x cosx + x cossec x 
 
 
 
4 
 
Gabaritos 
 
1. 
a) �′(−1) = 5 
b) ��(2) = 4 
c) Não existe 
d) ��(2) = −3
2. 
a) �′(�) = 4� − 3 
b) �′(�) = 0 
c) �′(�) = �
√�
 
d) �′(�) = �
√�,�
 
e) �′(�) = − �
�-
 
 
3. 
b) � = 2� − 4 
c) �(1, −1) 
d) � = (., .
 − 2.), em que . > 1 
4. 
a) � = �
+ 1 b) � = −� − 2 
 
5. � = − �
+ 1 
 
6. 
a) −25,6 0/$ 
b) −24,16 0/$ 
 
c) −24 0/$ 
d) �� = 1,25 $ 
 
e) 25 0 
f) 2,5 $ 
7. 2(1) = 18 0/$ 2(2) = 54 0/$ 2(��) = (12��
 + 6) 0/$ 
 
8. Calcule a derivada das seguintes funções, simplificando sua resposta. 
a) 
i. 
2
2
2
2
x
5
3
x2
x6´y0
x
1
5
3
x2
x6´y
−
+−=⇒+
−
⋅+−= 
ii. 
x
2
2
xcos
x
4
´y0
x2
1
4
2
xcos
x
1
4´y
22
++−=⇒+⋅++
−
⋅= 
iii. 
x
3
xxxsec3´y0
x2
1
6
2
x2
3
x3
xsec3´y
22
2
2
−++=⇒+⋅−++= 
iv. 
3
5ln5
e33ln3x32ln2´y
x
xx2x
−+++= 
v. 
tgxxsec3
x1
4
x1
3
tgxxsec3
x1
1
4
x1
1
3´y
2222
+
−
−
+
=+
−
⋅−
+
⋅= 
b) 
i. 
2
32
x
5
x2
3
xcosx2senxx6´y −++= 
ii. xsec3)senx()3x(xcosx2´y
22 +−++= 
iii. 
)xcossenx(exxlnx2]xcosesenxe[]
x
1
xxlnx2[´y
xxx2 +++=++⋅+= 
iv. 
2ln23xxlnx32ln23]
x
1
xxlnx3[´y
x22x32
⋅++=⋅+⋅+= 
v. 
x2
1
x1
x
)x(arctg
x
1
2
1
x1
1
x)x(arctg1´y
22
−
+
+=−
+
+⋅= 
5 
 
 
c) 
i. 
2
2
2
2
)4x3(
3x8x3
)4x3(
3)1x()4x3(x2
´y
+
−+
=
+
⋅+−+⋅
= 
ii. 
�� =
3�
%� − (�� + 5)%�
%
�
=
−�� + 3�
 − 5
%�
 
iii. 
2
2
2
22
2
2
)3x2(
x6x2
)3x2(
x2x6x4
)3x2(
)2(x)3x2(x2
´y
+
+
=
+
−+
=
+
−+
= 
iv. 
22
)1x4(
4senx4xcos)1x4(
)1x4(
4senx)1x4(xcos
´y
+
⋅−+
=
+
⋅−+
= 
v. 
x
x2
3x4
x4
)x(
x2
1
)3x4(x4
´y
2
+
−
=
+−
= 
 
d) 
i. 
x
3
4ln4x4´y0
x
1
34ln4x4´y
x3x3 ++=⇒−⋅++= 
ii. 
��(�) =
6�(2%� + 1) − 3�
2%�
(2%� + 1)
=
12�%� + 6� − 6�
%�
(2%� + 1)
 
iii. 
22
2
22
2
x1
3
x1
x
)x(arctgx2
x1
1
3]
x1
1
x)x(arctgx2[´y
−
+
+
+=
−
+
+
⋅+= 
iv. 
�(�)� =
(1 ∙ %� + �%�)$%&� − �%�56$�
$%&
(�)
=
%�$%&� + �%�($%&� − 56$�)
$%&
(�)
 
v. �(�) = 2�2� 56$(�) + �
2�7&2 56$� − �
2� $%&(�)
= �2�(256$� + �7&2 56$� − �$%&�) 
 
9. Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: 
 
a) y´= ( ) 23x5
20
−
−
 
 
b) y´= 
x2
1
2)(x
22xx
22
2
+
+
++−
 
 
c) y’=
3
x10senx3
−
− 
 
d) y´= (x2 – 1)(3x – 1) (15x2+2) + 3(x2 – 1) (5x3 +2x)+2x(3x – 1) (5x3+2x) 
 
e) y´= 5x4 – 3cossecx cotgx – (sec2x)/3 
 
f) y’ =
7
3
24 3 x
12
x2
)1x(sectgxxsec2
x4
1
−+
+
+ 
h) y´= cos2x – sen2x + cosec x – x cosec x⋅ cotg x