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1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE SALVADOR 
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Semestre: 2017.1 
 
LISTA II 
Sistema de equações / Escalonamento 
 
 
Sistema de equações 
 
1. Determine a(s) solução(ões), quando existir(em), dos seguintes sistemas: 
 
a) 





884
1682
yx
yx
 c) 





7243
20
yx
yx
 e) 





824
52
yx
yx
 
b) 





1839
63
yx
yx
 d) 





33
82
yx
xy
 f) 





4563
152
xy
xy
 
 
2. Considere as matrizes a seguir. 
A =










0
3
0
9
2
6
0
2
2
 B =










1
3
7
0
0
0
1
0
2
 C =










1
2
3
0
5
2
1
1
1
 
a) Determine o valor de B - 2A + C 
b) Determine o valor de A + 3B - 2C 
 
3. Dada as matrizes abaixo, verifique se a operação é possível. Para o caso positivo, resolva: 
A =






2
5
1
2
 B =










22
73
10
 C =






5
2
1
1
2
0
 D =










1
2
5
1
 
 
a) A∙B 
b) A∙C 
c) A∙D 
d) C∙C 
e) B∙D 
f) C∙D 
EAETI 
Escola de Engenharia, 
Arquitetura e 
Tecnologia da Informação 
2 
 
 
 
Matrizes: Determinantes 
 
4. Calcule o determinante das matrizes a seguir. 
A = 





 
2
1
3
2
 B = 










451
120
132
 C = 






13
20
D = 









 
114
252
521
 
5. Determine o valor de x para que o determinante da matriz A seja igual a 4. 
A = 






 71
2
xx
x
 
6. Utilizando a Regra de Cramer, determine as soluções, quando existires, dos sistemas a seguir. 
a) {
2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 18
3𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 23
5𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 27
 b) {
2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 10
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1
5𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 4
 c) {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = 3
𝑥 + 7𝑦 − 7𝑧 = 4
Matrizes: Linha reduzida à forma escada (LRFE) 
 
7. Diga, justificando, quais das seguintes matrizes estão na forma LRFE: 
 
a) A =











1000
0420
0041
 
 
b) B =











1000
0210
0001
 
 
c) C =











100
210
801
 
 
d) D =






100
010
 
e) E =










00
10
01
 
 
f) F =










000
001
010
 
 
g) G =






2310
5501
 
 
h) H =














00000
10000
02201
02031
 
 
i) I =










2
1
2
3
1
2
2
1
 
 
j) J =











232
412
310
 
 
k) K =












010
022
011
 
3 
 
8. Escalone as matrizes do exercício 7 que não estão na forma LRFE (linha reduzida à forma escada) obtendo 
a matriz linha equivalente a cada uma dela. 
 
9. Para cada um dos sistemas dados a seguir, encontre a matriz ampliada do sistema e escalone a matriz 
correspondente para obter uma linha equivalente na forma escalonada reduzida por linhas: 








95z3x
22z2y3x
62z2yx
 a)
 c) 





2zyx
4zyx
 
b) 








1zyx
64zy3x
42zyx
 d) 











333
142
2222
12
wx
wzyx
wzyx
wzyx
 
10. Resolva os seguintes sistemas, usando escalonamento por linhas: 








95z3x
22z2y3x
62z2yx
 a)
 d) 








4345
1223
1022
zyx
zyx
zyx
 g) 








577
3252
4
zyx
zyx
zyx
 
 
b) 








1zyx
64zy3x
42zyx
 e)








872
5252
1
zyx
zyx
zyx
 h) 











2
4
4
0
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
c) 





2zyx
4zyx
 f) 











43
6
0234
1132
zyx
zyx
zyx
zyx
 
 
11. Em cada um dos seguintes itens considere a matriz escalonada linha equivalente à matriz ampliada de 
um sistema. A partir dessas matrizes, discuta o sistema original e dê o conjunto-solução, quando for o caso. 
A = 










00000
31210
52101
 C = 










0100
0010
0001
 E = 






5410
2301
 
 
B = 










2100
2010
3001
 D = 










1000
0310
0201
 F = 










000
210
301
 
 
4 
 
12. Discuta em função de k os seguintes sistemas: 
a) 








ky2x
04y5x
23y4x
 b) 





2zykx
0kzyx
 
 
Aplicações 
 
13. Encontrar a equação da parábola y = ax2 +bx + c, sabendo que ela passa pelos pontos P1(1, 2); P2 (1, 12) 
e P3(4, 2). 
 
14. Um par de tênis, duas bermudas e três camisetas custam juntos R$100,00. Dois pares de tênis, cinco 
bermudas e oito camisetas custam juntos R$235,00. Quanto custam juntos um par de tênis, uma bermuda e 
uma camiseta? 
 
15. Bronze é uma liga de cobre e zinco, na qual a porcentagem de cobre varia geralmente entre 60% e 70%. 
Usando dois tipos de bronze, um com 62% e outro com 70% de cobre, deseja-se obter uma tonelada de bronze 
com exatamente 65% de cobre. Quantos quilos do primeiro tipo de bronze e quantos quilos do segundo devem 
ser usados? 
 
16. Uma fábrica usa dois tipos de máquina P e Q para produzir dois produtos diferentes A e B. As máquinas 
P e Q podem trabalhar 80 e 60 horas por semana, respectivamente. Os dois produtos requerem, para serem 
produzidos, diferentes quantidades de tempo em cada uma das máquinas, como mostra a tabela abaixo. 
 
 Produto A Produto B Horas de trabalho/semana 
Máquina P 2h 4h 80h 
Máquina Q 3h 2h 60h 
 
Determinar o número de unidades de cada produto que as máquinas P e Q podem produzir por semana, 
operando o tempo todo. 
 
17. Para controlar um certo tipo de praga numa safra de café devem ser usadas três unidades de um produto 
químico tipo A, duas unidades do tipo B e duas unidades do tipo C. Um barril do spray comercial P, contém 
uma unidade do produto químico A. Um barril do spray comercial Q, contém uma, duas e uma unidades, 
respectivamente, desses produtos. Um barril do spray comercial R contém uma unidade de cada produto. 
5 
 
Quantos barris de cada tipo de spray devem ser usados para preparar exatamente a quantidade de produto 
químico necessário para o controle da praga? 
 
18. Foram estudados três tipos de substâncias. Fixada a mesma quantidade (1g) determinou-se que: 
 
I. A substância I tem 1 unidade do elemento A; 3 unidades do elemento B e 4 unidades do elementoC. 
II. A substância II tem 2 unidades do elemento A; 3 unidades do elemento B e 5 unidades do elemento C. 
III. A substância III tem 3 unidades do elemento A; 3 unidades do elemento C e não contém o elemento B. 
 
Se são necessárias 11 unidades do elemento A; 9 do elemento B e 20 do elemento C, faça o que se pede. 
 
a) Encontre todas as possíveis quantidades das substâncias I, II e III que fornece a quantidade de elementos 
desejada. 
b) Se a substância I custa R$0,60 por grama e as outras duas custam R$0,10, existe uma solução custando 
exatamente R$1,00? 
 
19. Dizemos que uma reação química está equilibrada se aparecer o mesmo número de átomos em cada 
lado da seta para cada tipo de átomo na reação. Na queima de metano, o metano (𝐶𝐻4) e o oxigênio estável 
(𝑂2) reagem para formar o dióxido de carbono (𝐶𝑂2), ou gás carbônico, e água (𝐻2𝑂): 
𝑥 𝐶𝐻4 + 𝑦 𝑂2 → 𝑧 𝐶𝑂2 +𝑤 𝐻2𝑂 
Determine os valores de 𝑥, 𝑦, 𝑧 e 𝑤 que tornam a equação acima equilibrada. 
 
20. Considere a figura do circuito a seguir com resistências e baterias tal como indicado. Escolhemos 
arbitrariamente as correntes e os valores da malha. 
 
 
6 
 
Aplicando a Lei de Kirchoff, que diz que a soma algébrica das diferenças de potencial em qualquer circuito 
fechado é zero, obtemos, para as correntes 𝑖1, 𝑖2 e 𝑖3, o seguinte sistema linear de três equações. 
 
{
 
 
 
 
2𝑖1 + 4(𝑖1 − 𝑖2) + 2(𝑖1 − 𝑖3) − 10 = 0 
 
2𝑖2 + 2𝑖2 + 2(𝑖2 − 𝑖3) + 4(𝑖2 − 𝑖1) = 0 
 
 6𝑖3 + 2(𝑖3 − 𝑖1) + 2(𝑖3 − 𝑖2) − 4 = 0 
 
 
Utilizando escalonamento, determine o valor de cada uma das quatro correntes. 
 
21. Dê exemplos de matrizes satisfazendo as condições dadas a seguir, se possível: 
 
a) F2x3, posto(F) = 2 b) G3x2; posto(G) = 3 c) H2x4, posto(H) = 3 d) R3; posto(R) = 2 
22. Dado o sistema 











10127
32124
1845
223
yx
yx
yx
yx
, podemos afirmar que: 
I. O posto da matriz dos coeficientes é igual a 2. 
II. O posto da matriz ampliada é igual a 3. 
III. O sistema é impossível. 
IV. O sistema tem 2 graus de liberdade. 
V. S1 = (2, -2) é uma das soluções particulares do sistema. 
VI. A matriz LRFE do sistema é 






 210
201
. 
 
23. Dado o sistema 











333
142
2222
12
wx
wzyx
wzyx
wzyx
, 
podemos afirmar que: 
I. O posto da matriz dos coeficientes é igual a 3. 
II. O posto da matriz ampliada é igual a 3. 
III. O sistema é possível e indeterminado. 
IV. O sistema tem 2 graus de liberdade. 
V. A solução geral do sistema é 





zy
wx
2
1
; com 
𝑧, 𝑤 ϵ R. 
24. Dado o sistema 








836
532
132
zyx
zyx
zyx
 
podemos afirmar que: 
 
I. O posto da matriz dos coeficientes é igual a 2. 
II. O posto da matriz ampliada é igual a 2. 
III. O sistema é possível e determinado. 
IV. O sistema não tem grau de liberdade. 
V. S = {(1,2,3)} é a solução do sistema. 
7 
 
Gabarito 
 
1. 
a) S = {(4,1)} 
 
b) S = {(𝑎 , −3𝑎 + 6)| 𝑎 ∈ 𝑅} 
c) S ={(8,12)} 
 
d) S = {(3,2)} 
e) S = ∅ 
 
f) S = {(𝑎 , 2𝑎 + 15)| 𝑎 ∈ 𝑅} 
2. 
a) 













0182
113
10101
 b) 












591
880
1526
 
 
3. 
a) Não é possível 
 
b)






1234
29710
 
 
c) 








411
927
 
d) Não é possível 
 
e)













612
1338
15
 
 
f) Não é possível 
 
4. 
a) 7 b) 7 c) -6 d) 99 
 
5. x’ = -2 e x”= 5 
 
6. 
a) 𝑆 = {(3 , 2 , 2)} 
 
b) 𝑆 = {(1 , 2 , −3)} 
 
c) Sistema impossível 
7. Forma escalonada: B, D, E e G 
 
8. 
A =











1000
0210
0801
 
 
 
C =










100
010
001
 
 
F = 










000
010
001
 
 
 
H = 















00000
10000
003/210
02201
 
 
I =








03/410
13/101
 
 
J = 









 
000
310
2/701
 
 
K = 










000
010
001
 
 
9. 
a) 











3100
1010
2001
 
 
b) 











0000
2/32/110
2/52/301
 
c) 








1100
3011
 
 
d) 
















00000
00000
00210
11001
 
8 
 
 
10. 
a) S = {(2, 1, 3)} 
 
b) S =





 



2
3 z
y e 
2
z35
 x;R) z y, x,( 3
 
 
c) S = {(x, y, z)  R3; x = y + 3 e z =  1 } 
 
 
d) S = { ( 1, 2, 3 ) } 
 
e) S = { ( 1, 1, 1 ) } 
 
f) S = {(1, 2, 5) } 
 
g) não existe solução 
 
h) S = { ( 1, 1, 2, 2 ) } 
 
11. 
a) Sistema possível e indeterminado com duas variáveis livres 
 
S = {(x, y, z, w)  R4; x = 5  z  2w e y = 3 2z w } 
 
b) Sistema possível e determinado S = {(3, 2, 2)} 
 
c) Sistema possível e determinado S = {(0, 0, 0)} 
 
d) Sistema impossível 
 
e) Sistema possível e indeterminado com uma variável livre 
 
S = {(x, y, z )  R3; x = 2  3z e y = 5 4z } 
 
f) Sistema possível e determinado S = {(3, 2)} 
 
12. 
a) Se k = 6, então o sistema é possível determinado e S = {(8, 10)}. Se k  6, o sistema é impossível. 
 
b) Se k  1, então o sistema é possível e indeterminado. Se k = 1, o sistema é impossível. 
 
13. y = x2 5x +6; 
 
14. R$ 65,00 
(Sugestão: Efetue operações com as linhas do sistema encontrado para obter a linha (1 1 1 65 )). 
 
15. 625 e 375; 
 
16. Produto A 10 unidades e produto B 15 unidades 
 
17. Com um barril do spray P e 2 barris do spray R a quantidade de produto químico é conseguidas sem precisar 
do spray Q. 
 
18. 
a) Se x, y e z são as quantidades dos alimentos I, II e III respectivamente, então x = 3z  5; y = 8  3z. Uma vez 
que x; y e z devem ser maiores ou iguais a zero temos que 5/3  z  8/3. 
 
b) Sim, para x = 1 e y = z = 2. 
 
 
9 
 
19. (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = (1,2,1,2) 
 
19. 𝑥 = (6 , 4 −
𝑠
2
 , 4 −
𝑠
2
 , 𝑠). Para obter uma solução particular, basta fixar um valor para 𝑠, por exemplo, se 
𝑠 = 2, temos: 𝑥 = (6 ,3 , 3 , 2). 
 
20. 
a) F = 






010
001
 
 
b) Impossível 
 
c) Impossível 
 
d) R = 










000
010
001
 
*Estes exemplos não são os únicos 
 
21. Apenas I e VI verdadeiras 
 
22. Apenas III, IV e V verdadeiras 
 
23. Apenas I e IV verdadeiras