Exercícios de Teoria de Grupos

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LISTA 1 de MAT0213
1. Para cada conjunto, considere a operac¸a˜o definida e decida se e´ grupo. Aponte as
condic¸o˜es que falham no caso negativo.
a) ZZ, com multiplicac¸a˜o usual de inteiros.
b) ZZ, definindo a operac¸a˜o ∗ por a ∗ b = b− a, para todos a, b ∈ ZZ
c) lQ∗, com a multiplicac¸a˜o usual.
d) 2ZZ, com a adic¸a˜o usual de inteiros.
e) G = {p/q ∈ lQ | q e´ ı´mpar}, com a operac¸a˜o usual de adic¸a˜o de lQ.
f) ZZ5\{0¯} com a operac¸a˜o usual do produto em ZZ5.
2. Sabendo que {e, a, b} = G com a operac¸a˜o ∗ e´ um grupo (no qual e e´ o elemento
identidade), exiba a tabela de multiplicac¸a˜o de G. (So´ existe uma poss´ıvel estrutura
de grupo com 3 elementos).
3. Suponha que {e, a, b, c} = G com a operac¸a˜o ∗ seja um grupo ( e e´ o elemento iden-
tidade). Ha´ duas estruturas poss´ıveis para o grupo G. Monte as duas tabelas de
multiplicac¸a˜o.
4. Seja G = IR\{−1} e considere a operac¸a˜o a ∗ b = a+ b+ ab , ∀a, b ∈ IR.
a) Prove que (G, ∗) e´ um grupo.
b) Determine o inverso de 1 e o inverso de 0 em G (para a operac¸a˜o ∗).
c) Determine a soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2 ∗ x ∗ 3 = 7.
5. Seja (G, ∗) um grupo finito com um nu´mero par de elementos. Mostre que
∃a ∈ G , a 6= e tal que a ∗ a = e.
6. Mostre que se G e´ um grupo tal que (a ∗ b)2 = a2 ∗ b2 para todos a, b ∈ G, enta˜o G
e´ abeliano.
7. Deˆ exemplos de 2 grupos ”diferentes”ambos abelianos e com 12 elementos.
8. Dado um inteiro n > 2, construa um grupo na˜o abeliano de ordem 2n.
9. Seja G = {A ∈M2(IR) | detA = ±1}. Prove que G com o produto usual de matrizes e´
um grupo.
10. Seja X um conjunto na˜o vazio qualquer e considere todas as bijec¸o˜es de X (func¸o˜es
bijetoras de X em X). Vamos chamar este conjunto de A(X). O conjunto A(X)
com a operac¸a˜o de composic¸a˜o e´ um grupo. Prove isto. No caso particular em que
X = {1, 2, 3}, construa a tabela de multiplicac¸a˜o do grupo A(X). Algo lhe parece
familiar?
11. Para cada par a, b de nu´meros reais, considere a func¸a˜o fa,b : IR → IR dada por
fa,b(x) = ax+ b para todo x ∈ IR. Seja F o conjunto das func¸o˜es fa,b com a e b reais,
a 6= 0. Mostre que (F , ◦) e´ um grupo (aqui ◦ e´ a composic¸a˜o). Mostre que H e L sa˜o
subgrupos, onde
H = {fa,b ∈ F | b = 0} L = {fa,b ∈ F | a = 1}
12. Para cada elemento x ∈ S3 determine o subgrupo gerado por x, < x >.
13. Determine < a >, o subgrupo gerado pelo elemento a, em cada caso abaixo.
(a) No grupo (IR,+), a = pi.
(b) No grupo (IR∗, ·), a = pi.
(c) No grupo (GL2[ZZ], ·) (matrizes 2x2, invers´ıveis, com coeficientes em ZZ, com a
operac¸a˜o produto usual de matrizes), a =
[
1 1
0 1
]
.
(d) No grupo S3, fazendo a igual a cada um dos 6 elementos de S3.
14. Seja G um grupo e sejam H e K dois subgrupos de G. Mostre que H ∩ K e´ um
subgrupo de G. A unia˜o, H ∪K, tambe´m e´ subgrupo de G?
15. Deˆ exemplo de um subgrupo pro´prio de S4 que na˜o seja abeliano.
16. Deˆ exemplo de um grupo G que na˜o seja abeliano mas que tenha todos os subgrupos
pro´prios abelianos.
17. Seja X um conjunto na˜o vazio qualquer e considere o grupo A(X) descrito no exerc´ıcio
10. Fixe um elemento x ∈ X e considere T (x) = {f ∈ A(X) | f(x) = x} (ou seja,
o conjunto das func¸o˜es bijetoras que fixam x). Mostre que T (x) e´ um subgrupo de
A(X). Tomando X = {1, 2, 3, 4, 5, } denotamos A(X) por S5; determine os subgrupos
T (4), T (5) e H = T (4) ∩ T (5). Este subgrupo H e´ isomorfo a algum grupo que voceˆ
conhece? Voceˆ acha que os grupos T (4) e T (5) sa˜o isomorfos?
18. Seja G um grupo. Mostre que um subconjunto na˜o vazio de H ⊂ G, e´ um subgrupo
de G se e somente se vale a implicac¸a˜o abaixo.
x, y ∈ H ⇒ x ∗ y−1 ∈ H
Repare que este exerc´ıcio fornece um crite´rio para verificar se H e´ subgrupo, contanto
que voceˆ ja´ saiba a priori que H 6= ∅.
19. Sejam a e b elementos do grupo G de ordem n e m respectivamente. (Ou seja n e´ o
menor inteiro positivo tal que an = e). Decida se cada afirmac¸a˜o e´ falsa ou verdadeira
provando ou exibindo um contraexemplo.
(a) A ordem do elemento a ∗ b e´ mn.
(b) A ordem do elemento a ∗ b e´ o mı´n{m,n}.
(c) A ordem do elemento a ∗ b e´ o mmc(m,n).
(d) Se G e´ abeliano, enta˜o a ordem do elemento a ∗ b e´ o mmc(m,n).
(e) Pode acontecer do produto de um elemento de ordem 2 com um elemento de
ordem 4 resultar num elemento de ordem 3.
20. Dado um grupo G com um elemento a fixado, definimos CG(a) = {x ∈ G| a∗x = x∗a}.
Mostre que CG(a) e´ um subgrupo de G (chamado centralizador de a em G). Qual a
relac¸a˜o de com o subgrupo < a >? O que ocorre se G for abeliano? Qual a relac¸a˜o
entre CG(a) e CG(a2)? Em S3, determine o centralizador de cada elemento.
21. Decida se a afirmac¸a˜o e´ verdaderia ou falsa. Justifique (provando ou exibindo um
contraexemplo).
(a) Em todo grupo G, o inverso de (a ∗ b) e´ (b−1 ∗ a−1)
(b) Se G e´ um grupo, H < G e K < H, enta˜o K < G.
(c) Todo grupo c´ıclico e´ abeliano.
(d) Todo grupo na˜o abeliano tem um subgrupo pro´prio na˜o abeliano.
(e) Todo grupo com 3 elementos e´ abeliano.
(f) Todo subgrupo pro´prio de um grupo infinito e´ tambe´m infinito.
(g) O grupo S5 na˜o tem elementos de ordem 6.
(h) O grupo GL2[ZZ] (do exerc´ıcio 13) tem subgrupos com 2 elementos.
(i) No grupo S10 existem elementos de ordem 21.
(j) O grupo S10 tem subgrupo de ordem 21.
(k) A3 e´ um grupo comutativo.
(l) O conjunto das permutac¸o˜es ı´mpares e mais a permutac¸a˜o identidade formam um
subgrupo de Sn.
22. Expresse cada uma das permutac¸o˜es de S8 de duas maneiras: como produto de ciclos
disjuntos e como produto de transposic¸o˜es.
a)
(
1 2 3 4 5 6 7 8
8 2 6 3 7 4 5 1
)
b)
(
1 2 3 4 5 6 7 8
3 6 4 1 8 2 5 7
)
c)
(
1 2 3 4 5 6 7 8
3 1 4 7 2 5 8 6
)
d)
(
1 2 3 4 5 6 7 8
8 7 6 5 4 3 2 1
)
23. Demonstre que (1, 2, 3, . . . , n)−1 = (n, n− 1, . . . , 2, 1).
24. Qual e´ a ordem de um n-ciclo? Qual e´ a ordem do produto de t ciclos disjuntos de
comprimentos m1, . . . ,mt?
25. Demonstrar que se um subgrupo H de Sn conte´m (1, 2) e (1, 2, . . . , n) enta˜o H = Sn.
Em outras palavras, isto significa que Sn e´ gerado por estes dois ciclos.
26. Seja σ ∈ Sn e considere um t-ciclo tambe´m em Sn: (a1, a2, . . . , at). Mostre que
σ ◦ (a1, a2, . . . , at) ◦ σ−1 = (σ(a1), σ(a2), . . . , σ(at)).
Dadas as permutac¸o˜es τ = (1, 2)(3, 4) e α = (5, 6)(1, 3), determine uma permutac¸a˜o σ
tal que σ ◦ τ ◦ σ−1 = α.
27. Determine a tabela de multiplicac¸a˜o dos grupos A3 e A4.
28. Encontrar todos os elementos que comutam com (1, 2)(3, 4) em Sn.