CALCULO2

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Integração de funções racionais. 
 
1. Resolva as integrais abaixo. 
 
a) 
1x
dx
2 
 b)
x5x
dx
2 
e) dx
x3x
1xx
2
2



 f)
x3x
10x5
2 

i) dx 
x2x
4x2
 23 

 j)
4 2
3 2
3 1x x
x x x
 
 
m) 
 
1
20
2 3
1
x dx
x

 n) 
22
1
4 7 12x x
x x x
 
 
Integração de funções racionais quando o denominador possui fatores irredutíveis de 2º grau.
 
2. Resolva as integrais abaixo. 
 
a)
2
3
2 4
4
x x dx
x x
 
 
b) x
 
d) 
2
2
4 3 2
4 4 3
x x dx
x x
 
  e)  x
x(
 
 
Integrais Definidas e Cálculo de Área
 
3. Calcule as seguintes integrais definidas:
 
(a)  
3
1 2
23
 dx
x
5x4x2 
 
 
EAETI – ESCOLA DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TI
 
 
 
2ª Lista de Exercícios–2017.1 
 
6x
dx

 c) 
x3x
dx
2 
 d) 
 
 dx
4x
10

 g) dx
1x
2xx
2
2



 h) 
 
4 2
3 2
3 1
6
x x dx
x x x
 
 
 k) 2 2 0
dx a
x a

 l) 
 
  
24 7 12
2 3
x x dx
x x x
 
  
 
Integração de funções racionais quando o denominador possui fatores irredutíveis de 2º grau.
 
  dx1x1x
3x2x
22
2

 c) dx
x
x 1
2
4
4
 
 


x2x2x
dx 2 )3xx
23
2
 f)   

6x4x)1x(
dx 10 )x(
2
2
Integrais Definidas e Cálculo de Área 
. Calcule as seguintes integrais definidas: 
(b)  1 2 30 t t t dt (c) 
6
3
 
 
 
 ESCOLA DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TI 
1
 dx
)7x)(1x(
3x2


 
 dx
xx2x
6x20x5
23
2


 
  
9
5 2
x dx
x x

  
Integração de funções racionais quando o denominador possui fatores irredutíveis de 2º grau. 
 
 
 
 
 dx4x
 
 2
 
4. Uma partícula move-se com uma velocidade de v(t) m/s ao longo de um eixo s. Ache o deslocamento e a distância 
percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado. 
 a) v(t) sen(t); 0 t
2
   . b) v(t) cos(t); t 2 .
2
    
 
5. Uma partícula move-se com aceleração 2m / s ao longo de um eixo s e tem velocidade 0v m /s , no instante t 0 . 
Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado. 
 a) 0a(t) 2; v 3; 1 t 4     b) 0
1a(t) ; v 2; 0 t 3
5t 1
   

 
 
6. Um país tem 100 bilhões de m3 de reserva de gás natural. Se A(t) denota o total de gás consumido após t anos, então 
dA/dt é a taxa de consumo. Se a taxa de consumo é prevista em 5 + 0,01t bilhões de m3 por ano, qual o tempo 
aproximado, em anos, em que as reservas estarão esgotadas? 
 
Através da integral indefinida podemos calcular a área 
limitada por uma curva y=f(x) e o eixo Ox, onde a  x  b. 
Esse link é obtido com o uso do Teorema Fundamental 
do Cálculo. 
7. a) Usandointegrais, calcule a área limitada pela reta 
y=x e o eixo Ox, onde 1 ≤ x ≤ 3. 
b) Confira o resultado obtido calculando a área com seus 
conhecimentos do Ensino Médio. 
 
 
 
 
 
8. a) Usandointegrais, calcule a área limitada pelas retas 
y=x+1, y=-x+5, e os eixos coordenados Ox e Oy. 
b) Confira o resultado obtido calculando a área com seus 
conhecimentos anteriores. 
 
 
 
   




x
y
x
y
4
2
 3
9. Calcule a área determinada pelo gráfico da função y=x2 
+1 (parábola) pela reta y=-2x+4, e os eixos coordenados 
Ox e Oy. 
 
 
10. Determine a área limitada pela parábola y = x2 + 1 e pela reta y = –x + 3 . 
 
11.Visualize os gráficos abaixo e determine a área da região do plano limitada por essas curvas. 
 
(a) xy = 4 e x + y =5. (b) y = 2x, y = 2x - x2, x = 0 e x = 2. (c) y = 2x, y = 1 e y = 2/x 
(d) y = x3 – 3x, y = 2x2 (e) y = x3 e y=x2 + 2x (f) y = 9/x, y = 9x, y = x 
 
12. Determine o valor das áreas sombreadas nas figuras abaixo. Se possível verifique suas respostas usando áreas 
conhecidas no Ensino Médio (triângulos, trapézios) ou em um programa computacional. 
 
a) b) c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
y = 1+x^2
y = -2x+4
 4
Questões Objetivas 
 
 
1) Considere a função f: R R definida por F(x)= x4-5x2+4, a partir dessa função e do seu gráfico julgue os itens a 
seguir: 
 
I) A área entre a curva e as retas x=0 e x=2 é 16/15 u.a.. 
II) Suponha que a função representa a velocidade, em metros por segundos, em relação ao tempo, em 
segundos de um móvel. A distância percorrida de t=0 a t=2 é de 4m. 
III) ׬ ଵ௫రିହ௫మାସ ݀ݔ = ׬(
஺
௫ାଶ
+ ஻
௫ିଶ
+ ஼
௫ିଵ
+ ஽
௫ାଵ
) ݀ݔ 
Assinale a opção correta: 
a) Apenas um item está certo; 
b) Apenas os itens I e II estão certos; 
c) Apenas os itens I e III estão certos; 
d) Apenas os itens II e III estão certos. 
 
 
2) O trabalho realizado por uma força variável f(x) que atua ao longo de uma reta coordenada, de x = a a x = b é 
definido como sendo ܹ = ׬ ݂(ݔ)݀ݔ௕௔ . Suponha que uma força ݂(ݔ) = 120 + 25ݏ݁݊ݔ, Newtons atua sobre 
uma partícula que está localizada a x metros da origem. O trabalho realizado pela força para mover a partícula 
de x = 0 a x = 2m. 
 
a) 240 − 25ܿ݋ݏ2 (N.m = Joules) 
b) 240 + 25ܿ݋ݏ2 (N.m = Joules) 
c) 265 − 25ܿ݋ݏ2 (N.m = Joules) 
d) 240 + 25ܿ݋ݏ2 (N.m = Joules) 
e) 265 (N.m = Joules) 
 
 
 
        








x
y
 
3) A partir dos gráficos a seguir assinale a alternativa correta.
a) 
 
 
 
I– A área da figura A, limitada pelas funções 
II – A integral definida ׬ ݏ݁݊(ݔ)݀ݔଶగ଴
III – A área da figura B, limitada por 
 
a) Somente I é verdade. 
b) Somente II é verdade. 
c) Somente III é verdade. 
d) Somente I e II são verdadeiras. 
e) Somente I e III são verdadeiras.
 
 
4) Uma partícula move-se com aceleração, expressa por 
Utilizando ݒ଴ = −2݉/ݏ, no instante 
 
I) O deslocamento no intervalo 
II) ݒ(ݐ) = − ௖௢௦(ସ௧)
ଶ
− ଷ
ଶ
 
III) ݏ(ݐ) = ௦௘௡(ସ௧)
଼
+ ଷ௧
ଶ
− 3
IV) O deslocamento no intervalo 
Estácorreto APENAS o que se afirma em: 
 
a) I b) II 
5) Sabendo que,׬ ݁௫݂ ඁ(x)dx = x݁௫
 
I) Sendo ݃(ݔ) = ݁௫݂ඁ(ݔ), logo 
II) Para ݂(0) = 1, teremos que 
A partir dos gráficos a seguir assinale a alternativa correta. 
 
b) 
A área da figura A, limitada pelas funções ݂(ݔ) = 8 − ݔଶ e ݃(ݔ) = ݔଶ, é calculada com a integral 
( )݀ݔ representa a área da figura B. 
A área da figura B, limitada por ݂(ݔ) = ݏ݁݊(ݔ) e o eixo x, é igual a 4 u.a. 
 
Somente I e III são verdadeiras. 
se com aceleração, expressa por ܽ(ݐ) = 2ݏ݁݊(4ݐ) 
no instante ݐ = 0 e ݏ(0) = 3. 
O deslocamento no intervalo 0 ൑ ݐ ൑ గ
଼
 é de− ቀଵି଺గ
଼
ቁ ݉ 
3 
O deslocamento no intervalo 0 ൑ ݐ ൑ గ
଼
 é de − ቀଶାଷగ
ଵ଺
ቁ ݉ 
Estácorreto APENAS o que se afirma em: 
c) III d) I e II 
 
 
+ ܥ,C uma constante real. Analisando as alternativas abaixo,
( ), logo ݃(ݔ) = ݁௫(1 + ݔ) 
, teremos que ݂(ݔ) = ௫
మ
ଶ
+ ݔ 
5
 
, é calculada com a integral ׬ (8 − 2ݔଶ)݀ݔଶିଶ . 
 (em m/s²) ao longo de um eixo s. 
e) II e IV 
C uma constante real. Analisando as alternativas abaixo, 
 6
III) ݂ ඁ(2) = 3 
IV) ׬ ݂ඁ(ݔ)݀ݔ =ଷଵ 6 
 
Podemos afirmar que: 
 
a) Apenas uma alternativa é verdadeira; 
b) Apenas duas alternativas são verdadeiras; 
c) Apenas três alternativas são verdadeiras; 
d) Todas as alternativas são verdadeiras; 
e) Todas as alternativas são falsas
7
Respostas 
 
1) a) 
C1x
2
11x
2
1  lnln b) C3x2x  lnln 
 c) C3x
3
1x
3
1  lnln d) C7xln6
111xln
6
1  
 e) 1 7ln ln 3
3 3
x x x C    f) 2 ln 4 3ln 1x x C    
g) 2ln 1 ln 1x x x C     h) C1xx 6
1x
9 

 lnln 
 i) Cx22x 2
x
2  lnln j) x + 
2 1 1 11ln ln 2 ln 3
2 6 2 3
x x x x C      
 k) 
Cax
a2
1ax
a2
1  lnln l) 2ln 5 ln 2x x C    
m) 12ln 2
2
 n) 3ln
5
92ln
5
27 
 
 
2) 
 
a) C)2/x(arctg2
1
)4xln (2
1xln 2  b)
C
x1
11xln1xlnarctgx 2 

 
c) C
1x
1xln
2
1arctgxx2 

 
 
d)
C
2
1x2arctg
24
13x4x4ln
8
1x 2 


  
e) C)1x(arctgxln  f)   C2/)2x(arctg 221xln  
 
3) a) 10/3; b) 1/70; c) 53/2; 
4) a) deslocamento=1; distância=1 b) deslocamento=-1; distância=3 
 
5) a) deslocamento= - 6; distância= 13/2 b) deslocamento = 204/25; distância = 204/25 
 
6) aproximadamente 19,62 anos 
7) Área igual a 4. 
8) Calcule as interseções entre as curvas para depois integrar em cada intervalo conveniente. 
9) Calcule as interseções entre as curvas para depois integrar em cada intervalo conveniente. 
10) 4,5; 11) a) 15 8ln (2)
2
 ; b) 3 4
ln(2) 3
 ; c) 3 2ln(2)
4
  ; d) 71
6
; e) 37
12
f) 18 ln(3) ; 
12) a) 7/3; b) 8/3; c) 5/2; d) 11/4 
Questões Objetivas 
1) D 2) C 3) E 4) E 5) C