Texto 4 Integrais de funções racionais e decomposição em frações parciais

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1 
UNIFACS - CÁLCULO INTEGRAL 
TEXTOS DE CÁLCULO - 2017 
Métodos de Integração 1 
 
 
Cálculo de Integrais de Funções Racionais; Decomposição em Frações Parciais 
 
Introdução: Às vezes é vantajoso integrar uma função racional 
)x(q
)x(p
)x(f 
, onde p(x) e q(x) são polinômios, 
por um método chamado de “decomposição em frações parciais”. 
 
Exemplo 1: Considere o caso da integral 


dx
1x
2
2
. Como o denominador q(x)= x2-1 tem raízes 1 e -1, 
temos que x2-1=(x-1)(x+1). Logo, podemos escrever
 


dx
)1x)(1x(
2
dx
1x
2
2
 . 
Nossa intenção (ideia) é separar essa fração como soma de duas outras, assim: 
1x
B
1x
A
1x
2
2 




 
Esse processo é chamado de decomposição em frações parciais de 
1x
2
)x(f
2 

. 
 
Feito isso, calculando os valores de A e B, nossa integral ficará fácil de resolver, veja! 
 
C 1|x| ln B 1|-x| ln Adx)
1x
B
1x
A
(dx
)1x)(1x(
2
dx
1x
2
2








 
Como você viu, basta saber calcular os valores de A e B para terminar nossa integral. 
 
Mas atenção! Para poder escrever o denominador q(x) como um produto de fatores é necessário que ele 
seja redutível, que é o caso (por exemplo) de q(x) ter pelo menos uma raiz real. 
Exemplo 2: As integrais 


dx
9x
2
2
 ,
  

dx
4x
1x3
2
,


dx
13x4x
1
2
,
 
NÃO podem ser resolvidas pelo método de 
decomposição em frações parciais pois os denominadores x2+9, x2+4 e x2+4x+13 não têm raízes reais. 
Neste caso temos que usar os métodos anteriores, como uso de tabelas ou substituição. 
Por exemplo, 
C)
2
x
(arctg
2
1
)4xln(
2
3
dx
4x
1
dx
4x
x2
2
3
dx
4x
1
dx
4x
x3
dx
4x
1x3 2
22222












. 
C)
3
2x
(arctg
3
1
dx
9)2x(
1
dx
9)4x4x(
1
dx
13x4x
1
222









. 
 
Decomposição em Frações Parciais; Frações Próprias e Impróprias 
Para calcular uma integral 
 dx)x(q
)x(p
pelo método de decomposição em frações parciais é necessário 
primeiramente separar as funções racionais em dois tipos: funções racionais próprias e funções racionais 
impróprias. 
Além disso, como já dissemos acima, o denominador q(x) tem que ser um polinômio redutível. 
 
1Adelmo R. de Jesus adelmojesus2008@gmail.com / Ilka R. Freire 
 
 2 
Veja a definição a seguir: 
Definição: 








(q(x)) grau (p(x)) grau quando ,imprópria
(q(x)) grau (p(x)) grau quando ,própria
é
)x(q
)x(p
y racional função Uma
 
 
Quando 
)x(q
)x(p
 é imprópria, devemos dividir p(x) por q(x) e escrevê-la como a soma de um polinômio (parte 
inteira) com uma fração racional própria. 
Por exemplo, dada a função 
1x
3x5x6x
)x(f
2
23



, obtemos por divisão do numerador pelo denominador 
que 
1x
9x6
)6x(
1x
3x5x6x
22
23





 
O Teorema que será apresentado a seguir é aplicável para o caso de frações próprias (o caso geral é feito 
fazendo previamente a divisão de p(x) por q(x)). Seu enunciado está formulado para o caso de q(x) ter grau 
3, e nos dá a maneira de decompor uma função racional a depender tipo das raízes de q(x). 
Teorema: Sejam , ,  , m , n , p números reais dados, com ,,  diferentes entre si. Então existem 
constantes A, B, C tais que: 
a) 
)x(
C
)x(
B
)x(
A
)x)(x)(x(
pnxmx2








 (raízes reais distintas) 
b) 
22
2
)x(
C
)x(
B
)x(
A
)x)(x(
pnxmx








 (alguma raiz repetida, no caso, raiz dupla) 
 c) 
)x(
D
)x(
C
)x(
BAx
)x)(x)(x(
pnxmx
2222
2









 (algum fator irredutível 
)x 22 
 
 
 
Exemplo 1 (fração própria, e q(x) com raízes diferentes): 
 
 
 

 )2x)(2x(
dx
 
4x
dx
2
 = 
dx )
2x
B
 
2x
A
( 



 = 
 dx
2x
B
 dx 
2x
A
   
 
 
 
Como 
)2x)(2x(
)BA(2x)BA(
)2x)(2x(
)2x(B)2x(A
)2x)(2x(
1







, comparando os polinômios que se encontram 
nos numeradores da 1a e da última frações ficamos com o sistema 





2/1BA
0BA
 . 
Dessa forma, temos A = ¼ , B = - ¼ e daí ficamos com: 
  





dx
2x
 dx 
2x
 
4x
dx 4
1
4
1
2
= 
4
1
ln (|x-2|) – 
4
1
ln(|x+2|) + C = 
4
1
ln ( | 
2x
2x


 | ) + C 
 
Exemplo 2 (fração imprópria, e q(x) com três raízes diferentes): 
 dx
x2xx
2x2x3xx
23
234



 
O grau de grau(p(x))=4 e grau(q(x))=3 é menor, o que caracteriza uma fração imprópria. Logo, neste caso 
temos que dividir o numerador pelo denominador. 
Tentativa 
 
 3 
Fazendo isso, obtemos um polinômio mais uma fração própria. 
x2xx
2x6x
)2x(
x2xx
2x2x3xx
23
2
23
234





 
A integral fica: 
 dx
)2x)(1x(x
2x6x
dx)2x( dx
x2xx
2x2x3xx 2
23
234
 




 
Decomposição em frações parciais: 
2x
C
1x
B
x
A
)2x)(1x(x
2x6x2






 
Logo, temos: A(x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-1) = x2-6x+2 
Fazendo x=0 ficamos com -2A = 2. Logo, A=-1 
Fazendo x=1 ficamos com 3B= -3. Logo, B=-1 
Fazendo x=-2 ficamos com 6C= 18. Logo, C=3 
Nossa integral fica: 
dx) 
2x
3
1x
1
x
1
(dx)2x( dx
x2xx
2x2x3xx
23
234
 








 
Finalmente, temos: 
C|2x|ln3|1x|ln|x|lnx2
2
x
dx) 
2x
3
1x
1
x
1
(dx)2x(
2







 
 
 
Exemplo 3 (q(x) com fatores lineares repetidos):Calcular a integral 
 dx
x2x
4x2
23 

 
 
Neste caso temos x3-2x2 = x2 (x-2) . A decomposição em frações parciais é então: 
 
22 x
C
x
B
)2x(
A
x)2x(
4x2





 . Efetuando os cálculos, temos 
 
2
2
2 x)2x(
)2x(C)2x(BxAx
x)2x(
4x2





,o que nos dá Ax2 + Bx(x-2) + C(x-2) = 2x + 4 
 
x = 0-2C = 4  C = -2 
 
x = 2  4A = 8  A = 2 
 
x = 1  A – B – C = 6  2 – B + 2 = 6  B = -2 
 
Logo, a decomposição é 
22 x
2
x
2
2x
2
x)2x(
4x2 







 
 
Portanto, 
C
x
2
|x|ln2|2x|ln2dx)
x
2
x
2
2x
2
( dx
x2x
4x2
223










 
 
Exemplo 4 (q(x) com fatores lineares repetidos): Calcular a integral 
 
1xxx
dx)1x2(
23 

 
 
É fácil ver que x=1 é raiz do polinômio q(x). Fatorando por Briot-Ruffini temos que x=1 é novamente raiz, 
ou seja, 1 é raiz dupla de q(x) . 
Temos assim a decomposição de q(x) = x3-x2-x+1 = (x+1)(x-1)2 
 
 4 
Nossa integral ficará assim: 
 
)1x)(1x(
dx)1x2(
2 

= 
dx
1)-(x
C
 dx
1x
B
 dx 
1x
A
 
2  
 
 
Veja a decomposição em frações, logo abaixo: 
2
2
2
2
2 )1x)(1x(
)CBA(x)CA2(x)BA(
)1x)(1x(
)1x(C)1x)(1x(B)1x(A
)1x)(1x(
1x2








 
 
Efetuando os cálculos encontramos A= - ¼ , B = ¼ , e C = 3/2 . 
 
Daí, temos 
 dx
1xxx
1x2
23 

= 
dx
1)-(x
 dx
1x
 dx 
1x
 
2
2
3
4
1
4
1
  

As duas primeiras integrais nos dão logaritmos conhecidos. 
 
A 3ª integral é feita usando a substituição t=x-1, dt=dx. Veja abaixo: 
 
)1x(2
3
t
1
2
3
dt
t
1
2
3
dx
1)-(x
1
2
3
dx
1)-(x
 
222
2
3




 
 
 
Finalmente, 
C
1x
1
2
3
|1x|ln
4
1
|1x|ln
4
1
 dx
1xxx
1x2
23








, ou ainda, usando propriedades 
de logaritmos, 
 
C
1x
1
2
3
1x
1x
ln
4
1
 dx
1xxx
1x2
23









 
 
Exercício Proposto: Calcule a integral
dx 
)3x()1x(
1x13x6
2
2



 
 
Exemplo 5 (q(x) com fator irredutível): 



dx
)1x)(1x(
4x2
22
 
Neste caso q(x) é um polinômio de grau 4, com fator irredutível x2+1. A fração 
)x(q
)x(p
 é própria, por isso 
vamos diretamente à decomposição em frações parciais. 
 
2222 )1x(
D
1x
C
 
)1x
BAx
)1x)(1x(
4x2









 
Efetuando os cálculos, temos:(Ax+B)(x-1)2 + C(x-1)(x2+1) + D(x2+1) = (-2x+4) 
 
Fazendo x=1 anulamos as duas primeiras parcelas, e ficamos com 2D=2. Logo, D=1. 
Escolhendo valores x=0, x=-1 e x=2 (por exemplo), determinamos A=2, B=1 e C=-2. 
A decomposição então é: 
2222 )1x(
1
1x
2
 
1x
12x
)1x)(1x(
4x2










 
 
A integração agora é mais simples, veja... 
 


















dx
)1x(
1
dx
1x
2
 dx 
1x
12x
dx)
)1x(
1
1x
2
 
1x
12x
(dx
)1x)(1x(
4x2
222222
 
 
 5 
A 1ª integral é feita separando em duas parcelas, ou seja, 







dx 
12x
1
dx 
12x
2x
dx 
12x
12x
 
Logo, o resultado final é: 
C
1x
1
|1x|ln2)x(arctg)1xln(dx
)1x)(1x(
4x2 2
22






 
 
 
Exemplo 6 (q(x) com fator irredutível): 



dx
)4x)(3x(
1x3
2
2 
 
Nesse caso temos q(x) com uma raiz x=3 e um fator irredutível x2+4. A decomposição é dada por 
)4x(
CBx
3x
A
)4x)(3x(
1x3
22
2







 
 
Efetuando os cálculos, temos: 
)4x)(3x(
)3x)(CBx()4x(A
)4x(
CBx
3x
A
2
2
2 






 
 
Comparando os numeradores ficamos com: A (x2+4) + (Bx+C) (x-3) =3x2-1 
 
x=3  13A =26  A=2 
x=0  4A-3C=-1  8-3C=-1  -3C=-9  C=3 
x=1  5A+(B+C)(-2)=2  10-2B-6=2  4-2B=2  -2B=-2  B=1 
 








dx)
4x
3x
)3x(
2
(dx
)4x)(3x(
1x3
22
2 
 
A 2ª integral é separada para obtermos “ln + arctg”, veja: 
)
2
x
(arctg
2
3
)4xln(
2
1
dx
4x
1
3dx
4x
x2
2
1
dx
4x
3
dx
4x
x
dx
4x
3x 2
22222












 
Finalmente, nossa integral tem o seguinte resultado: 
)
2
x
(arctg
2
3
)4xln(
2
1
|3x|ln2dx)
4x
3x
)3x(
2
(dx
)4x)(3x(
1x3 2
22
2









 
 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 
1) No caso de 


dx
x1
3
2
, 


 dx
x
1x2x
2
3
, e 
 dx
4x
x2
2 
 o procedimento acima não é necessário, pois as 
duas primeiras são integrais imediatas e a terceira é resolvida fazendo a substituição t = x2-4 
 
2) Como já vimos anteriormente, em alguns casos o denominador q(x) é um polinômio de grau 2, 
irredutível, e o método de frações parciais não é aplicável pois não encontramos frações mais simples para 
integrar. Um dos processos a utilizar neste caso é o de completar o quadrado de q(x). 
 
Exemplos: 
2.1)


 
2x2x
dx
2 
)1x2x(1
dx
2 
= 
 
)1x(1
dx
2 
 . Fazendo t = x+1 temos dt = dx . 
 Logo, 


 
2x2x
dx
2 
)1x(1
dx
2 
= 
C)1x(arctgC)t(arctg 
t1
dt
2



 
 
 6 
2.2)


 dx 
13x4x
2
2 

 dx
9)4x4x(
2
2
 
)2x(9
dx
2
2 
 = 
C)
3
2x
(arctg
3
2


 (Faça t=x+2) 
 
2.3)



 dx
13x4x
10x2
2
 dx
13x4x
6
 dx
13x4x
4x2
 dx
13x4x
6)4x2(
222  






. 
 
Fazendo t=x2+4x+13, temos dt= (2x+4)dx. Logo, 
 


)13x4xln(dt
t
1
dx
13x4x
4x2 2
2
. 
Também, completando quadrados (ver item 2.2), temos 
)
3
2x
(arctg
3
1
6dx
9)2x(
1
6dx
13x4x
6
22






 
Finalmente, 
C)
3
2x
(arctg2)13x4xln(dx 
13x4x
2 2
2





 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
I) Calcule as integrais abaixo, por substituição ou pelo método de completar quadrados: 
1) 


dx
x
 3x2
 2) 


dx
x
 1x2x3
2
2 3) 
 
dx 
3x
 4
 
4) 
  x32
dx
 5) 
 
dx
2x
 x
 6) 
 

dx
2x
 3x
 
7) 
dx
x1
x
2 
 8) 
dx
x1
)1x(
2 

 9) 
dx
x1
x2
4 
 t= x2 
10)



1x
dx)3x2(
2
 11)
 

2x
dx)3x2(
 12)
 dx
1x6x
2x
3
2



 
13)

 2x4
dx
 14)

 6x4x
dx
2
 15) 

 13x6x
dx
2
 
I) Decomposição de frações parciais (caso que todas as raízes de q(x) são reais, repetidas ou não) 
1. 
 
1x
dx
2 
 2. 
 
6x5x
dx
2 
 3. 
 
x3x
dx
2 
 4. 
 dx
)7x)(1x(
3x2
 

 
5. 
 dx
x3x
1xx
2
2



 6. 
 dx
4x3x
10x5
2 

 7. 
 dx
1x
2xx
2
2



 8. 
 dx
)2x()1x(
1x
2 

 
9. 
 dx
xx2x
6x20x5
23
2



 10. 
 dx 
x2x
4x2
 23 

 11. 4 2
3 2
3 1
6
x x
dx
x x x
 
 
 
12. 
  
2
2
3 7
2 3 1
x x
dx
x x
 
 

 13. 
2 2
0
dx
a
x a


 14. 
  
9
5 2
x
dx
x x

 
 
15. 
 
1
20
2 3
1
x
dx
x



 16. 
   
2
2
1
4 7 12
2 3
x x
dx
x x x
 
 
 
 
SUGESTÕES E RESPOSTAS 
 
Parte I 
 
Exercícios 1) e 2): Separe as frações e integre. 
3) Faça a substituição t=x-3 para obter a resposta: 4ln|x-3| +C 
4) A substituição é t = 2+3x. Cuidado com dt=3dx 
 7 
5) Use o truque x=(x+2)-2 6) x +3 = (x+2) +1 7) substituição 
8) separar as frações e integrar transformando a integral em duas. Uma é a do item anterior e a outra é 
imediata. 
9) substituição t=x2, dt =2xdx 10) Igual ao exercício 8) 
11) Melhor dividir o numerador pelo denominador (fração imprópria) e integrar. 
12) Substituição
1x6xt 3 
, dt = (3x2-6)dx = 3 (x2-2)dx 
13) Essa é um pouco mais difícil: Use que 
))
2
x
(1(4)
4
x
1(4x4 2
2
2 
 e faça 
2
x
t 
 . Logo, dx=2dt 
A resposta é 
C)2x4ln(
2
1

 
14) Completar quadrado: x2+4x+6 = (x2+4x +4)+2 = ... Faça agora t=x+2 
15) Completar quadrado: x2-6x+13 = (x2 -6x + 9)+4 = ... Faça agora t=x-3 
 
Parte II 
1. 
C
1x
1x
ln
2
1



 2.
C
2x
3x
ln 


 3. 
C
3x
x
ln
3
1


 4. 
1 11
ln 1 ln 7
6 6
x x C   
 
5. 
1 7
ln ln 3
3 3
x x x C   
 6. 
2 ln 4 3ln 1x x C   
 7. 
2ln 1 ln 1x x x C    
 
 8. 
C) |
1x
2x
| ( ln3
1x
2
C|2x|ln3|1x|ln3
1x
2







 9. 
C
x
x
x




 ) |
1
| ( ln
1
9 6
 
 10. 
C) |
x
2x
| ( ln2
x
2



 11. 2 1 1 11
ln ln 2 ln 3
2 6 2 3
x
x x x C     
 
12.
 
1 3
ln
2 3 1
x
C
x x

 
 
 13. 
1
ln
2
x a
C
a x a



 14. 
2ln 5 ln 2x x C   
 
 
15. 
1
2ln 2
2

 16. 
27 9
ln 2 ln 3
5 5
C 