TEXTO INTEGRAIS TRIGONOMETRICAS

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Métodos de Integração 3 
Texto elaborado pelos professores Adelmo R. de Jesus/Ilka R. Freire/Ma Amélia Barbosa 
 
Integrais de Funções Trigonométricas 
 Já sabemos calcular as integrais de senx, cosx, tgx, secx, sec2x, etc. Resta-nos calcular integrais que têm 
potencias de seno e cosseno , como dx xsen2 dx xcos2 , dx xsen3 etc. Vamos dividir o estudo em 
dois casos. 
 
Integrais envolvendo potências de seno e cosseno:  dx)x(cos)x(sen nm
 
1o Caso: Uma das potências é ímpar e positiva 
 
A idéia é escrever o termo que tem a potência ímpar como produto de duas potências, sendo uma delas igual a 1 
e manter o outro termo fixo, ou seja, se m é ímpar então   dx)xsen()x(cos)x(sendx)x(cos)x(sen n1mnm , 
onde )x(sen 1m é escrito em termos de cos(x) mediante a identidade trigonométrica )x(cos1)x(sen 22  , 
uma vez que m 1 é par ; se n é ímpar então   dx)xcos()x(cos)x(sendx)x(cos)x(sen 1nmnm , onde 
)x(cos 1n é escrito em termos de sen(x) mediante a identidade trigonométrica )x(sen1)x(cos 22  , uma vez 
que n 1 é par . 
Exemplos: )xsen()x(sen)x(sen 23  ; 
)xsen()x(sen)x(sen,)xcos()x(cos)x(cos,)xcos()x(cos)x(cos 896745  
 
Exemplo 1 :  dx)x(sen3 
Faça )xsen()x(sen)x(sen 23  Escreva agora )x(cos1)x(sen 22  para fazer a substituição u = cos x 
Temos assim: u = cos x e du = sen x dx. Substituindo na integral: 
  C3
uudu)u1(dx)xsen())x(cos1(dx)xsen()x(sendx)x(sen
3
2223 
C
3
)x(cos)xcos(
3
 
Exemplo 2:  dx)x(cos)x(sen 23 
 Faça )xsen()x(sen)x(sen 23  . Escreva agora )x(cos1)x(sen 22  para fazer a substituição u = cos x 
 
 
EAETI – ESCOLA DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TI 
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Temos assim: u = cos x e du = sen x dx. Substituindo na integral: 
   duu)u1(xdxsenxcos)xcos1(dx)x(cos)x(sen 222223 C5
u
3
u 53  = C
5
xcos
3
xcos 53  
 
Exemplo 3:  dx)x(sen)x(cos 75 
Faça )xcos()x(cos)x(cos 45  (Observe que no caso de duas potências ímpares, escolhemos a menor delas 
para facilitar os cálculos). Escreva 22224 ))x(sen1())x((cos)x(cos  para fazer a substituição u = sen(x) 
e du = cos(x) dx. Substituindo na integral: 
  duu)uu21(duu)u1(dx)xcos()x(sen))x(sen1(dx)x(sen)x(cos 74272272275 
 
2o Caso: As duas potências são pares e não negativas 
 
Neste caso usamos as identidades trigonométricas 
2
)x2cos(1xcos2  e 
2
)x2cos(1xsen 2  
Exemplo 4:  xdxsenxcos 22 
Neste exemplo vamos precisar também escrever cos2 (2x) como 
2
)x4cos(1)x2(cos2  (veja fórmula acima) 
 
dx
4
x2cos1dx
2
x2cos1
2
x2cos1 2  




 



 



  =   dx2
x4cos1
4
1dx
4
1 = Cxdx4cos
8
1x
8
1x
4
1   
= C
32
x4sen
8
x  
 
Exemplo 5:  dx)x(sen 4 
 
)*(dx))x2(cos)x2(cos21(
4
1dx
2
)x2cos(1)x(sendxxsen 2
2
224 



   
Observe que é preciso usar novamente a identidade trigonométrica supra citada para escrever 
2
)x4cos(1)x2(cos2  = )x4(cos
2
1
2
1  
Daí, ( * ) = Cx4sen
32
1x2sen
4
1x
8
3dxx4cos
2
1x2cos2
2
3
4
1 



  
Referências Bibliográficas e Internet: 
1. Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton (vol 1) 
2. Cálculo A – Diva Fleming /Miriam Buss 
3. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski ( vol 1) 
 
Exercícios: 
1)  xdxxsencos 25 
2) 2 315sen x cos x dx 
 3
 
 
 
 
Exemplo 3:  dx)x(sen)x(cos 75 
Faça )xcos()x(cos)x(cos 45  (Observe que no caso de duas potências ímpares, escolhemos a menor delas 
para facilitar os cálculos). Escreva 22224 ))x(sen1())x((cos)x(cos  para fazer a substituição u = sen(x) 
e du = cos(x) dx. Substituindo na integral: 
  duu)uu21(duu)u1(dx)xcos()x(sen))x(sen1(dx)x(sen)x(cos 74272272275 
 
2o Caso: As duas potências são pares e não negativas 
 
Neste caso usamos as identidades trigonométricas 
2
)x2cos(1xcos2  e 
2
)x2cos(1xsen 2  
Exemplo 4:  xdxsenxcos 22 
Neste exemplo vamos precisar também escrever cos2 (2x) como 
2
)x4cos(1)x2(cos2  (veja fórmula acima) 
 
dx
4
x2cos1dx
2
x2cos1
2
x2cos1 2  




 



 



  =   dx2
x4cos1
4
1dx
4
1 = Cxdx4cos
8
1x
8
1x
4
1   
= C
32
x4sen
8
x  
 
Exemplo 5:  dx)x(sen 4 
 
)*(dx))x2(cos)x2(cos21(
4
1dx
2
)x2cos(1)x(sendxxsen 2
2
224 



   
Observe que é preciso usar novamente a identidade trigonométrica supra citada para escrever 
2
)x4cos(1)x2(cos2  = )x4(cos
2
1
2
1  
Daí, ( * ) = Cx4sen
32
1x2sen
4
1x
8
3dxx4cos
2
1x2cos2
2
3
4
1 



  
Referências Bibliográficas e Internet: 
1. Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton (vol 1) 
2. Cálculo A – Diva Fleming /Miriam Buss 
3. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski ( vol 1) 
 
 
Exercícios: 
1) 3 4sen (2x)cos (2x)dx 
 4
2) 2 315sen x cos x dx 
 
 
 
Exemplo 3:  dx)x(sen)x(cos 75 
Faça )xcos()x(cos)x(cos 45  (Observe que no caso de duas potências ímpares, escolhemos a menor delas 
para facilitar os cálculos). Escreva 22224 ))x(sen1())x((cos)x(cos  para fazer a substituição u = sen(x) 
e du = cos(x) dx. Substituindo na integral: 
  duu)uu21(duu)u1(dx)xcos()x(sen))x(sen1(dx)x(sen)x(cos 74272272275 
 
2o Caso: As duas potências são pares e não negativas 
 
Neste caso usamos as identidades trigonométricas 
2
)x2cos(1xcos 2  e 
2
)x2cos(1xsen 2  
Exemplo 4:  xdxsenxcos 22 
Neste exemplo vamos precisar também escrever cos2 (2x) como 
2
)x4cos(1)x2(cos2  (veja fórmula acima) 
 
dx
4
x2cos1dx
2
x2cos1
2
x2cos1 2  




 



 



  =   dx2
x4cos1
4
1dx
4
1 = Cxdx4cos
8
1x
8
1x
4
1   
= C
32
x4sen
8
x  
 
Exemplo 5:  dx)x(sen 4 
 
)*(dx))x2(cos)x2(cos21(
4
1dx
2
)x2cos(1)x(sendxxsen 2
2
224 



   
Observe que é preciso usar novamente a identidade trigonométrica supra citada para escrever 
2
)x4cos(1)x2(cos2  = )x4(cos
2
1
2
1  
Daí, ( * ) = Cx4sen
32
1x2sen
4
1x
8
3dxx4cos
2
1x2cos2
2
3
4
1 



  
Referências Bibliográficas e Internet: 
1. Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton (vol 1) 
2. Cálculo A – Diva Fleming /Miriam Buss 
3. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski ( vol 1) 
 
 
 
 
 
 5
 
Exercícios: 
 
Integrais trigonométricas: 
 
Resolva as integrais abaixo. 
 
1)  xdxsen2 2)  xdxsen3 3)  xdxxsencos 25 4) 2 315sen xcos x dx 
 
5) sen (3x)cos(5x)dx 6) 3 4sen (2x)cos (2x)dx 7) 515sen xdx 8)  5cos 3 3x dx 
 
Obs: Para resolver: 5) use a fórmula ))ba(sen)ba(sen)(2/1(bcossena  
 
 
 
 
Respostas 
 
Integrais trigonométricas: 
 
1) C
4
sen2x
2
x  2) Ccosx
3
xcos3  3) C
7
xsen
5
xsen2
3
xsen 753  
4) 3 55sen x 3sen x C  5) 1 1cos8x cos 2x C
16 4
   6) 5 7
1 1cos 2x cos 2x C
10 14
   
7) 3 515cosx 10cos x 3cos x C    8) 3 51 2 1sen(3 3x) sen (3 3x) sen (3 3x) C
3 9 15
      