Métodos estatísticos cederj

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METÓDOS ESTATÍSTICOS
1) (3,0 pontos) Considere a palavra “FLAMINGO”.
a) (1,0 pt) Quantos são os anagramas desta palavra tais que a expressão “GOL” aparece? 
GOL como um caractere tem, portanto, uma palavra com 6 letras. Total de anagramas é 6! =
720 combinações. 
b) (1,0 pt) Quantos são os anagramas desta palavra tais que as vogais estejam sempre juntas? 
As vogais juntas podem ser permutadas entre si. Como são três, elas podem ser distribuídas
em 3! = 6 combinações. Considerando a junção dessas vogais como uma letra, teremos 6! =
720 combinações. Juntando as duas situações, teremos 6! × 3! = 720 × 6 = 4320 combinações.
c) (1,0 pt) Quantos são os anagramas desta palavra que começam com a expressão “FLA”?
Como o trio de letras inicial é fixo, só sobram 5 letras para poderem sofrer permutação.
Portanto, teremos 5! = 120 combinações. 
(4,0 pontos) Um grupo de pessoas foi entrevistado sobre idiomas que preferem aprender. O
resultado da pesquisa estão na tabela abaixo
Idade Inglês (I) Francês (F) Espanhol (E) Alemão (A) Total
Até 18 anos (B) 
De 19 a 39 anos (C)
Mais de 39 anos (D)
60
50
40
15
10
30
35
30
30
10
20
30
120
110
130
Total 150 55 95 60 360
Assuma que uma pessoa deste grupo for selecionada aleatoriamente: 
a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de esta pessoa preferir aprender Francês ou Alemão? 
Em um universo de 360 pessoas, 55 prefereririam aprender Francês e 60, Alemão. Podemos
reescrever da seguinte maneira: 
#Ω = 360; #F = 55; #A = 60 
∪Como se tratam de eventos mutuamente exclusivos, logo #(F A) = #F + #A = 55 + 60 =
115. Portanto: 
∪ ∪ P r(F A) = #(F A) / #Ω = 115 / 360 = 23 / 72 = 0,3194 = 31,94% 
b) (1,0 pt) Qual a probabilidade de esta pessoa preferir aprender Espanhol e ter de 19 a 39
anos? Como as duas condições devem ser satisfeitas, logo: 
P r(E ∩ C) = #(E ∩ C) / #Ω = 30 / 360 = 1 / 12 = 0,0833 = 8,33% 
c) (1,0 pt) Qual a probabilidade de esta pessoa preferir aprender Inglês ou ter mais de 39
anos?
∪Estamos diante de eventos não-exclusivos agora. Logo, #(I D) = #I+#D−#(I∩D) =
150+130−40 = 240. Então: 
∪ ∪P r(I D) = #(I D) / #Ω = 240 / 360 = 2 / 3 = 0,6666 = 66,66% 
d) (1,0 pt) Sabendo que a pessoa selecionada tem até 18 anos, qual a probabilidade de ela
preferir aprender Alemão?
Nosso espaço amostral agora foi reduzido do total de 360 pessoas para as que tem até 18 anos,
sendo #B = 120 pessoas. Então: 
P r(A|B) = P r(A ∩ B) / P r(B) = (#(A ∩ B) / #Ω) / (#B / #Ω) = 10 / 120 = 1 / 12 = 0,0833 =
8,33% 
3) (3,0 pontos) Das peças vendidas em um estabelecimento comercial, 22% são provenientes
do fornecedor A, 37% são provenientes do fornecedor B e as demais são provenientes do
fornecedor C. Do histórico de fornecimento de peças ao estabelecimento, sabe-se que o
percentual de peças que chegam com atraso de cada fornecedor são de 0,4%, 0,55% e 0,45%
respectivamente para os forncedores A, B e C. Uma peça deste estabelecimento é selecionada
aleatoriamente.
a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de ela ter sido entregue pelo fornecedor C? 
Como existem apenas três fornecedores, temos que o Universo é formado por esses três
conjuntos (A, B e C, formado pelas peças entregues pelos fornecedores A, B e C,
respectivamente). Portanto, se P r(A) = 0,22 e P r(B) = 0,37, temos: 
∪ ∪ ⇒ ⇒P r(A B C) = 1 P r(A) + P r(B) + P r(C) = 1 P r(C) = 1 − P r(A) + P r(B) = 1 − 0,22 −
0,37 = 0,41 
Logo, a probabilidade de uma peça ser entregue pelo fornecedor C é de 41%. 
b) (1,0 pt) Qual a probabilidade de ela ter chegado com atraso?
Consideremos D como o evento ”peça com atraso”. A questão nos informa que o percentual
de peças atrasadas do fornecedor A é de 0,4%. Isso equivale dizer que P r(D|A) = 0,004.
Igualmente, P r(D|B) = 0,0055 e P r(D|C) = 0,0045. Para calcularmos P r(D), nós podemos
considerar pelo teorema da probabilidade total que: 
P r(D) = P r(D ∩ A) + P r(D ∩ B) + P r(D ∩ C) = = P r(A)P r(D|A) + P r(B)P r(D|B) + P
r(C)P r(D|C) = = 0,22 × 0,004 + 0,37 × 0,0055 + 0,41 × 0,0045 = = 0,00088 + 0,002035 +
0,001845 = = 0,00476 
Logo, a chance de uma peça chegar atrasada é de 0,476%.
c) (1,0 pt) Sabendo que ela chegou com atraso, qual a probabilidade de ela ter sido entregue
pelo fornecedor A?
Agora queremos calcular P r(A|D). Pela definição: 
P r(A|D) = P r(D ∩ A) / P r(D)
 Desenvolvendo, temos: 
P r(A|D) = P r(D ∩ A) / P r(D) = P r(A)P r(D|A) / P r(D) = = P r(A)P r(D|A) / P r(D) = 0,22 ×
0,004 / 0,00476 = = 0,00088 / 0,00476 = 0,1848
Então, a probabilidade de uma peça atrasada ter sido entregue pelo fornecedor A é de 18,48%.