Aula 9 MAT

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Matemática para 
Negócios
André Brochi
Aula 9
Conceito intuitivo
O limite de uma função num determinado 
valor de x, isto é, , é definido 
como aquele valor que a função assume 
nas vizinhanças de x0.
 xf
xx 0
lim

Limite de uma função
2
Exemplo 1:
função contínua função descontínua
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1 0 1 2 3
x
  23  xxf
 
2
1
x
xf 
3
0xx 
)()(lim 0
0
xfxf
xx


Limites de funções contínuas
Se uma função f(x) é contínua em , 
então:
O valor do limite da função para x
tendendo a x0 é igual ao valor da função 
quando x é igual a x0.
4
Exemplo 2: encontrar
 :13lim
2


x
x
X Y = f(x)
-1 - 4
0 -1
1 2
1,5 3,5
1,6 3,8
1,9 4,7
1,999 4,997
1,99999 4,99997
X Y = f(x)
4 11
3 8
2,5 6,5
2,2 5,6
2,1 5,3
2,01 5,03
2,001 5,003
2,00001 5,00003
5
Exemplo 3:
 
9
7
9
931
1
3
1
9
1
1
3
1
3
1
1lim
2
2
3
1











xx
x
a)
b)
c)
    835353lim
5


x
x
  44lim
3

x
6
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1 0 1 2 3
f(x)
xd)
e) 
2
2
4
20
40
2
4
lim
22
0














 x
x
x
?
2
4
lim
2
2








 x
x
x
7
Limites de funções 
descontínuas
Se uma função f(x) é descontínua em 
x = x0, então para determinar , 
devemos calcular os valores de f(x) para x
se aproximando de x0 (tanto pela direita 
quanto pela esquerda). 
)(lim
0
xf
xx
8
Exemplo 4: encontrar
Pela esquerda Pela direita
:
2
4
lim
2
2 








 x
x
x
x f(x)
-1 1
0 2
1 3
1,5 3,5
1,6 3,6
1,9 3,9
1,999 3,999
1,99999 3,99999
x f(x)
4 6
3 5
2,5 4,5
2,2 4,2
2,1 4,1
2,01 4,01
2,001 4,001
2,00001 4,00001
9
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1 0 1 2 3
f(x)
x
 
2
42



x
x
xf
existe e é igual a 4. 








 2
4
lim
2
2 x
x
x
10
Como calcular algebricamente?








 2
4
lim
2
2 x
x
x
11
Matemática para 
Negócios
André Brochi
Atividade 9
Calcule:
13
Atividade





 
 x
xx
x
3
lim a)
2
5





 
 x
xx
x
3
lim b)
2
0
14