MAPA.ANALISE

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1.Prove que se a é par, então, a2 é múltiplo de 4.
Hipótese: a é par;
Tese: a² é múltiplo de 4.
Assim, como "a" é par, então podemos escrevê-lo na forma a = 2.p, onde "p" é um inteiro qualquer.
 Por conseguinte, fazemos:
a = 2 . p
(a)² = (2.p)²
a² = 4.p²
a² = 4.p²
É fácil perceber que 4 divide a². Portanto, a² é múltiplo de 4.
 Como queríamos demonstrar.
2) Mostre que se p é par e q é ímpar, então, a diferença q - p é ímpar.
Sejam . Sabemos que se  é par, então ele pode ser representado da seguinte forma: P = 2.m
Se q é ímpar, então ele é da forma: q = 2n+1
 Isto posto, devemos provar que: q – p é ímpar. 
 Segue,
q – p = (2n+1) – 2m
q – p = 2n+1 – 2m
q – p = 2(n – m) + 1 com (n-m) ∈ ℤ
Logo, q - p é impar. Como queríamos demonstrar.
3) Demonstre que se a divide b e a divide c, então, a divide a soma b + c.
Suponha que a,b e c são inteiros tal que a/b e a/c. Pela definição de divisibilidade b = a.r e c = a.s para inteiros r e s. 
Então b+c = a.r + a.s = a(r+s). 
Logo, a/(b+c) = a/a(r+s)
4) Prove que se a e b são múltiplos de 3, então (a+b)2 é divisível por 9.
5) Prove que se m e n são racionais, com n diferente de zero, então, a razão m/n é racional.
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/rational-and-irrational-numbers/sums-and-products-of-rational-and-irrational-numbers/v/sum-and-product-of-rational-numbers
6) Use o Princípio da Indução Finita para provar que 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n2 + n
Verificar se 2n = n2 + n é verdadeira para n=1
1º membro = 2(1)= 2 é verdadeiro para n=1
2º membro = (1)((1)+1) = 1. (1+1)= 2
Portanto, 2n = n2 + n é verdadeira para n=1.
Por hipótese 2n = n2 + n é verdadeira para n = k, k ≥ 1.
2 + 4 + 6 + ... + 2k= k2 + k
Tese: 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n2 + n é verdadeira para n = k+1, k ≥ 1.
(k+1): 2+4+6+8+...+2k+2(k+1) = (k+1)((k+1)+1) ou 
(k+1): 2+4+6+8+...+2k+2(k+1) = (k+1)((k+2) 
Partindo do primeiro termo da sentença (k+1) acima e nele substituindo a (k) (hipótese), temos:
2+4+6+8+...+2k+2(k+1) = [2+4+6+8+...+2k] + 2(k+1)
2+4+6+8+...+2k+2(k+1) = [k(k+1) +2(k+1) = (k+1)(k+2)
A expressão final coincide com o segundo membro de (k+1)
Portanto pelo principio de indução Finita, 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n2 + n é verdadeira para todo n≥ 1.
10) Prove que se m e n são ímpares, se, e somente se, o produto m.n é ímpar. (Para provar a “volta”, use a Redução ao Absurdo).