Fundamentos da Matemática Elementar UFJF - Apostila Julieta (atual)

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Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática 
Fundamentos de Matemática Elementar - Profª. Maria Julieta V. C. de Araujo 
Capítulo 1: Conjuntos 
 
 
1- Definições 
 Um conjunto é uma qualquer coleção de objetos, os quais chamamos de elementos do conjunto. 
 Usualmente representamos um conjunto por letra maiúscula e seus elementos por letras 
minúsculas. 
 A relação básica entre um elemento e um conjunto é a relação de pertinência. Se x é um dos 
elementos do conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos x  A. Se, porém, x não é um dos 
elementos do conjunto A, dizemos que x não pertence a A e escrevemos x  A. 
 Um conjunto A fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que 
permita decidir se um elemento arbitrário x pertence ou não a A. Por exemplo, seja A o conjunto dos 
triângulos retângulos; o conjunto A está bem definido e x  A se x é um triângulo que possui um ângulo 
reto. Se x não for um triângulo, ou se x for um triângulo que não possui um ângulo reto, então x  A. 
 Usa-se a notação A = {a, b, c, ... } para representar o conjunto A cujos elementos são os objetos a, 
b, c, etc (representação analítica ou por extensão). 
 Exemplos: A = {1, 2} 
  = {1, 2, 3, ... } (conjunto dos números naturais) 
  = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} (conjunto dos números inteiros) 
 A maioria dos conjuntos em Matemática não é definido especificando-se, um a um, os seus 
elementos. O método mais freqüente de se definir um conjunto é através de uma propriedade P comum e 
exclusiva dos seus elementos. Ela define um conjunto A da seguinte maneira: se um objeto x satisfaz a 
propriedade P então x  A; se x não satisfaz P então x  A. Escreve-se A = {x; x satisfaz a propriedade P} e 
lê-se: “A é o conjunto dos elementos x tais que x satisfaz a propriedade P” (representação sintética ou por 
compreensão). 
 Exemplos: A = {x; x   e x  5} ou A = {x  ; x  5} 
 B = {x; x é quadrado} 
 X = {x  ; x2 – 1 = 0} 
 Q = 






 0 , , ; qqp
q
p (conjunto dos números racionais) 
 Indicaremos pelo símbolo  o conjunto vazio. Ele pode ser definido assim: “Qualquer que seja x, 
tem-se x   ”, ou seja, o conjunto vazio é aquele que não possui elementos. 
 Exemplos: {x  ; x2 + 1 = 0} =  
 {x; x  x} =  
 Chama-se conjunto unitário todo conjunto constituído de um único elemento. 
 Exemplos: A = {1} 
 X = {x  ; x2 – 9 = 0} 
 Chama-se conjunto universo de uma teoria o conjunto de todos os entes que são sempre 
considerados como elementos nessa teoria. Assim, por exemplo, em Geometria Plana, o conjunto 
universo é o conjunto dos pontos de um plano; em Aritmética, o conjunto universo é o conjunto de todos 
os números inteiros não negativos: {0, 1, 2, 3, ...}. O conjunto universo é também chamado conjunto 
fundamental da teoria e será indicado pela letra U. O conjunto universo U pode alterar a constituição do 
conjunto que possui certa propriedade em U. 
 Exemplo: Seja A = {x; x2 – 2 = 0}. Se U = Q então A = {x  Q; x2 – 2 = 0} = . Se U =  então 
A = {x  ; x2 – 2 = 0} = 
 2 ,2
. 
 
 2 
2- Subconjuntos 
 Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A é 
também elemento de B. Usaremos a notação A  B ou B  A. Dizemos também que A está contido em B 
ou que A é parte de B ou que B contém A. Simbolicamente, temos: 
 A  B  (x  A)(x  B). 
 A relação A  B chama-se relação de inclusão. 
Exemplo: Sejam A o conjunto dos quadrados e B o conjunto dos retângulos. Então A  B. 
 Quando se escreve A  B, não está excluída a possibilidade de vir a ser A = B. No caso em que 
A  B e A  B dizemos que A é uma parte própria ou um subconjunto próprio de B. 
 A negação de A  B indica-se pela notação A  B, que se lê: A não é subconjunto de B ou A não 
está contido em B. Observe que A  B se e somente se existe pelo menos um elemento de A que não é 
elemento de B, isto é, simbolicamente: 
 A  B  (x  A)(x  B). 
 Temos assim que   A, qualquer que seja o conjunto A, pois caso contrário existiria x   tal que 
x  A; mas isto é um absurdo já que o conjunto vazio não possui elemento algum. 
 Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais se e somente se possuem os mesmos elementos. 
Assim, A = B  A  B e B  A. 
 
 Propriedades da relação de inclusão: 
1) A  A, qualquer que seja o conjunto A; 
2) A  B e B  A  A = B; 
3) A  B e B  C  A  C. 
Demonstração: 
1) É claro que (x  A)(x  A); logo A  A; 
2) Pela definição de igualdade de conjuntos; 
3) Hipótese: A  B B  C Tese: A  C 
Queremos mostrar que todo elemento de A é também elemento de C. Tomemos então um 
elemento x  A. Como A  B por hipótese, temos que x  B. Como B  C por hipótese, 
então x  C. 
 
 Observação: A fim de facilitar o entendimento de certas definições e demonstrações da Teoria de 
Conjuntos, é muito útil a representação de um conjunto por um recinto plano delimitado por uma linha 
fechada qualquer não entrelaçada. Uma tal representação recebe o nome de diagrama de Venn. Num 
diagrama de Venn, os elementos do conjunto são indicados por pontos internos ao recinto e elementos 
que não pertencem ao conjunto são representados por pontos externos ao mesmo recinto. Por exemplo, 
sejam A = {2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}: 
 
 B 
 
 
 
 
 
3- Conjunto das Partes de um Conjunto 
 Dado um conjunto X, indica-se por P(X) o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de X. 
Em outras palavras, afirmar que A  P(X) é o mesmo que dizer que A  X. Dizemos que P(X) é o 
conjunto das partes de X. 
 Simbolicamente, P(X) = {A; A  X}. 
 Observe que P(X) nunca é vazio, pois   P(X) e X  P(X). 
 Exemplos: X = {1, 2}; P(X) = { , {1}, {2}, {1, 2} } 
 P() = {} 
 A 
 . 1 
 
 . 4 
. 2 
 . 3 
 3 
 Proposição: 
 Se o conjunto X tem n elementos então P(X) tem 2n elementos. 
 Demonstração: Se X tem n elementos então podemos formar 






1
n
 conjuntos unitários, 






2
n
 
conjuntos de dois elementos, ... , 






1n
n
 conjuntos de n – 1 elementos e 






n
n
 = 1 conjunto de n 
elementos. Mas   X e portanto equivale a 






0
n
 = 1 conjunto sem elementos. Assim, o número de 
elementos de P(X) é dado por 































n
n
n
nnnn
1
 ... 
210
 que, pela Análise Combinatória, 
sabemos que é igual a 2n. 
 
4- Álgebra dos Conjuntos 
 O estudo das propriedades algébricas das operações de reunião, interseção e complementação 
constitui a chamada “Álgebra dos Conjuntos”, que possui analogias formais notáveis com a álgebra de 
certas operações usadas na Lógica das Proposições. 
 
4.1- Reunião ou União de Conjuntos 
A reunião de dois conjuntos A e B, denotada por A  B, é o conjunto A  B = {x; x  A ou x  B}. 
 Convém observar que a palavra ou empregada na propriedade que define A  B não tem sentido 
exclusivo, pois pode acontecer que um elemento x de A  B pertença simultaneamente a A e a B. 
 
 
 
 
 
 Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Temos: 
 
 Propriedades da inclusão e da reunião 
1) A  A  B e B  A  B 
2) A  B  A  B = B 
3) A  C e B  C  A  B  C 
4) A  B  A  C  B  C 
 
Propriedadesda reunião 
1) A  A = A (idempotente) 
2) A  B = B  A (comutativa) 
3) A  (B  C) = (A  B)  C (associativa) 
4) A   = A e A  U = U 
 
 
4.2- Interseção de Conjuntos 
A interseção de dois conjuntos A e B, denotada por A  B, é o conjunto A  B = {x; x  A e x  B}. 
Se A  B =  então dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 4 
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Temos: 
 
Propriedades da inclusão e da interseção 
1) A  B  A e A  B  B 
2) A  B  A  B = A 
3) C  A e C  B  C  A  B 
4) A  B  A  C  B  C 
 
Propriedades da interseção 
1) A  A = A (idempotente) 
2) A  B = B  A (comutativa) 
3) A  (B  C) = (A  B)  C (associativa) 
4) A   =  e A  U = A 
 
Propriedades que envolvem reunião e interseção 
1) A  (A  B) = A (absorção) 
2) A  (A  B) = A (absorção) 
3) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (distributiva) 
4) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (distributiva) 
 
 
4.3- Diferença de Conjuntos – Complementar 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto A – B formado pelos elementos de A que não 
pertençam a B, isto é, A – B = {x; x  A e x  B}. 
 
 
 
 
 
Se A  B =  então A – B = A; em qualquer caso tem-se A – B = A – (A  B). (Verifique) 
 Quando B  A, a diferença A – B chama-se complementar de B em relação a A e escreve-se 
A – B = CAB. Em relação ao conjunto universo U, a diferença U – X chama-se simplesmente 
complementar de X e indica-se por CX . Assim, x  CX  x  X. 
 
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Temos: 
 Propriedades 
1) C = U 
2) CU =  
3) C(CA) = A 
4) A =   CA = U 
5) A  B  CB  CA 
6) A – B = A  CB 
7) A  CA =  e A  CA = U 
8) A  (B – C) = (A  B) – (A  C) 
9) C(AB) = CA  CB 
10) C(AB) = CA  CB 
 
 
 
 
 
 
 5 
 Exercícios 
1- Consideremos os seguintes subconjuntos de : 
 A = {x; x é múltiplo de 2} C = {x; -3 

 x < 5} 
 B = {x; x é múltiplo de 3} D = {x; x < 1} 
 Determine A  B, C – D, D – C, CD, C  D, C  D. 
 
2- Seja A = { {} ,  }. Verifique quais das seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas: 
 a) { {} }  A c) {  }  A e)   A 
 b)   A d) { {} }  A f) {}  A 
 
3- Mostre que: 
 a) os conjuntos A  B e A – B são disjuntos 
 b) A = (A  B)  (A – B) 
 c) A – (B  C) = (A – B)  (A – C) 
 d) A – (B  C) = (A – B)  (A – C) 
 
4- Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Demonstre as afirmativas verdadeiras e dê 
contra-exemplos para as falsas: 
 a) A – B = B – A f) A – (B – C) = (A – B) - C 
 b) A – (B – C) = A – (B  C) g) A – (B – A) = A 
 c) C(A-B) = CA  B h) A – (B – C) = (A – B)  (A  C) 
 d) A  (B – C) = (A  B) – (A  C) i) (A – C)  (B – C) = (A  B) – C 
 e) A  B = A  C  B = C j) (A – B)  C = (A  C) – (B  C) 
 
5- Seja E = {a}. Determine P(P(E)). 
 
6- Determine P(P(P())). 
 
7- Prove: A  B  P(A)  P(B). 
 
8- Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: 
 a) X  A e X  B b) Se Y  A e Y  B então Y  X. 
 Prove que X = A  B. 
 
9- Sejam A, B  U. Prove que: 
 a) A  B =   A  CB 
 b) A  B = U  CA  B 
 c) A  B  A  CB =  
 
10- Dê exemplo de conjuntos A, B e C tais que (A  B)  C  A  (B  C). 
 
11- Se A, X  U são tais que A  X =  e A  X = U, prove que X = CA. 
 
12- Prove que A = B se e somente se (A  CB)  (CA  B) = . 
 
13- Chama-se diferença simétrica dos conjuntos A e B e indica-se por A  B ao conjunto de todos os 
elementos que pertencem a um e somente a um dos conjuntos A e B, isto é, A  B = (A – B)  (B – A). 
Mostre que: 
 a) A  B = (A  B) – (A  B) d) A  CA = U g) C(AB) = (A  B)  (CA  CB) 
 b) A   = A e) A  A =  
 c) A  U = CA f) A  B = B  A 
 6 
 14- Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e C = {3, 6, 9, 12, 15}, 
calcular: A  B, A  C, B  C, A  (B  C), (A  B)  (A  C) e (A  B)  C. 
 
15- Mostre que: 
 a) Se A  B então B  (A  C) = (B  C)  A, para todo conjunto C. 
 b) Se existir um conjunto C tal que B  (A  C) = (B  C)  A, então A  B. 
 
16- Sejam A um conjunto com m elementos e B um conjunto com n elementos. Suponha que A  B 
tenha p elementos. Quantos elementos tem A  B, A – B e B – A ? 
 
17- Os sócios dos clubes A e B perfazem o total de 140. Qual é o número de sócios de A, se B tem 60 e 
há 40 que pertencem aos dois clubes? 
 
18- Numa classe de 200 estudantes, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 
Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam as três. A relação de matrículas está correta? 
 
19- Numa cidade há 1000 famílias: 470 assinam O Globo, 420 assinam Jornal do Brasil, 315 assinam 
Estado de Minas, 140 assinam Estado de Minas e Jornal do Brasil, 220 assinam Estado de Minas e O 
Globo, 110 assinam Jornal do Brasil e O Globo e 75 assinam os três. Pergunta-se: 
 a) Quantas famílias não assinam jornal? 
 b) Quantas famílias assinam um dos jornais? 
 c) Quantas famílias assinam dois jornais? 
 
20- Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, 
colheram-se os resultados tabelados abaixo: 
 
Marca A B C A e B B e C C e A A, B e C --- 
Número de 
consumidores 
109 203 162 25 41 28 5 115 
 
 Pede-se: 
 a) número de pessoas consultadas; 
 b) número de pessoas que só consomem a marca A; 
 c) número de pessoas que não consomem as marcas A ou C; 
 d) número de pessoas que consomem pelo menos duas marcas. 
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Capítulo 2: Relações 
 
 
1- Par Ordenado 
1.1- Definições 
Dados dois elementos a e b, chama-se par ordenado um terceiro elemento que se indica por (a, b). 
O elemento a chama-se o primeiro elemento ou a primeira coordenada ou a primeira projeção do par 
ordenado (a, b); o elemento b chama-se o segundo elemento ou a segunda coordenada ou a segunda 
projeção do par ordenado (a, b). 
Dizemos que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e somente se a = c e b = d. Assim, 
(a, b) = (c, d)  a = c e b = d. 
Observação: 
Não se deve confundir o par ordenado (a, b) com o conjunto {a, b}. De fato, como dois conjuntos 
que possuem os mesmos elementos são iguais, temos {a, b} = {b, a}, sejam quais forem a e b. Por outro 
lado, (a, b) = (b, a) se e somente a = b. 
 
2- Produto Cartesiano 
2.1- Definição 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B e indica-se por A x B ao 
conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b) cuja primeira coordenada pertence a A e a segunda 
a B. Simbolicamente, escrevemos: A x B = { (a, b); a  A e b  B }. 
Por exemplo, se A = {a, b} e B = {c, d}, temos que: A x B = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)} e 
B x A = {(c, a), (c, b), (d, a), (d, b)}. 
Note que, em geral, temos A x B  B x A. Temos também que A x B =  se e somente se A =  
ou B = . 
 
2.2- Propriedades do produto cartesiano 
1) A x (B  C) = (A x B)  (A x C) 
(A  B) x C = (A x C)  (B x C) 
 
2) A x (B  C) = (A x B)  (A x C) 
 (A B) x C = (A x C)  (B x C) 
 
3) A x (B - C) = (A x B) - (A x C) 
 (A - B) x C = (A x C) - (B x C) 
 
3- Relações Binárias 
3.1- Definições 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária ou relação de A em B a todo subconjunto R 
do produto cartesiano A x B. Assim, R é relação de A em B  R  A x B. 
Observação: A definição deixa claro que toda relação é um conjunto de pares ordenados. Para 
indicar que (a, b)  R usamos a notação a R b e lemos “a erre b” ou “a relaciona-se com b segundo R”. Se 
(a, b)  R escrevemos a R b e lemos “a não erre b” ou “a não relaciona-se com b segundo R”. Assim, 
(a, b)  R  a R b e (a, b)  R  a R b. 
Os conjuntos A e B são denominados, respectivamente, conjunto de partida e conjunto de chegada 
da relação R. 
 
 8 
 Exemplos: 
1) A = {0, 1, 2} e B = {-2, -1} 
A x B = {(0, -2), (0, -1), (1, -2), (1, -1), (2, -2), (2, -1)} 
 R1 = , R2 = {(0, -2)}, R3 = {(1, -2), (2, -1), (1, -1)} são relações de A em B. 
 
2) R = {(x, y)   x ; x = y} é uma relação de  em . 
 
3) R = ((x, y)   x ; y  0} é uma relação de  em . 
 
3.2- Domínio e Imagem de uma relação 
Seja R uma relação de A em B. 
Chama-se domínio de R o subconjunto de A constituído pelos elementos x para cada um dos quais 
existe algum y em B tal que x R y. Simbolicamente, temos: 
D(R) = {x  A;  y  B: x R y} = {x  A;  y  B: (x, y)  R}. 
Chama-se imagem de R o subconjunto de B constituído pelos elementos y para cada um dos quais 
existe algum x em A tal que x R y. Simbolicamente, temos: 
Im(R) = {y  B;  x  A: x R y} = {y  B;  x  A: (x, y)  R}. 
Em outros termos, D(R) é o conjunto formado pelos primeiros termos dos pares ordenados que 
constituem R e Im(R) é o conjunto formado pelos segundos termos dos pares de R. 
Exemplo: R = {(x, y)   x ; y  0}; D(R) = ; Im(R) = +. 
 
3.3- Representação de uma relação 
a) Gráfico Cartesiano 
 Grande parte das relações de que se trata em Matemática são relações em que os conjuntos de 
partida e de chegada são subconjuntos de . Nesses casos, o gráfico da relação é o conjunto dos pontos 
de um plano dotado de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujas abscissas são os 
primeiros termos e as ordenadas os segundos termos dos pares que constituem a relação. 
 Exemplos: 
1) R1 = {(0, 0), (1, -1), (1, 1)} 2) R2 = {(x, y)   x ; y  0} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Esquema de flechas 
 Quando A e B são conjuntos finitos com “poucos” elementos, podemos representar uma 
relação R de A em B da seguinte forma: representamos A e B por meio de diagramas de Venn e 
indicamos cada (x, y)  R por uma flecha com origem x e extremidade y. 
 Exemplo: A = {0, 1, 2}; B = {-2, -1, 0, 1, 2}; R = {(0, 0), (1, -1), (1, 1)} 
 
 
 
 
 
 
3.4- Relação Inversa 
Seja R uma relação de A em B. Chama-se relação inversa de R, e indica-se por R-1, a seguinte 
relação de B em A: R-1 = {(y, x)  B x A; (x, y)  R}. 
Note que: D(R-1) = Im(R), Im(R-1) = D(R) e (R-1)-1 = R. 
 9 
Exemplos: 
a) A = {a, b, c}; B = {d, e} b) R = {(x, y)  2; y = 2x} 
 R = {(a, d), (b, e), (c, e)} R-1 = {(y, x)  2; y = 2x} = {(x, y)  2; x = 2y} 
 R-1 = {(d, a), (e, b), (e, c)} 
 
3.5- Relação Composta 
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, R  A x B e S  B x C duas relações tais que o conjunto de 
chegada da primeira e o conjunto de partida da segunda coincidem. Podemos definir a partir de R e S uma 
relação T de A em C da seguinte maneira: T é o conjunto dos pares ordenados (x, z)  A x C e existe 
y  B tal que (x, y)  R e (y, z)  S; simbolicamente, 
T = {(x, z)  A x C/  y  B: (x, y)  R e (y, z)  S}. 
A relação T é denotada por SoR e se chama relação composta de S e R. 
Exemplos: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.6- Propriedades das relações num conjunto A 
Uma relação R num conjunto A, isto é, de A em A, pode apresentar as propriedades fundamentais 
que se seguem e que devem sempre ser examinadas. Tais propriedades são: 
a) Reflexiva: (x  A) (x R x) 
Exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)}  A x A é reflexiva. 
 Contra-exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (b, b), (a, b)}  A x A não é reflexiva. 
 
b) Simétrica: (x  A)(y  A)(x R y  y R x) 
Exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (a, b), (b, a)}  A x A é simétrica. 
 Contra-exemplo: A = {a, b, c}; R = {(b, b), (c, a)}  A x A não é simétrica. 
 
c) Transitiva: (x  A)(y  A)(z  A)(x R y e y R z  x R z) 
Exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (a, b), (b, c), (a, c)}  A x A é transitiva. 
 Contra-exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (a, b), (b, c)}  A x A não é transitiva. 
 
d) Anti-simétrica: (x  A)(y  A)(x R y e y R x  x = y) 
Exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (b, b), (a, b), (a, c)}  A x A é anti-simétrica. 
 Contra-exemplo: A = {a, b, c}; R = {(a, a), (a, b), (b, a)}  A x A não é anti-simétrica. 
 
Exercícios 
1- Sejam A e B dois conjuntos com m e n elementos, respectivamente. Determine o número de 
elementos de A x B e o número de relações de A em B. 
2- Pode uma relação sobre um conjunto A   ser simétrica e anti-simétrica? Pode uma relação 
sobre A não ser simétrica e nem anti-simétrica? Justifique suas respostas. 
3- Quais propriedades que a relação de paralelismo definida para as retas de um plano  verifica? 
 
 10 
4- Relação de Equivalência 
 
4.1- Definição 
Uma relação R sobre um conjunto A é chamada relação de equivalência sobre A se R é reflexiva, 
simétrica e transitiva, isto é, se são verdadeiras as sentenças: 
a) (x  A)(x R x) 
b) (x  A) (y  A)(x R y  y R x) 
c) (x  A) (y  A) (z  A) (x R y e y R z  x R z) 
 
4.2- Notação 
Quando R é uma relação de equivalência sobre A, para exprimirmos que (x, y)  R ou x R y 
costuma-se escrever: 
x  y (mod R) ou x  y (R) ou x  y (mod R) ou x  y (R) 
que se lê: “x é equivalente a y módulo R” ou “x é equivalente a y segundo R”. 
 Se (x, y)  R ou x R y escreve-se: 
x  y (mod R) ou x  y (R) ou x  y (mod R) ou x  y (R) 
que se lê: “x não é equivalente a y módulo R” ou “x não é equivalente a y segundo R”. 
 
4.3- Exemplos 
a) R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)} é uma relação de equivalência sobre A = {a, b, c}. 
b) A relação de igualdade sobre , x R y  x = y, é uma relação de equivalência. 
c) A relação de paralelismo definida para as retas de um plano , x R y  x // y, é uma relação de 
equivalência. 
 
4.4- Classes de equivalência – Conjunto Quociente 
Seja R uma relação de equivalência sobre A. 
Dado a  A chama-se classe de equivalência determinada por a módulo R o subconjunto 
a
 
( ou Cl(a) ) de A constituído pelos elementos x tais que x R a. Simbolicamente, temos: 
a
 = {x  A; x R a} = {x  A; x  a (R). 
O conjunto das classes de equivalência módulo R será indicado por A/R e chamado conjunto 
quociente de A por R. Em símbolos, A/R = { 
a
; a  A}. 
 
 Observações: 
1) Cada classe de equivalência é um elemento de P(A), conjunto das partes de A, isto é, 
a
  P(A), a  A. 
2) A/R  P(A). 
3) 
a
  , para todo a  A. 
 
Exemplos: 
a) Na relação de equivalência R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)} em A = {a, b, c} temos: 
a
 = {a, c}; 
b
= {b}; 
c
 = {c, a}; A/R = { {a, c}, {b} }. 
b) Na relação de equivalência R = {(a, b)  2; a = b} temos: 
 
a
 = {x  ; x R a} = {x  ; x = a} = { a };/R = {{a}; a  }. 
 
c) Seja A = {a, b, c, d, e, f} o conjunto das retas da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 11 
 Para a relação de equivalência R em A definida por x R y  x // y, as classes de equivalência são: 
 
 
 O conjunto quociente A/R é igual a: 
 
 
Teorema 1: 
Seja R uma relação de equivalência sobre A e sejam a, b  A. 
As seguintes proposições são equivalentes: 
 1) a R b 2) a  
b
 3) b 
a
 4) 
a
 = 
b
. 
Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observação: O elemento a 
a
 é chamado representante da classe 
a
. Se b 
a
 então 
b
 = 
a
 pelo 
teorema 1 e como b é representante da classe 
b
 temos que b é representante da classe 
a
. Portanto todo 
elemento de uma classe de equivalência é um representante desta classe. 
 
 
4.5- Partição de um conjunto 
Seja A um conjunto não vazio. Dizemos que o conjunto P de subconjuntos não vazios de A é uma 
partição de A se: 
1) dois elementos de P ou são iguais ou são disjuntos; 
2) a união dos elementos de P é igual a A. 
 
Exemplos: 
a) P = { {1}, {2, 3}, {4} } é uma partição do conjunto A = {1, 2, 3, 4}. 
b) Sejam X = {x  ; x é par} e Y = {x  ; x é ímpar}. Então P = {X, Y} é uma partição de . 
 
Provaremos a seguir, pelos teoremas 2 e 3, que através de uma relação de equivalência sobre um 
conjunto A fica determinada uma partição de A e vice-versa. 
 Teorema 2: 
Se R é uma relação de equivalência sobre um conjunto A então A/R é uma partição de A. 
 Demonstração: 
 Como A/R = {
a
; a  A}, temos que mostrar que toda classe de equivalência 
a
 é não vazia, 
a
  A, duas classes são ou iguais ou disjuntas e a união de todas as classes de equivalência é o conjunto 
A. 
a) Já sabemos que se 
a
  A/R então 
a
  e 
a
  A. 
b) Sejam 
a
, 
b
  A/R. Desejo mostrar que ou 
a
 = 
b
 ou 
a
  
b
= . 
 12 
Suponhamos que 
a
  
b
  e seja x  
a
  
b
. Então, obtemos: 
baaRb
xRbbx
aRxxRaax


 . 
c) Provaremos que 
Aa
Aa



. 
Temos: 
axax
Aa



 para algum a  A  x  A, pois 
a
  A; 
 

Aa
axxxAx


, pois 

Aa
ax


. 
Logo, 
Aa
Aa



. 
 
 Teorema 3: 
Se P é uma partição de A, então existe uma relação R de equivalência sobre A de modo que 
A/R = P. 
Demonstração: 
 Seja R a relação sobre A definida por: x R y  B  P; x  B e y  B, isto é, x está em relação 
com y quando existe um conjunto B da partição P que contém x e y. 
 Vamos mostrar que R é uma relação de equivalência sobre ª 
a) Como P é uma partição de A temos que para todo x  A, existe Bx  P tal que x  Bx. Logo x R 
x, para todo x  A, e assim R é reflexiva. 
b) Sejam x, y  A. Se x R y então B P tal que x, y  B. Assim y, x  B e y R x. Logo R é 
simétrica. 
c) Sejam x, y, z  A. Se x R y e y R z então B  P tal que x, y  B e B1  P tal que y, z  B1. 
Como y  B  B1, B  P, B1  P e P é uma partição de A temos que B = B1. Portanto 
x, z  B = B1 e, assim, x R z. Logo R é transitiva. 
 
Vamos mostrar, agora, que A/R = P. 
Seja 
a
  A/R, a  A. Como a R a, B  P tal que a  B. 
Se x 
a
 = {x  A; x R a} então B1  P tal que x, a  B1. Como B  B1   então B = B1 e 
x  B. Assim 
a
  B. 
Se y  B temos y  A e como a  B temos y R a; portanto y  
a
. Assim B  
a
. 
Sendo 
a
  B e B  
a
, então 
a
 = B e 
a
  P. Logo, A/R  P. 
Seja B  P. Como P é partição de A então B   e assim a  A tal que a  B. Analogamente 
temos B = 
a
 e, portanto, B  A/R. Logo, P  A/R. 
Como A/R  P e P  A/R concluímos que A/R = P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
Exercícios 
1) Quais das relações abaixo são de equivalência sobre A = {a, b, c}? 
R1 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)} 
R2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (b, c)} 
R3 = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)} 
R4 = A x A 
R5=  
 
2) Mostrar que a relação R sobre N x N definida por: (a, b) R (c, d)  a + d = b + c, é uma relação 
de equivalência. 
 
3) Quais das seguintes sentenças definem uma relação de equivalência em N = {1, 2, 3, ...}? 
a) x R y  k   tal que x – y = 3k 
b) xy  k  N tal que y = kx 
c) x 

 y 
d) mdc(x, y) = 1 
e) x + y = 10 
 14 
5- Congruências (uma introdução) 
 
5.1- Definições 
Seja m > 0 um número inteiro. Dados x, y  , dizemos que x é congruente a y módulo m se a 
diferença x – y é múltiplo de m, ou seja, m é divisor de x – y. 
Se x – y não é múltiplo de m, dizemos que x não é congruente a y módulo m. 
 
 Notações: 
 x  y (mod m), que se lê “x é congruente a y módulo m” 
 x  y (mod m), que se lê “x não é congruente a y módulo m” 
 Simbolicamente temos: x  y (mod m)  m  x – y  k   tal que x – y = km. 
 
 Exemplos: 
a) 21  1 (mod 5) pois 21 – 1 = 20 = 4 . 5 
b) 16  -4 (mod 10) pois 16 – (-4) = 20 = 2 . 10 
c) –1  1 (mod 2) pois (-1) – 1 = - 2 = (-1) . 2 
d) 20  3 (mod 7) pois 20 – 3 = 17 não é múltiplo de 7 
e) – 3  - 4 (mod 3) pois (-3) – (-4) = 1 não é múltiplo de 3 
 
Observação: A relação R = {(x, y)  Z x Z; x  y (mod m)} é chamada relação de congruência 
 módulo m sobre o conjunto Z. 
 
 Proposição 1: 
 A relação de congruência módulo m sobre o conjunto Z é uma relação de equivalência. 
 Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
5.2- Classe de Equivalência e Conjunto Quociente relativos à Congruência módulo m 
Considere a relação de equivalência R = {(x, y)  Z x Z; x  y (mod m)} sobre Z e seja a  Z. 
Então, temos: 
a
 = {x  Z; x R a} = {x  Z; x  a (mod m)} = {x  Z; x – a = km, k  Z} = 
= {a + km; k  Z}. 
 
 O conjunto quociente Z/R (conjunto das classes de equivalência da congruência módulo m) será 
indicado por Zm e seus elementos chamados classes de restos módulo m. 
 
 Proposição 2: 
 Zm tem exatamente m elementos. 
 Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos: 
a) Z2 = { 1 ,0 }, onde 0 = {2k; k  Z} e 1 = {1 + 2k; k  Z}. 
b) Z5 = { 4,3,2,1,0 }, onde 
          kkkkkkkkkk ;544 e ;533 ,;522 ,;511 ,;50
. 
 
6- Relações de Ordem 
6.1- Definições 
a) Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de ordem parcial ou, 
simplesmente, relação de ordem se R é reflexiva, anti-simétrica e transitiva, isto é, se são verdadeiras as 
sentenças: 
 (x  A) (x R x) 
 (x  A) (y  A) (x R y e y R x  x = y) 
 (x  A) (y  A) (z  A) (x R y e y R z  x R z) 
 
 Observações: 
 1- Quando R é uma relação de ordem parcial sobre A, para exprimirmos que (a, b)  R usamos a 
notação a 

 b (R) e lemos “a precede b na relação R”. 
 2- Se R é uma relação de ordem parcial sobre A, dizemos que A é um conjunto parcialmente 
ordenado pela ordem R. 
 
b) Seja R uma relação de ordem parcial sobre A onde dois elementos quaisquer de A são compará- 
 
 16 
veis mediante R, isto é, a 

 b (R) ou b 

 a (R), a, b  A. Neste caso, R é chamada relação de ordem 
total sobre A e o conjunto A é chamado conjunto totalmente ordenado pela ordem R. 
 
c) Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de ordem estrita se são 
verdadeiras as sentenças: 
 (x  A) ( x R x) (irreflexiva) 
 (x  A) (y  A) (z  A) (x R y e y R z  x R z) (transitiva) 
 
 
Observações:1- Uma ordem estrita R num conjunto A possui a seguinte propriedade: 
 (x  A) (y  A) (x R y  y R x) (assimétrica). 
 De fato, se ocorresse x R y e y R x teríamos, pela transitividade de R, x R x e, portanto, R não 
seria irreflexiva. 
 2- Se R é uma ordem estrita sobre A, dizemos que A é um conjunto estritamente ordenado pela 
relação R. 
 
d) Uma relação de ordem estrita R num conjunto A é chamada relação de ordem estrita total em A 
se satisfaz à condição: 
(x  A) (y  A) (x  y  x R y ou y R x) 
e, neste caso, o conjunto A é chamado conjunto estrita e totalmente ordenado pela R. 
 
6.2- Exemplos 
a) A relação R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)} é uma relação de ordem total sobre 
A = {a, b, c}. 
 
b) A relação R sobre  definida por x R y  x 

 y (menor que ou igual) é uma relação de ordem 
total sobre , pois: 
 (x  )(x 

 x) 
 (x  ) (y  ) ( x 

 y e y 

 x  x = y) 
 (x  ) (y  ) (z  ) (x 

 y e y 

 z  x 

 z) 
 (x  ) (y  ) (x 

 y ou y 

 x) 
 
c) A relação R de divisibilidade sobre N = {1, 2, 3, ...} dada por x R y  xy (x divide y) é uma 
relação de ordem parcial, pois: 
 (x N) (xx) 
 (x N) (y  N) ( xy e yx  x = y) 
 (x N) (y  N) (z  N) (xy e yz  xz) 
(Verifique estas propriedades e mostre que R não é ordem total em N.) 
 
d) A relação de divisibilidade em Z não é uma relação de ordem, pois, em Z, esta relação não 
possui a propriedade anti-simétrica. (Por exemplo: 2-2, -22 mas 2  -2) 
 
e) A relação de inclusão sobre um conjunto E de subconjuntos de um dado conjunto é uma relação 
de ordem parcial, pois: 
 (X  E)(X  X) 
 (X  E) (Y  E) (X  Y e Y  X  X = Y) 
 (X  E) (Y  E) (Z  E) (X  Y e Y  Z  X  Z) 
 
f) A relação R = {(a, b), (a, c)} é uma relação de ordem estrita (não total) sobre A = {a, b, c}. 
 
 17 
g) A relação R sobre N = {1, 2, 3, ...} definida por x R y  x < y (menor que) é uma relação de 
ordem estrita total sobre N, pois: 
 (x  N)(x < x) 
 (x  N) (y  N) (z  N) (x < y e y < z  x < z) 
 (x  N) (y  N) ( x  y  x < y ou y < x) 
 
 
 
 
 
6.3- Elementos notáveis de um conjunto ordenado 
Seja A um subconjunto não vazio do conjunto E parcialmente ordenado pela relação “

” 
(precede). 
a) Limites (ou cotas) superiores e inferiores de A: 
Um elemento L  E é um limite superior de A se for verdadeira a proposição: (x  A) (x 

 L), 
isto é, qualquer elemento de A precede L. 
Um elemento l  E é um limite inferior de A se for verdadeira a proposição: (x  A) (l 

 x), isto 
é, l precede qualquer elemento de A. 
 
b) Máximo e Mínimo de A: 
Um elemento M  A é um máximo de A quando se verifica a seguinte propriedade: 
(x  A) (x 

 M), isto é, quando M é limite superior de A e pertence a A. 
Um elemento m  A é um mínimo de A quando se verifica a seguinte propriedade: 
(x  A) (m 

 x), isto é, quando m é limite inferior de A e pertence a A. 
 
 Proposição 3: 
Se existe máximo (ou mínimo) de A, então ele é único. 
Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Supremo e Ínfimo de A: 
Chama-se supremo de A o mínimo (caso exista) do conjunto dos limites superiores de A. 
Chama-se ínfimo de A o máximo (caso exista) do conjunto dos limites inferiores de A. 
 
d) Elementos Maximais e Minimais de A: 
Um elemento m1  A é um elemento maximal de A quando se verifica:(x  A) (m1  x  m 1 = x), 
isto é, o único elemento de A precedido por m1 é ele próprio. 
Um elemento m0  A é um elemento minimal de A quando se verifica: (x  A) (x  m0  x = m0), 
isto é, o único elemento de A que precede m0 é ele próprio. 
 
 
 Exemplos: 
 Determine os elementos notáveis de A: 
a) E = , A = (0, 1] e a ordem é menor que ou igual; 
b) E {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}, A = {2, 4, 6} e a ordem é a divisibilidade. 
 
 18 
Exercícios 
 
1- Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Demonstre as afirmativas verdadeiras e dê 
contra-exemplos para as falsas: 
a) A  (B x C) = (A  B) x (A  C) 
b) (A x B)  (C x D) = (A  C) x (B  D) 
c) (A x B)  (C x D) = (A  C) x (B  D) 
d) Para C  , A  B  A x C  B x C 
 
2- Sejam A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 9}. Enumerar os elementos das seguintes relações: 
 R1 = {(x, y)  A x B; y = x + 1} e R2 = {(x, y)  A x B; x  y}. 
 Dizer qual é o domínio, a imagem e a inversa de cada relação. 
 
3- A é um conjunto com 5 elementos e R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)} é uma relação sobre A. Pede-se 
obter: 
a) os elementos de A c) os elementos, domínio e imagem de R-1 
b) domínio e imagem de R d) os gráficos de R e R-1 
 
4- Um casal tem 5 filhos: Álvaro, Bruno, Cláudio, Dario e Elizabete. Enumerar os elementos da relação R 
definida no conjunto E = {a, b, c, d, e} por x R y  x é irmão de y. Que propriedades R apresenta? 
Obs.: a = Álvaro, b = Bruno, c = Cláudio, d = Dario, e = Elizabete 
 x é irmão de y quando x é homem, x  y e x e y têm os mesmos pais 
 
5- Provar que se uma relação R sobre A é transitiva então R-1 também o é. 
 
6- Sejam R e S relações no mesmo conjunto A. Provar que: 
a) R-1  S-1 = (R  S)-1 
b) R-1  S-1 = (R  S)-1 
c) R  R-1 é simétrica 
d) Se R e S são transitivas então R  S é transitiva. 
e) Se R e S são simétricas então R  S e R  S são simétricas. 
 
7- Seja R uma relação de A em B e S uma relação de B em C. A relação composta de R e S é 
SoR = {(x, z)  A x C; y  B: (x, y)  R e (y, z)  S}. Mostrar que: 
a) (SoR)-1 = R-1 o S-1 
b) Se R é reflexiva sobre A então RoR-1 e R-1oR também o são. 
c) Se R é uma relação sobre A então RoR-1 e R-1oR são simétricas. 
d) Se R e S são simétricas sobre A então: SoR é simétrica  SoR = RoS. 
 
8- Mostrar que a relação R sobre  x  tal que (a, b) R (c, d)  a + b = c + d é uma relação de 
equivalência. 
 
9- Mostrar que a relação S sobre Z x Z* tal que (a, b) S (c, d)  ad = bc é uma relação de equivalência. 
 
10- Dizer se cada um dos seguintes subconjuntos de  = {1, 2, 3, ...} é ou não totalmente ordenado pela 
relação de divisibilidade: 
 a) {24, 2, 6} b) {3, 15, 5} c) {15, 5, 30} d)  
 
11- Seja C o conjunto dos números complexos e sejam x = a + bi e y = c + di dois elementos de C. 
Mostrar que R é relação de ordem parcial em C: x R y  a  c e b  d. ( = menor que ou igual) 
 
12- Seja E = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} e a ordem é a divisibilidade. Determinar os elementos notáveis de A 
= {6, 10}. 
 19 
 
13- Seja E = { {a}, {b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}, {a, b, c, d, e} } e a ordem é a inclusão. 
Determinar os elementos notáveis de A = { {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c d} }. 
 
14- Em  x  define-se (a, b)  (c, d)  ac e b  d, onde  = {1, 2, 3, ...}. 
a) Mostrar que essa relação () é uma relação de ordem parcial em  x . 
b) Sendo A = { (2, 1), (1, 2) }, determinar os elementos notáveis de ª 
 
15- Mostrar que R é uma relação de ordem total no conjunto C: 
 R = { (a + bi, c + di)  C x C; a < c ou (a = c e b  d) }. 
Obs.: Esta relação é denominada ordem lexicográfica. 
 
16- Mostrar que: 
a) Se a  b (mod m) e c  d (mod m) então a + c  b + d (mod m). 
b) Se a  b (mod m) e c  d (mod m) então ac  bd (mod m). 
 
17- Seja R a relação sobre Q definida por x R y  x – y  Z. Provar que R é uma relação de 
equivalência e descrever a classe 1 . 
 
18- Seja A = {x  Q; 0  x2  2} um subconjunto de Q, onde está definida a relação de ordem habitual 
. Determinaros elementos notáveis de A. 
 
19- Provar que se R é uma relação de equivalência sobre A, então R-1 também é. 
 
20- Provar que se R é uma relação de ordem sobre A então R-1 também é. 
 
21- Mostrar que se R e S são relações de equivalência em A, então R  S é uma relação de equivalência 
em A. 
 
22- Demonstrar que se a e b são elementos minimais de um conjunto totalmente ordenado A então a = b. 
 
23- Abaixo está o diagrama simplificado da relação de ordem R sobre E = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}. 
Determinar os elementos notáveis de A = {d, e}. 
Obs.: No diagrama omitimos as propriedades reflexiva e transitiva. 
 
 
 h i j 
 
 
 f g 
 
 
 
 d e 
 
 
 a b c 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
 
____________________________________________________ 
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática 
Fundamentos de Matemática Elementar - Profª. Maria Julieta V. C. de Araujo 
Capítulo 3: Funções 
 
1- Conceito 
Sejam A e B conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. 
Dizemos que f é uma função (ou aplicação) de A em B se: 
a) D(f) = A; 
b) Dado a  D(f), é único o elemento b  B tal que (a, b)  f. 
 
Observações: 
1- Se f é uma função de A em B, escrevemos b = f(a) para significar que (a, b)  f e lemos b é 
imagem de a pela f. 
2- Simbolicamente escrevemos f: A  B para indicar que f é uma função de A em B. 
3- O conjunto B é chamado contradomínio de f. 
4- Se f: A  B e g: A  B são funções temos: f = g  f(x) = g(x), x  A. 
 
Exemplos e Contra-exemplos: 
1- Se A = {0, 1, 2, 3} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, considere as seguintes relações de A em B: 
 R1 = {(0, 5), (1, 6), (2, 7)} R2 = {(0, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8)} 
 R3 = {(0, 4), (1, 5), (2, 7), (3, 8)} R4 = {(0, 5), (1, 5), (2, 6), (3, 7)} 
 
 A relação R1 não é função de A em B, pois D(R1) = {0, 1, 2}  A, isto é, 3  D(R1). 
 A relação R2 não é função de A em B, pois (1, 5)  R2 e (1, 6)  R2 e, portanto, 1 tem duas 
imagens em B. 
 As relações R3 e R4 são funções de A em B. 
 
 
 0 4 0 4 0 4 0 4 
 1 5 1 5 1 5 1 5 
 2 6 2 6 2 6 2 6 
 3 7 3 7 3 7 3 7 
 8 8 8 8 
 R1 R2 R3 R4 
 
2- Se A = B = , considere as seguintes relações de  em : 
 R1 = {(x, y)  2; x2 = y2}, R2 = {(x, y)  2; x2 + y2 = 1} e R3 = {(x, y)  2; y = x2}, 
 cujos gráficos cartesianos são, respectivamente: 
 y y y 
 
 
 
 x x x 
 
 
 
 A relação R1 não é função, pois, por exemplo, x = 1 se relaciona com y = 1 e y = -1. 
 A relação R2 não é função, pois D(R2) = [-1, 1]   ou também porque x = 0, por exemplo, se 
relaciona com y = 1 e y = -1. 
 A relação R3 é função de  em . 
 21 
2- Imagem Direta e Imagem Inversa 
Seja f: A  B uma função. 
 
Dado X  A, chama-se imagem direta de X ou imagem de X, segundo f, e indica-se por f(X), o 
seguinte subconjunto de B: f(X) = {f(x); x  X}, isto é, f(X) é o conjunto das imagens por f dos 
elementos de X. 
 
Dado Y  B, chama-se imagem inversa de Y, segundo f, e indica-se por f-1(Y), o seguinte 
subconjunto de A: f-1(Y) = {x  A; f(x)  Y}, isto é, f-1(Y) é o conjunto dos elementos de A que têm 
imagem em Y através de f. 
 
Exemplos: 
1- A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e f: A  B definida por f(x) = x + 1 
 f ( {3, 5, 7} ) = { f(3), f(5), f(7) } = {4, 6, 8} 
 f(A) = {2, 4, 6, 8, 10} 
 f() =  
 f-1( {2, 4, 10} ) = {x  A; f(x)  {2, 4, 10} = {1, 3, 9} 
 f-1(B) = A 
 f-1() =  
 f-1( {0, 1, 3} ) =  
 
2- A = B =  e f:    definida por f(x) = x2 
 f( {1, 2, 3} ) = {1, 4, 9} 
 f( [0, 2] ) = {f(x); 0  x  2} = {x2; 0  x  2} = [0, 4] 
 f( (-1, 3] ) = {x2; -1 < x  3} = [0, 9] 
 f-1( {0, 4, 16} ) = {x  ; x2  {0, 4, 16} } = {0,  2,  4} 
 f-1( [1, 9] ) = {x  ; x2  [1, 9] } = [-3, -1]  [1, 3] 
 f-1( *
-
 ) = {x  ; x2 < 0} =  
 
3- Seja f:    definida por 





 Qxse
Qxse
xf
 ,1
 ,0)(
 
 f(Q) = {f(x); x  Q} = {0} 
 f( – Q) = {f(x); x   – Q} = {1} 
 f( [0, 1] ) = {0, 1} 
 f-1( {0} ) = {x  ; f(x) = 0} = Q 
 f-1( [4, 5] ) = {x  ; 4  f(x)  5} =  
 
 Propriedades da Imagem Direta 
 Seja f: A  B uma função e sejam X e Y duas partes quaisquer de A ( X  A e Y  A ). 
1) Se X  Y então f(X)  f(Y). 
2) f(X  Y) = f(X)  f(Y). 
3) f(X  Y)  f(X)  f(Y). 
4) f(X – Y)  f(X) – f(Y). 
Demonstração: (exercício) 
 
 Propriedades da Imagem Inversa 
 Seja f: A  B uma função e sejam X e Y duas partes quaisquer de B ( X  B e Y  B ). 
1) Se X  Y então f-1(X)  f-1(Y). 
2) f-1(X  Y) = f-1(X)  f-1(Y). 
3) f-1(X  Y) = f-1(X)  f-1(Y). 
4) f-1(X – Y) = f-1(X) – f-1(Y). 
Demonstração: (exercício) 
 22 
3- Diferentes tipos de funções 
 
3.1- Função Constante 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e seja b um elemento qualquer de B. Chama-se função 
constante de A em B, determinada pelo elemento b, a função f: A  B definida por f(x) = b, x  A. 
De um modo geral, chama-se função constante toda a função f: A  B cuja imagem Im(f) é 
formada por um único elemento de B, isto é, Im(f) é um conjunto unitário. 
Exemplos: 
 a) A função f de A = {a, b, c} em B = {1, 2, 3} definida por f = {(a, 2), (b, 2), (c, 2)} é uma função 
constante determinada pelo elemento 2 pertencente ao conjunto B. 
 b) A função g:    definida por g(x) = 1, x  , é uma função constante determinada pelo 
elemento 1  . 
 y 
 1 
 
 0 x 
 
 
3.2- Função Idêntica 
Seja A um conjunto não vazio. Chama-se função idêntica de A a função f: A  A definida por 
f(x) = x, x  A. 
A função idêntica de A também é denominada identidade de A e representada por IdA: A  A ou 
iA: A  A. 
Observe que Im(iA) = A. 
Exemplos: 
 a) A função idêntica de A = {a, b, c} é iA = {(a, a), (b, b), (c, c)}. 
 b) A função idêntica de  é a função i:    tal que i(x) = x, x  , cujo gráfico cartesiano é 
a reta que contém a bissetriz do 1o quadrante. 
 y i 
 
 
 0 x 
 
 
3.3- Função de Inclusão 
Sejam A um conjunto não vazioe X  A, X  . Chama-se função de inclusão de X em A a 
função f: X  A definida por f(x) = x, x  X. 
Observe que se X = A, a função de inclusão de X em A coincide com a função idêntica de A. 
Exemplo: 
 A função de inclusão de X = {a, b, c} em A = {a, b, c, d, e} é a função f = {(a, a), (b, b), (c, c)}. 
 
3.4- Funções Monótonas 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios, parcialmente ordenados por relações de ordem indicadas 
pelo mesmo símbolo . 
 
Dizemos que f: A  B é uma função crescente se (x  A)(y  A)(x  y  f(x)  f(y)). 
Dizemos que f: A  B é uma função decrescente se (x  A)(y  A)(x  y  f(y)  f(x)). 
Se a função f é crescente ou decrescente dizemos que f é monótona. 
 
Dizemos que f: A  B é uma função estritamente crescente se (x  A)(y  A)(x < y  f(x) < f(y)). 
Dizemos que f: A  B é uma função estritamente decrescente se (x  A) (y  A)(x < y  f(y) < f(x)). 
Se a função f é estritamente crescente ou estritamente decrescente dizemos que f é estritamente 
monótona. 
 23 
Exemplos: 
 a) A função f:    definida por f(x) = 1, x  , onde  é ordenado pela relação  (menor ou 
igual), é uma função crescente, pois se x, y  , x  y temos f(x) = 1 = f(y) e, portanto, f(x)  f(y). 
(Observe que esta função é também decrescente.) 
 b) A função f:    definida por f(x) = x, x  , onde  é ordenado pela relação  (menor ou 
igual), é uma função estritamente crescente, pois se x, y  , x  y temos f(x) = x  y = f(y) e, portanto, 
f(x)  f(y). 
 c) A função f: P(A)  P(A) definida por f(X) = A – X, X  P(A), onde A é um conjunto e P(A) é o 
conjunto das partes de A ordenado pela inclusão, é uma função estritamente decrescente, pois se X, Y  
P(A), X  Y e X  Y então A – Y  A – X e, portanto, f(Y)  f(X) e f(Y)  f(X). 
 
 
4- Funções Injetivas, Sobrejetivas e Bijetivas 
 
Consideremos uma função f: A  B. 
 
Dizemos que f é uma função injetiva (ou injetora) ou uma injeção quando a seguinte condição é 
verificada: (x  A)(y  A) (x  y  f(x)  f(y)), isto é, quando elementos distintos de A têm imagens 
distintas em B. 
Notemos que a seguinte condição, equivalente à anterior, é outra forma de impor que f seja 
injetora: (x  A)(y  A) (f(x) = f(y)  x = y). 
Notemos, ainda, que uma função f: A  B não é injetora quando: (xA) (yA)(x  y e f(x) = 
f(y)), isto é, quando existem dois elementos distintos de A que têm imagens iguais em B. 
 
Dizemos que f é uma função sobrejetiva (ou sobrejetora) ou uma sobrejeção quando a seguinte 
condição é verificada: f(A) = Im(f) = B, ou seja, (y  B)(x  A) (y = f(x)), isto é, quando qualquer 
elemento de B é imagem de algum elemento de A, segundo f. 
Notemos que uma função f: A  B não é sobrejetora quando: (yB) (xA) (y  f(x)), isto é, 
quando existe um elemento de B que não é imagem de nenhum elemento de A, segundo f. 
 
 Dizemos que f é uma função bijetiva (ou bijetora) ou uma bijeção se f é injetiva e sobrejetiva. 
 
 Exemplos: 
 a) A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5} 
 f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} de A em B é uma função injetora, mas não sobrejetora. 
 
 A B 
 a f 1 
 b 2 
 c 3 
 d 4 
 5 
 
 
 b) A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3} 
 f = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 3)} de A em B é uma função sobrejetora, mas não injetora. 
 
 A B 
 a f 1 
 b 2 
 
 c 
 d 3 
 24 
 c) A função f:    dada pela lei f(x) = 3x + 1 é bijetora. De fato: 
1) Se x, y   e f(x) = f(y) então 3x + 1 = 3y + 1; assim 3x = 3y e obtemos x = y. 
Portanto f é injetora. 
2) Se y  , vamos mostrar que existe x   tal que y = f(x). 
Como y  , tome 
3
1

y
x
. Assim x   e 
yyxf 




 
 1
3
13)(
. 
Portanto f é sobrejetora. 
 
 d) A função f:    dada pela lei f(x) = x2 não é bijetora, pois 2  –2 e f(2) = 4 = f(–2), e não é 
sobrejetora, pois –1   e –1  Im(f) = +. 
 
 
5- Função Inversa de uma Função Bijetiva 
 
Considere a função f: A  B. Sabemos que f é uma relação de A em B com certas 
particularidades, a saber: D(f) = A e todo x  A tem imagem única f(x) em B. 
Seja f-1 a relação inversa de f. Pode ocorrer que f-1 não seja uma função de B em A, como os 
seguintes exemplos: 
 a) f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} é função de A = {a, b, c, d} em B = {1, 2, 3, 4, 5} 
 f-1 = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)} não é função de B em A, pois D(f-1)  B. 
 
 b) f = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 3)} é função de A = {a, b, c, d} em B = {1, 2, 3} 
 f-1 = {(1, a), (2, b), (2, c), (3, d)} não é função de B em A, pois (2, b)  f-1, (2, c)  f-1 e b  c. 
 
 O teorema seguinte estabelece a condição para que f-1 seja uma função. 
 
 Teorema 1 
 Seja f: A  B uma função. 
A relação f-1 é uma função se, e somente se, f é uma bijeção. 
Demonstração: 
() 1) Sejam x, y  A tais que f(x) = f(y). Então (x, f(x))  f e (y, f(x))  f, isto é, (f(x), x)  f-1 e 
(f(x), y)  f-1. Como f-1 é uma função temos que x = y. Portanto f é injetora. 
 2) Seja y  B. Como f-1 é uma função de B em A então existe x  A tal que (y, x)  f-1. Assim 
(x, y)  (f-1)-1 = f; logo y = f(x) e, portanto, f é sobrejetora. 
 De 1) e 2) concluímos que f é uma bijeção. 
 
() 1) Vamos mostrar que D(f-1) = B. 
 Como o conjunto de partida da relação f-1 é B temos que D(f-1)  B. 
 Seja y  B. Como f é sobrejetora, existe x  A tal que y = f(x). Assim (x, y)  f e (y, x)  f-1. 
Portanto y  D(f-1) e temos que B  D(f-1). 
 Logo, D(f-1) = B. 
 2) Vamos mostrar que dado y  D(f-1), é único o elemento x  A tal que (y, x)  f-1. 
 Suponha que existam x1, x2  A tais que (y, x1)  f-1 e (y, x2)  f-1. Assim (x1, y)  f e 
(x2, y)  f, o que implica y = f(x1) = f(x2). Como f é injetora, temos que x1 = x2. 
 De 1) e 2) concluímos que f-1 é uma função. 
 
 Exemplo: 
f:    tal que f(x) = 3x + 1 é bijetora. 
f-1 = {(y, x)  2; (x, y)  f} = {(y, x)  2; y = 3x + 1} = {(x, y)  2; x = 3y + 1} = 
=
 





 

3
1
;, 2
xyyx
. Logo, f-1:    é definida por 
3
1)(1  xxf
. 
 
 25 
 Observações: 
1) Se f é uma bijeção, f-1 é chamada função inversa de f. 
2) Se f é uma bijeção então f-1 também é uma bijeção. (Provar!) 
Sendo f-1 bijetora, a relação inversa de f-1 também é uma função. Como (f-1)-1 = f, temos que f e f-1 
são funções inversas entre si. 
 
 Exercício: 
Sejam f: A  B uma função, X  A e Y  B. 
Mostre que: 
a) f(f-1(Y))  Y 
b) f(f-1(Y)) = Y  f é sobrejetora 
c) X  f-1(f(X)) 
d) X = f-1(f(X))  f é injetora 
 
 
6- Composição de Funções 
 
Sejam A, B e C três conjuntos não vazios. Consideremos as funções f: A  B e g: B  C tais que 
o contradomínio da primeira e o domínio da segunda coincidem. 
 
 Teorema 2 
A relação composta gof = {(x, z)  A x C; yB: (x, y)  f e (y, z)  g} de A em C é uma 
função de A em C. 
Demonstração: 
Devemos mostrar que D(gof) = A e dado xD(gof), é único o elemento y  C tal que (x, y)  gof. 
1) É claro que D(gof)  A. Seja, então, xA. Como f e g são funções temos f(x) B e g(f(x))  C. 
Assim (x, f(x))  f e (f(x), g(f(x))  g, e, portanto, (x, g(f(x))  gof. Logox  D(gof) e A  D(gof). 
Portanto D(gof) = A. 
2) Seja x  D(gof). Suponha que existam y1, y2  C tais que (x, y1)  gof e (x, y2)  gof. Por ser 
gof a relação composta de g e f, existem b1, b2  B tais que (x, b1)  f, (b1, y1)  g, (x, b2)  f e 
(b2, y2)g. Como f é função e (x, b1), (x, b2)  f temos que b1 = b2. Como g é função e (b1, y1), (b1, y2) g 
temos que y1 = y2. Portanto, dado x  D(gof), é único o elemento y  C tal que (x, y)  gof. 
 
 Observações: 
1) A função gof: A  C definida por gof(x) = g(f(x)) é chamada função composta de g e f. 
(x, gof(x))  gof  yB tal que (x, y)  f e (y, gof(x))  g  y = f(x) e (f(x), gof(x))  g 
 gof(x) = g(f(x)) 
2) Esta operação, que a todo par de funções f: A  B e g: B  C associa uma determinada função 
gof: A  C, chama-se composição de funções. 
 
Exemplos: 
 a) Sejam A = {a, b, c}, B = {x, y, z} e C = {r, s, t}. Sejam as funções f: A  B e g: B  C definidas 
por f = {(a, y), (b, z), (c, y)} e g = {(x, r), (y, t), (z, r)}. 
 Então gof: A  C é definida por gof = {(a, t), (b, r), (c, t)}. 
 b) Sendo f:    tal que f(x) = 3x e g:    tal que g(x) = x2 então gof:    é definida por 
gof(x) = g(f(x)) = g(3x) = (3x)2 = 9x2 e fog:    é definida por fog(x) = f(g(x)) = f(x2) = 3x2. 
 
 Propriedades da composição de funções: 
1) Sejam f: A  B e g: B  C duas funções e gof: A  C a função composta de g e f. Quaisquer 
que sejam X  A e Z  C tem-se: 
a) (gof)(X) = g(f(X)) 
b) (gof)-1(Z) = f-1(g-1(Z)) 
 26 
Demonstração: 
a) Seja z  (gof)(X). Então existe x  X tal que z = (gof)(x) = g(f(x)). Como x  X temos 
f(x)  f(X) e, assim, z = g(f(x))  g(f(X)). Logo (gof)(X)  g(f(X)). 
 Seja z  g(f(X)). Então existe y  f(X) tal que z = g(y). Como y  f(X) temos que existe x  X 
tal que y = f(x). Assim, z = g(y) = g(f(x)) = (gof)(x)  gof(X). Logo g(f(X))  gof(X). 
 Portanto (gof)(X) = g(f(X)). 
 
 b) Temos: x  (gof)-1(Z)  (gof)(x)  Z  g(f(x))  Z  f(x)  g-1(Z)  x  f-1(g-1(Z)). 
Logo (gof)-1(Z) = f-1(g-1(Z)). 
 
2) Qualquer que seja a função f: A  B, as funções compostas foiA: A  B e iBof: A  B são 
iguais à função f, isto é, foiA = f e iBof = f . 
Demonstração: 
Temos: f: A  B, iA: A  A, iB: B  B, foiA: A  B, iBof: A  B 
 (foiA)(x) = f(iA(x)) = f(x), x  A 
 (iBof)(x) = iB(f(x)) = f(x),  x  A 
 Logo, foiA = f e iBof = f. 
 
3) Quaisquer que sejam as funções f: A  B, g: B  C e h: C  D, as funções ho(gof): A  D 
e (hog)of: A  D são iguais. 
Demonstração: 
Seja x  A. Temos: 
        )()())()(())(())(()()( xofhogxfhogxfghxgofhxgofho 
. 
Logo, ho(gof) = (hog)of. 
 
4) Se as funções f: A  B e g: B  C são sobrejetoras, então a função composta gof: A  C 
também é sobrejetora. 
 Demonstração: 
 Seja z  C. Como g: B  C é sobrejetora então existe y  B tal que g(y) = z. Como y  B e 
f: A  B é sobrejetora então existe x  A tal que f(x) = y. Assim, z = g(y) = g(f(x)) = gof(x) e x  A. 
Logo gof: A  C é sobrejetora. 
 
5) Se as funções f: A  B e g: B  C são injetoras, então a função composta gof: A  C também 
é injetora. 
Demonstração: 
 Sejam x, y  A tais que gof(x) = gof(y). Então g(f(x)) = g(f(y)). Como g: B  C é injetora 
obtemos f(x) = f(y). Sendo f é injetora segue que x = y. 
 Logo gof: A  C é injetora. 
 
6) Se as funções f: A  B e g: B  C são bijetoras, então a função composta gof: A  C também 
é bijetora. 
Demonstração: 
 Segue de 4) e 5). 
 
7) Sejam f: A  B e g: B  C duas funções e gof: A  C a função composta de g e f. Então: 
a) Se gof é sobrejetora, g também é sobrejetora. 
b) Se gof é injetora, f também é injetora. 
Demonstração: 
a) Seja z  C. Como gof: A  C é sobrejetora então existe x  A tal que gof(x) = z. Assim g(f(x)) = 
z e f(x)  B. Logo g: B  C é sobrejetora. 
 
b) Sejam x, y  A tais que f(x) = f(y). Então g(f(x)) = g(f(y)), isto é, gof(x) = gof(y). Como gof é 
injetora temos x = y. Logo f: A  B é injetora. 
 27 
8) Se f: A  B é bijetora então f-1of = iA e fof-1 = iB. 
Demonstração: 
 Temos: f: A  B, f-1: B  A, f-1of: A  A, fof-1: B  B 
 (x, y)  f  (y, x)  f-1 , isto é, y = f(x)  x = f-1(y) 
Logo, f-1of(x) = f-1(f(x)) = f-1(y) = x = iA(x), xA, e fof-1(y) = f(f-1(y)) = f(x) = y = iB(y), yB. 
 Portanto, f-1of = iA e fof-1 = iB. 
 
9) Se f: A  B e g: B A são duas funções tais que gof = iA e fog = iB, então: 
a) f e g são bijetoras; 
b) f = g-1 e g = f-1. 
Demonstração: 
a) Temos: 
 iA é bijetora  gof é bijetora  g é sobrejetora e f é injetora, por 7) 
 iB é bijetora  fog é bijetora  f é sobrejetora e g é injetora, por 7) 
 Logo, f e g são bijetoras. 
 
b) Temos: 
f = foiA = fo(gog-1) = (fog)og-1 = iBog-1 = g-1; 
g = goiB = go(fof-1) = (gof)of-1 = iAof-1 = f-1 . 
 
10) Se as funções f: A  B e g: B C são bijetoras, então a função inversa de gof: A C existe e 
(gof)-1 = f-1og-1. 
Demonstração: 
Se f: A  B e g: B C são bijetoras então gof: A C é bijetora por 6); logo a função inversa de 
gof existe e temos: 
x = (gof)-1(z)  (gof)(x) = z  g(f(x)) = z  f(x) = g-1(z)  x = f-1(g-1(z))  x = f-1og-1(z) 
 Portanto, (gof)-1 = f-1og-1. 
 
 
7- Restrição e Prolongamento 
 
Sejam f: A  B e X  A, X  . A aplicação fX: X  B definida por fX(x) = f(x), xX, é 
chamada restrição de f ao subconjunto X.Considerando-se a inclusão i: X  A temos que fX = foi: X 
B. 
 
Sejam f: A  B, A’  A e B’  B. Toda aplicação g: A’  B’ tal que g(x) = f(x), xA, é 
chamada prolongamento de f ao conjunto A’. 
 
Exemplos: 
a) Seja f: *   definida por f(x) = 1/x, x*. 
 
Se X = {2, 4, 6, 8, ... } então fX = {(2, 1/2), (4, 1/4), (6, 1/6), ...} é a restrição de f ao conjunto dos 
inteiros pares maiores que zero. 
 
A função g:    dada por g(0) = 0 e g(x) = f(x), x*, é um prolongamento de f ao 
conjunto . 
 
b) Seja f: C  + dada por f(x + yi) = 22 yx  . 
Seja g:   + dada por g(x) = x. Neste caso, g = f pois f(x) = f(x + 0i) = 22 0x = 
= 2x = x = g(x), x. 
 
 28 
8- Famílias e Operações com Famílias 
 
Definições e Exemplos: 
Seja L um conjunto não vazio, cujos elementos chamaremos de índices e representaremos 
genericamente por . 
Dado um conjunto X não vazio, uma família de elementos de X com índices em L é uma função 
x: L  X. O valor da função x no ponto   L será indicado com o símbolo x, em vez da notação usual 
x(). A família x é representada pela notação (x)L. 
 
 Exemplos: 
1) Seja L = {1, 2}. Dado um conjunto X não vazio, uma família de elementos de X com índices 
em L é uma função x: {1, 2} X. Os valores desta função nos pontos 1 e 2 são representados por x1 e x2. 
Obtém-se, assim, um par ordenado (x1, x2) de elementos de X. Reciprocamente, todo par ordenado 
(x1, x2) de elementos de X é uma família (função) x: {1, 2} X. Resumindo, os pares ordenados de 
elementos de X são as famílias de elementos de X com índices no conjunto L = {1, 2}, ou seja, o produto 
cartesiano X2 = X x X é o conjunto das funções (famílias) x: {1, 2} X. Mais geralmente, dados os 
conjuntos X1 e X2, o produto cartesiano X1 x X2 é o conjunto das famílias x: {1, 2} X1  X2 tais que 
x1 X1 e x2  X2. 
 
2) Seja L = {1, 2, ... , n}. Dado um conjunto X não vazio, uma família de elementos de X com 
índices em L é uma função x: L  X. Os valores desta função nos pontos 1, 2, ... , n são representados 
por x1, x2, ... , xn. Obtém-se, assim, uma n-upla (x1, x2, ... , xn) de elementos de X e, simbolicamente, 
x = (xi)iL = (x1, x2, ... , xn). O elemento xi é chamado a i-ésima coordenada da n-upla x = (xi)iL == (x1, x2, ... , xn). O produto cartesiano Xn = X x X x ... x X é o conjunto das funções x: {1, 2, ... , n} X. 
 
 3) Uma família com índices no conjunto  = {1, 2, 3, ... } chama-se uma seqüência. Assim, uma 
seqüência x = (xn)n = (x1, x2, ... , xn, ... ) de elementos de um conjunto X não vazio é uma função 
x:   X, onde o valor x(n) é indicado pelo símbolo xn e chama-se o n-ésimo termo da seqüência. 
 
 
Seja (A)L uma família de conjuntos com índices em L; isto quer dizer que a cada   L 
fazemos corresponder um conjunto A. 
A reunião dessa família é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos 
conjuntos A. Simbolicamente, 
 

  AxLxA
L


: ;
. 
A interseção dessa família é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a todos os 
A. Simbolicamente, 
 LAxxA
L




 , ;
. 
 
Observações: 
1) Se L = {1, 2, 3, ... , n} escreve-se 
n
n
i
i
Li
i AAAAA  ...21
1


 e 
n
n
i
i
Li
i AAAAA  ...21
1


. 
2) Se L =  = {1, 2, 3, ... } escreve-se 
......21
1
 n
n
n
Nn
n AAAAA 


 e 
 
......21
1
 n
n
n
Nn
n AAAAA 


 . 
 
Exemplo: 
Para cada n= {1, 2, 3, ... }, consideremos o conjunto An = {-n, -n + 1, ... ,-1, 0, 1, ... , n – 1, n}. 
Então 
ZA
n
n 



1
 e 
 1,0,1
1




n
nA
. 
 29 
Proposição 1 
Dada uma família (A)L de subconjuntos de um conjunto universo U, tem-se: 
 a) 

LL
ACAC










 
; 
 
 b) 

LL
ACAC










 
. 
 
 Demonstração: (exercício) 
 
 Proposição 2 
Dada uma função f: A  B, consideremos uma família (A)L de subconjuntos não vazios de A e 
uma família (B)M de subconjuntos não vazios de B. Então: 
 a) 

LL
AfAf










 )(
; c) 

MM
BfBf



 








 )(11
; 
 b) 

LL
AfAf










 )(
; d) 

MM
BfBf



 








 )(11
. 
 
 Demonstração: (exercício) 
 
 
 A noção de família permite considerar produtos cartesianos de uma quantidade arbitrária de 
conjuntos. 
 Dados os conjuntos A1, A2, ... , An, seu produto cartesiano A = A1 x A2 x ... x An = 


n
i
iA
1
 é o 
conjunto formado por todas as n-uplas a = (a1, a2, ... , an) tais que a1  A1, a2  A2, ... , an  An. Em outras 
palavras, A1 x A2 x ... x An é o conjunto de todas as funções a: {1, 2, ... , n}  A1  A2  ...  An tais 
que a(i) = ai  Ai para i = 1, 2, ... , n. 
 Quando A1 = A2 = ... = An = A, o produto cartesiano A x A x ... x A de n cópias de A é indicado 
por An. Ele consiste em todas as funções a: {1, 2, ... , n}  A, ou seja, de todas as n-uplas de elementos 
de A. 
 Dada uma família de conjuntos (A)L, seu produto cartesiano A = 

L
A


é o conjunto das 
famílias (a)L tais que, para cada   L tem-se a  A. Em outras palavras, A é o conjunto de todas as 
funções a: L  

L
A


 tais que a() = a  A para cada   L. 
 No caso particular em que todos os conjuntos A são iguais ao mesmo conjunto A, escreve-se AL 
em vez de 

L
A


. Temos que AL é o conjunto de todas as funções de L em A. 
 Destaca-se, em especial, o produto cartesiano de uma seqüência de conjuntos A1, A2, ... , An, ... , o 
qual é representado pelas notações 


 1n
n
Nn
n AA
 A1 x A2 x ... x An x ... . Os elementos deste conjunto 
são as seqüências a = (a1, a2, ... , an, ... ) sujeitas à condição de ser an  An, para todo n  N. 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
Exercícios 
 
1- Sendo A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}, decida quais das relações abaixo são funções de A em B. 
a) R1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} 
b) R2 = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)} 
c) R3 = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (c, 2), (d, 3)} 
d) R4 = {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (d, 2)} 
 
2- Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, quantas são as funções de A em 
B? 
 
3- Ao lado está o diagrama representativo de uma função f: A  B. Determinar: 
a) f({0, 1}) 
b) f({3, 4}) A 0 6 B 
c) f({1, 2, 5}) 1 7 
d) f(A) 2 8 
e) f-1({7, 8}) 3 
f) f-1({9, 10}) 4 10 
 5 
 9 
 
4- Seja f:    dada por f(x) = x. Determinar: f(1), f(-3), f(1 -
2
), f([-1, 1]), f((-1, 2]), f(), 
f-1([-1, 3]) e f-1(*
-
). 
 
5- Seja f:    dada por f(x) = cosx. Determinar: f([0, /2]), f([0, ]), f(), f-1({1/2}), f-1([1/2, 1]) e 
f-1(
-
). 
 
6- Quais das seguintes funções de A = {a, b, c, d} em B = {0, 1, 2, 3, 4} são injetoras? 
a) f1 = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (d, 4)} 
b) f2 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 1)} 
c) f3 = {(a, 2), (b, 4), (c, 3), (d, 0)} 
d) f4 = {(a, 3), (b, 0), (c, 0), (d, 4)} 
 
7- Quais das seguintes funções de A = {a, b, c} em B = {0, 1} são sobrejetoras? 
a) f1 = {(a, 0), (b, 0), (c, 0)} 
b) f2 = {(a, 0), (b, 0), (c, 1)} 
c) f3 = {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} 
d) f4 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} 
 
8- Mostrar que f:    definida por f(x) = ax + b, com a e b constantes reais, a  0, é uma bijeção. 
Obter f-1. 
9- Provar que a função f: (-1, 1)   definida pela lei 
x
x
xf


1
)(
 é bijetora. Definir sua inversa. 
 
10- Considere a aplicação f: ZxZ  ZxZ tal que f(x, y) = (2x + 3, 4y + 5). Prove que f é injetora. 
Verifique se f é bijetora. 
 
11- Sejam A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} e C = {8, 9, 0}. Seja f: A  B dada por f(1) = 4, f(2) = 5 e 
f(3) = 6. Seja g: B  C dada por g(4) = 8, g(5) = 8, g(6) = 9 e g(7) = 0. Quais são os pares ordenados de 
gof? A função gof é injetora ou sobrejetora? 
 
12- Sejam f, g, h funções reais dadas por f(x) = x – 1, g(x) = x2 + 2 e h(x) = x + 1. Determinar fog, foh, 
goh, gof, hof, hog. Verificar que (fog)oh = fo(goh). 
 31 
13- Dê exemplos de funções f:    e g:    tais que fog  gof. 
 
14- Seja Xi = [i, i + 1], onde i  Z. Determinar: 
a) X1  X2 
b) X3  X4 
c) 

18
7i
iX
 
d) 

i
iX
 
 
 
15- Considere a seguinte família de subconjuntos de : (Ai)iN, onde 







i
Ai
11 ,0
 e  = {1, 2, 3, ... }. 
Determine: 

Ni
iA

 e 

Ni
iA

. 
 
16- Considere a família de retas (Ak)k, onde 
  kxyyxAk  ;, 2
. Determine: 

k
kA
 e 

k
kA
. 
 
17- A aplicação f:    é tal que 









1 ,5
11 ,1
1 ,52
)( 2
xsex
xsex
xsex
xf . Determinar f(0), f(5/3), f(-7/2), 
f(
2
) e f(-2/5). 
 
18- Seja a função f:    dada pela seguinte lei: 







0 ,
0 ,)(
3
2
xsex
xsex
xf
. Determinar f([-1, 8]), f(
-
), 
f(+), f-1({1, 16}), f-1([-1, 16]) e f-1(*-). 
 
19- Sejam f:    e g:    as aplicações assim definidas: 






0 ,1
0 ,1)(
xsex
xsex
xf
 eg(x) = 3x – 2. Determinar as compostas fog e gof. 
 
20- Sejam as funções reais f(x) = 2x + 7 e (fog)(x) = 4x2 –2x + 3. Determinar a lei da função g. 
21- Determinar fog e gof quando f: *   - {1} é tal que 
x
x
xf 2)( 
 e g:  - {1}  * é tal que 
1
2)(


x
xg
. Que se conclui daí? 
22- Sejam f: E  F, g: E  F, h: F  G. Supondo h injetora e hog = hof, provar que g = f. 
 
23- Mostrar que a função f:   + definida por f(x) = x + x é sobrejetora. 
 
24- Dadas as funções bijetoras f e g de  em  definidas por f(x) = 3x – 2 e g(x) = 2x + 5, determine a 
função inversa de gof. 
 
25- Seja f: 2   dada por f(x, y) = xy. 
a) f é injetora? Justifique. 
b) f é sobrejetora? Justifique. 
c) Obter f-1({0}). 
d) Obter f([0, 1] x [0, 1]). 
e) Obter f(A), onde A = {(x, y)  2; x = y} 
 32 
26- Considere a família de conjuntos (Ak)k, onde Ak = {(x, y)  2; x2 + y2 = k2}. Descrever os 
conjuntos 

k
kA
 e 

k
kA
. 
 
27- Seja f: A  B é uma função injetiva. Mostre que f(X  Y) = f(X)  f(Y), para quaisquer conjuntos X 
e Y contidos em A. 
 
28- Seja f: A  B é uma função injetiva. Mostre que f(X – Y) = f(X) – f(Y), para quaisquer conjuntos X 
e Y contidos em A. 
 
29- Mostre que a função f: A  B é injetiva se, e somente se, f(A – X) = f(A) – f(X) para todo X  A. 
 
30- Dada uma família de conjuntos (A)L, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: 
a) Para todo   L, tem-se X  A; 
b) Se Y  A, para todo   L, então Y  X. 
 Prove que, nestas condições, tem-se X = 

L
A


. 
 
 
 
 
 33 
 
____________________________________________________ 
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática 
Fundamentos de Matemática Elementar - Profª. Maria Julieta V. C. de Araujo 
 
 
Capítulo 4: Números Racionais 
 
1- Definição 
Um número racional (ou fração ordinária) é um número que pode ser colocado na forma 
b
a
, onde 
a e b são inteiros e b é diferente de zero. 
Denotamos o conjunto dos números racionais por Q. Assim, simbolicamente: 






 0 e , ; bZba
b
aQ
. 
 
Observações: 
 
1. Exigimos que b seja diferente de zero. Esta exigência é necessária, pois b é um divisor no sentido do 
algoritmo da divisão euclidiana para dois inteiros. 
 
2. Enquanto os termos número racional e fração ordinária são usados como sinônimos, a palavra fração é 
usada para designar qualquer expressão algébrica com um numerador e um denominador, como por 
exemplo: 
22
22
 ,
17
 ,
2
3
yx
yx
x 

. 
3. A definição de número racional contém as palavras “um número que pode ser colocado na forma 
b
a
, 
onde a e b são inteiros e b é diferente de zero”. Por que não dizemos simplesmente “um número da forma 
b
a
, onde a e b são inteiros e b é diferente de zero”? O motivo é o seguinte: existem infinitos modos de 
descrever um dado número racional (por exemplo, 2/3 pode ser escrito como 4/6, 6/9, 2/3 ou 
3332
, etc.) e a definição de número racional não pode depender da maneira particular escolhida para 
representá-lo. Assim, por exemplo: 
1
2
3
32
3
3.4
3
12

 é um número racional. Ele não teria se 
qualificado como número racional, se a definição exigisse estar o número na forma certa desde o início. 
 
4. Todo número inteiro z é racional, pois poderá ser escrito na forma 
1
z
. 
 
2- Representações decimais finitas e infinitas 
 
Definição: Uma representação decimal (ou expressão decimal) é um símbolo da forma 
...,..., 3210 naaaaa
 onde a0  Z e a1, a2, a3, ..., an, são dígitos, isto é, números inteiros tais que 
0  ai  9, i  {1, 2, 3, ..., n, ...}. Para cada n  N, tem-se um dígito an, chamado o n-ésimo dígito da 
representação decimal . 
 
As representações decimais dos números racionais podem ser finitas, isto é, terminam, ou infinitas, ou 
seja, não terminam. Por exemplo: 
 34 
infinitas) decimais ações(represent ...454545,0
11
5
 ...;16666,0
6
1
 ...;33333,0
3
1
finitas) decimais ações(represent 0125,0
8
1
 ;4,0
5
2
 ;5,0
2
1


 
 
 
Observações: 
 
1. As representações decimais finitas ou infinitas de números racionais podem ser obtidas a partir das 
frações, dividindo-se o numerador pelo denominador. Assim, todo número racional admite uma 
representação decimal. 
 
2. A representação decimal finita (ou infinita) de um número racional é chamada fração decimal finita (ou 
infinita). 
 
 
Teorema 1 
 Um número racional, na forma irredutível 
b
a
, isto é, mdc(a, b) = 1, tem uma representação 
decimal finita se, e somente se, b não tiver outros fatores primos diferentes de 2 e de 5. 
 
Demonstração: 
() Se o número racional 
b
a
 tem uma representação decimal finita 
naaaaa ..., 3210
, onde ai  Z, 
0  ai  9 para i  {1, 2, 3, ..., n}, então obtemos: 
 
 1 ),mdc( pois ,10| 10| )....(.10 
10
...
..., 210
3210
3210  bababaaaaba
aaaaa
aaaaa
b
a nn
n
n
n
n
n
. 
Logo, os fatores primos de b só podem ser 2 ou 5, se existirem, pois os fatores primos de 10n são 2 e 5. 
 
() Agora, vamos supor que b tenha, no máximo, os fatores primos 2 e 5, ou seja, b é da forma 2m.5n, 
onde m e n são inteiros positivos ou nulos. Então, n  m ou n > m. 
Se n  m, multiplicamos o numerador e o denominador da fração 
b
a
 por 5m-n: 
.0 pois Z,5. onde ,
1010
5.
5.2
5.
5.5.2
5.
5.2
 



nmac
caaaa
b
a nm
mm
nm
mm
nm
nmnm
nm
nm
 
 
Como a divisão do inteiro c por 10m requer apenas que coloquemos a vírgula no lugar correto, 
obteremos para 
b
a
 uma representação decimal finita. 
Se n > m, multiplicamos o numerador e o denominador da fração 
b
a
 por 2n-m: 
. pois Z,2. onde ,
1010
2.
5.2
2.
2.5.2
2.
5.2
mnaddaaaa
b
a mn
nn
mn
nn
mn
mnnm
mn
nm
 


 
 
Assim, novamente teremos, para 
b
a
, uma representação decimal finita. 
 
Exemplos: 
Os números racionais 
2500
3149
,
200
3
,
4
1 apresentam representações decimais finitas e os números racionais 
 35 
143
195
,
44
226
,
35
4 apresentam representações decimais infinitas. 
 
 
3- Dízimas Periódicas 
 
3.1. Definição 
 
Uma representação decimal 
...,..., 3210 naaaaa
 chama-se uma dízima periódica simples, de 
período 
paaaa ...321
, quando os primeiros p dígitos após a vírgula se repetem indefinidamente na mesma 
ordem. Por exemplo: 0,777... ; 1,353535... . 
 As dízimas periódicas compostas são aquelas que depois da vírgula têm uma parte que não se 
repete, seguida por uma parte periódica. Por exemplo: 0,35172172... ; 11,4323232... . 
 Para indicar uma dízima periódica usaremos uma barra sobre a parte que se repete. Por exemplo: 
324,11 ;17235,0 ;35,1 ;7,0
. 
 
Teorema 2 
 Todo número racional 
b
a
 possui uma representação decimal finita ou uma representação decimal 
infinita periódica; reciprocamente, toda representação decimal, finita ou infinita periódica, representa um 
número racional. 
 
Demonstração: 
Dado o número racional 
b
a
, dividindo-se o numerador a pelo denominador b obtemos sua 
representação decimal, que pode ser finita ou infinita. 
Caso a representação decimal obtida seja infinita, é claro que ela possui um grupo de algarismos 
que se repetem indefinidamente, ou seja, é uma dízima periódica, tendo em vista que na divisão de a por 
b, os únicos restos possíveis serão: 1, 2, 3, ..., b-2, b-1 (o resto zero está fora de