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ME´TODOS ESTATI´STICOS I EXERCI´CIO PROGRAMADO 9 2o Semestre de 2016 Prof. Moise´s Lima de Menezes Versa˜o Tutor 1. Dado P (A) = 1 2 , P (B) = 1 3 e P (A ∩B) = 1 4 . Determine: a) P (A ∪B) ; b) P (A|B) ; c) P (B|A) ; d) P [(A ∪B)|B] e) P (A|B) ; f) P (B|A) . 2. Assuma o experimento “lanc¸ar dois dados e verificar as faces voltadas para cima” onde x1 repre- senta a face do dado 1 e x2 representa a face do dado 2 e sejam os eventos: A = {(x1, x2)|x1 + x2 = 8} ; B = {(x1, x2)|x1 = x2} ; C = {(x1, x2)|x1 + x2 = 10} ; D = {(x1, x2)|x1 > x2} ; E = {(x1, x2)|x1 = 2x2} . Determine: a) P (A|B) ; b) P (C|D) ; c) P (D|E) ; d) P (A|C) ; e) P (C|E) ; f) P (C|A) ; g) P (A|D) ; h) P (B|C) ; i) P (A|E) ; j) P (B|E) ; l) P [A|(B ∩ C)] ; m) P [(A ∩B)|(C ∩D)] . 3. Em um grupo de 15 pessoas, temos a seguinte configurac¸a˜o: Homens Mulheres Menores 5 3 Adultos 5 2 Uma pessoa e´ escolhida ao acaso. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de ser homem? b) Qual a probabilidade de ser adulto? c) Qual a probabilidade de ser uma mulher menor? d) Sabendo-se que foi escolhido um adulto, qual a probabilidade de ser homem? e) Dado que foi escolhida uma mulher, qual a probabilidade de ser menor? f) O fato de escolher uma mulher depende de a pessoa ser adulta? 4. Certo aparelho eletroˆnico tem duas laˆmpadas que podem estar acesas ou apagadas, com probabili- dades como mostra a tabela abaixo: 1 Laˆmpada 1 Acesa Apagada Laˆmpada 2 Acesa Apagada 0,15 0,45 0,10 0,30 a) O fato “laˆmpada 1 acesa” e´ independente de “laˆmpada 2 acesa”? b) O fato “laˆmpada 1 apagada” e´ independente de “laˆmpada 2 acesa”? c) Qual a probabilidade de uma laˆmpada estar acesa enquanto a outra esta´ apagada? 5. (AD2 - Questa˜o 2)* - (2,5 pontos) Um restaurante popular apresenta apenas 2 tipos de refeic¸o˜es: salada completa ou um prato a` base de carne. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada, 30% das mulheres preferem carne e 75% dos fregueses sa˜o do sexo masculino. Considere os seguintes eventos: • H : o fregueˆs e´ do sexo masculino. • M : o fregueˆs e´ do sexo feminino. • A : o fregueˆs pede salada. • B : o fregueˆs pede carne. Detemine: a) P (H) ; b) P (A ∪H) ; c) P (A ∩H) ; d) P (B|M) ; e) P (M |A) . 2 Soluc¸o˜es: 1. a) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 1 2 + 1 3 − 1 4 = 6 + 4− 3 12 = 7 12 . b) P (A|B) = P (A ∩B) P (B) = 1/4 1/3 = 1 4 × 3 1 = 3 4 . c) P (B|A) = P (A ∩B) P (A) = 1/4 1/2 = 1 4 × 2 1 = 2 4 = 1 2 . d) P [(A ∪B)|B] = P [(A ∪B) ∩B] P (B) Pela propriedade (6.13) da aula 6, (A ∪B) ∩B = B. Assim: P [(A ∪B)|B] = P [(A ∪B) ∩B] P (B) = P (B) P (B) = 1. e) P (A|B) = P (A ∩B) P (B) = P (A ∪B) 1− P (B) = 1− P (A ∪B) 1− P (B) = 1− 7/12 1− 1/3 = 5/12 2/3 = 5 12 × 3 2 = 15 24 = 5 8 . f) P (B|A) = P (A ∩B) P (A) = P (A ∪B) 1− P (A) = 1− P (A ∪B) 1− P (A) = 1− 7/12 1− 1/2 = 5/12 1/2 = 5 12 × 2 1 = 10 12 = 5 6 . 2. O espac¸o amostral do lanc¸amento de dois dados e´: 3 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) Ω= (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Logo: #Ω = 36. O evento A e´ o conjunto: A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} Logo: #A = 5 e P (A) = 5 36 . O evento B e´ o conjunto: B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} Logo: #B = 6 e P (B) = 6 36 . O evento C e´ o conjunto: C = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} Logo: #C = 3 e P (C) = 3 36 . O evento D e´ o conjunto: D = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} Logo: #D = 15 e P (D) = 15 36 . O evento E e´ o conjunto: E = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)} Logo: #E = 3 e P (E) = 3 36 . A seguir, vemos diversas intersec¸o˜es: A∩B = {(4, 4)}, A∩C = ∅, A∩D = {(5, 3), (6, 2)}, A∩E = ∅, B∩E = ∅, B∩C = {(5, 5)}, C ∩D = {(6, 4)}, C ∩E = ∅, D∩E = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}, A∩B∩C = ∅, A∩B∩C ∩D = ∅. Como consequeˆncia temos as respectivas probabilidades: P (A∩B) = 1 36 , P (A∩C) = 0, P (A∩D) = 2 36 , P (A∩E) = 0, P (B∩E) = 0, P (B∩C) = 1 36 , P (C ∩D) = 1 36 , P (C ∩ E) = 0, P (D ∩ E) = 3 36 , P (A ∩B ∩ C) = 0, P (A ∩B ∩ C ∩D) = 0. 4 De posse destas informac¸o˜es, podemos resolver os itens desta questa˜o: a) P (A|B) = P (A ∩B) P (B) = 1/36 6/36 = 1 6 . b) P (C|D) = P (C ∩D) P (D) = 1/36 15/36 = 1 15 . c) P (D|E) = P (D ∩ E) P (E) = 3/36 3/36 = 1. d) P (A|C) = P (A ∩ C) P (C) = 0 3/36 = 0. e) P (C|E) = P (C ∩ E) P (E) = 0 3/36 = 0. f) P (C|A) = P (A ∩ C) P (A) = 0 5/36 = 0. g) P (A|D) = P (A ∩D P (D) = 2/36 15/36 = 2 15 . h) P (B|C) = P (B ∩ C) P (C) = 1/36 3/36 = 1 3 . i) P (A|E) = P (A ∩ E) P (E) = 0 3/36 = 0. j) P (B|E) = P (B ∩ E P (E) = 0 3/36 = 0. l) P [A|(B ∩ C)] = P (A ∩B ∩ C) P (B ∩ C) = 0 1/36 = 0. m) P [(A ∩B)|(C ∩D)] = P (A ∩B ∩ C ∩D) P (C ∩D) = 0 1/36 = 0. 5 3. Sejam os eventos: H : homem; M : mulher; Me : menor; A : adulto. a) P (H) = #H #Ω = 10 15 = 2 3 . b) P (A) = #A #Ω = 7 15 . c) P (M ∩Me) = #(M ∩Me) #Ω = 3 15 = 1 5 . d) P (H|A) = P (A ∩H) P (A) = 5/15 7/15 = 5 7 . e) P (Me|M) = P (M ∩Me) P (M) = 3/15 5/15 = 3 5 . f) Para que A e M sejam independentes e´ necessa´rio que: P (A)P (M) = P (A ∩M) No nosso caso. P (A) = 7 15 , P (M) = 5 15 = 1 3 e P (A ∩M) = 2 15 . P (A)P (M) = 7 15 × 1 3 = 7 45 . Podemos observar que: 7 45 6= 2 15 . Logo: P (A)P (M) 6= P (A ∩M) Consequentemente A e M na˜o sa˜o independentes. Logo: SA˜O DEPENDENTES. 4. Sejam os eventos: L1 : laˆmpada 1 acesa; L2 : laˆmpada 2 acesa; L1 : laˆmpada 1 apagada e L2 : laˆmpada 2 apagada. a probabilidade de a laˆmpada 1 estar acesa e´ a probabilidade de ela estar acesa estando a laˆmpada 2 acesa ou apagada. O racioc´ıcnio estende-se aos demais casos. Assim: P (L1) = 0, 60 , P (L2) = 0, 25 , P (L1) = 0, 40 a) 6 P (L1 ∩ L2) = 0, 15. P (L1)P (L2) = 0, 60× 0, 25 = 0, 15. Como P (L1 ∩ L2) = P (L1)P (L2) , enta˜o L1 e L2 SA˜O INDEPENDENTES. b) P (L1 ∩ L2) = 0, 10. P (L1)P (L2) = 0, 40× 0, 25 = 0, 10. Como P (L1 ∩ L2) = P (L1)P (L2) , enta˜o L1 e L2 SA˜O INDEPENDENTES. c) P [(L1 ∩ L2) ∪ (L1 ∩ L2)] = 0, 45 + 0, 10 = 0, 55. 7
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