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EP10 MetEstI Tutor

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 10
2o Semestre de 2016
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. Assuma que existem duas caixas de tal forma que na primeira caixa ha´ 3 bolas brancas e 7 pretas
e na segunda, 1 bola branca e 5 pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola
e verifica-se que ela e´ preta. Qual a probabilidade de que a caixa onde foi extra´ıda a bola seja a:
(a) A primeira?
(b) A segunda?
2. A probabilidade de um indiv´ıduo de classe A comprar um carro e´ de 3
4
, de um indiv´ıduo de
classe B e´ 1
6
e um indiv´ıduo de classe C e´ 1
20
. A probabilidade de um indiv´ıduo de classe
A comprar um carro da marca D e´ 1
10
, do indiv´ıduo da classe B e´ 3
5
e de um indiv´ıduo da
classe C e´ 3
10
. Em certa loja, um carro da marca D foi vendido. Qual a probabilidade de que
o comprador tenha sido da classe B ?
3. Em certo cole´gio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais de de 1,80 m de altura. Por outro
lado, 60% dos estudantes sa˜o homens. Se um estudante e´ selecionado aleatoriamente e tem mais
de 1,80 m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja uma mulher?
4. Treˆs ma´quinas ( A , B e C ) produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de pec¸as de
uma fa´brica. As porcentagens de pec¸as defeituosas nas respectivas ma´quinas sa˜o 3%, 5% e 2%.
Uma pec¸a e´ sorteada ao acaso e verifica-se que e´ defeituosa. Qual a probabilidade de que a pec¸a
tenha vindo da ma´uina B .
5. Apenas 1 em cada 10 pessoas de uma populac¸a˜o tem tuberculose. Das pessoas que tem tu-
berculose, 80% reagem positivamente ao teste Y , enquanto que apenas 30% dos que na˜o tem
tuberculose reagem positivamente ao teste Y . Uma pessoa da populac¸a˜o e´ selecionada ao acaso
e o teste Y e´ aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se ela reagiu
positivamente ao teste?
6. Sua firma recentemente apresentou proposta para um projeto de construc¸a˜o. Se seu principal
concorrente apresenta uma proposta, ha´ apenas 25% de chance de a sua firma ganhar a con-
correˆncia. Se seu concorrente na˜o apresenta a proposta, ha´ 2
3
de chance de a sua firma ganhar
a concorreˆncia. A chance de seu principal concorrente apresnetar proposta e´ de 50%.
(a) Qual a probabilidade de sua firma ganhar a concorreˆncia?
(b) Qual a probabilidade de seu principal concorrente ter apresentado a proposta, dado que a
sua firma ganhou a concorreˆncia?
7. (AD2 - Questa˜o 3)* - (2,5 pontos) Pedro e Jose´ sa˜o pastores de cabras. Pedro tem 3 vezes
mais cabras do que Jose´. No rebanho de Pedro, 20% das cabras sa˜o malhadas e, no rebanho de
Jose´, 10% das cabras sa˜o malhadas. Encontrou-se uma cabra desgarrada:
(a) Sem saber nada sobre essa cabra, qual e´ a probabilidade de que ela pertena a Jose´?
(b) Sabendo-se que a cabra desgarrada e´ malhada, qual e´ a probabilidade de que ela pertenc¸a
a Jose´?
1
Soluc¸o˜es:
1.
Sejam os eventos:
1 : “selecionar a caixa 1”;
2 : “selecionar a caixa 2”;
B : “selecionar uma bola branca”;
P : “selecionar uma bola preta”;
(P |1) : “bola preta na caixa 1”;
(P |2) : “bola preta na caixa 2”.
Assim, temos as probabilidades:
P (1) = P (2) = 1
2
. Pois temos duas caixas equiprova´veis.
a)
Estamos interessados em P (1|P ) . Pelo Teorema de Bayes:
P (1|P ) = P (1)P (P |1)
P (1)P (P |1) + P (2)P (P |2) .
Como temos 10 bolas na caixa 1 das quais 7 sa˜o pretas, enta˜o P (P |1) = 7
10
.
Como temos 6 bolas na caixa 2 das quais 5 sa˜o pretas, enta˜o P (P |2) = 5
6
.
Assim:
P (1|P ) =
1
2
× 7
10
1
2
× 7
10
+ 1
2
× 5
6
=
7
10
7
10
+ 5
6
=
7
10
21+25
30
=
21/30
46/30
=
21
46
.
b)
Estamos interessados em P (2|P ) . Pelo Teorema de Bayes:
P (2|P ) = P (2)P (P |2)
P (1)P (P |1) + P (2)P (P |2) .
Como temos 10 bolas na caixa 1 das quais 7 sa˜o pretas, enta˜o P (P |1) = 7
10
.
Como temos 6 bolas na caixa 2 das quais 5 sa˜o pretas, enta˜o P (P |2) = 5
6
.
Assim:
P (2|P ) =
1
2
× 5
6
1
2
× 7
10
+ 1
2
× 5
6
=
5
6
7
10
+ 5
6
=
5
6
21+25
30
=
25/30
46/30
=
25
46
.
2.
Temos as seguintes probabilidades:
P (A) = 3
4
; P (B) = 1
6
; P (C) = 1
20
; P (D|A) = 1
10
; P (D|B) = 3
5
; P (D|C) = 3
10
.
Estamos interessados em P (B|D) . Pelo Teorema de Bayes:
P (B|D) = P (B)P (D|B)
P (A)P (D|A) + P (B)P (D|B) + P (C)P (D|C) .
2
Logo:
P (B|D) =
1
6
× 3
5
3
4
× 1
10
+ 1
6
× 3
5
+ 1
20
× 3
10
=
3/30
3
40
+ 3
30
+ 3
200
.
(multiplicando por 10)
P (B|D) = 3/3
3/4 + 3/3 + 3/20
=
1
3/4 + 1 + 3/20
=
1
15+20+3
20
=
1
38/20
=
20
38
=
10
19
.
3.
Sejam os seguintes eventos:
H : “o estudante e´ homem”;
M : “o estudante e´ mulher”;
A : “o estudante tem mais de 1,80 m”;
A : “o estudante na˜o tem mais de 1,80 m”.
Nestas condic¸o˜es e com os dados do problema, temos as seguintes probabilidades:
P (H) = 0, 60 ; P (M) = 0, 40 ; P (A|H) = 0, 05 ; P (A|M) = 0, 02 .
Estamos interessados em P (M |A). Pelo Teorema de Bayes:
P (M |A) = P (M)P (A|M)
P (M)P (A|M) + P (H)P (A|H) =
0, 4× 0, 02
0, 4× 0, 02 + 0, 6× 0, 05
=
0, 008
0, 008 + 0, 03
=
0, 008
0, 038
=
8/1000
38/1000
=
8
38
=
4
19
.
4.
Seja D o evento: “a pec¸a e´ defeituosa”. Enta˜o:
P (A) = 0, 40 ; P (B) = 0, 50 ; P (C) = 0, 10 ; P (D|A) = 0, 03 ; P (D|B) = 0, 05 ;
P (D|C) = 0, 02 .
Estamos interessados em P (B|D) . Pelo Terema de Bayes:
P (B|D) = P (B)P (D|B)
P (A)P (D|A) + P (B)P (D|B) + P (C)P (D|C) =
0, 50× 0, 05
0, 40× 0, 03 + 0, 50× 0, 05 + 0, 10× 0, 02
=
0, 025
0, 012 + 0, 025 + 0, 002
=
0, 025
0, 039
=
25/1000
39/1000
=
25
39
.
5.
Sejam os eventos T : “o indiv´ıduo tem tuberculose”.
Y + : “o indiv´ıduo reagiu positivamente ao teste Y ”.
Assim:
P (T ) = 0, 1 ; P (T ) = 0, 9 ; P (Y +|T ) = 0, 8 ; P (Y +|T ) = 0, 3 .
Estamos interessados em P (T |Y +) . Pelo Teorema de Bayes:
3
P (T |Y +) = P (T )P (Y
+|T )
P (T )P (Y +|T ) + P (TP (Y +|T ) =
0, 1× 0, 8
0, 1× 0, 8 + 0, 9× 0, 3
=
0, 08
0, 08 + 0, 27
=
0, 08
0, 35
=
8/100
35/100
=
8
35
.
6. Sejam os eventos:
G : “sua firma ganha a concorreˆncia”;
P : “seu principal concorrente apresenta uma proposta”.
P : “seu principal concorrente na˜o apresenta uma proposta”.
As probabilidades dadas no enunciado da questa˜o sa˜o:
P (G|P ) = 0, 25 = 1
4
; P (G|P ) = 2
3
; P (P ) = 0, 5 = 1
2
; P (P ) = 0, 5 = 1
2
.
a)
Estamos interessados em P (G) . Pelo Teorema da Probabilidade Total:
P (G) = P (P )P (G|P ) + P (P )P (G|P ) = 1
2
× 1
4
+
1
2
× 2
3
=
1
8
+
1
3
=
3 + 8
24
=
11
24
.
b)
Estamos interessados em P (P |G) . Pelo Teorema de Bayes:
P (P |G) = P (P )P (G|P )
P (G)
=
1/2× 1/4
11/24
=
1/8
11/24
=
1
8
× 24
11
=
3
11
.
4

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