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ME´TODOS ESTATI´STICOS I EXERCI´CIO PROGRAMADO 10 2o Semestre de 2016 Prof. Moise´s Lima de Menezes Versa˜o Tutor 1. Assuma que existem duas caixas de tal forma que na primeira caixa ha´ 3 bolas brancas e 7 pretas e na segunda, 1 bola branca e 5 pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que ela e´ preta. Qual a probabilidade de que a caixa onde foi extra´ıda a bola seja a: (a) A primeira? (b) A segunda? 2. A probabilidade de um indiv´ıduo de classe A comprar um carro e´ de 3 4 , de um indiv´ıduo de classe B e´ 1 6 e um indiv´ıduo de classe C e´ 1 20 . A probabilidade de um indiv´ıduo de classe A comprar um carro da marca D e´ 1 10 , do indiv´ıduo da classe B e´ 3 5 e de um indiv´ıduo da classe C e´ 3 10 . Em certa loja, um carro da marca D foi vendido. Qual a probabilidade de que o comprador tenha sido da classe B ? 3. Em certo cole´gio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais de de 1,80 m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes sa˜o homens. Se um estudante e´ selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80 m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja uma mulher? 4. Treˆs ma´quinas ( A , B e C ) produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de pec¸as de uma fa´brica. As porcentagens de pec¸as defeituosas nas respectivas ma´quinas sa˜o 3%, 5% e 2%. Uma pec¸a e´ sorteada ao acaso e verifica-se que e´ defeituosa. Qual a probabilidade de que a pec¸a tenha vindo da ma´uina B . 5. Apenas 1 em cada 10 pessoas de uma populac¸a˜o tem tuberculose. Das pessoas que tem tu- berculose, 80% reagem positivamente ao teste Y , enquanto que apenas 30% dos que na˜o tem tuberculose reagem positivamente ao teste Y . Uma pessoa da populac¸a˜o e´ selecionada ao acaso e o teste Y e´ aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se ela reagiu positivamente ao teste? 6. Sua firma recentemente apresentou proposta para um projeto de construc¸a˜o. Se seu principal concorrente apresenta uma proposta, ha´ apenas 25% de chance de a sua firma ganhar a con- correˆncia. Se seu concorrente na˜o apresenta a proposta, ha´ 2 3 de chance de a sua firma ganhar a concorreˆncia. A chance de seu principal concorrente apresnetar proposta e´ de 50%. (a) Qual a probabilidade de sua firma ganhar a concorreˆncia? (b) Qual a probabilidade de seu principal concorrente ter apresentado a proposta, dado que a sua firma ganhou a concorreˆncia? 7. (AD2 - Questa˜o 3)* - (2,5 pontos) Pedro e Jose´ sa˜o pastores de cabras. Pedro tem 3 vezes mais cabras do que Jose´. No rebanho de Pedro, 20% das cabras sa˜o malhadas e, no rebanho de Jose´, 10% das cabras sa˜o malhadas. Encontrou-se uma cabra desgarrada: (a) Sem saber nada sobre essa cabra, qual e´ a probabilidade de que ela pertena a Jose´? (b) Sabendo-se que a cabra desgarrada e´ malhada, qual e´ a probabilidade de que ela pertenc¸a a Jose´? 1 Soluc¸o˜es: 1. Sejam os eventos: 1 : “selecionar a caixa 1”; 2 : “selecionar a caixa 2”; B : “selecionar uma bola branca”; P : “selecionar uma bola preta”; (P |1) : “bola preta na caixa 1”; (P |2) : “bola preta na caixa 2”. Assim, temos as probabilidades: P (1) = P (2) = 1 2 . Pois temos duas caixas equiprova´veis. a) Estamos interessados em P (1|P ) . Pelo Teorema de Bayes: P (1|P ) = P (1)P (P |1) P (1)P (P |1) + P (2)P (P |2) . Como temos 10 bolas na caixa 1 das quais 7 sa˜o pretas, enta˜o P (P |1) = 7 10 . Como temos 6 bolas na caixa 2 das quais 5 sa˜o pretas, enta˜o P (P |2) = 5 6 . Assim: P (1|P ) = 1 2 × 7 10 1 2 × 7 10 + 1 2 × 5 6 = 7 10 7 10 + 5 6 = 7 10 21+25 30 = 21/30 46/30 = 21 46 . b) Estamos interessados em P (2|P ) . Pelo Teorema de Bayes: P (2|P ) = P (2)P (P |2) P (1)P (P |1) + P (2)P (P |2) . Como temos 10 bolas na caixa 1 das quais 7 sa˜o pretas, enta˜o P (P |1) = 7 10 . Como temos 6 bolas na caixa 2 das quais 5 sa˜o pretas, enta˜o P (P |2) = 5 6 . Assim: P (2|P ) = 1 2 × 5 6 1 2 × 7 10 + 1 2 × 5 6 = 5 6 7 10 + 5 6 = 5 6 21+25 30 = 25/30 46/30 = 25 46 . 2. Temos as seguintes probabilidades: P (A) = 3 4 ; P (B) = 1 6 ; P (C) = 1 20 ; P (D|A) = 1 10 ; P (D|B) = 3 5 ; P (D|C) = 3 10 . Estamos interessados em P (B|D) . Pelo Teorema de Bayes: P (B|D) = P (B)P (D|B) P (A)P (D|A) + P (B)P (D|B) + P (C)P (D|C) . 2 Logo: P (B|D) = 1 6 × 3 5 3 4 × 1 10 + 1 6 × 3 5 + 1 20 × 3 10 = 3/30 3 40 + 3 30 + 3 200 . (multiplicando por 10) P (B|D) = 3/3 3/4 + 3/3 + 3/20 = 1 3/4 + 1 + 3/20 = 1 15+20+3 20 = 1 38/20 = 20 38 = 10 19 . 3. Sejam os seguintes eventos: H : “o estudante e´ homem”; M : “o estudante e´ mulher”; A : “o estudante tem mais de 1,80 m”; A : “o estudante na˜o tem mais de 1,80 m”. Nestas condic¸o˜es e com os dados do problema, temos as seguintes probabilidades: P (H) = 0, 60 ; P (M) = 0, 40 ; P (A|H) = 0, 05 ; P (A|M) = 0, 02 . Estamos interessados em P (M |A). Pelo Teorema de Bayes: P (M |A) = P (M)P (A|M) P (M)P (A|M) + P (H)P (A|H) = 0, 4× 0, 02 0, 4× 0, 02 + 0, 6× 0, 05 = 0, 008 0, 008 + 0, 03 = 0, 008 0, 038 = 8/1000 38/1000 = 8 38 = 4 19 . 4. Seja D o evento: “a pec¸a e´ defeituosa”. Enta˜o: P (A) = 0, 40 ; P (B) = 0, 50 ; P (C) = 0, 10 ; P (D|A) = 0, 03 ; P (D|B) = 0, 05 ; P (D|C) = 0, 02 . Estamos interessados em P (B|D) . Pelo Terema de Bayes: P (B|D) = P (B)P (D|B) P (A)P (D|A) + P (B)P (D|B) + P (C)P (D|C) = 0, 50× 0, 05 0, 40× 0, 03 + 0, 50× 0, 05 + 0, 10× 0, 02 = 0, 025 0, 012 + 0, 025 + 0, 002 = 0, 025 0, 039 = 25/1000 39/1000 = 25 39 . 5. Sejam os eventos T : “o indiv´ıduo tem tuberculose”. Y + : “o indiv´ıduo reagiu positivamente ao teste Y ”. Assim: P (T ) = 0, 1 ; P (T ) = 0, 9 ; P (Y +|T ) = 0, 8 ; P (Y +|T ) = 0, 3 . Estamos interessados em P (T |Y +) . Pelo Teorema de Bayes: 3 P (T |Y +) = P (T )P (Y +|T ) P (T )P (Y +|T ) + P (TP (Y +|T ) = 0, 1× 0, 8 0, 1× 0, 8 + 0, 9× 0, 3 = 0, 08 0, 08 + 0, 27 = 0, 08 0, 35 = 8/100 35/100 = 8 35 . 6. Sejam os eventos: G : “sua firma ganha a concorreˆncia”; P : “seu principal concorrente apresenta uma proposta”. P : “seu principal concorrente na˜o apresenta uma proposta”. As probabilidades dadas no enunciado da questa˜o sa˜o: P (G|P ) = 0, 25 = 1 4 ; P (G|P ) = 2 3 ; P (P ) = 0, 5 = 1 2 ; P (P ) = 0, 5 = 1 2 . a) Estamos interessados em P (G) . Pelo Teorema da Probabilidade Total: P (G) = P (P )P (G|P ) + P (P )P (G|P ) = 1 2 × 1 4 + 1 2 × 2 3 = 1 8 + 1 3 = 3 + 8 24 = 11 24 . b) Estamos interessados em P (P |G) . Pelo Teorema de Bayes: P (P |G) = P (P )P (G|P ) P (G) = 1/2× 1/4 11/24 = 1/8 11/24 = 1 8 × 24 11 = 3 11 . 4
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